拋物型偏微方程

1、第七章解拋物型偏微分方程的差分解法第七章解拋物型偏微分方程的差分解法穩(wěn)定性穩(wěn)定性討論是差分法的重要問題。討論是差分法的重要問題。常遇到的常遇到的拋物型偏微分方程拋物型偏微分方程有：有：擴散方程擴散方程 SDt )( (7.1)(7.1) 其中其中D D代表擴散系數(shù)，代表擴散系數(shù)，S S代表擴散源函數(shù)，代表擴散源函數(shù)， 代表擴散代表擴散場場； 熱熱傳傳導(dǎo)導(dǎo)方方程程 qTktTC )( ( (7 7. .2 2) ) 其其中中k k代代表表傳傳熱熱系系數(shù)數(shù), ,q q代代表表熱熱源源函函數(shù)數(shù), ,C C為為比比熱熱, , 為為密密度度, , T T代代表表溫溫度度場場； 薛定格方程薛定格方程 Vm

2、ti )(22 (7.3)(7.3) 其中其中代表普朗克常數(shù)，代表普朗克常數(shù)，m m代表質(zhì)量，代表質(zhì)量，V V代表位勢，代表位勢， 代表代表波函數(shù)。波函數(shù)。 基本作法：按等間隔剖分，用各離散點上的差商基本作法：按等間隔剖分，用各離散點上的差商來近似代替該點的偏微商，把偏微分方程轉(zhuǎn)化為來近似代替該點的偏微商，把偏微分方程轉(zhuǎn)化為線性代數(shù)方程組，進而解出各離散點上的待求函線性代數(shù)方程組，進而解出各離散點上的待求函數(shù)隨時間的變化。數(shù)隨時間的變化。主要內(nèi)容主要內(nèi)容7.1簡單差分法及其不穩(wěn)定性簡單差分法及其不穩(wěn)定性7.2隱格式差分法與三對角方程隱格式差分法與三對角方程7.3二維擴散方程的差分格式二維擴散方

3、程的差分格式7.4含時間薛定格方程的差分格式含時間薛定格方程的差分格式7.1簡單差分法及其不穩(wěn)定性簡單差分法及其不穩(wěn)定性一、差分格式一、差分格式一一維維擴擴散散方方程程經(jīng)經(jīng)歸歸一一化化變變換換后后簡簡寫寫成成： 110022|,|),(),(),(fftxSxtxttxxx ( (7 7. .4 4) ) 把把區(qū)區(qū)間間 1 , 0均均分分為為N N等等份份，間間距距Nh/1 。取取時時間間間間隔隔為為 t 。 二二階階空空間間導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)用用中中心心差差分分公公式式 211222hxninini 來來代代替替，一一階階時時間間導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)用用前前向向差差分分公公式式 tttxnini 1),( 來來代

4、代替替。 tShtnininininini )2(1121 ( (7 7. .7 7) ) 這這就就是是求求解解微微分分方方程程( (7 7. .4 4) )的的一一個個顯顯格格式式差差分分公公式式。 二、例二、例 設(shè)設(shè) ，初條件和邊界條件為：，初條件和邊界條件為： 0 S0|451000)12(5)32(5)12(50222 eeeextxtxxxt tTeeeTtxTxTxTx801),(/)12(5/)32(5/)12(521222 tShtnininininini )2(1121 04500150000750040.,.,.和和 tth05. 004. 0,001. 0,04. 0和和

5、 tth DO 20 ITER=1,NITER POLD=0. DO 30 IX=1,NSTEP-1 PNEW=PHI(IX)+DTH*(POLD+PHI(IX+1)- * 2*PHI(IX) EXACT(X,T)=GAUSS(X,T)-GAUSS(X-1.,T)- * GAUSS(X+1.,T) POLD=PHI(IX) PHI(IX)=PNEW30 CONTINUE IF (MOD(ITER,10) .EQ. 0) THEN PRINT *, iteration = , ITER, * time = ,ITER*DT T=ITER*DT DO 40 IX=1,NSTEP-1 DIFF=PH

6、I(IX)-EXACT(IX*H,T) PRINT *, phi = , PHI(IX), error = , DIFF40 CONTINUE END IF20 CONTINUE GOTO 50 END 71.FOR PARAMETER (NSTEP=25) DIMENSION PHI(0:NSTEP) GAUSS(X,T)=EXP(-20.*(X-.5)*2/ * (1.+80*T)/ SQRT(1+80*T) H=1./NSTEP50 PRINT *, Enter time step and * total time (0 to stop) READ *,DT,TIME IF (DT .E

