數(shù)學(xué)建模—DVD在線租憑的優(yōu)化設(shè)計

1、2013年大學(xué)生數(shù)學(xué)建模題目：DVD在線租賃的優(yōu)化設(shè)計學(xué)院班級組號姓名姓名姓名姓名姓名DVD在線租賃的優(yōu)化設(shè)計摘要本文在滿足會員DVD租賃需求的約束條件下，以 DVD購買量最小和會員滿意度最大 為目標(biāo)，求得最優(yōu)的DVD購買與分配方案。通過查找資料確定每張DVD從網(wǎng)站租出到返回網(wǎng)站的服務(wù)周期為 15天，從而得到每張 DVD在一個月內(nèi)最多可租賃2次。根據(jù)問卷調(diào)查結(jié)果，運(yùn)用大數(shù)定律，得到 10萬個會員中 想觀看每種DVD的人數(shù)。會員決定觀看 DVD的時間服從正態(tài)分布，由此確定一個月中每 天愿意觀看此DVD的人數(shù)，根據(jù)需要滿足的會員數(shù)量得到網(wǎng)站的最小購買量。會員的滿意度由會員收到 DVD的等待時間以及

2、對該DVD的偏愛程度共同決定。為了 使?jié)M意度與偏愛程度數(shù)值上成正比關(guān)系，將偏愛程度反序定義。DVD現(xiàn)有數(shù)量已知時，以滿意度最大為目標(biāo)， DVD數(shù)量有限等為約束建立0-1整數(shù)規(guī) 劃模型。DVD現(xiàn)有數(shù)量全部為0時，從網(wǎng)站管理人員的角度，以最小購買量為目標(biāo)，以 95%的會員得到想看的DVD為約束條件求得最小購買量時的購買方案，在此方案的基礎(chǔ)上 以總的滿意度最大為目標(biāo)進(jìn)行 DVD的優(yōu)化分配。通過計算，在服務(wù)周期為 15天，網(wǎng)站有10萬個會員的情況下，為保證希望看到該 DVD的會員中至少 50%在一個月內(nèi)能看到該 DVD ,應(yīng)購買的 DVD1-5的數(shù)量分別為 5000,2500,1250,625,250

3、長；為保證在三個月內(nèi)至少 95%的會員能看到該DVD,應(yīng)準(zhǔn)備的數(shù) 量分別為 3167, 1584,792,396,158張。運(yùn)用lingo軟件求解，得到DVD現(xiàn)有數(shù)量已知時會員滿意度最大的分配，總滿意度為 24746（理想最大滿意度為27000）.當(dāng)DVD的數(shù)量全部為0時，得到最優(yōu)購買和分配方案， 使一個月95%的會員得到想看的DVD ,求得最小購買量為1425張，在最小購買量的基礎(chǔ)上 實現(xiàn)滿意度最大，總滿意度為19396.從網(wǎng)站經(jīng)營管理員的角度考慮會員的需求及分配，網(wǎng)站根據(jù)會員的分布情況，建立一 定數(shù)量的配送中心可以減少開支，增加收入。關(guān)鍵字 DVD最優(yōu)方案lingo一、問題的提出本題提供了

4、一種DVD在線租賃業(yè)務(wù)的經(jīng)營方式?？紤]如下的在線 DVD租賃 問題。顧客繳納一定數(shù)量的月費(fèi)成為會員，訂購 DVD租賃服務(wù)。會員對哪些 DVD有興趣，只要在線提交訂單，網(wǎng)站就會通過快遞的方式盡可能滿足要求。會 員提交的訂單包括多張 DVD ,這些DVD是基于其偏愛程度排序的。網(wǎng)站會根據(jù) 手頭現(xiàn)有的DVD數(shù)量和會員的訂單進(jìn)行分發(fā)。每個會員每個月租賃次數(shù)不得超過 2次，每次獲得3張DVD。會員看完3張DVD之后，只需要將DVD放進(jìn)網(wǎng)站提 供的信封里寄回（郵費(fèi)由網(wǎng)站承擔(dān)），就可以繼續(xù)下次租賃。需考慮以下問題： 1.1網(wǎng)站正準(zhǔn)備購買一些新的DVD,通過問卷調(diào)查1000個會員，得到了愿意觀看 這些DVD的

