高中數(shù)學(xué)知識點總結(jié)

1、高中數(shù)學(xué)知識點總結(jié)一、概念與符號L函數(shù)的概念一般地，我們有：設(shè)4 E是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng) 關(guān)系九 使對于集合力中的任意一個數(shù)X,在集合B中都有唯一確定的 數(shù)/(鬣)和它對應(yīng)，那么就稱廣AtB為從集合達(dá)到集合8的一個函數(shù)(function),記作：v= f(x)f xE A.2 .映射的概念一般地，我們有:設(shè)兒B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的 對應(yīng)關(guān)系使對于集合總中的任意一個元素打在集合A中都有唯一 確定的元素產(chǎn)與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)八A t R為從集合4到集合B的 一個映射(mapping)3 .函數(shù)的最值一般地，設(shè)函數(shù)y =fG)的定義域為人如果存在實數(shù)M滿足：(1)對

2、于任意的無EL 都有/Cx)之M)；(2)存在與E1.使得口)=四.那么稱M是函數(shù)y = fa)的最大(小)值，通常記為：= M 或 TOOmax = M (ymln = M 或八工)min = M).I奇偶函數(shù)等式的等價形式：奇函數(shù)O /(-X)= -/(x) O /(-X)+ 八X)= 0f(-x)O 今一=-1(/ 0)：fw偶函數(shù)=/(-X)= fM = f (r) _ f CO = 0f(x)第二、常用公式1 .幕指數(shù)運(yùn)算法則(l)d 出=Q+s,(Qr)s = QT (ab)r=arbr. (g > 0, r, s e Q)(2)當(dāng)ri為奇數(shù)時，W = a；當(dāng)九為偶數(shù)時，啊=

3、。之o， (a, a < 0.加(3)規(guī)定：an => 0, m, n C NS 且九> 1)；jn iQr=R(a>0, m, nE N",且n>l)； ana° = l(aw0).2 .對數(shù)恒等式alogaN = N, logfl a = 1, loga 1 = 0.(其中N > 0, a>0,且a?l)3 .對數(shù)運(yùn)算法則 設(shè)a>0,且a#L M>0, N>0,則loga(MN) -loga M 十 loga N,10ga 得) = 10gaM-10gaM10ga Nn =71 log。N4 .對數(shù)換底公式10

4、grbr-log。b = (a > 0 且q w 1 ； c > 0 且c w 1 ； b > 0)logcQ一概念與符號1 .函數(shù)的零點對于函數(shù)丫 = /(%),我們把使f。)= o的實數(shù)算叫做函數(shù))，=的零 點(zero)2 .二分法對于在區(qū)間匹 可上的連續(xù)不斷且/(q) /(B) <。的函數(shù)、=/(%), 通過不斷地把函數(shù)rw的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端 點逐步逼近零點，進(jìn)而得到零點近似值的方法叫做二分法(bisection)。二、常用公式L二次函數(shù)式：/(%) = ax2 + b尤 + c = a(x x1)(x x2) = a (% h.)2 +

5、k (其中a *0, h =且,k = 2a4a /2 .二次函數(shù)圖象在x軸上兩點間的距離，以1 一兀21 = >/01 + 小)2 4%2 = b 4"， |G|3 .方程a/ + 2x +。=0(a 豐 0)：(1)判別式A=b? 4ac；(2)求根公式0,2= 士包(A之0)；(.b11 + 勺=，(3)根與系數(shù)的關(guān)系 、0Mx?= 'a三、常用定理1 .零點存在定理一般地，我們有：如果函數(shù)),=(尤)在區(qū)間原 刊上的圖象是連續(xù)不 斷的一條曲線，并且有f(G)ro)<o,那么，函數(shù)y = r。)在區(qū)間 (Q, b)內(nèi)有零點，即存在c£(Q, b),

6、使得/(c) = 0,這個。也就是方 程/(無)=。的根62 .二分法的操作步驟給出精確度口用二分法求函數(shù)/(%)在區(qū)間a,同上零點近似值的步 驟如下：(1)確定區(qū)間a, b9驗證/(a)，S)<0,給定精確度z；(2)求區(qū)間(q, b)的中點C；(3)計算“C);一、常用公式S圖柱全=27rr(r + Z), % =S/i；S國錐=7rr(r4-Z),喉=;5h；S圖臺=兀(r'2 + 廠2 +廠，+打)，% =；(S + 6W + S')/i；S球=4/tR2,= 7i2-二、常用定理(1)用一個平面去截一個球，截面是圓面.(2)球心和截面圓心的連線垂直于截面.(3)

