數(shù)學(xué)建模-淋雨模型

1、淋雨量模型摘要步入雨季，降雨天氣逐漸開(kāi)始在人們的日常生活中頻繁出現(xiàn)起來(lái)，與此同 時(shí)，突如其來(lái)的雨水也常常帶給無(wú)準(zhǔn)備的人們淋成落湯雞的窘境。面對(duì)驟雨， 大多數(shù)人在通常情況下會(huì)選擇快速奔跑以希求淋雨最少。然而這樣真的能淋雨 最少嗎？以此日常情景為背景提出了四個(gè)問(wèn)題，本文運(yùn)用幾何知識(shí)、物理知識(shí) 等方法成功解決了這四個(gè)問(wèn)題，得到了在不同的降雨條件下人體在雨中奔跑時(shí) 淋雨多少與奔跑速度、降雨方向等因素的關(guān)系。并針對(duì)不同降雨條件給出了淋 雨量最少的方法。針對(duì)問(wèn)題一，條件給出：不考慮雨的方向，降雨淋遍全身；確定淋雨量為 人體外表積與單位面積降雨量及淋雨時(shí)間之積針對(duì)問(wèn)題二，根據(jù)條件雨從迎面吹來(lái)，雨線(xiàn)與跑步方向

2、在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為B，對(duì)雨線(xiàn)的速度分別沿水平、豎直方向正交分解，并綜合考慮人的速度與雨線(xiàn)速度的制約關(guān)系，建立模型，得出函數(shù)模型。并對(duì)函 數(shù)求導(dǎo)分析最小淋雨量對(duì)應(yīng)速度。針對(duì)問(wèn)題三，在雨從反面吹來(lái)，雨線(xiàn)方向跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人 體的夾角為a的條件下，對(duì)雨線(xiàn)的速度分別沿水平、豎直方向正交分解，并綜 合考慮人的速度與雨線(xiàn)速度的制約關(guān)系，建立模型，得出函數(shù)模型。并對(duì)函數(shù) 分析最小淋雨量對(duì)應(yīng)速度。以總淋雨量為縱軸，速度v為橫軸，對(duì)函數(shù)用 Excel作圖考慮a的影響，并解釋結(jié)果的實(shí)際意義。針對(duì)問(wèn)題四，綜合考慮前三種情況的共同作用，并基于前三種模型進(jìn)行修 正。最后，對(duì)所建立的模型和求解方法

3、的方法的優(yōu)缺點(diǎn)給出了客觀(guān)的評(píng)價(jià)，并 指出誤差所在。關(guān)鍵字： 淋雨量雨速大小 雨速方向 跑步速度 路程遠(yuǎn)近一、 問(wèn)題重述要在雨中從一處沿直線(xiàn)跑到另一處，假設(shè)雨速為常數(shù)且方向不變，試建立 數(shù)學(xué)模型討論是否跑得越快，淋雨量越少。將人體簡(jiǎn)化成一個(gè)長(zhǎng)方體，高a=1.5m頸部以下，寬b=0.5m，厚c=0.2m，設(shè)跑步的距離 d=1000m，跑步的最大速度 Vm=5m/s，雨速u(mài)=4m/s，降雨量3 =2cm/h，及跑步速度為v，按以下步驟進(jìn)行討論 :1、不考慮雨的方向，設(shè)降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估計(jì)跑完全 程的總淋雨量 ;2、雨從迎面吹來(lái)，雨線(xiàn)與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為 B，如圖1.

4、建立總淋雨量與速度 v及參數(shù)a， b，c，d，u， w，9之間的關(guān)系， 問(wèn)速度v多大，總淋雨里最少。計(jì)算B=0，9 =30。的總淋雨量. 3、雨從反面吹來(lái)，雨線(xiàn)方向跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角 為a，如圖2.建立總淋雨量與速度 v及參數(shù)a, b， c， d， u，3，a之間的關(guān)系,(4)、以總淋雨量為縱軸，速度 并解釋結(jié)果的實(shí)際意義V為橫軸，對(duì)3作圖考慮a的影響(5)、假設(shè)雨線(xiàn)方向跑步方向不在同一平面內(nèi)，模型會(huì)有什么變化?問(wèn)題分析淋雨量是指人在雨中行走時(shí)全身所接收到得雨的體積，可表示為單位時(shí)間單位 面積上淋雨的多少與接收雨的面積和淋雨時(shí)間的乘積?？傻茫毫苡炅縑=降雨量人體淋雨面積Sx淋