5、人數(shù)（附表1給出了其中5種DVD的數(shù)據(jù)）。止匕外，歷史數(shù)據(jù)顯示， 60%的會員每月租賃DVD兩次，而另外的40%只租一次。假設(shè)網(wǎng)站現(xiàn)有10萬個 會員，對附表1中的每種DVD來說，應(yīng)該至少準(zhǔn)備多少張，才能保證希望看到該 DVD的會員中至少50%在一個月內(nèi)能夠看到該 DVD ?如果要求保證在三個月內(nèi) 至少95%的會員能夠看到該DVD呢？1.2 附表2中列出了網(wǎng)站手上100種DVD的現(xiàn)有張數(shù)和當(dāng)前需要處理的1000位會 員的在線訂單，如何對這些DVD進(jìn)行分配，才能使會員獲得最大的滿意度？請具 體列出前30位會員（即C0001C0030）分別獲得哪些DVD。1.3 繼續(xù)考慮附表2,并假設(shè)附表2中DVD

6、的現(xiàn)有數(shù)量全部為00如果你是網(wǎng)站經(jīng) 營管理人員，你如何決定每種 DVD的購買量，以及如何對這些 DVD進(jìn)行分配， 才能使一個月內(nèi)95%的會員得到他想看的DVD,并且滿意度最大？1.4 如果你是網(wǎng)站經(jīng)營管理人員，你覺得在 DVD的需求預(yù)測、購買和分配中還有 哪些重要問題值得研究？請明確提出你的問題，并嘗試建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。二、問題的分析本問題是在既定經(jīng)營方式的條件下，以網(wǎng)站購買量最小和會員滿意度最大為 目標(biāo)對DVD購買方案和分配方案進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計。由于會員看完DVD后就將其寄回網(wǎng)站，因此一個月內(nèi)同一張 DVD可以多次 寄出，供多個會員觀看。我們將每張 DVD從網(wǎng)站寄出到返回網(wǎng)站所經(jīng)歷的時間稱 為

7、一個服務(wù)周期。每張DVD可以服務(wù)的會員數(shù)量是由每張 DVD的服務(wù)周期所決 定的。整個周期是由寄往會員的時間長度，會員觀看的時間長度，寄回網(wǎng)站的時15問長度三部分相加而得。通過查找資料和實際情況分析，確定一個服務(wù)周期為天。假設(shè)每個月都為30天，則一個月內(nèi)一張DVD可供2個會員觀看。顧客繳納一定數(shù)量的月費(fèi)成為會員，訂購DVD租賃服務(wù)，當(dāng)會員對某種DVD有興趣時，就提交訂單，然后網(wǎng)站進(jìn)行分配。當(dāng)會員提交了一次訂單后，網(wǎng) 站即根據(jù)統(tǒng)一安排在適當(dāng)?shù)臅r間向該會員寄去一次DVD,其中含三張DVD;若會員再提交訂單，網(wǎng)站再重復(fù)以上過程。但由于每個會員租賃的次數(shù)不能超過兩 次且DVD數(shù)量有限，因此，一個月中，有

8、部分的會員租賃了兩次，一部分會員只 租賃了一次。根據(jù)對1000個會員的問卷調(diào)查得到的愿意觀看各 DVD的人數(shù)，由于各種 DVD是相互獨(dú)立的，根據(jù)大數(shù)定律，可將各 DVD觀看人數(shù)在總?cè)藬?shù)中所占比例 視為每位會員愿意觀看此 DVD的概率，從而得到了愿意觀看各 DVD的人數(shù)。將 在一個月中會員決定觀看DVD的時間視為正態(tài)分布，于是可確定每個時間段愿意 觀看此DVD的人數(shù)。根據(jù)網(wǎng)站需要滿足的會員總數(shù)以及不同時段愿意觀看各張 DVD的人數(shù)即可確定每張DVD的需求量。對于會員所提交的訂單，網(wǎng)站需以會員總滿意度最大為目標(biāo)來進(jìn)行優(yōu)化分 配。會員總滿意度是所有會員的滿意度之和，而每一個會員的滿意度由收到DVD的

