十三世紀(jì)西歐數(shù)學(xué)百科全書(shū)斐波那契的計(jì)算書(shū)

1、 十三世紀(jì)西歐數(shù)學(xué)百科全書(shū)：斐波那契的計(jì)算書(shū) 洪萬(wàn)生 臺(tái)灣師範(fàn)大學(xué)數(shù)學(xué)系一、八百歲的數(shù)學(xué)經(jīng)典斐波那契 (Fibonacci) 的 Liber Abaci（計(jì)算書(shū)，1202）到今年 (2002) 已經(jīng)滿八百歲了。除了義大利的數(shù)學(xué)史家為了它舉辦一個(gè)紀(jì)念研討會(huì)之外，最有價(jià)值的慶祝方式，莫過(guò)於本書(shū)英文譯本的問(wèn)世：西格勒 (Laurence E. Sigler) 的 Fibonaccis Liber Abaci: A Translation into Modern English of Leonaardo Pisanos Book of Calculation。德國(guó)Springer 出版公司選在今年出版

2、，實(shí)在是國(guó)際數(shù)學(xué)史界的一大盛事，它讓我們得以貼近這一珍貴的數(shù)學(xué)典籍，我們必須大大地頌揚(yáng)譯者的貢獻(xiàn)。西格勒最近棄世，不及見(jiàn)到本書(shū)誕生，或許不無(wú)遺憾。然而，本書(shū)以及他在1987年所出版斐波那契的論平方數(shù)之書(shū)(Liber quadratorum, The Book of Squares) 英譯，卻是我們重建十三世紀(jì)西歐數(shù)學(xué)史，不可或缺的憑藉。本書(shū)的名銜，一直都被誤解為討論算盤(pán)的書(shū)籍。誠(chéng)然，它直譯成英文，就是 “Book on Abacus”，從而譯成中文，就成了不折不扣的算盤(pán)書(shū)了。不過(guò)，由於 “abacus” 的前身 “abaci” 在十三世紀(jì)拉丁世界中很弔詭地是指不利用算盤(pán)的一種計(jì)算方法。這可以解

3、釋何以當(dāng)時(shí)的 “maestro dabbaco” 一詞，是指直接利用印度數(shù)碼而非算盤(pán)來(lái)從事計(jì)算的師傅。從而，在十三世紀(jì)之後的義大利各個(gè)商港城邦內(nèi)，“school of abaco” 也就是由前述師傅傳授這種計(jì)算技藝的專(zhuān)門(mén)學(xué)校了。因此，西格勒建議本書(shū)的書(shū)名，應(yīng)該譯成計(jì)算書(shū)(Book of Calculation) 才是。其實(shí)，這是一本介紹印度 - 阿拉伯?dāng)?shù)碼及其（運(yùn)用筆算的）演算法則 (algorithm)，其中根本看不到算盤(pán)之類(lèi)的計(jì)算器。我們不妨求證於本書(shū)第一章開(kāi)宗明義的頭兩句話：九個(gè)印度數(shù)字為：9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1。就像下文將要演示的，任意數(shù)目，都可以利用這些以

4、及（阿拉伯人稱(chēng)作 “zephir” 的記號(hào)）0寫(xiě)出來(lái)。還有，如果讀者有機(jī)會(huì)細(xì)按本書(shū)內(nèi)容，就可以得知它是一部有關(guān)十三世紀(jì)算術(shù)、代數(shù)與解題的百科全書(shū)。它在十三世紀(jì)西歐數(shù)學(xué)史上的意義，當(dāng)然遠(yuǎn)遠(yuǎn)地超過(guò)所謂斐波那契數(shù)列 (Fibonacci sequence) 之盛名。後者在數(shù)學(xué)普及書(shū)籍中的廣為傳頌，雖然讓斐波那契聲名大噪，但是，相形之下，十三世紀(jì)的西歐數(shù)學(xué)面貌，卻始終藏在長(zhǎng)夜漫漫的中世紀(jì)世界之中，無(wú)法現(xiàn)身提醒我們它與近代（十六、七世紀(jì)）西方數(shù)學(xué)的連結(jié)。二、斐波那契的生平在我們簡(jiǎn)介斐波那契十分有限的生平事蹟之前，我們必須針對(duì)他的名字做一點(diǎn)說(shuō)明。其實(shí)，斐波那契一直都不是斐波那契。他於1170年生於比薩，在