7、球心到截面的距離d與球的半徑R及截面半徑r有下面關(guān)系：r = /R2 - dz.(4)球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做大圓，被不經(jīng)過球心的截 面截得的圓叫做小圓.(5)在球面上兩點之間連線的最短長度，就是經(jīng)過這兩點的大圓在 這兩點間的一段劣弧的長度，這個弧長叫做兩點間的球面距離.一、概念與符號平面a、尸、y,直線a、b、c, 點B、C.A e a點1在直線a上或直線a經(jīng)過點4a u °直線a在平面a內(nèi).a C (3 = a平面a、尸的支線是a.a£平面a、/?平彳亍.Z? -L y平面z?與平面Y垂直.二、常用定理L異面直線判斷定理過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線，和平面內(nèi)不

8、過該點的直線是異面 直線.2 .線與線平行的判定定理(1)平行于同一直線的兩條直線平行.(2)垂直于同一平面的兩條直線平行.(3)如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平 面相交，那么這條直線和交線平行.(4)如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平 行.(5)如果一條直線平行于兩個相交平面，那么這條直線平行于兩個 平面的交線.一、常用公式1 .設(shè) Q = （。1,。2，Q?） 9 b （&_,與，匕3），A（%, 3，i , zj jB（x2f y2, z2> 則（Dim = Vai+g2 a3 ； 8S（Q, b）= 1;3 bg ；/+名+WJb

9、-布畫= TV +。公 一 內(nèi)尸 + Q1 22）2.2 .中點坐標(biāo)公式已知力。±,鳧，zj B（x1, y2, z2）,若M（£, y, z）是線段的中點，則有無=也當(dāng)，y =紅空23 .異面直線所成的角設(shè)異面直線CD所成角為8,則cos0 = |cosMB, CD） =1Asyd |4.直線與平面所成的角如圖，已知P4為平面儀的一條斜線，九為平面a的一個法向量，過P作平面a的垂線P。，連接。4則NP4。為斜線P4和平面a所成的角，記 為以 易得：sin8= sin（； 伍，前）|=|cos< 費）| = J；需" 5.二面角的向量求法基向量法，如圖，二面

10、角4 -BD- C中，AE LBD,CF 1 BD,AC.EF. AE、CF長度已知，則由同廣=（標(biāo)十加十定產(chǎn)可求出cos（荏，F(xiàn)C）, 從而求得（荏，F(xiàn)C）,則二面角力一夕。一。的大小即為九一（霹，F(xiàn)C）.法向量法，已知二面角a-1-0的平亙角為6,貝I|cos &| = |cos<n1, n2）|（其中叫,%分別是兩平面a、0的法向量）.再結(jié)合直觀圖確 rlris 定6是銳角還是鈍角，從而去掉絕對值號，結(jié)合反三角函數(shù)求出夕6 .點尸到平面a的距離設(shè)點P到平面a的距離為乩 則d = 臀（其中h為a的法向量，M為平 Ini面a內(nèi)任一點）.7 .異面直線間的距離設(shè)異面直線/B、CD

11、間的距離為心則|BC-w| BD n=手?= 里W（其中n滿足4用 =0,且相而 = 0）. Ini n注意？異面直線間的距離問題在新課標(biāo)中有所淡化，此公式僅作了解即可.要注意體會點到平面的距離公式與該公式的聯(lián)系，從而體會點面之距、異面直線之距間的相互轉(zhuǎn)化.二、常用定理1 .設(shè)a =(工i j y，b = (x2 y2 則(Da | bb 工 0) o= A%2,% =到2,Z =9若尢2yzz2豐0,則。II b=m=區(qū)=幺天(3)。JL h 0 x±x2 + 3jr2 十 ziz2 = 02.共面向量定理：如果兩個向量a、b不共線，則向量c與向量。、力共面的充要條件是存在唯一的一

12、對有序?qū)崝?shù)無、y,使c = xa + yb.一、概念與符號L傾斜角在平面直角坐標(biāo)系中，對于一條與尢軸相交的直線，如果把工軸繞著交 點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時所轉(zhuǎn)的最小正角記為處 那么a 就叫做直線的傾斜角，當(dāng)直線和工軸平行或重合時，規(guī)定其傾斜角為0、 因此，傾斜角的取值范圍是a v 180°.2.斜率傾斜角不是9(r的直線，它的傾斜角的正切值叫這條直線的斜率，常 用k表示，即左=tan a,常用斜率表示傾斜角不等于9。的直線對于軸的傾斜程度.、依逆時針方向旋轉(zhuǎn)到與%重合時所轉(zhuǎn)的角.44和巳所成的角。和%相交構(gòu)成的四個角中不大于直角的角叫這兩條直線所成的角， 簡稱夾角.三、常用定

