數(shù)學(xué)中的美修改減

1、數(shù) 學(xué) 中 的 美 摘 要隨著教育與娛樂的發(fā)展，將有更多的人欣賞音樂與繪畫。但是，能夠真正欣賞數(shù)學(xué)的人數(shù)是很少的。藝術(shù)追求美，數(shù)學(xué)也追求美，數(shù)學(xué)美是科學(xué)美的一種，數(shù)學(xué)不但體現(xiàn)了科學(xué)美也體現(xiàn)了藝術(shù)美。數(shù)學(xué)在其知識(shí)內(nèi)容、形式上等方面具有自身的許多獨(dú)特美，因此數(shù)學(xué)美是生動(dòng)的、具體的、形象的。這篇文章主要以高中數(shù)學(xué)為背景，探討了數(shù)學(xué)美的三個(gè)主要方面：數(shù)學(xué)的簡潔美、數(shù)學(xué)的對(duì)稱美、數(shù)學(xué)的和諧美。其中，數(shù)學(xué)的簡潔美分為數(shù)學(xué)概念的簡潔、數(shù)學(xué)符號(hào)的簡潔、數(shù)學(xué)證明的簡潔、數(shù)學(xué)結(jié)論的簡潔四部分；數(shù)學(xué)的對(duì)稱美分為：幾何中的對(duì)稱美，代數(shù)中的對(duì)稱美兩部分；數(shù)學(xué)的和諧美分為：數(shù)學(xué)從不和諧走向和諧,數(shù)學(xué)比例的和諧美, 數(shù)學(xué)知

2、識(shí)結(jié)構(gòu)的和諧美三部分。并在其中相應(yīng)的列舉了例子來加以說明論證。數(shù)學(xué)中的美無處不在，只要認(rèn)真觀察細(xì)心體會(huì)，數(shù)學(xué)就會(huì)把它的美主動(dòng)的無私的呈現(xiàn)出來，那時(shí)數(shù)學(xué)就不再枯燥無味。關(guān)鍵詞 簡潔美 對(duì)稱美 和諧美正文 前 言作為一門科學(xué)，數(shù)學(xué)的最大特點(diǎn)就是它的真，真中見美，如果公正地看，數(shù)學(xué)包含的不僅是真理，也是無上的美 一種冷峭而嚴(yán)峻的美，恰像一尊雕刻一樣。感覺到數(shù)學(xué)的美，感覺到數(shù)與形的協(xié)調(diào)，感覺到幾何的優(yōu)雅，這是所有真正的數(shù)學(xué)家都清楚的真實(shí)的美的感覺。數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含的美的因素是深廣博大的，數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是數(shù)、形、式，數(shù)的美，形的美，式的美，隨處可見，它的表現(xiàn)形式主要有簡潔美、對(duì)稱美、和諧美。一、簡 潔 美世界

3、原本就是簡潔的，簡潔是一種美。數(shù)學(xué)科學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性決定它必須精煉、簡潔。數(shù)學(xué)的簡潔美體現(xiàn)在以下四方面：、數(shù)學(xué)概念是簡潔的。數(shù)學(xué)概念敘述語言的高度概括，可以說它的語言精煉到“一字千金”的程度。精煉準(zhǔn)確的概念多一個(gè)字就有種煩瑣感，去掉一個(gè)字就有歧義或錯(cuò)誤。比如向量的定義是“既有大小又有方向的量。”如在“既”前加上“我們稱”或在“大小”后加上“的”則有煩瑣感；若去掉“既-又-”則敘述就有表達(dá)不清的歧義感。數(shù)學(xué)概念的簡潔是一種精煉的簡單，憑借這些簡單而精煉的語言能夠刻畫復(fù)雜的現(xiàn)象，如“函數(shù)”這個(gè)簡潔的概念能刻畫出這樣的數(shù)學(xué)現(xiàn)象：設(shè)、兩個(gè)非空集合，是從到的一個(gè)對(duì)應(yīng)法則，則到上的映射：稱為到上的函數(shù)。其它數(shù)學(xué)

4、概念也是簡潔、精煉的，如果試著加上或去掉任一個(gè)字通過仔細(xì)推敲、琢磨就會(huì)發(fā)現(xiàn)此定義不再簡潔或準(zhǔn)確。在空間幾何里，兩條直線有以下三種位置關(guān)系：（1）相交直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；（2）平行直線在同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；（3）異面直線不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)誰能否定這樣的敘述不簡練準(zhǔn)確？數(shù)學(xué)規(guī)律、性質(zhì)等的表述也是如此。如排列組合中的分類計(jì)數(shù)原理：完成一件事，有類辦法，在第類辦法中有種不同的方法，在第類辦法中有種不同的方法在第類辦法中有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法、數(shù)學(xué)符號(hào)是簡潔的。符號(hào)是最簡潔的文字，其表達(dá)的內(nèi)容豐富而廣泛，數(shù)學(xué)就是用簡潔的符號(hào)表現(xiàn)復(fù)雜的事物，也正是這些簡潔的數(shù)