9、等待時間和所收DVD的偏愛程度二者共同決定。因此，在設(shè)計分配方案時，應(yīng) 考慮將DVD按會員偏愛程度由高到低依次分配，但同時也要考慮使每位會員得到 DVD的時間盡可能短。此處需考慮兩個約束條件，即每個會員的租賃次數(shù)不得超 過兩次以及DVD數(shù)量有限。由此，我們可以建立一個以滿意度最大為目標(biāo)，以租 賃次數(shù)和DVD數(shù)量為約束的優(yōu)化模型。假如DVD的現(xiàn)有數(shù)量全部為0,考慮網(wǎng)站購買各種 DVD數(shù)量，并要使95% 的會員得到想看的 DVD。由于每個會員每月最多可獲得六張 DVD,但訂單上的 數(shù)量遠(yuǎn)多于此，且有可能多個會員愿意觀看同樣的DVD,因此網(wǎng)站不可能將所有會員的愿望全部滿足。因此，將 得到他想看的DV

10、D等價為 得到的DVD在他想 看的若干張DVD范圍之內(nèi)”。因此，只要網(wǎng)站滿足了會員需求中的任一需求，就 可視為 使會員得到了他想看的DVD。從網(wǎng)站經(jīng)營管理人員的角度，為實現(xiàn)利益 最大化，應(yīng)盡可能降低成本，所以應(yīng)以 DVD購買量最小為目標(biāo)，以95%的會員得 到想看的DVD為約束條件，來設(shè)計出最優(yōu)的購買方案。然后在此最小購買量方案 的基礎(chǔ)上，以滿意度最大為目標(biāo)進(jìn)行 DVD的優(yōu)化分配。對于DVD的分配，由于 一個月內(nèi)每張DVD可以被租賃2次，即為2位會員提供服務(wù)。因此一個月中該網(wǎng) 站共需進(jìn)行2次分配，在每次DVD回收后即進(jìn)行下一次分配。因此，現(xiàn)在需要制 定出一個月的完整分配方案，即包括 2次分配。從

11、網(wǎng)站經(jīng)營管理人員的角度，在 DVD的需求預(yù)測、購買和分配過程中，分析 相應(yīng)資料，可以知道DVD的郵遞既要考慮自己出的郵費(fèi)，又要提供給會員快的服 務(wù)。知道了相應(yīng)需求情況和地區(qū)的分布情況后，可以在不同地點(diǎn)設(shè)立配送中心， 提高網(wǎng)站整體服務(wù)水平。分配的服務(wù)方式可以考慮是否改成2次4張或3次6張等情況。在現(xiàn)有的條件下，減少服務(wù)周期，以提高會員滿意度最大和快遞費(fèi)用最 小為目標(biāo)，來設(shè)計優(yōu)化的庫存方案和服務(wù)方式。三、模型假設(shè)與符號假設(shè)3.1 會員看完DVD后即將其寄回，不會無故拖延；3.2 所有會員向網(wǎng)站提交一次訂單后，網(wǎng)站僅向該會員郵寄一次；若會員再有需 求，則需再提交一次訂單，網(wǎng)站第二次郵寄給該會員。3.