5、他的著作花朵 (Flos, 1225) 中，他自稱(chēng)為L(zhǎng)eonardo Pisano Bigollo。沒(méi)有任何直接證據(jù)顯示他的正式名稱(chēng)與斐波那契這個(gè)名字有關(guān)。以 “Fibonacci”（斐波那契）代替 “Leonardo Pisano”，似乎始自1838年的義大利數(shù)學(xué)史家利柏力 (Guillaume Libri)，此後便約定俗成，沿用至今。 我們對(duì)斐波那契所知非常有限，在本書(shū)中他獻(xiàn)給哲學(xué)家史考特 (Michael Scott) 一段文字中，斐波那契給了我們一段簡(jiǎn)短的自傳： 在我的父親被祖國(guó)比薩派任到布吉亞 (Bugia) 的海關(guān)、為常常到那裡的比薩商人辦事時(shí)，我跟隨他到了那兒。父親要我學(xué)習(xí)印度

6、- 阿拉伯?dāng)?shù)碼及其演算。我非常沉迷於學(xué)習(xí)，以致於後來(lái)當(dāng)我商務(wù)旅行至埃及、敘利亞、希臘、西西里和普羅旺斯等地時(shí)，我仍持續(xù)地研讀數(shù)學(xué)，並與各地學(xué)者討論和爭(zhēng)辯。回到比薩後，我以十五章的篇幅寫(xiě)成了此書(shū)。這本書(shū)裡包含了印度、阿拉伯和希臘數(shù)學(xué)中我所認(rèn)為最好的方法。我也放進(jìn)了證明，以便讓讀者和義大利人民有更進(jìn)一步的了解。如果我偶而多少疏忽了任何適當(dāng)或必要的事情，我懇求您的寬恕，因?yàn)闆](méi)有人能無(wú)過(guò)失、並在所有事物上都考慮周詳。 事實(shí)上，斐波那契回到比薩之後，任教于比薩大學(xué)，並成為神聖羅馬皇帝費(fèi)特烈二世 (Frederick II) 宮廷的?？?。史家都認(rèn)為他的論平方數(shù)之書(shū)就是在這個(gè)背景下寫(xiě)成的。而它也充分反映此一

7、宮廷的知識(shí)雅好，堪稱(chēng)是中世紀(jì)歐洲統(tǒng)治階層的奇蹟。三、計(jì)算書(shū)的內(nèi)容簡(jiǎn)介 現(xiàn)在，我們就參考西格勒為本書(shū)英譯所寫(xiě)的導(dǎo)論，來(lái)簡(jiǎn)介本書(shū)的內(nèi)容。本書(shū)共有十五章，其章名如下：1. 第一章由此開(kāi)始（有6頁(yè)）2. 論整數(shù)之乘法（有16頁(yè)）3. 論整數(shù)之加法（有6頁(yè)）4. 論從大數(shù)減去小數(shù)（有4頁(yè)）5. 論整數(shù)之除法（有28頁(yè)）6. 論整數(shù)與分?jǐn)?shù)之乘法（有21頁(yè)）7. 論數(shù)目與分?jǐn)?shù)加、減、除以及化簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)成為單位分?jǐn)?shù)（有28頁(yè)）8. 論利用主要方法（按即比例法）尋找商品的價(jià)值（有52頁(yè)）9. 論商品與類(lèi)似物件的交換（有34頁(yè)）10. 論公司及其股東 (On Companies and Their Members)（

8、有14頁(yè)）11. 論貨幣之成色（有32頁(yè)）12. 第十二章由此開(kāi)始（有188頁(yè)）13. 論雙設(shè)法(elchataym) 以及如何利用它解決幾乎所有的數(shù)學(xué)問(wèn)題（有42頁(yè)）14. 論平方、立方根的求法以及它們的乘、除、減，論二項(xiàng)線 (binomial)、餘線(apotome) 及其根的處理（有42頁(yè)）15. 論相關(guān)的幾何法則、代數(shù) (Algebra) 與對(duì)消 (Almuchabala) 的問(wèn)題（有86頁(yè)）從這一份內(nèi)容看來(lái)十分蕪雜的目錄來(lái)看，我們很容易將本書(shū)歸類(lèi)為商用算術(shù)書(shū)。事實(shí)上，在本書(shū)前七章非常仔細(xì)地介紹了整數(shù)、分?jǐn)?shù)與小數(shù)的加、減、乘、除之筆算法則（尤其是現(xiàn)代人所熟悉的直式演算）之後，緊接著，在