5、學(xué)符號(hào)才使書寫、運(yùn)算、推理等更方便更快捷。比如“兩條直線平行”用數(shù)學(xué)符號(hào)表示為“”,直線和平面垂直用“”表示,“直角三角形中斜邊的平方等于兩直角邊的平方和”用數(shù)學(xué)符號(hào)寫成“”等。數(shù)學(xué)符號(hào)的特有的美感有時(shí)比漢字更具魅力。歐拉公式：e=,把實(shí)數(shù)域中看不出有任何關(guān)系的指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)，在復(fù)數(shù)域中巧妙地聯(lián)系在一起，其特例e+=把、五個(gè)重要常量簡單巧妙地結(jié)合在一起，絕對(duì)耐人尋味。三角函數(shù)中數(shù)學(xué)sin+cos=.把三角和實(shí)數(shù)統(tǒng)一起來，把復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)統(tǒng)一起來，建立了各知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系和橋梁。符號(hào)是數(shù)學(xué)科學(xué)抽象化程度的高度表現(xiàn)。另外，數(shù)學(xué)圖形中的點(diǎn)、線、面、體也是對(duì)客觀事物的抽象概括，也是簡潔實(shí)用的。比如著名

6、的“哥尼斯堡七橋問題”最終也是通過數(shù)學(xué)手段巧妙地將實(shí)際問題抽象簡化到數(shù)學(xué)中的一筆畫問題而解決的。 、數(shù)學(xué)證明是簡潔的。數(shù)學(xué)的簡潔也體現(xiàn)在對(duì)數(shù)學(xué)答案的獲得上力求一種簡潔的方式。對(duì)于完全平方式的推導(dǎo)可以通過面積法來證明。也就是大正方形的面積等于四個(gè)小矩形的面積的和。學(xué)數(shù)學(xué)的人常有這樣的經(jīng)歷：面對(duì)一個(gè)復(fù)雜的難題冥思苦想，不得其解，突然靈感突發(fā)思路頓悟，就是簡簡單單的轉(zhuǎn)換一下思路而已，不絕稱贊數(shù)學(xué)的靈活多變和方法的巧妙。數(shù)學(xué)思維是邏輯美和簡潔美。比如：求證，不存在這樣的兩個(gè)既約分?jǐn)?shù)，其乘積與和均為整數(shù)。分析：此題如果用直接證法將會(huì)是非常煩瑣的，需要無窮性的列舉兩個(gè)既約分?jǐn)?shù)，再驗(yàn)證其乘積與和不能同時(shí)為整

7、數(shù)，而換用一種簡潔的靈活的方法即間接證法。證明：假設(shè)存在兩個(gè)既約分?jǐn)?shù)和,且+=為整數(shù)，·=為整數(shù)，那么 和 ,應(yīng)為方程 +的兩個(gè)根。于是有 （）·+=0,從而有 =·· (*) , , 均為整數(shù)， (*)式右端為整數(shù)，但是，與互質(zhì), 與也互質(zhì)，(*)左端不可能為整數(shù)，因此，得出了矛盾，所以不存在這樣的兩個(gè)既約分?jǐn)?shù)，其乘積與和均為整數(shù)。此例充分可以說明數(shù)學(xué)證明語言的簡練與精確，也充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)邏輯體系的抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)性。、數(shù)學(xué)結(jié)論是簡潔的數(shù)學(xué)通過簡潔的證明得到的結(jié)果也給人簡潔之美，如：=；，圓標(biāo)準(zhǔn)方程等等。解數(shù)學(xué)題時(shí),當(dāng)面對(duì)一個(gè)復(fù)雜問題通過冥思苦想最終獲得一