12、3 每個會員每月最多可租賃兩次；3.4 每月均為30天。i 1,2, ,1000; j 1,2, ,100;k 1,2.參數(shù)及符號含義單位反序定義后的偏愛程度T同一張DVD相鄰兩次向外租賃的間隔天m同一張DVD每月向外租賃的最大次數(shù)次第i個會員對收到的第j個DVD的滿意度分配過程中給第i個會員郵寄次數(shù)次第j種DVD總量為sj張0或10或1四、模型的建立4.1 建模準(zhǔn)備4.1.1 確定每張DVD在一個月中的可提供服務(wù)的次數(shù)一張DVD從網(wǎng)站寄出到最終回到網(wǎng)站的服務(wù)周期為 To T由網(wǎng)站給會員郵寄 DVD用的時間ti,會員觀看DVD的用的時間t2,會員郵寄DVD回網(wǎng)站用的時間 t3相加而得。T ti

13、 t2 t3=15假設(shè)每個月天數(shù)是相等的，為 30天，那么一張DVD每個月可以租賃的次數(shù) 為m 30 2 次.T4.1.2 滿意度的處理為了使會員的滿意度與偏愛程度在數(shù)量上成正比關(guān)系，將原題中的偏愛程度 反序定義，即偏愛程度原來為1現(xiàn)在定義為10 （原來為0的定以后也為0）。假 設(shè)l'ij為原體中第i個會員對第j個DVD的偏愛程度，I為反序定義后的偏移系 數(shù)，那么會員對收到的DVD的滿意度與他對該DVD的偏愛程度有關(guān)，還與他收到該 DVD的時刻有關(guān)。比如，對于偏愛程度為 1的DVD,如果會員在月初就收到了該 DVD,那么他的滿意度就明顯要比他在月末就收到了該DVD時的滿意度高。我們引入

14、系數(shù) 來表征會員收到DVD的時刻對滿意度的影響。定義30 t,t 0,1,2, ,30.于是可得到第i個會員對收到的第j個DVD的滿意度：304.2根據(jù)愿意觀看各DVD人數(shù)和網(wǎng)站需滿足的人數(shù)確定最小購買量設(shè)P為每個會員愿意觀看第i種DVD的概率（i 1,2,3,4,5）,則有在現(xiàn)實中，一部新電影對人的吸引力與外界的宣傳力度有關(guān)，人們在一定程 度上了解了新電影的價值之后才會決定是否去觀看。通常一部熱賣的電影在上映 10天左右達(dá)到票房收入的高潮，在上映一個月之后將淡出人們的視眼。我們可以 將網(wǎng)站購買的DVD看成熱賣電影，人們決定觀看一部新電影的時間t可以認(rèn)為服從正態(tài)分布（t;,）。在這里可以認(rèn)為1

15、0 .由正態(tài)分布的3原則，即正態(tài)分布的隨機(jī)變量落在（3 ,3 ）概率接近1,可以取 7.會員在t tit）內(nèi)決定觀看DVD的概率為：4.2.1 對于使希望看到該DVD的會員中至少有50%在一個月內(nèi)能夠看到該 DVD的 情況以DVD1為例，由大數(shù)定律得到共有 20000人想看DVD1.我們可以得到在t 0之前決定看DVD1的人數(shù)為20000 Pt 0 1531 類似的求得之后每天決定看DVD1的人數(shù)分別為 454, 546, 642, 741, 837,927, 1005, 1069, 1113, 1136, 1136, 1113, 1069, 1005, 927, 837, 741, 642,

16、 546, 454, 370, 296, 232, 178, 134, 99, 71, 50, 35, 24.網(wǎng)站每天分配一次DVD,那么第一次分配的DVD在第15天收回后可以再 次分配;第二次分配的 DVD在第16天收回后可以再次分配。依次類推可得當(dāng) DVD1的數(shù)量為5000時可以滿足希望看到DVD1的會員中至少有50%在一個月內(nèi) 能夠看到該DVD。用類似的方法求的 DVD2-5的數(shù)量至少為2500, 1250, 625, 250.4.2.2 對于保證三個月內(nèi)至少95%的會員看到想看的DVD的情況3個月一張DVD共可以發(fā)放6次，于是對于DVD1有以下關(guān)系式成立： 因此DVD1至少需要3167