9、第8，9，10，11章中，就舉例說(shuō)明它們?cè)谏虡I(yè)貿(mào)易方面的應(yīng)用，至於計(jì)算則主要利用後來(lái)稱(chēng)為三率法的比例方法，充分地反映了十三世紀(jì)西歐數(shù)學(xué)與地中海地區(qū)商業(yè)活動(dòng)之間的密切關(guān)聯(lián)，因此，本書(shū)所介紹譬如該地區(qū)、回教世界乃至於拜占庭帝國(guó)的各種度量衡制度與不同的貨幣系統(tǒng)，乃至各色各樣商品的流動(dòng)，都見(jiàn)證了當(dāng)時(shí)的社會(huì)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)，對(duì)於有意了解近代西歐重商主義如何興起的人來(lái)說(shuō)，絕對(duì)是不容錯(cuò)過(guò)的第一手文本。然而，對(duì)於數(shù)學(xué)家或數(shù)學(xué)史家來(lái)說(shuō)，本書(shū)最有吸引力的內(nèi)容，似乎是第12-15章了。也正是因?yàn)檫@四章的論述以及他的論平方數(shù)之書(shū)，斐波那契才被推許為十三世紀(jì)西歐的偉大數(shù)學(xué)家。事實(shí)上，在這四章中，斐波那契撰述時(shí)理論與應(yīng)用兩個(gè)面向

10、兼?zhèn)?，尤其在引進(jìn)阿爾花拉子摩 (al-Khwarizmi) 的代數(shù)學(xué)時(shí)，也保留了它相當(dāng)嚴(yán)密的幾何證明或演示 (geometric demonstration)，在一千年沉寂的中世紀(jì)歐洲數(shù)學(xué)史中，這的確是非常難得的貢獻(xiàn)，我們將在下文中多做說(shuō)明。四、多姿多采的第12章按照順序，當(dāng)然先談第12章，不過(guò)，從數(shù)學(xué)知識(shí)的循序漸進(jìn)來(lái)看，本章卻也是第13章全面探討代數(shù)學(xué)之必備。其實(shí)，本章所介紹單設(shè)法(method of single false position) 這種實(shí)質(zhì)上的算術(shù)方法，用以解形如 Ax = B 之類(lèi)的一次方程。按這種方法老早出現(xiàn)於古埃及的紙草文件，不過(guò)，斐波那契應(yīng)該是得自阿拉伯才是。此外，作

11、者還進(jìn)一步介紹他所謂的直接法(direct method)，顯然，這是相對(duì)於前述間接的虛設(shè)法(method of false position) 來(lái)說(shuō)的。以是，直接法當(dāng)然就意指直接解一次方程了，而他正是藉此引進(jìn)阿爾花拉子摩代數(shù)學(xué)了。至於雙設(shè)法(method of double false position) 則被安排在第13章，用以解形如 Ax +B = C 的一次方程。由此看來(lái)，斐波那契安排這兩章作為從算術(shù)到代數(shù)之過(guò)渡，也就不言可喻了。事實(shí)上，斐波那契之道不孤：在將近七百年之後，中國(guó)清代算學(xué)家華蘅芳 (1833-1902) 在他的學(xué)算筆談(1882) 中，安排一章介紹中國(guó)版的雙設(shè)法盈不足術(shù)，

12、作為銜接算術(shù)與中國(guó)天元術(shù)、西方代數(shù)學(xué)的預(yù)備。不過(guò)，這是另一個(gè)話題，我們?cè)诖藷o(wú)法多談。由於第13、15章主要介紹代數(shù)學(xué)，所以，斐波那契也將一些各色各樣的數(shù)學(xué)雜題，收納在第12章之中，或許正因?yàn)槿绱?，本章成為全?shū)最多篇幅的一章（多達(dá)188頁(yè)，比次多的第15章多了102頁(yè)，其他各章則頂多52頁(yè)（第8章）、少則4頁(yè)）。除了上述的單設(shè)法（本章第7節(jié)）之外，本章的其他各節(jié)內(nèi)容還包括了：(1) 級(jí)數(shù)求和及其他類(lèi)題，(2) 四率法，(3) 樹(shù)高及其類(lèi)題，(4) 拾獲小錢(qián)包問(wèn)題，(5) 購(gòu)馬問(wèn)題，(6) 行旅商人賺前與花錢(qián)問(wèn)題，(8) 占卜問(wèn)題，(9) 棋盤(pán)格倍方有關(guān)的2之冪和問(wèn)題。其中最有名的單元，當(dāng)然收入第