5、浴時(shí)間t時(shí)間t=跑步距離d寧人跑步速度v由 得： 淋雨量V=®x Sxd/v三、模型假設(shè)1、將人體簡(jiǎn)化成一個(gè)長(zhǎng)方體，高a=1.5m頸部以下，寬b=0.5m,厚c=0.2m. 設(shè)跑步距離d=100Om,跑步最大速度vm=5m/s,雨速u(mài)=4m/s,降雨量=2cm/h,記 跑步速度為V；2、假設(shè)降雨量到一定時(shí)間時(shí)，應(yīng)為定值；3、此人在雨中跑步應(yīng)為直線(xiàn)跑步；4、問(wèn)題中涉及的降雨量應(yīng)指天空降落到地面的雨，而不是人工，或者流失 的水量，因?yàn)樗梢灾庇^(guān)的表示降雨量的多少；四、定義與符號(hào)說(shuō)明淋雨量 降雨量 人體淋雨面積 淋浴時(shí)間 跑步距離 跑步速度人高 人寬 人厚3Stdvabc五、模型求解一、模

6、型I建立及求解：設(shè)不考慮雨的方向，降雨淋遍全身，那么淋雨面積:S = 2ab+2ac+bc雨中奔跑所用時(shí)間為：t=d/v總降雨量VSx d/v3 = 2cm/h=2x 10-2/3600 (m/s)將相關(guān)數(shù)據(jù)代入模型中，可解得：S= 2.2 5V= 0.00244446 (cm 3)=2.44446 (L)、模型U建立及求解：假設(shè)雨從迎面吹來(lái)，雨線(xiàn)與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為B .，那么淋雨 量只有兩局部：頂部淋雨量和前部淋雨量.如圖1S1* V設(shè)雨從迎面吹來(lái)時(shí)與人體夾角為.，且0 ° < <90°，建立a，b，c，d，u，之間的關(guān)系為：1、考慮前部

7、淋雨量：由圖可知雨速的水平分量為 u sin且方向與V相反，故 人相對(duì)于雨的水平速度為：u sin v那么前部單位時(shí)間單位面積淋雨量為：u sinv / u又因?yàn)榍安康牧苡昝娣e為：a b ,時(shí)間為：d/v 于是前部淋雨量V2為:V2 a b u sin v / u d/v即：V2 abd u sin v / u v2、考慮頂部淋雨量：由圖可知雨速在垂直方向只有向下的分量，且與v無(wú)關(guān),所以頂部單位時(shí)間單位面積淋雨量為cos ，頂部面積為b c ，淋雨時(shí)間為d/v ，于是頂部淋雨量為：Vi b c d cos /v由可算得總淋雨量：VVi V2 b c d cos / v abd u sin v

8、/ u v代入數(shù)據(jù)求得：V cos7.5s in1.875v1800 v由V v函數(shù)可知：總淋雨量V與人跑步的速度v以及雨線(xiàn)與人的夾角 兩者有關(guān)。對(duì)函數(shù)V v求導(dǎo)，得：cos 7.5 sin1800 v顯然：V <0,所以V為V的減函數(shù)，V隨v增大而減小因此，速度v=vm=5m/s，總淋雨量最小。I當(dāng)B =0,代入數(shù)據(jù)，解得：|7= 0.0011527778 m3" 1.153 LU當(dāng)B =30°,代入數(shù)據(jù)，解得：V = 0.0014025(m3)1.403 L且與人體的夾角為a那么淋雨三模型川建立及求解：假設(shè)雨從反面吹來(lái)，雨線(xiàn)方向與跑步方向在同一平面內(nèi), 量只有兩局