17、張。用同樣方法可以得到此時DVD2、DVD3、 DVD4、 DVD5、的購買量為1584、792、396、158.4.3建立最優(yōu)分配模型（模型一）現(xiàn)有當(dāng)前需處理的1000位會員的在線訂單以及網(wǎng)站手上的 100種DVD的現(xiàn) 有張數(shù)，需考慮在現(xiàn)有每種 DVD數(shù)量的約束條件下，網(wǎng)站進(jìn)行一次 DVD分配， 使會員滿意度最大，并得到分配方案。收到DVD的時間如果給第i個會員郵寄DVD,那么該會員得到的DVD數(shù)量為3,如果不給第i個會員郵寄DVD,那么該會員得到的DVD數(shù)量為0,于是有：由于網(wǎng)站的每種DVD有一定的數(shù)量限制，因此，向所有會員所寄出的第 j種DVD總量Sj需滿足此約束條件，即:模型中所定義的

18、滿意度是由偏愛程度和收到的時間二者相乘而得，但由于此處僅考慮某一次的分配，并且在制定了分配方案后，網(wǎng)站同時將 DVD寄往所有會 員，因此各會員收到DVD的時間相等，滿意度就僅由對 DVD偏愛程度的差異所 決定。因此，每個會員的滿意度可表示為 Xj lj由此可得會員總滿意度表達(dá)式：于是可得到最優(yōu)分配模型:4.3.1 以購買量最小與滿意度最大為目標(biāo)設(shè)計最優(yōu)購買與分配方案現(xiàn)假設(shè)附表2中DVD的現(xiàn)有數(shù)量全部為0,網(wǎng)站需首先購入這些DVD,再將 其根據(jù)會員的訂單進(jìn)行合理分配。因此，應(yīng)以實現(xiàn)購買量最小為目標(biāo)，以一個月 內(nèi)有95%的會員得到想看的DVD為約束條件來建立模型，得出購買量最小時的購 買方案。然后

19、在此最小購買量方案的基礎(chǔ)上，以滿意度最大為目標(biāo)進(jìn)行DVD的優(yōu)化分配。對于DVD的分配，由于一個月內(nèi)每張 DVD可以被租賃2次，即為2位會員 提供服務(wù)。因此一個月中該網(wǎng)站共需進(jìn)行 2次分配，在每次DVD回收后即進(jìn)行下 一次分配。因此，現(xiàn)在需要制定出一個月的完整分配方案，即包括2次分配。總體框架如下：訂單II各DVD現(xiàn)有數(shù)量均為0 購買數(shù)量最小約束建立最小購買量模型（模型二）95%的會員得到他想看的DVD 首先，定義變量（以下k 1,2）整個分配過程中給第i個會員郵寄次數(shù)M'i, M'i 0,1,則有關(guān)系式：每次分配如果給第i個會員郵寄，那么該會員得到的 DVD數(shù)量為3,于是有 關(guān)

20、系式每次分配第j種DVD需滿足該DVD的總量約束，由于每次第j種DVD總量 為Sj ,因此有：會員滿意度是由會員偏愛程度和收到 DVD時刻共同決定的，由此可得會員總 滿意度表達(dá)式：整個分配過程中給第i個會員郵寄次數(shù)M'i, M'i 0,1,則一個月內(nèi)網(wǎng)站所郵1000寄的總次數(shù)為M'i ,此處需考慮約束條件：使一個月內(nèi) 95%的會員得到想看的i 1DVD。首先，將 得到想看的”等價為 得到的DVD在想看的范圍之內(nèi)引入變量l''ij寄給會員的DVD應(yīng)是在會員想看的DVD范圍之內(nèi)，即滿足：其次，網(wǎng)站所服務(wù)的總?cè)藬?shù)不能小于 1000 95%.由于假設(shè)3.2,對于