13、7節(jié)的兔子（繁殖）問(wèn)題，這也就是今天所謂的斐波那契數(shù)列1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377的濫觴。然而，更值得我們注意的，則是第8節(jié)的占卜問(wèn)題，它與中國(guó)剩餘定理(Chinese Remainder Theorem) 的若合符節(jié)，真是令人驚豔的巧合。我們就在下一節(jié)中做個(gè)簡(jiǎn)單說(shuō)明。五、占卜 vs. 物不知數(shù)：誰(shuí)最早發(fā)明？在這一類(lèi)所謂的占卜(divination) 題目中，斐波那契以下列問(wèn)題作為開(kāi)場(chǎng)白：某人記得某數(shù)而不言宣，他希望你猜得出來(lái)！其中第四題如下：他以3，5，7除這個(gè)選定的數(shù)，而且你永遠(yuǎn)可以問(wèn)他各個(gè)除法的餘數(shù)多少。對(duì)於每一個(gè)除以3

14、餘數(shù)為 1的數(shù)，請(qǐng)你記住70；對(duì)於每一個(gè)除以5餘數(shù)為 1的數(shù)，請(qǐng)你記住21；對(duì)於每一個(gè)除以7餘數(shù)為 1的數(shù)，請(qǐng)你記住15。而且只當(dāng)總數(shù)超過(guò)105時(shí)，你就把105扔掉，剩下來(lái)的就是他一開(kāi)始所選定的數(shù)。例如說(shuō)吧，在除以3而餘數(shù)2時(shí)，你要記住兩倍70，也就是140；由此你拿走105的話，就會(huì)有35留給你。而在除以5而餘數(shù)3時(shí)，你要記住三倍21，也就是63，此數(shù)加到前述35，將得到98。在除以7而餘數(shù)4時(shí)，你要記住四倍15，也就是60，此數(shù)加到前述98，將得到158。最後，從158你扔掉105，所剩下來(lái)的53將是所選定的數(shù)。一個(gè)更巧妙的占卜將可由此方法引出，這也就是說(shuō)，利用此法，如果任何人私下選定某數(shù)

15、，那麼，你只要問(wèn)他這個(gè)數(shù)按順序除以3，5，7之後的餘數(shù)，基於前述的理由，而且你可以得知某數(shù)究竟多少了。這個(gè)問(wèn)題及其解法，實(shí)質(zhì)上恰恰就是中國(guó)剩餘定理的翻版。在中國(guó)數(shù)學(xué)史上，最早出現(xiàn)此一問(wèn)題的算書(shū)，是南北朝時(shí)代的孫子算經(jīng)，不過(guò)，本書(shū)今存最早文本為南宋版 (1213年或稍後)，因此，我們目前還很難斷定其中的物不知數(shù)題是數(shù)學(xué)史上相關(guān)主題最早的例證。無(wú)論如何，請(qǐng)參考物不知數(shù)題：今有物，不知其數(shù)，三、三數(shù)之賸二，五、五數(shù)之賸三，七、七數(shù)之賸二，問(wèn)物幾何？答曰：二十三。術(shù)曰：三、三數(shù)之賸二，置一百四十；五、五數(shù)之賸三，置六十三；七、七數(shù)之賸二，置三十。併之，得二百二十三，以二百一十減之，即得。凡三、三數(shù)之賸

16、一，則置七十；五、五數(shù)之賸一，則置二十一；七、七數(shù)之賸一，則置十五。一百六以上，以一百五減之，即得。只要細(xì)看一下，就一定可以相信占卜題與物不知數(shù)題名異而實(shí)同。事實(shí)上，它們兩者題型一樣、解法實(shí)質(zhì)相同，甚至於解題策略也相當(dāng)一致套一句數(shù)學(xué)教育的專(zhuān)門(mén)術(shù)語(yǔ)，兩者都是典範(fàn)例 (generic example)。所不同的，是除以7的餘數(shù)以及連帶形成的答案。因此，斐波那契與孫子當(dāng)然可能人同此心、心同此理；他們?cè)诓煌纳鐣?huì)文化脈絡(luò)中，面對(duì)了類(lèi)似的數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而各自發(fā)展出本質(zhì)一致的數(shù)學(xué)方法，而成為數(shù)學(xué)史上的多元發(fā)現(xiàn)(multiple discoveries) 之重要例證。另一方面，計(jì)算書(shū)第1 3章所介紹的雙設(shè)法，

