全國高中數(shù)學聯(lián)賽預賽試題及答案

1、2008年全國高中數(shù)學聯(lián)賽江西省預賽試題一、選擇題（每小題分,共分）、若函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍是（ ）. 、 ；、；、；、設，若直線和橢圓有公共點，則的取值范圍是（）.、； 、； 、； 、.、四面體的六條棱長分別為，且知，則 .、； 、； 、； 、若對所有實數(shù)，均有，則（ ）. 、；、；、；、設，是的小數(shù)部分，則當時，的值（ ）、必為無理數(shù)；、必為偶數(shù)；、必為奇數(shù)；、可為無理數(shù)或有理數(shù)、設為正整數(shù)，且與皆為完全平方數(shù)，對于以下兩個命題：（甲）.必為合數(shù)；（乙）.必為兩個平方數(shù)的和.你的判斷是（ ）A.甲對乙錯； B. 甲錯乙對； C.甲乙都對； D.甲乙都不一定對.二、填空題（每小題分

2、，共分）、過點作直線，使得它被橢圓所截出的弦的中點恰為，則直線的方程為 .、設，則函數(shù)的最小值為 .、四面體中，面與面成的二面角，頂點在面上的射影是的垂心，是的重心，若，則 、 .、數(shù)列滿足：，且對每個，是方程的兩根，則 .、從前個正整數(shù)構成的集中取出一個元子集，使得中任兩數(shù)之和不能被這兩數(shù)之差整除，則的最大值為 三、解答題：、（分）是直角三角形斜邊上的高，（），分別是的內(nèi)心，的外接圓分別交于，直線交于點；證明：分別是的內(nèi)心與旁心、（分）設為非負實數(shù)，滿足，證明：、（分）對于元集合，若元集，滿足：，且，則稱是集的一個“等和劃分”（與算是同一個劃分）試確定集共有多少個“等和劃分”2008年全國高

3、中數(shù)學聯(lián)賽江西省預賽試題解答一、選擇題（每小題分,共分）、若函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍是（ ）. 、 ；、；、；、答案：解：欲使的值域為，當使真數(shù)可取到一切正數(shù)，故或者；或者且，解得、設，若直線和橢圓有公共點，則的取值范圍是（）.、； 、； 、； 、.答：解：將代入橢圓方程并整理得，因直線和橢圓有公共點，則判別式，利用，化簡得，所以即、四面體的六條棱長分別為，且知，則 .、； 、； 、； 、答案：.解：四面體中，除外，其余的棱皆與相鄰接，若長的棱與相鄰，不妨設，據(jù)構成三角形條件，可知，于是中，兩邊之和小于第三邊，矛盾。因此只有.另一方面，使的四面體可作出，例如取.故選 、若對所有實數(shù)，均有

4、，則（ ）. 、；、；、；、答： .解：記 ，則由條件，恒為，取，得，則為奇數(shù)，設，上式成為，因此為偶數(shù)，令，則，故選擇支中只有滿足題意、設，是的小數(shù)部分，則當時，的值（ ）、必為無理數(shù)；、必為偶數(shù)；、必為奇數(shù)；、可為無理數(shù)或有理數(shù)答：解：令，則，是方程的兩根，則，所以當時，令，則當時，故所有為偶數(shù)，因，所以為的小數(shù)部分，即，奇數(shù)、設為正整數(shù)，且與皆為完全平方數(shù)，對于以下兩個命題：（甲）.必為合數(shù)；（乙）.必為兩個平方數(shù)的和.你的判斷是（ ）A.甲對乙錯； B. 甲錯乙對； C.甲乙都對； D.甲乙都不一定對.答案:解：設，為正整數(shù)；則，由此知，為正整數(shù)，且，因為若，則，即，則，記，得不為平方

5、數(shù)，矛盾！所以，故由得，為合數(shù)；又因為，故選.（例如是上述之一）.二、填空題（每小題分，共分）、過點作直線，使得它被橢圓所截出的弦的中點恰為，則直線的方程為 .答案：解：設直線的方程為，代入橢圓方程，整理得，設其兩根為，則， 即，所以直線的方程為，即、設，則函數(shù)的最小值為 .答案：.解：如圖，取為數(shù)軸原點，再作垂線，使，在數(shù)軸上取點，使 ，則，當共線時，值最小，此時.、四面體中，面與面成的二面角，頂點在面上的射影是的垂心，是的重心，若，則 答案：解：設面交于，則因，故在上，且，于是，在三角形中，由余弦定理得、 .答案：解：，所以 、數(shù)列滿足：，且對每個，是方程的兩根，則 .答：解：對每個， ，