13、理兩直線位置關(guān)系的判定與性質(zhì)定理如下:( 1 )當(dāng)，=4工“+ b» l2：y = k2x-F b2平行；k=化n，旦dX b2垂直：k=k? = 1本目交：k* K k2重合：k± 一】。2且/一久(2 ) 當(dāng)工工：4工工+ 8工37+ C=0> Z2：42x + B2y + G平行:AA2£±垂直：241y+ B8n = 0相交：力工邑大冬氏重合：d = 3,且2 = 1(/4既=應(yīng)8工，曰N1C2 = A2C-i)一、概念與符號1 .曲線的方程、方程的曲線在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C (若做適合某種條件的點的集合或 軌跡)上的點與一個二元

14、方程/(t, y) = 0的實數(shù)解建立了如下的關(guān) 系：曲線上的點的坐標(biāo)都是這個方程的解：以這個方程的解為坐標(biāo)的 點都是曲線上的點.那么，這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線.二、常用公式2 .圓的標(biāo)準(zhǔn)方程方程(X a)2 +。 b)2 = *是圓心為(a, b),半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方 程.其中當(dāng)a - b -。時，X2 4- y2 產(chǎn)表示圓心為(0, 0)，半徑為7的 圓.3 .圓的一般方程方程/+* +。X+ £)/ + /7 = 0,當(dāng)。2 +方4F>0時，稱為圓的一般方程.其中圓心為(？， 半徑D2 4- E2 4F4 .圓的參數(shù)方程設(shè)C(a, b),半徑為此

15、則其參數(shù)方程為僅=a+ Rcos6s*裊拓、ty=b + Rsin8(°為參數(shù)'°a°<2兀).4,直線與圓的位置關(guān)系設(shè)直線I： +=0,C： (% - a)2 + (y bp = r2.C(Q,。至”的距離為d =”:嘉°則d>T與圓C相離;d = r 0 I與圓C相切;4<丁。1與圓。相交.D.與圓的位置關(guān)系設(shè)圓Ci： (x-aj2 + (y-bj2 = r2,圓G： (x-a2)2 + (y-fc2)2 =R2.設(shè)兩圓的圓心距為d,則當(dāng)d>H+r時，兩圓外離;當(dāng)& = 7?+廠時，兩圓外切;當(dāng)|Rr| <

16、;d< R + r時，兩圓相交;當(dāng)d=|R-r|時，兩圓內(nèi)切;當(dāng)d< |R川時，兩圓內(nèi)含.一、橢圓1.橢圓馬 += l(a > b > 0), c2 = a2 - b2(c > 0),焦距| = 2c.2.如圖 5-3TL橢圓'十匕0)的離心率有：e = ( = Jl-.二、雙曲線1 .雙曲線J 今=1(。0, /? 0),有小=2 +)2,焦距 a2 b21尸£| = 2乙且詵”)，笈(尢2，%)，力笈所在直線的傾斜角為巴則尢1 "*2 =V1 V2 = -P2-4|/F| = x1 4- |BF| =9 十 AB | =+ %2 +

17、 P = sj：8 -特別地，當(dāng)時8 =多 弦長I川=2小 此時即為拋物線的通徑長.以。8 =熹V過8作BC尢軸，點C在;隹線上，貝1力、B、尸三點共線=/、0、C三點共線.四、直線與圓錐曲線的關(guān)系1 .弦長公式：AB | = V1 + 2|%! - x21 = Jl 4- |yt y2 |.2 .拋物線的焦點弦|4B| =4- x2 4- p.3 .拋物線的通徑|/8| = 2p.一、常用符號無平均數(shù)，S2方裝，s標(biāo)準(zhǔn)差，Z求和符號二、常用公式無=芯 O, + *2 + + xQ, S2 =專d（Xj 正）2s = 式符一無）z，b =強(qiáng)曹#, a = y-bx回歸方程歹=a + bx其中f

18、r = 211（匕一元）一50 =/”一小八下< 2以式七一無）2- 2n iX2 _2 '（ a, = y 2?元.相關(guān).系數(shù)r =一 %” V：元刀J（2K 一九五 2）. 6 乂2 一九產(chǎn)）一、常用公式1 .隨機(jī)事件/的概率：P（A）滿足0 W尸（力）$ 1.2 .互斥事件的概率加法公式：（1）女口果力、8是互斥事件，貝！J尸（4U E）=尸小）+尸（B）.（2）如果/、B是相互獨立事件，貝UPG48）=尸（/尸（B）.（3） 口果事件/工，幺2，/1fl兩兩目斥，貝！JPQA1UA2UA3U-UAn =尸 Q4 工）+ PQ4z）+ +3 .互為對立事件概率加法公式，尸（