17、則不僅是漢代九章算術(shù)第七章盈不足術(shù)的內(nèi)容，同時(shí)，它在西漢呂后二年（公元前186年）的竹簡(jiǎn)算數(shù)書(shū)中早已出現(xiàn)，其中甚至還用以求的近似值。按九章算術(shù)現(xiàn)存最早版本也是南宋刊本（公元1213年或稍後），但是，此一文本卻不包括第六九章，目前倖存的第七章版本則出自明代永樂(lè)大典。以目前僅見(jiàn)的世界數(shù)學(xué)典籍來(lái)看，雙設(shè)法最早現(xiàn)身於中國(guó)，距今最少2188年。不過(guò)，計(jì)算書(shū)中的雙設(shè)法，則來(lái)自阿拉伯的elchataym，我們留待下一節(jié)再做討論。六、阿拉伯的Elchataym法與代數(shù)正如上述，計(jì)算書(shū)的第13章介紹阿拉伯人的Elchayam法，亦即雙設(shè)法或雙虛位法，用以解型如 Ax+B = C 的一次方程。非常值得注意的現(xiàn)象，

18、是本章的題型也非常類(lèi)似中國(guó)九章算術(shù)第七章盈不足術(shù)，亦即它也包括了兩盈、兩不足、以及一盈一不足等三種情況。茲舉本章一盈一不足例題加以說(shuō)明：有某一工人每月工資7個(gè)金幣，但是如果他不上工，則必須每月付給工頭4個(gè)金幣?，F(xiàn)在，他上工情況不詳，但在某月底時(shí)從工頭處領(lǐng)到工資1個(gè)金幣，求他在該月所工作的天數(shù)。斐波那契的解法簡(jiǎn)述如下：假設(shè)他本月上工20天，其餘10天不工作，則本月他可得工資(2/3)×7金幣。然而，由於他有10天不上工，他必須付給工頭 (1/3)×4金幣，兩者差額是10/3金幣。這較之他的工資所得1個(gè)金幣，在這第一個(gè)假設(shè)或虛位中，（第一）誤差有2+(1/3) 個(gè)金幣。如果他只

19、上工15天，另15天不工作，則他可得工資 (1/2)×7個(gè)金幣，但是卻必須付給工頭 (1/2)×42個(gè)金幣，兩者差額是 1+(1/2)個(gè)金幣，這較之他的工資所得1個(gè)金幣，在這第二個(gè)假設(shè)或虛位中，（第二）誤差有1/2 個(gè)金幣?，F(xiàn)在，將第一誤差乘以第二虛位，得35天；將第二誤差乘以第一虛位，得20天。天數(shù)相減得15天，除以?xún)蓚€(gè)誤差的差額 11/6，得13+(7/11) 天為他本月的工作日，而不上工的天數(shù)則為 16+(4/11) 天。他還特別提醒讀者說(shuō)：仿此（亦即利用elchataym法），你可以解出本書(shū)第11章的所有問(wèn)題。附帶一提，對(duì)比此一解法與九章算術(shù)盈不足術(shù)，我們也可以看出

20、比較史學(xué)方法論層面上的趣味。不過(guò)，限於篇幅此處也不打算贅言。在第15章中，斐波那契主要處理二次方程，其方式與阿爾花拉子摩大同小異。譬如說(shuō)吧，正如阿爾花拉子摩，他也將二次方程分為六類(lèi)（為了避免係數(shù)為負(fù)）：，其中a, b都是正數(shù)。同時(shí)，他的求解也主要利用配方法 (completing the square)，並輔以幾何演示。此外，斐波那契對(duì)於二次方程各項(xiàng)的稱(chēng)呼，也大致繼承了阿爾花拉子摩：如平方 (square)、根數(shù) (root) 與常數(shù) (simple number)。所有這些阿拉伯風(fēng)格的代數(shù)，到了1545年時(shí)，都在卡丹諾 (Girolamo Cardano) 的大法(Ars Magna, Th

