角平分線的性質(zhì)2

1、12021/3/14復(fù)習(xí)提問復(fù)習(xí)提問1 1、角平分線的概念、角平分線的概念oBCA1222021/3/14練習(xí)1 如圖所示如圖所示:OD、OE分別是分別是AOB、 AOC的角平分線的角平分線,請問請問DOE多少度多少度?ABDCE32021/3/14尺規(guī)作圖尺規(guī)作圖: :作法作法: :1 1、以、以_ _ _為圓心為圓心, ,_長為半徑作圓弧長為半徑作圓弧, ,與角的兩邊分別交于與角的兩邊分別交于C C、D D兩點兩點; ;2 2、分別以分別以_為圓心為圓心, ,_的長為半徑的長為半徑作弧作弧, ,兩條圓弧交于兩條圓弧交于AOBAOB內(nèi)一點內(nèi)一點_; ;3 3、作射線、作射線_; ;_就是所求

2、作的射線。就是所求作的射線。點點O O適當適當C、D超過超過CDCD一半一半EOEOE42021/3/14為什么為什么OCOC是角平分線呢是角平分線呢? ? 想一想想一想:已知已知: :OM=ONOM=ON, ,MC=NCMC=NC。求證求證: :OCOC平分平分AOBAOB。證明證明: :在在OMCOMC和和ONCONC中中, , OM=ONOM=ON, , MC=NCMC=NC, , OC=OCOC=OC, , OMC OMC ONCONC MOC=NOC MOC=NOC 即即: :OCOC平分平分AOBAOB52021/3/141、尺規(guī)作圖作的、尺規(guī)作圖作的 平分線方法如下平分線方法如下

3、:以以O(shè)為圓心為圓心,任意長為半徑畫弧交任意長為半徑畫弧交OA、OB于于C、D,再分別以點再分別以點C、D為圓心為圓心,以大于以大于 長為半徑畫弧長為半徑畫弧,兩弧交于點兩弧交于點P,作射作射線線OP,由作法得的根據(jù)是（由作法得的根據(jù)是（ ）ASAS BASA CAAS DSSSAOB12CDODPCAB62021/3/141 1平分平角平分平角AOBAOB2 2通過上面的步驟通過上面的步驟, ,得到射線得到射線OCOC以后以后, ,把把它反向延長得到直線它反向延長得到直線CDCD, ,直線直線CDCD與直線與直線ABAB是什么關(guān)系是什么關(guān)系? ? 3 3結(jié)論結(jié)論: :作平角的平分線即可平分平

4、角作平角的平分線即可平分平角, ,由此也得到由此也得到過直線外一點作這條直線的垂過直線外一點作這條直線的垂線的方法。線的方法?；罨?動動1ABOCD72021/3/14復(fù)習(xí)提問復(fù)習(xí)提問 2 2、點到直線距離、點到直線距離: :從直線外一點從直線外一點到這條直線的垂線段到這條直線的垂線段的的長度長度,叫做叫做點到直線的距離。點到直線的距離。OPAB線段的線段的長度長度82021/3/14ABOAOEBCPD 將將 AOBAOB對折對折, ,再折出一個直角三角形再折出一個直角三角形( (使第一條折痕為斜邊使第一條折痕為斜邊),),然后展開然后展開, ,觀察兩次折疊形成的三條折痕觀察兩次折疊形成的三

5、條折痕, ,你能得出什么結(jié)論你能得出什么結(jié)論? ? 可以看一看可以看一看, ,第一條折痕是第一條折痕是AOBAOB的平分線的平分線OC,OC,第二次折疊第二次折疊形成的兩條折痕形成的兩條折痕PD,PEPD,PE是角的平分線上一點到是角的平分線上一點到AOBAOB兩邊的距兩邊的距離離, ,這兩個距離相等這兩個距離相等. .折一折折一折角平分線的性質(zhì)角平分線的性質(zhì)活活 動動292021/3/14探究角平分線的性質(zhì)探究角平分線的性質(zhì) (1)實驗實驗:畫一個畫一個AOB,用尺規(guī)作出用尺規(guī)作出AOB的平分的平分線線OP,過過P作作PD OA,PE OB問題問題:比較比較PD和和PE 的大小關(guān)系（量一量）

6、。的大小關(guān)系（量一量）。 PD=PE 再換一個新的位置看看情況會怎樣再換一個新的位置看看情況會怎樣?活活 動動3(2)(2)猜想猜想: : 角的平分線上的角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等點到角的兩邊的距離相等. .P PA AOOB BC CE EDD102021/3/14證明證明:OC平分平分 AOB （已知）（已知） 1= 2（角平分線的定義）（角平分線的定義） PD OA,PE OB（已知）（已知） PDO= PEO（垂直的定義）（垂直的定義） 在在PDO和和PEO中中 PDO= PEO（已證）（已證） 1= 2 （已證）（已證） OP=OP （公共邊）（公共邊） PDO PEO（A

7、AS） PD=PE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）（全等三角形的對應(yīng)邊相等） P PA AOOB BC CE EDD12已知已知: :如圖如圖, ,OCOC平分平分AOBAOB, ,點點P P在在OCOC上上, ,PDPDOAOA于點于點DD, ,PEOBPEOB于點于點E E求證求證: PD=PE: PD=PE(3)驗證驗證猜想猜想角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.已知已知“一個點在一個角的平分線上一個點在一個角的平分線上”。結(jié)論為。結(jié)論為“這個點到這個角兩邊得距離相等這個點到這個角兩邊得距離相等”112021/3/14得到得到角平角平分線的性分線的性質(zhì)質(zhì):