9、部：頂部淋雨量和后部淋雨量.如圖2設(shè)雨從背部吹來(lái)時(shí)與人體夾角為，且0°< < 90° ,建立a，b，c，d，u，之間的關(guān)系為：1、先考慮頂部淋雨量：當(dāng)雨從反面吹來(lái)，而對(duì)于人頂部的淋雨量V1，它與模型中一樣，雨速在垂直方向只有向下的分量，同理可得：V1 be cos d/v be d cos /v2、后部淋雨量：人相對(duì)于雨的水平速度為:u sin v，v u sin v u sin ，v u sinu sin v / u，v u sin從而可得，人背部單位時(shí)間單位面積淋雨量為:v u sin / u， v u sinV3 a b d u sin v /u，v u

10、sin可得人背部淋雨量為:V3 a b d v u sin /u，v u sin而總淋雨量：V=V1+ V3Vb cd cos /va b d(u sin v)/u , vu sin從而有.Vb cd cos /va b d(v usin )/u , vu sinVbdccosasin/va/u, vu sin化簡(jiǎn)式得：Vbdccosasin/va/u, vu sinV0.2cos1.5sin/v0.375 /360,vu sin代入相關(guān)數(shù)據(jù)化簡(jiǎn)得：V°.2cosj5sin/v0.375 /360,vu sin由V v)函數(shù)可知：總淋雨量V與人跑步的速度V以及雨線(xiàn)與人的夾角 兩者有關(guān)

11、。I、當(dāng) v u sin 時(shí)，且 0°v v 90°，可得：c cos a+ a sin a >0對(duì)式求導(dǎo)，易知V <0;所以，總淋雨量V隨著速度V的增加而減少,因此，v u sin總淋雨量最小。U、當(dāng)v >u sin a時(shí)，且0°Va< 90°,對(duì)式求導(dǎo),V 1.5si n 0.2cos 解得：(180 v)2(la- 0.2 cos a <0時(shí)，即：tan a <2/15,即V'<0;從而推出，總淋雨量V隨 著速度v的增加而減少，所以，速度v=vm，總淋雨量最小。V取最小,iia 0.2 cos a

12、>0時(shí)，即:tan a >2/15,即 V'>0;從而推出, 總淋雨量V隨著速度v的增加而增加，所以，當(dāng)速度 即v=u sin a總淋雨量最小。當(dāng)口 = 30°, tan a >2/15，由模型分析的，當(dāng) v=u sin a =4X 1/2=2m/s 總淋雨量最小，且 V=0.0002405 m3=0.2405(L) 四：根據(jù)問(wèn)題3中所求的降雨量然后對(duì)式子分別求導(dǎo)可以畫(huà)出如下的圖五：模型五簡(jiǎn)歷及求解當(dāng)雨線(xiàn)方向與跑步方向不在同一平面是，它又分為雨從前斜方后后斜方飄來(lái)1雨從前斜方飄來(lái)，設(shè)它與前面形成的夾角為a,與頂部形成的夾角為B,與側(cè)面形成的夾角為丫。方

13、法與二三模型的方法相同。前面的淋雨量V仁ab(u+u sin a ) 3 d/v;頂部的淋雨量為V2=bcu sin B 3 d/v;側(cè)面 的淋雨量為V3=acu sin 丫 3 d/v?？?的淋雨量就為 V=V1+V2+V3.(2)雨從后斜方飄來(lái)時(shí)，它與后面形成的夾角為a,與頂部形成的夾角為B,與側(cè)面 形成的夾角為丫。頂部和側(cè)面的淋雨量都不變，只有后面淋雨量與雨速與人的速度相 對(duì)關(guān)系有關(guān)。頂部的淋雨量為V1=bcu sind/v;側(cè)面的淋雨量為V2=acu sin 丫 3 d/v 。人相對(duì)于雨的水平速度為:u sin v，v u sin v u sin ，v u sinV3 a b d u sin v /u，v u sinV3 a b d v u sin / u， v u sin那么人的總淋雨量為V=V1+V2+V3六、模型分析1在該模型中考慮到雨的方向問(wèn)題，這個(gè)模型跟模型二相似，將模型二與模型三綜合起來(lái)跟實(shí)際的生活就差不多很相似了。由這三個(gè)模型可以得出在一定的速度下人跑的越快淋雨量就越少。2假設(shè)雨迎面吹來(lái)時(shí)，跑得越快越好3假設(shè)雨從反面吹來(lái)時(shí)，分為兩種情