拋物型偏微方程

1、第七章解拋物型偏微分方程的差分解法第七章解拋物型偏微分方程的差分解法穩(wěn)定性穩(wěn)定性討論是差分法的重要問(wèn)題。討論是差分法的重要問(wèn)題。常遇到的常遇到的拋物型偏微分方程拋物型偏微分方程有：有：擴(kuò)散方程擴(kuò)散方程 SDt )( (7.1)(7.1) 其中其中D D代表擴(kuò)散系數(shù)，代表擴(kuò)散系數(shù)，S S代表擴(kuò)散源函數(shù)，代表擴(kuò)散源函數(shù)， 代表擴(kuò)散代表擴(kuò)散場(chǎng)場(chǎng)； 熱熱傳傳導(dǎo)導(dǎo)方方程程 qTktTC )( ( (7 7. .2 2) ) 其其中中k k代代表表傳傳熱熱系系數(shù)數(shù), ,q q代代表表熱熱源源函函數(shù)數(shù), ,C C為為比比熱熱, , 為為密密度度, , T T代代表表溫溫度度場(chǎng)場(chǎng)； 薛定格方程薛定格方程 Vm

2、ti )(22 (7.3)(7.3) 其中其中代表普朗克常數(shù)，代表普朗克常數(shù)，m m代表質(zhì)量，代表質(zhì)量，V V代表位勢(shì)，代表位勢(shì)， 代表代表波函數(shù)。波函數(shù)。 基本作法：按等間隔剖分，用各離散點(diǎn)上的差商基本作法：按等間隔剖分，用各離散點(diǎn)上的差商來(lái)近似代替該點(diǎn)的偏微商，把偏微分方程轉(zhuǎn)化為來(lái)近似代替該點(diǎn)的偏微商，把偏微分方程轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性代數(shù)方程組，進(jìn)而解出各離散點(diǎn)上的待求函線(xiàn)性代數(shù)方程組，進(jìn)而解出各離散點(diǎn)上的待求函數(shù)隨時(shí)間的變化。數(shù)隨時(shí)間的變化。主要內(nèi)容主要內(nèi)容7.1簡(jiǎn)單差分法及其不穩(wěn)定性簡(jiǎn)單差分法及其不穩(wěn)定性7.2隱格式差分法與三對(duì)角方程隱格式差分法與三對(duì)角方程7.3二維擴(kuò)散方程的差分格式二維擴(kuò)散方

3、程的差分格式7.4含時(shí)間薛定格方程的差分格式含時(shí)間薛定格方程的差分格式7.1簡(jiǎn)單差分法及其不穩(wěn)定性簡(jiǎn)單差分法及其不穩(wěn)定性一、差分格式一、差分格式一一維維擴(kuò)擴(kuò)散散方方程程經(jīng)經(jīng)歸歸一一化化變變換換后后簡(jiǎn)簡(jiǎn)寫(xiě)寫(xiě)成成： 110022|,|),(),(),(fftxSxtxttxxx ( (7 7. .4 4) ) 把把區(qū)區(qū)間間 1 , 0均均分分為為N N等等份份，間間距距Nh/1 。取取時(shí)時(shí)間間間間隔隔為為 t 。 二二階階空空間間導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)用用中中心心差差分分公公式式 211222hxninini 來(lái)來(lái)代代替替，一一階階時(shí)時(shí)間間導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)用用前前向向差差分分公公式式 tttxnini 1),( 來(lái)來(lái)代

4、代替替。 tShtnininininini )2(1121 ( (7 7. .7 7) ) 這這就就是是求求解解微微分分方方程程( (7 7. .4 4) )的的一一個(gè)個(gè)顯顯格格式式差差分分公公式式。 二、例二、例 設(shè)設(shè) ，初條件和邊界條件為：，初條件和邊界條件為： 0 S0|451000)12(5)32(5)12(50222 eeeextxtxxxt tTeeeTtxTxTxTx801),(/)12(5/)32(5/)12(521222 tShtnininininini )2(1121 04500150000750040.,.,.和和 tth05. 004. 0,001. 0,04. 0和和

5、 tth DO 20 ITER=1,NITER POLD=0. DO 30 IX=1,NSTEP-1 PNEW=PHI(IX)+DTH*(POLD+PHI(IX+1)- * 2*PHI(IX) EXACT(X,T)=GAUSS(X,T)-GAUSS(X-1.,T)- * GAUSS(X+1.,T) POLD=PHI(IX) PHI(IX)=PNEW30 CONTINUE IF (MOD(ITER,10) .EQ. 0) THEN PRINT *, iteration = , ITER, * time = ,ITER*DT T=ITER*DT DO 40 IX=1,NSTEP-1 DIFF=PH

6、I(IX)-EXACT(IX*H,T) PRINT *, phi = , PHI(IX), error = , DIFF40 CONTINUE END IF20 CONTINUE GOTO 50 END 71.FOR PARAMETER (NSTEP=25) DIMENSION PHI(0:NSTEP) GAUSS(X,T)=EXP(-20.*(X-.5)*2/ * (1.+80*T)/ SQRT(1+80*T) H=1./NSTEP50 PRINT *, Enter time step and * total time (0 to stop) READ *,DT,TIME IF (DT .E