21、e Great Art) 中重現(xiàn)。由此可見(jiàn)，斐波那契對(duì)於阿拉伯代數(shù)傳入義大利、乃至西歐之前所作的平滑過(guò)渡 (smooth transition)，似乎是被數(shù)學(xué)史家低估了。七、計(jì)算書(shū)的幾何演示儘管在本書(shū)中，斐波那契主要引進(jìn)阿拉伯的算術(shù)與代數(shù)，然而，由於他也非常重視說(shuō)理與證明，因此，除了原來(lái)阿爾花拉子摩的幾何演示之外，斐波那契自己也補(bǔ)進(jìn)了很多襲自歐幾里得的證明，尤其是幾何原本第七冊(cè)的數(shù)論之相關(guān)部份，就被收錄在第15章的第一部分之中。至於第14章的內(nèi)容，則是摘取了幾何原本第十冊(cè)（討論不可公度量）的部份內(nèi)容，因此，當(dāng)然保留了原有的幾何風(fēng)格。不過(guò)，最值得一提的，乃是他對(duì)於一般算術(shù)運(yùn)算公式的證明。譬如說(shuō)吧

22、，他對(duì)於雙設(shè)法的證明，就超越歐幾里得的關(guān)懷所在了，這是由於幾何原本一書(shū)中的數(shù)論（第七、八、九冊(cè)）內(nèi)容都無(wú)關(guān)現(xiàn)在所謂的算術(shù)（譬如分?jǐn)?shù)的加、減、乘，除）的緣故?；蛟S在此我們可以引述第12章的一個(gè)例子，來(lái)欣賞斐波那契如何利用幾何演示證明單設(shè)法。本題內(nèi)容如下：有一個(gè)數(shù)，如果你取它的，然後自乘，而得到原來(lái)的數(shù)，求此數(shù)為何？如以現(xiàn)在的符號(hào)代數(shù)求解本題，則可列方程如下：設(shè)x為此數(shù)，則 (x ()x，故x = ?，F(xiàn)在，也請(qǐng)對(duì)照斐波那契的幾何演示。如下圖，他先假設(shè)一個(gè)線段 ab為所求數(shù)，為了以長(zhǎng)方形表徵，他特別ab視為ab×1，然後他的圖解就是在ab線段上擷取一個(gè)線段 ae，並以後者作正方形，亦即：a

23、b×1ae ×ae，可以證明ae為所求。在解說(shuō)此一圖示時(shí)，斐波那契也運(yùn)用了具體的數(shù)目作為例子，可見(jiàn)他知道這種幾何演示不是那麼容易可以理解。deka1zb八、結(jié)論計(jì)算書(shū)雖然曾經(jīng)被認(rèn)為是佩西歐里 (Luca Pacioli)大全(Summa, 1492) 一書(shū)之前，義大利乃至於西歐數(shù)學(xué)史上的最重要文本，然而，由於斐波那契在本書(shū)中數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)創(chuàng)新有限，他在這一部數(shù)學(xué)文化交流經(jīng)典中所表現(xiàn)的肆應(yīng)(adaptation) 與轉(zhuǎn)化(transformation)，並沒(méi)有受到史家的青睞或恰當(dāng)對(duì)待。其實(shí)，斐波那契與阿爾花拉子摩的細(xì)緻分析與比較，一定可以幫助我們重建第九到十二世紀(jì)之間，義大利數(shù)學(xué)

24、如何與阿拉伯世界互動(dòng)歷程，從而理解像計(jì)算書(shū)這樣的一部數(shù)學(xué)百科全書(shū)，何以會(huì)出現(xiàn)在那樣的重商主義脈絡(luò)中？再有，如果史家願(yuàn)意將斐波那契計(jì)算書(shū)(1202)、佩西歐里大全(1492) 與卡丹諾的大法(1545) 三部經(jīng)典連成一氣，深入探索它們之間的傳承關(guān)係，以及這三位義大利數(shù)學(xué)家如何針對(duì)阿拉伯代數(shù)學(xué)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，一定可以貼近義大利乃至西歐世界這三百多年的數(shù)學(xué)發(fā)展，從而幫助我們更具體地把握十六世紀(jì)以後的西方代數(shù)學(xué)之風(fēng)貌。我想，這或許是二十一世紀(jì)數(shù)學(xué)史家責(zé)無(wú)旁貸的使命吧，也是八百歲的計(jì)算書(shū)所帶給我們的深刻期許。謹(jǐn)以本文向本書(shū)的英譯者西格特教授致敬！參考文獻(xiàn)：李文林 (1998).數(shù)學(xué)珍寶，臺(tái)北：九章出版社。洪萬(wàn)生 (2000).算數(shù)書(shū)初探，師大學(xué)報(bào)：科學(xué)教育類(lèi)45(2): 77-91。