高中數(shù)學(xué)論文：談《基本不等式及其應(yīng)用（一）》的教學(xué) 滬教版

1、談基本不等式及其應(yīng)用（一）的教學(xué)一、引言基本不等式及其應(yīng)用（一）這節(jié)課要學(xué)會代兩個公式：?？雌饋?，這并不是很難的事。但我在第一個班級上課的效果不太理想，上課學(xué)生聽得懂，可課后作業(yè)不會做。備課組的其他老師也有同樣的感嘆：“現(xiàn)在的學(xué)生怎么了，公式都不會代！”究其原因，主要有二：第一，以前學(xué)的公式基本上是恒等式。而此處的公式是恒不等式，不僅要學(xué)生瞻前：關(guān)注公式中字母存在的條件；還要顧后：不等式中等號成立的條件。就是說代這個公式要關(guān)注的問題比較多。第二，不用這個公式，也能用過去熟悉的方法做差比較法求解。學(xué)生沒有體會到代公式的方便，對新學(xué)的知識有潛在的排斥。二、授課過程(圖1) (圖2) (圖3)第二次

2、上這節(jié)課時，我作了改進(jìn)。1一見而鐘情引入時提出問題：直角三角形的兩直角邊為a、b，斜邊與正方形的邊長相等。問：四個這樣的直角三角形能否填滿這個正方形？（圖1、圖2、圖3） 圖2是我國古代用于證明勾股定理的弦圖的一個局部，也是在我國召開的國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)。以弦圖引入新課，讓學(xué)生對基本不等式從形上加以認(rèn)識，一見而鐘情。2從哪里來，到哪里去在理解公式的過程中，讓學(xué)生逐漸明白公式的來龍去脈。（1）逐步展示圖4中的內(nèi)容，通過知識的梳理，讓學(xué)生進(jìn)一步明確基本不等式1和基本不等式2是怎么來的，可有哪些用處，怎么用基本不等式。圖中虛線為學(xué)生給出了用好基本不等式的方向用不同的量代換公式中的字母,得到新的恒不

3、等式。（圖4）（2）與學(xué)生討論基本不等式1中“當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立”的含義。問題：“當(dāng)a=b時等號成立”指的是什么？()“僅當(dāng)a=b時等號成立” 指的是什么？()“當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立” 指的是什么？()此處把“當(dāng)”和“僅當(dāng)”分開提問，將難點(diǎn)分散，有助于學(xué)生對“等號成立條件”的理解。 (3) 考慮恒不等式與的關(guān)系。 恒不等式對中有且僅有一個是負(fù)數(shù)的情況放得太寬了，這時不等式可加強(qiáng)為。一方面，是的特殊情況(用代基本不等式中的)；另一方面可以由推得。通過對與關(guān)系的思考，使學(xué)生對基本不等式的應(yīng)用方案：合理的變量代換或結(jié)合不等式的性質(zhì)加以推理有了初步的體驗(yàn)。在對不等式強(qiáng)弱的比較中，感受數(shù)學(xué)的奇

4、異美。(圖5)(4) 說明、分別叫做a、b的算術(shù)平均值和幾何平均值?；静坏仁?就是指：兩個正數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值。其幾何意義是直角三角形斜邊上的高不大于斜邊的中線；或半弦不大于半徑（圖5）。3欲窮千里目，更上一層樓在公式的應(yīng)用中，逐步認(rèn)識到用基本不等式帶來的方便，體味登高望遠(yuǎn)的喜悅。練習(xí)1：用、”，通過(5)、(6)的對比，初步體會基本不等式中“等號成立條件”的應(yīng)用。練習(xí)2：判斷下列不等式是否恒成立 (1) ；(2)題中給出目的在于讓學(xué)生認(rèn)識到用要滿足條件。若，有。題中給出目的在于讓學(xué)生認(rèn)識到公式的靈活應(yīng)用。初一看， 可以由平方得到，但由于的符號未知，所以不能用基本不等式2。

5、但不能用基本不等式2直接推出，不能說明不成立。事實(shí)上，由基本不等式1可得對任意實(shí)數(shù)成立。練習(xí)3：某人買了A、B股票各10萬元，A股票第一天的增長率是m， 第二天的增長率是n，B股票兩天的增長率都是。問： 在這兩天，哪只股票漲得多？本題的目的在于感受基本不等式在社會生活中的應(yīng)用，即說明。有兩種方法，一種是把左右兩邊展開，即證，即證；另一種是把看成整體，證明。練習(xí)4：你能創(chuàng)造幾個恒不等式嗎？學(xué)生寫出了以下不等式： ；當(dāng)為正數(shù)時，；三、感想這節(jié)課是我在市北中學(xué)“和而不同”上好家常課活動中上的公開課，師生互動，氣氛活躍，得到了同行、專家的普遍贊譽(yù)，從學(xué)生的作業(yè)反饋可以看出，學(xué)生是真正會代這兩個公式了！

6、我想這節(jié)課的成功有以下原因：1讓學(xué)生與知識對話人們常用“冰冷”來形容公式，但公式冰冷的面孔后也有豐富多彩的故事。本節(jié)課通過學(xué)生與公式的相遇、溝通、認(rèn)同和理解，完成無聲的交流、心靈的碰撞和精神的對話，不讓公式成為冷漠的“獨(dú)白者”，讓學(xué)生認(rèn)識到基本不等式不僅簡潔、美麗，而且有用、好用，從而讓學(xué)生在主觀上產(chǎn)生學(xué)好基本不等式的愿望。2讓預(yù)設(shè)與生成相得益彰考慮到課堂教學(xué)時間的限制，對結(jié)論“若，有”，我本不打算在本節(jié)課內(nèi)講。作了這樣的預(yù)設(shè)：“若，是負(fù)數(shù)，是不成立的，那么的取值范圍是什么呢？這個問題在課后同學(xué)們可以繼續(xù)思考。”但學(xué)生并沒有完全遵從我的預(yù)設(shè)，在課堂進(jìn)入“請同學(xué)們創(chuàng)造幾個恒不等式”這個環(huán)節(jié)時，有同學(xué)給出了結(jié)論，許多同學(xué)迫不及待的去證明這個結(jié)論。下課鈴聲響了，一位同學(xué)突然提出：“老師股票也可能下跌，如果是負(fù)數(shù)，成立嗎？”雖然這些問題的討論打亂了我原來的方案，沒有時間進(jìn)行計(jì)劃中的課堂小結(jié)，但正是學(xué)生