21、一張訂 單，網(wǎng)站只考慮向各會員寄一次 DVD;若會員第二次再提出訂單，才考慮是否寄 第二次。因此，對于附表 2這一張訂單，只需考慮向每個會員要么寄一次，要么1000不寄。因此，網(wǎng)站郵寄的總次數(shù)M'i就等于網(wǎng)站服務(wù)的總?cè)藬?shù)，可得到約束條i 1件為：由此可建立最小購買量的模型：建立最小購買量下的最大滿意度模型（模型三）求得最小購買量時的購買方案后，以購買的各種 DVD的數(shù)量作為各種DVD 的現(xiàn)有數(shù)量，以會員滿意度最大為目標(biāo)，使 95%的會員得到想看的DVD為約束條 件，建立最小購買量下的最大滿意度模型，確定最優(yōu)分配方案。五、模型的簡化與求解5.1最優(yōu)分配模型（模型一）的求解由程序1得到反序

22、定義的偏愛程度，使?jié)M意度和偏愛程度在數(shù)量上成正比關(guān) 系。該問題的模型是0-1整數(shù)規(guī)劃模型，通過lingo軟件求解（程序2）,得到最 優(yōu)的分配方案如表1（僅列出前30位會員的情況），此時會員的滿意度為24746Pl 想的最大滿意度為27000）.表1前30位會員DVD分配方案會員獲得的DVDC0001D008,D041,D098C0002D006,D044,D062C0003D032,D050,D080C0004D007,D018,D041C0005D011,D066,D068C0006D019,D053,D066C0007D026,D066,D081C0008D031,D035,D037C00

23、09D053,D078,D100C0010D041,D055,D085C0011D059,D063,D066C0012D002,D031,D041C0013D021,D078,D096C0014D023,D052,D089C0015D013,D052,D085C0016D010,D084,D097C0017D047,D057,D061C0018D041,D060,D078C0019D066,D084,D086C0020D045,D061,D089C0021D045,D050,D053C0022D038,D055,D057C0023D029,D081,D095C0024D037,D041,D07

24、6C0025D009,D069,D081C0026D022,D068,D095C0027D050,D058,D078C0028D008,D034,D082C0029D026,D030,D055C0030D037,D062,D0985.2最小購買量與最大滿意度分配問題的求解5.2.1最小購買量模型（模型二）的求解網(wǎng)站分兩次向會員郵寄DVD,采用lingo編程求解（程序3）,得到最小購買總量為1425各種DVD的最小購買數(shù)量為表2各種DVD的最小購買數(shù)量D0017D0215D04113D06111D08116D0024D02210D04217D06221D08216D0034D0237D0436D

25、06324D08319D0046D02413D04410D0649D08412D0057D02510D0456D06522D08522D0065D0268D0468D06620D08620D0076D0279D04714D06719D08726D00817D0289D04810D06815D08815D00911D0296D0496D06922D08917D0105D0309D05015D07022D09030D0118D03114D05115D07115D09115D0127D03211D05216D07215D09218D0134D0338D05321D07314D09327D01416D

26、0349D0548D07421D09424D0157D03514D05512D07522D09527D0167D0362D05610D07620D09623D01716D0375D0579D07721D09730D0186D03815D05816D07823D09834D01913D03913D05914D07918D09931D0203D0405D06019D08020D100415.2.2最小購買量下的最大滿意度模型（模型三）的求解在求得各種DVD的最小購買數(shù)量后，編寫lingo程序，得到最大滿意度時的 分配方案，最大滿意度為19396.通過統(tǒng)計每個地區(qū)的租賃需求量，得到需求的分布，根據(jù)需求量和地區(qū)的距 離進(jìn)行歸類，得到建立分配中心的多少，大小和服務(wù)的區(qū)域。設(shè)第j個地區(qū)的需求量（以會員的數(shù)量為準(zhǔn)）為60=1,2, F）;Rij是第i個地區(qū)與 第j個地區(qū)之間的距離。打算分成m個區(qū)域Sk（k=1,2, - m）,每個區(qū)域建立一個配送中心。SiU 1（i.j=1,2,m）Sj各個區(qū)域中的地區(qū)盡量相臨。區(qū)域 m的數(shù)量與網(wǎng)站決定的建設(shè)的配送中心個 數(shù)有關(guān)，這將根據(jù)實際會員總量決定。六.結(jié)果分析與檢驗6.1 問題一中的結(jié)果與D