7、Q. 0.) STOP NITER=TIME/DT DTH=DT/H*2 T=0. PHI(0)=0. PHI(NSTEP)=0. DO 10 IX=1,NSTEP-1 PHI(IX)=EXACT(IX*H,T)10 CONTINUE圖圖 7.17.1 一維擴(kuò)散的數(shù)值計(jì)算結(jié)果一維擴(kuò)散的數(shù)值計(jì)算結(jié)果 這個(gè)差分遞推公式在超過(guò)一定條件時(shí)是不穩(wěn)定的。這個(gè)差分遞推公式在超過(guò)一定條件時(shí)是不穩(wěn)定的。三、三、 穩(wěn)定性分析。穩(wěn)定性分析。為了使討論更加簡(jiǎn)便，定義算符為了使討論更加簡(jiǎn)便，定義算符 H，使，使 )()(nininiinhH11221 (7.10)(7.10) 利用該算符，差分格式利用該算符，差分格式(

8、7.7)(7.7)可改寫(xiě)成可改寫(xiě)成矩陣形式矩陣形式： (7.12) (7.12) tStHnnn )(11 H H nn Hxt 2200 tnntnHnee nn01 nnt)( tStHnnn )(1111 |t 01 nnt)( 24h2,14122htth 或或04. 0 h0008. 0 t7.2隱格式差分法與三對(duì)角方程隱格式差分法與三對(duì)角方程tShtnininininini )(11111212 tStHnnnn 11 tStHnnn 111111 tH)()(nininiinhH11221 tShtnininininini )2(1111121tSbhtAhtAAbAAAnini

9、niiiininiiniinii ,21,)202111011使用上式編程計(jì)算的結(jié)果示于下圖中。計(jì)算使用上式編程計(jì)算的結(jié)果示于下圖中。計(jì)算結(jié)果表明，這種格式很穩(wěn)定，任取時(shí)間間隔結(jié)果表明，這種格式很穩(wěn)定，任取時(shí)間間隔D Dt t 都是穩(wěn)定的都是穩(wěn)定的這里要注意一點(diǎn)的是：這里要注意一點(diǎn)的是：穩(wěn)定性和準(zhǔn)確度是兩個(gè)不穩(wěn)定性和準(zhǔn)確度是兩個(gè)不同的概念同的概念。即使計(jì)算是穩(wěn)定的，其準(zhǔn)確度不一定。即使計(jì)算是穩(wěn)定的，其準(zhǔn)確度不一定高。隨著時(shí)間的向后推移，誤差會(huì)有所增大。一高。隨著時(shí)間的向后推移，誤差會(huì)有所增大。一般而言，要使計(jì)算精度高，應(yīng)取較小的空間間隔般而言，要使計(jì)算精度高，應(yīng)取較小的空間間隔和時(shí)間步長(zhǎng)。和時(shí)

10、間步長(zhǎng)。7.37.3二維擴(kuò)散方程的差分格式二維擴(kuò)散方程的差分格式2222),(),(),(ytyxxtyxttyx )()(nininiinhH11221 )()()()()()(,111112111111211112121njinjinjijinjnjinjinjijinijinjjininjinjihHhHHtHt jijitHtHtHtH 1)1()1(1,1,)1)(1()1( njijinjijinjitHtHtHtH 1,)1( ,)1(2121 njijnjinjiinjitHtH 21,11,1,011,21, 121,021, 1)njinjijnjijnjijnjinjii

11、njiinjiiAAAAAA 7.47.4含時(shí)間薛定格方程的差分格式含時(shí)間薛定格方程的差分格式一、差分格式一、差分格式 iHVxit 22jnnjtiH)( 1111111112121 njjnjnjnjjnVhH )()(tHitHitiH 21211111jnnjtHitHi)( 2121111二、差分格式的進(jìn)一步改寫(xiě)二、差分格式的進(jìn)一步改寫(xiě)nntHi 112211jnnjtHi)( 2112njnjnj 11111112121 njjnjnjnjjnVhH )()(jnnjtHi)( 2112njnjjnjnjnjnjVtihti 22)2(2112 njnjnjjnjtihVhtih 21221422njnjnj 11 nj 三、邊界條件、初始條件和位勢(shì)函數(shù)三、邊界條件、初始條件和位勢(shì)函數(shù) 設(shè)設(shè)邊邊界界條條件件為為： 0|, 0|10 xx (7.34) 波波函函數(shù)數(shù)的的初初始始條條件件為為下下述述之之一一： a. 高高斯斯波波函函數(shù)數(shù)： xikxxtee0220/ )20ln()(0| (7.35) b.洛洛侖侖茲茲波波函函數(shù)數(shù)： xiktexx020220)(| (7.36) 位位勢(shì)勢(shì)函函數(shù)數(shù)取取為為下下述述之之一一： a a. .方方位位勢(shì)勢(shì) axxaxxVV000