8、個(gè)簡潔而完美的答案時(shí),那種心情將是非常愉快的，解數(shù)學(xué)題可以培養(yǎng)人的性格，陶冶人的情操。比如由一組算式：通過觀察分析，可以總結(jié)出一個(gè)規(guī)律：把拆開，中間插入，插入的個(gè)數(shù)比第一個(gè)因式的個(gè)數(shù)少個(gè)，那么利用這個(gè)規(guī)律可以輕松地解答出下列算式：，。二、對(duì) 稱 美對(duì)稱和美緊密相連，具有對(duì)稱的東西給人以圓滿的勻稱美感與精神享受。數(shù)學(xué)中的對(duì)稱美很普遍。 、幾何中的對(duì)稱美。 在平面幾何中有軸對(duì)稱、中心對(duì)稱，正方形、圓形、等腰三角形都是軸對(duì)稱圖形也是中心對(duì)稱圖形，圓是最美的平面圖形；在立體幾何中的正方體、長方體、正四面體都是對(duì)稱的幾何體，球在各個(gè)方面都是對(duì)稱的，是一切立體幾何中最美的圖形。數(shù)學(xué)中的對(duì)稱圖形在日常生活中

9、的應(yīng)用比比皆是，都給人以完美的藝術(shù)享受。比如：幾何中的海倫公式便是以對(duì)稱形式出現(xiàn)的：=,它是那么的耐人尋味，既然把作為一個(gè)因子，那么一定也要把請(qǐng)出來，可是的單位取算術(shù)根后，得不出面積的單位，怎么辦？只要在號(hào)下再乘上一個(gè)，但乘上那條邊呢？乘上？乘上？乘上？都不行，因?yàn)檫@樣一來對(duì)于、就不公平了，想來想去還是乘上吧，一方面它的單位是，更重要的是，=對(duì)于來說，、是平等的、對(duì)稱的。、代數(shù)中的對(duì)稱美。代數(shù)式+=+, (+)=+,（+）=+ 都有對(duì)稱性，代數(shù)中的很多平滑曲線，也給人以對(duì)稱美的感受。橢圓、雙曲線、拋物線的圖象，指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，正弦、余弦函數(shù)的圖象等。比如函數(shù)的圖象除對(duì)稱美外還給人一種

10、“一江春水向東流”的視覺美。 再如函數(shù)，的圖像給人一種“飛流直下三千尺”的山水美、對(duì)稱美。 若，則當(dāng)時(shí)，求的取值范圍。它的圖形也是一種典型的對(duì)稱圖形。 例如：有奇數(shù)和偶數(shù)、質(zhì)數(shù)與合數(shù)、整數(shù)和分?jǐn)?shù)、有理數(shù)和無理數(shù)、實(shí)數(shù)與虛數(shù)、正數(shù)與負(fù)數(shù)，從常量到變量，從有限到無限都能體現(xiàn)一種無形的對(duì)稱美?！肮曹棥备拍钜蔡N(yùn)涵著對(duì)稱性，或者可以看成對(duì)稱概念的推廣，例如：A=(a)與=(a)稱為共軛矩陣。在集合運(yùn)算中，以下公式也具有對(duì)稱性：=,=，,。數(shù)學(xué)的對(duì)稱美還體現(xiàn)在數(shù)學(xué)內(nèi)容本身在結(jié)構(gòu)上的有機(jī)統(tǒng)一。 從宏觀上講，中學(xué)數(shù)學(xué)分為代數(shù)與幾何，各數(shù)學(xué)分支在結(jié)構(gòu)意義下達(dá)到完美統(tǒng)一。從微觀講，數(shù)學(xué)各知識(shí)點(diǎn)之間又是有機(jī)統(tǒng)一的，

11、例如：在實(shí)數(shù)的運(yùn)算中加法和減法是統(tǒng)一的，乘法和除法也是統(tǒng)一的，乘方和開方是統(tǒng)一的，而實(shí)數(shù)的運(yùn)算和有理數(shù)的運(yùn)算以及自然數(shù)的運(yùn)算的法則又是統(tǒng)一的。三、和 諧 美美是和諧，和諧美也是數(shù)學(xué)美的一種。和諧即雅致、嚴(yán)謹(jǐn)、形式結(jié)構(gòu)無矛盾性。數(shù)學(xué)家一直在努力追求數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)、和諧。、數(shù)學(xué)從不和諧走向和諧。數(shù)學(xué)在努力消除數(shù)學(xué)中的不和諧東西，比如悖論，在很大意義上講悖論對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展起著舉足輕重的作用。數(shù)學(xué)史上的“數(shù)學(xué)危機(jī)”正是由于某些數(shù)學(xué)理論不和諧所致，但也正是通過消除這些不和諧事例的研究促進(jìn)了數(shù)學(xué)本身的進(jìn)一步發(fā)展。正如數(shù)學(xué)家貝爾和戴維斯所說的那樣：數(shù)學(xué)過去的錯(cuò)誤和未解決的困難，為它未來的發(fā)展提供契機(jī)。、數(shù)學(xué)比例的