7、Q. 0.) STOP NITER=TIME/DT DTH=DT/H*2 T=0. PHI(0)=0. PHI(NSTEP)=0. DO 10 IX=1,NSTEP-1 PHI(IX)=EXACT(IX*H,T)10 CONTINUE圖圖 7.17.1 一維擴散的數(shù)值計算結(jié)果一維擴散的數(shù)值計算結(jié)果 這個差分遞推公式在超過一定條件時是不穩(wěn)定的。這個差分遞推公式在超過一定條件時是不穩(wěn)定的。三、三、 穩(wěn)定性分析。穩(wěn)定性分析。為了使討論更加簡便，定義算符為了使討論更加簡便，定義算符 H，使，使 )()(nininiinhH11221 (7.10)(7.10) 利用該算符，差分格式利用該算符，差分格式(

8、7.7)(7.7)可改寫成可改寫成矩陣形式矩陣形式： (7.12) (7.12) tStHnnn )(11 H H nn Hxt 2200 tnntnHnee nn01 nnt)( tStHnnn )(1111 |t 01 nnt)( 24h2,14122htth 或或04. 0 h0008. 0 t7.2隱格式差分法與三對角方程隱格式差分法與三對角方程tShtnininininini )(11111212 tStHnnnn 11 tStHnnn 111111 tH)()(nininiinhH11221 tShtnininininini )2(1111121tSbhtAhtAAbAAAnini

9、niiiininiiniinii ,21,)202111011使用上式編程計算的結(jié)果示于下圖中。計算使用上式編程計算的結(jié)果示于下圖中。計算結(jié)果表明，這種格式很穩(wěn)定，任取時間間隔結(jié)果表明，這種格式很穩(wěn)定，任取時間間隔D Dt t 都是穩(wěn)定的都是穩(wěn)定的這里要注意一點的是：這里要注意一點的是：穩(wěn)定性和準(zhǔn)確度是兩個不穩(wěn)定性和準(zhǔn)確度是兩個不同的概念同的概念。即使計算是穩(wěn)定的，其準(zhǔn)確度不一定。即使計算是穩(wěn)定的，其準(zhǔn)確度不一定高。隨著時間的向后推移，誤差會有所增大。一高。隨著時間的向后推移，誤差會有所增大。一般而言，要使計算精度高，應(yīng)取較小的空間間隔般而言，要使計算精度高，應(yīng)取較小的空間間隔和時間步長。和時

10、間步長。7.37.3二維擴散方程的差分格式二維擴散方程的差分格式2222),(),(),(ytyxxtyxttyx )()(nininiinhH11221 )()()()()()(,111112111111211112121njinjinjijinjnjinjinjijinijinjjininjinjihHhHHtHt jijitHtHtHtH 1)1()1(1,1,)1)(1()1( njijinjijinjitHtHtHtH 1,)1( ,)1(2121 njijnjinjiinjitHtH 21,11,1,011,21, 121,021, 1)njinjijnjijnjijnjinjii

11、njiinjiiAAAAAA 7.47.4含時間薛定格方程的差分格式含時間薛定格方程的差分格式一、差分格式一、差分格式 iHVxit 22jnnjtiH)( 1111111112121 njjnjnjnjjnVhH )()(tHitHitiH 21211111jnnjtHitHi)( 2121111二、差分格式的進一步改寫二、差分格式的進一步改寫nntHi 112211jnnjtHi)( 2112njnjnj 11111112121 njjnjnjnjjnVhH )()(jnnjtHi)( 2112njnjjnjnjnjnjVtihti 22)2(2112 njnjnjjnjtihVhtih 21221422njnjnj 11 nj 三、邊界條件、初始條件和位勢函數(shù)三、邊界條件、初始條件和位勢函數(shù) 設(shè)設(shè)邊邊界界條條件件為為： 0|, 0|10 xx (7.34) 波波函函數(shù)數(shù)的的初初始始條條件件為為下下述述之之一一： a. 高高斯斯波波函函數(shù)數(shù)： xikxxtee0220/ )20ln()(0| (7.35) b.洛洛侖侖茲茲波波函函數(shù)數(shù)： xiktexx020220)(| (7.36) 位位勢勢函函數(shù)數(shù)取取為為下下述述之之一一： a a. .方方位位勢勢 axxaxxVV000