6、 ，將寫作，因此是一個公比為的等比數(shù)列，故 ，即，；于是；、從前個正整數(shù)構成的集中取出一個元子集，使得中任兩數(shù)之和不能被這兩數(shù)之差整除，則的最大值為 答案：.解：首先，我們可以取元集，中任兩數(shù)之和不能被整除，而其差是的倍數(shù)；其次，將中的數(shù)自小到大按每三數(shù)一段，共分為段：從中任取個數(shù)，必有兩數(shù)取自同一段，則或，注意與同奇偶，于是因此的最大值為.三、解答題：、（分）是直角三角形斜邊上的高，（），分別是的內(nèi)心，的外接圓分別交于，直線交于點；證明：分別是的內(nèi)心與旁心證：如圖，連，由，則圓心在上，設直徑交于，并簡記的三內(nèi)角為，由，所以，得，且，故，而，注意，所以，因此，同理得，故與重合，即圓心在上，而，

7、所以平分；同理得平分，即是的內(nèi)心，是的旁心證二：如圖，因為，故的外接圓圓心在上，連，則由為內(nèi)心知， 所以，于是四點共圓，所以，又因，因此點在上，即為與的交點設與交于另一點，而由，可知，分別為的中點，所以，因此，點分別為的內(nèi)心與旁心、（分）設為非負實數(shù)，滿足，證明：簡證：為使所證式有意義，三數(shù)中至多有一個為；據(jù)對稱性，不妨設，則，對正數(shù)作調整，由于 ，取等號當且僅當，此時條件式成為，則，且有，于是，只要證，即，也即，此為顯然，取等號當且僅當，故命題得證詳證：為使所證式有意義，三數(shù)中至多有一個為；據(jù)對稱性，不妨設，則；、當時，條件式成為，而，只要證，即，也即，此為顯然；取等號當且僅當、再證，對所有

8、滿足的非負實數(shù)，皆有顯然，三數(shù)中至多有一個為，據(jù)對稱性，仍設，則，令，為銳角，以為內(nèi)角，構作，則，于是，且由知，；于是，即是一個非鈍角三角形下面采用調整法，對于任一個以為最大角的非鈍角三角形，固定最大角，將調整為以為頂角的等腰，其中，且設，記，據(jù)知，今證明，即 即要證 先證 ，即證 ，即 ，此即 ，也即，即 ，此為顯然由于在中，則；而在中，因此式成為 ，只要證， ，即證 ，注意式以及，只要證，即，也即由于最大角滿足：，而，則，所以，故成立，因此得證，由及得成立，從而成立，即，因此本題得證、（分）對于元集合，若元集，滿足：，且，則稱是集的一個“等和劃分”（與算是同一個劃分）試確定集共有多少個“等

9、和劃分”解一：不妨設，由于當集確定后，集便唯一確定，故只須考慮集的個數(shù)，設，為最大數(shù)，由，則，于是 ，故中有奇數(shù)個奇數(shù)、若中有個奇數(shù)，因中的六個奇數(shù)之和為，而，則，這時得到唯一的；、若中有個奇數(shù)、兩個偶數(shù)；用表示中這兩個偶數(shù)之和；表示中這三個奇數(shù)之和，則，于是共得的種情形其中，、當，則，；可搭配成的個情形；、當，則，；可搭配成的個情形；、當，則，可搭配成的個情形；、當，則，可搭配成的個情形；、當，則，可搭配成的個情形；、當，則，；可搭配成的個情形；、當，則，；可搭配成的個情形、若中有一個奇數(shù)、四個偶數(shù)，由于中除外，其余的五個偶數(shù)和，從中去掉一個偶數(shù)，補加一個奇數(shù)，使中五數(shù)之和為，分別得到的個情形：綜合以上三步討論，可知集有種情形，即有種“等和劃分” 解二：元