12、和諧美。數(shù)學(xué)中和諧的比例與優(yōu)美的曲線或圖形都能給人以強(qiáng)烈的形式美。比如直角三角形斜邊的平方等于其兩直角邊的平方和；最負(fù)盛名的黃金分割，具有美神之稱，它是黃金三角形的底與腰的比，也是黃金矩形的寬與長之比，人體自身的軀干寬高比約為，層高的樓房，或?qū)幼罴?，一些名畫的主題大部分也畫在畫面的處。再如圓周長公式這個(gè)初等數(shù)學(xué)公式，揭示了圓周長和半徑之間的一種簡潔、奇妙、和諧的比例美。世界上存在著很多圓，但是數(shù)學(xué)定義中的圓比任何畫家、藝術(shù)家所能描繪的圓更完美更和諧。、數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的和諧美。和諧指理論體系內(nèi)部的嚴(yán)謹(jǐn)、統(tǒng)一。數(shù)學(xué)體系是把自然規(guī)律抽象成一些概念、公式或定理，并通過簡潔的推理證明出各種令人驚嘆的公式和

13、定理，充分表現(xiàn)了其內(nèi)在的和諧性與統(tǒng)一性，從中感受到一種崇高、博大、妙不可言的和諧美，就象音樂家憑借7個(gè)音符譜寫出令人心醉的樂章所帶給人們藝術(shù)美的享受一樣。例如,從等式出發(fā)（1）已知求這要用到乘方運(yùn)算;（2） 已知求用到開方運(yùn)算,（3）由和諧美原則,知求用到一種新的運(yùn)算即對(duì)數(shù)運(yùn)算。又如棱柱、棱錐、棱臺(tái)、圓柱、圓錐、圓臺(tái)等形狀各異但他們的體積公式都能統(tǒng)一到同一公式中。數(shù)學(xué)有很多分支很多內(nèi)容，這些內(nèi)容不是互不相干的堆積起來的，而是互相聯(lián)系成一個(gè)有機(jī)的整體。這種有機(jī)的聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美，而且，通過這種聯(lián)系和統(tǒng)一使得整個(gè)數(shù)學(xué)內(nèi)容顯得線條清晰，結(jié)構(gòu)簡潔，體現(xiàn)了一種簡潔的美。整個(gè)數(shù)學(xué)體系的前后關(guān)聯(lián)、交

14、相呼應(yīng)、渾然一體、天衣無縫，構(gòu)成一個(gè)龐大的知識(shí)網(wǎng)，千絲萬縷，有理可依，有論可劇絕對(duì)是世上最完美的美、最和諧的美。試問，有哪個(gè)人能推翻數(shù)學(xué)體系？又有誰能創(chuàng)建出另一套思維邏輯體系而與數(shù)學(xué)不發(fā)生任何聯(lián)系？我們的答案是否定的，數(shù)學(xué)才是美麗的皇后。四、結(jié) 束 語音樂可以描繪成感覺的數(shù)學(xué)，而數(shù)學(xué)也可以描繪成理性的音樂，音樂家可以感覺到數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)家也可以感受到音樂音樂是夢(mèng)想，數(shù)學(xué)是工作的一生每一方都經(jīng)由對(duì)方達(dá)到盡善盡美的境地，大自然是美好的：美麗的山川，璀璨的星空，豐富的色彩，多姿的生活，寶貴的生命這些美好事物的背后都深藏著許多數(shù)學(xué)奧妙，可以說數(shù)學(xué)美無處不在。用當(dāng)今數(shù)學(xué)家克萊因的一句話來概括數(shù)學(xué)的美就是：“音樂能激發(fā)或撫慰人的情懷，繪畫能使人賞心悅目，詩歌能動(dòng)人心弦，哲學(xué)能使人獲得智慧，科技可以改變物質(zhì)生活，但是數(shù)學(xué)卻能提供以上一切?！睌?shù)學(xué)的簡潔美、對(duì)稱美、和諧美，在萬物世界的各個(gè)方面都能表現(xiàn)出來。只要認(rèn)真觀察、細(xì)心體會(huì)，那么不管他以前是否喜歡數(shù)學(xué)還是反感數(shù)學(xué)，他都會(huì)從此喜歡上數(shù)學(xué)、愛上數(shù)學(xué)、喜歡數(shù)學(xué)難題、喜歡挑戰(zhàn)自己。參考文獻(xiàn)：1吳振奎 吳憫：數(shù)學(xué)中的美.