8、 利用此性質(zhì)利用此性質(zhì)怎樣書寫推理過怎樣書寫推理過程程? 1= 2, PD OA， PE OB（已知）（已知）PD=PE（角平分（角平分線的性質(zhì)）線的性質(zhì)）P PA AOOB BC CE EDD12歸納歸納: 如圖如圖,AD平分平分BAC（已知）（已知） = ,( ) 在角的平分線上的點到這在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。個角的兩邊的距離相等。ADCBBD CD（）132021/3/14 如圖如圖, DCAC,DBAB （已知）（已知） = ,( ) 在角的平分線上的點到這在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。個角的兩邊的距離相等。ADCBBD CD（）142021/3/14

9、 AD平分平分BAC, DCAC,DBAB （已知）（已知） = ,（ ） DBDC在角的平分線上的點到這個在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。角的兩邊的距離相等。ADCB不必再證全等不必再證全等152021/3/14,1 1、在、在RtRtABCABC中，中，BDBD是角平分線，是角平分線，DEABDEAB，垂足為垂足為E E，DEDE與與DCDC相等嗎？為什么？相等嗎？為什么？ ABCDE 2 2、如圖、如圖,OC,OC是是AOBAOB的平分線的平分線, ,點點P P在在OCOC上上,PD ,PD OA,PEOB,OA,PEOB,垂足分別是垂足分別是DD、E,PD=4cm,E,PD

10、=4cm,則則PE=_cm.PE=_cm.ADOBEPC162021/3/14 在在OAB中中,OE是它的角平分線是它的角平分線,且且EA=EB,EC、ED分別垂直分別垂直O(jiān)A,OB,垂足為垂足為C,D.求證求證:AC=BD.O OA AB BE EC CD D172021/3/14 在在ABC中中, C=90 ,AD為為BAC的的平分線平分線,DEAB,BC7,DE3.求求BD的長。的長。EDCBA182021/3/141 1、如圖、如圖（1） , ,在在ABCABC中中,C=90C=90, ,DEABDEAB,1=21=2, ,且且AC=6cmAC=6cm, ,那么那么線段線段BEBE是是

11、ABCABC的的 , ,AE+DE=AE+DE=。2 2、如圖、如圖（2） , ,在在ABCABC中中,C=90C=90, ,AC=BCAC=BC, ,ADAD平平分分CAB,并交并交BC于于D, DEAB于點于點E,若若AB=8CM,求求DEB的周長的周長?ABC（1）（2）DE192021/3/14 如圖,要在S區(qū)建一個貿(mào)易市場,使它到鐵路和公路距離相等, 離公路與鐵路交叉處500米,這個集貿(mào)市場應(yīng)建在何處?（比例尺為120000）解決問題S公路公路鐵路鐵路202021/3/14200001DCs公路公路鐵路鐵路O500X解解: 設(shè)設(shè)OD=Xm 則由題得則由題得 = 解解得得x=0.025

12、m 即即OD=2.5cm 作夾角的角平分線作夾角的角平分線OC,截取截取 OD=2.5cm ,D即為所求。即為所求。212021/3/14 反過來反過來, ,到一個角的兩邊的距離相等的點到一個角的兩邊的距離相等的點是否一定在這個角的平分線上呢是否一定在這個角的平分線上呢? ? 已知:如圖,QDOA,QEOB,點D、E為垂足,QDQE求證:點Q在AOB的平分線上222021/3/14證明證明: QDOA,QEOB（已知）（已知）, QDOQEO90（垂直的定義）（垂直的定義）在在RtQDO和和RtQEO中中 QOQO（公共邊）（公共邊） QD=QE RtQDO RtQEO（HL） QODQOE

13、點Q在AOB的平分線上已知:如圖,QDOA,QEOB,點D、E為垂足,QDQE求證:點Q在AOB的平分線上232021/3/14判定判定:到角的兩邊的距離相等到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上。的點在角的平分線上。 QDOA,QEOB,QDQE點Q在AOB的平分線上用數(shù)學(xué)語言表示為:242021/3/14例例: :如圖如圖, ,ABCABC的角平分線的角平分線BMBM、CNCN相交于點相交于點P.P.求證求證: :點點P P到三邊到三邊ABAB、BCBC、CACA的距離相等的距離相等. .證明證明:過點過點P作作PD 、PE、PF分別分別垂直于垂直于AB、BC、CA,垂足垂足為為D、E、F

14、 BM是是ABC的角平分線的角平分線,點點P在在BM上上 PD=PE（在角平分線上的點到角的兩邊的距離相等）在角平分線上的點到角的兩邊的距離相等） 同理同理 PE=PF. PD=PE=PF. 即點即點P到邊到邊AB、BC、 CA的距離相等的距離相等ABCMNPDEF怎樣找三角形內(nèi)到三角形三邊距離相等的點怎樣找三角形內(nèi)到三角形三邊距離相等的點? ?252021/3/14練習(xí)練習(xí):如圖如圖,的的的外角的平分線的外角的平分線與與的外角的平分線相交于點的外角的平分線相交于點求證求證:點到三邊點到三邊,所在直線的距離所在直線的距離相等相等F FGH更上一層樓更上一層樓!262021/3/14利用結(jié)論,解決問題練一練 1、如圖,為了促進當?shù)芈糜伟l(fā)展,某地要在三條公路圍成的一塊平地上修建一個度假村.要使這個度假村到三條公路的距離相等,應(yīng)在何處修建?想一想 在確定度假村的位置時,一定要畫出三個角的平分線嗎?你是怎樣思考的?你是如何證明的?272021/3/14拓展與延伸2、直線表示三條相互交叉的公路,現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站,要求它到三條公路的距離相等,則可供選擇的地址有:( ) A.一處 B. 兩處 C.三處 D.四處分析:由于沒有限制在何處選址,故要求的地址共有四處。282021/3/14拓展與延伸3、已知:BDA