第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.

1、中值定理中值定理應(yīng)用應(yīng)用研究函數(shù)性質(zhì)及曲線性態(tài)利用導(dǎo)數(shù)解決實際問題羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式 (第三節(jié))推廣推廣機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理三、柯西中值定理 中值定理 四、中值定理的應(yīng)用四、中值定理的應(yīng)用 )(xfy 滿足:(1) 在區(qū)間 a , b 上連續(xù)(2) 在區(qū)間 (a , b) 內(nèi)可導(dǎo)(3) f ( a ) = f ( b ),使. 0)(fxyoab)(xfy 證證:，上連續(xù)在因,)(baxf故在 a , b 上取得最大值 M 和最小值 m .若 M = m , 則, ,)(baxMxf因此.0

2、)(, ),(fba在( a , b ) 內(nèi)至少存在一點機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 不妨設(shè) , )(afM 則至少存在一點, ),(ba使,)(Mf. 0)(f注意注意:1) 定理條件條件不全具備, 結(jié)論不一定成立. 例如,1,010,)(xxxxfx1yo則由費馬引理得 1 , 1)(xxxf 1 ,0)(xxxfx1yo1x1yo機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 使本定理可推廣為)(xfy 在 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo), 且)(limxfax)(limxfbx在( a , b ) 內(nèi)至少存在一點,. 0)(f證明提示證明提示: 設(shè)證 F(x) 在 a , b 上滿足羅爾定理 .

3、 )(xFaxaf, )(bxaxf, )(bxbf, )(機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )( (1) 在區(qū)間 a , b 上連續(xù))(xfy 滿足:(2) 在區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo)至少存在一點, ),(ba使.)()()(abafbffxyoab)(xfy 思路思路: 利用逆向思維逆向思維找出一個滿足羅爾定理條件的函數(shù)作輔助函數(shù)顯然 ,)(x在 a , b 上連續(xù) , 在 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo), 且證證: 問題轉(zhuǎn)化為證)(x)(xfxabafbf)()()(a由羅爾定理知至少存在一點, ),(ba,0)(使即定理結(jié)論成立 ., )(babbfaafb)()(拉氏 目錄 上

4、頁 下頁 返回 結(jié)束 0)()()(abafbff證畢推論推論: 若函數(shù)在區(qū)間 I 上滿足,0)( xf則)(xf在 I 上必為常數(shù).)(xf證證: 在 I 上任取兩點, )(,2121xxxx上用拉在,21xx日中值公式 , 得0)()(12xfxf)(12xxf)(21xx)()(12xfxf由 的任意性知, 21,xx)(xf在 I 上為常數(shù) .) 10()(0 xxxfy,00 xxbxa令則機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0)()()()()()(fFaFbFafbf)(分析分析:)(xf及(1) 在閉區(qū)間 a , b 上連續(xù)(2) 在開區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo)(3)在開

5、區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)至少存在一點, ),(ba使.)()()()()()(FfaFbFafbf滿足 :)(xF0)( xF)()(aFbF)(abFba0要證)()()()()()()(xfxFaFbFafbfx柯西 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )()()()()()()(xfxFaFbFafbfx)()()()()()()()(baFbFbFafaFbfa,),(,)(內(nèi)可導(dǎo)在上連續(xù)在則babax且, ),(ba使, 0)(即由羅爾定理知, 至少存在一點.)()()()()()(FfaFbFafbf思考思考: 柯西定理的下述證法對嗎 ?),(, )()()(baabfafbf),(, )()()(baabFaFbF兩個 不一定相同錯錯! !機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 上面兩式相比即得結(jié)論. )()()()()()(