最大值和最小值定理

1、最大值和最小值定理定理定理1(1(最大值和最小值定理最大值和最小值定理) ) 在閉區(qū)間上連續(xù)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值的函數(shù)一定有最大值和最小值. .ab2 1 xyo)(xfy ).()(),()(,)(2121xffxffbaxbabaCxf 有有使得使得則則若若注意注意: :1.若區(qū)間是開區(qū)間若區(qū)間是開區(qū)間, 定理不一定成立定理不一定成立; 2.若區(qū)間內有間斷點若區(qū)間內有間斷點, 定理不一定成立定理不一定成立.xyo)(xfy 211xyo2 )(xfy 定理定理2(2(有界性定理有界性定理) ) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界在該區(qū)間上有界

2、. .證證,)(上上連連續(xù)續(xù)在在設設函函數(shù)數(shù)baxf,bax ,)(Mxfm 有有,maxMmK 取取.)(Kxf 則有則有.,)(上上有有界界在在函函數(shù)數(shù)baxf二、介值定理二、介值定理定定理理 3 3( (零零點點定定理理) ) 設設函函數(shù)數(shù))(xf在在閉閉區(qū)區(qū)間間 ba,上上連連續(xù)續(xù)，且且)(af與與)(bf異異號號( (即即0)()( bfaf) ), ,那那末末在在開開區(qū)區(qū)間間 ba,內內至至少少有有函函數(shù)數(shù))(xf的的一一個個零零點點, ,即即至至少少有有一一點點 )(ba ，使使0)( f. .定義定義: :.)(, 0)(000的的零零點點稱稱為為函函數(shù)數(shù)則則使使如如果果xfx

3、xfx .),(0)(內內至至少少存存在在一一個個實實根根在在即即方方程程baxf ab3 2 1 幾何解釋幾何解釋:.,)(軸軸至至少少有有一一個個交交點點線線弧弧與與則則曲曲軸軸的的不不同同側側端端點點位位于于的的兩兩個個連連續(xù)續(xù)曲曲線線弧弧xxxfy 定理定理 4(4(介值定理介值定理) ) 設函數(shù)設函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間 ba,上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點取不同的函數(shù)值上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點取不同的函數(shù)值 Aaf )( 及及 Bbf )(, ,那末，對于那末，對于A與與B之間的任意一個數(shù)之間的任意一個數(shù)C，在開區(qū)間，在開區(qū)間 ba,內至少有一點內至少有一點 ，使得，使得Cf )(

4、)(ba . .xyo)(xfy 幾何解釋幾何解釋:MBCAmab1 2 3 2x1xxyo)(xfy 證證,)()(Cxfx 設設,)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則bax Cafa )()( 且且,CA Cbfb )()( ,CB , 0)()( ba 由零點定理由零點定理,使使),(ba , 0)( , 0)()( Cf 即即.)(Cf .)(至少有一個交點至少有一個交點直線直線與水平與水平連續(xù)曲線弧連續(xù)曲線弧Cyxfy 推論推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值值 與最小值與最小值 之間的任何值之間的任何值. .例例1 1.)1 , 0(01423至至少少有

5、有一一根根內內在在區(qū)區(qū)間間證證明明方方程程 xx證證, 14)(23 xxxf令令,1 , 0)(上上連連續(xù)續(xù)在在則則xf, 01)0( f又又, 02)1( f由零點定理由零點定理,使使),(ba , 0)( f, 01423 即即.)1 , 0(01423 內至少有一根內至少有一根在在方程方程 xxMm例例2 2.)(),(.)(,)(,)( fbabbfaafbaxf使得使得證明證明且且上連續(xù)上連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間設函數(shù)設函數(shù)證證,)()(xxfxF 令令,)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則baxFaafaF )()(而而, 0 由零點定理由零點定理,使使),(ba , 0)()( fFbbfbF )

6、()(, 0 .)( f即即三、小結三、小結四個定理四個定理有界性定理有界性定理;最值定理最值定理;介值定理介值定理;根的存在性定理根的存在性定理.注意注意1閉區(qū)間；閉區(qū)間； 2連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)這兩點不滿足上述定理不一定成立這兩點不滿足上述定理不一定成立解題思路解題思路1.1.直接法直接法:先利用最值定理先利用最值定理,再利用介值定理再利用介值定理;2.2.輔助函數(shù)法輔助函數(shù)法: :先作輔助函數(shù)先作輔助函數(shù)F(x),再利用零點定理再利用零點定理;思考題思考題下述命題是否正確？下述命題是否正確？ 如如果果)(xf在在,ba上上有有定定義義，在在),(ba內內連連續(xù)續(xù)，且且0)()( bfaf，那那么么)(xf在在),(ba內內必必有有零零點點.思考題解答思考題解答不正確不正確.例函數(shù)例函數(shù) 0, 210,)(xxexf)(xf在在)1 , 0(內內連連續(xù)續(xù),. 02)1()0( ef但但)(xf在在)1 , 0(內內無無零零點點.一、一、 證明方程證明方程bxax sin，其中，其中0,0 ba，至，至少有一個正根，并且它不超過少有一個正根，并且它不超過ba . .二、二、 若若)(xf在在,ba上連續(xù)，上連續(xù)，bxxxan 21 則在則在,1nxx上必有上必有 ，使，使 nxfxfxfxfn)(.)()()(21