19、方）+ FQ4） = 1.4 .古典概型，尸5=事件4包含的基本事件數(shù)5 .幾何概型：尸”）=構(gòu)成聿件q的區(qū)t或長度（面枳或體積）« , 一 試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)I或長度（面積.或體積）.特別地：(1)若X服從兩點分布，則JO(X) =p(lp)(2)若XBg p),貝llO(X) = np(l p)(3) O(aX+匕)=Md(X)8.正態(tài)變量概率密度曲線的函數(shù)表達(dá)式：J(工一口產(chǎn)式工)=春。"Z , xGR其中出(J是參數(shù),且(T > 0, 8 < P < 4-00,式中和CT分別是正態(tài) 變量的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差.期望為，標(biāo)準(zhǔn)差為。的正態(tài)分布通常記作

20、NQt, a2).當(dāng) =0,。=1時，正態(tài)，總體稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作N(0, 1).標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的函數(shù)表示式是/(x) = -；=e_2, x e R.一、常用概念1 .角的概念及推廣(1)一條射線由原來的位置04 繞著它的端點。按逆(順)時針方向 旋轉(zhuǎn)到另一位置。8,就形成角a.旋轉(zhuǎn)開始時的射線。4稱為角a的始 邊，旋轉(zhuǎn)終止時的射線。8稱為角a的終邊，射線的端點。稱為角a的 頂點(如圖).、a(2)逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角稱為正角，按順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成 的角稱為負(fù)角，當(dāng)射線沒有旋轉(zhuǎn)時，稱為零角.2 .弧度及弧度制長度等于半徑長的弧稱為一弧度的弧，一弧度的弧所對的圓心角是一 弧度的角，這種

21、度量角的制度稱為弧度制.3.三角函數(shù)的定義如圖，在a的終邊上取一點尸O，y), OP = r = yjx2 + y2 > 0,定義：sin a = -, cos a = -f tan a =- rrx二、常用公式1.孤長公式：I = aR, A為圓弧所在的半徑，a為圓弧所對圓心角的弧度數(shù)，工為弧長.2 .扇形的面積公式,S = -Z/?, R為圓的半徑，L為弧長.23 .同角三角函數(shù)的關(guān)系式(1)商數(shù)關(guān)系：tana =迪士， cos a(2)平方關(guān)系：sin26r + cos2a = 1(3)誘導(dǎo)公式：X函數(shù)sinxcos Xtanxa + k 2nk e Z)sinacos atan

22、ait + a- sinacos atan orasin acos a tan aft - <xsina- cos atanaIT 2-acos asinarr2+acos a sin a三、常用結(jié)論1 . 一些特殊角的集合表示 與a終邊相同的角的集合，伊|/? = 2左加+匿fceZ）；終邊在第一、三，二、四象限的平分線上的角的集合: a|a = kn + / k e zj,a | a =, k £ z；pp = kn-, k e z；終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合,終邊在四個象限的平分線上的角的集合，aa =竺十 二% EZ).24)2 .度與弧度的換算及特殊角的三角函數(shù)值度(T

23、30145160*90*1802701360*0JT6n46n2n3jt2 IT正交012成VJT10-101V3T色 T120-101正旬0T1V30IB0一、常用圖形1 .三角函數(shù)線2 .三角函數(shù)的圖象（如圖9-2-23）二、常用性質(zhì)函數(shù)名稱正弦困數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)解析式y(tǒng) = sin3y = cosxy- unx定義城RRxx 6 R且彳工 kn + j'k ® z值域-1，1H，1R奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)有界性有界函數(shù)有界函數(shù)周期性T = 2ttT=2jtT = 7T單謁性增區(qū)間r7TJT12kn-, 2fc7r + d 乙乙城區(qū)間rn37rl卜"+之，2

24、丘+彳CkeZ)增區(qū)間 2kn - it, 2kn (keZ) 城區(qū)間 2kji 2kn + tt (kWZ)增區(qū)間(kTT-g, 汀 +g) (fceZ)三、常用公式1 .正弦函數(shù)y = A sin(a)x +仍和余弦函數(shù)y = A cos(a)x +卬)的周期丁 271丁=疏2 .正切函數(shù)y = A tan(wx + 9)的周期為T =畝一、常用公式1.兩角和(差)公式sin(a ±/?) = sin a cos 0 士 cos a sin 0；cos (a ±0) = cos a cos /? + sin a sin/?；tan(a ± 0)二tan cr+

25、tan 011tana tan R2 .倍角公式:sin 2a = 2 sin a cos a；cos 2a = cos2 a - sin2 a = 2 cos2 a - 1 = 1 2 sin2 a；tan 2a =2 tan a1tan2 a3 .倍角公式的逆用:tan-2=土1-cosa1+cosa一、常用公式1.三角形面積公式S»abc =三底 X 高 =-absmC = - be sin/ = - acsin B =-UAQL 22224Z2其中H為力EC的外接圓半徑.二、常用定理1.正弦定理，=-=-=2R. sin A sin B sin C2.余弦定理：a2 = b2

26、 4- c2 2 de cos A, £2 = a2 4- c2 - 2 accos B,c2 a2 -+- b2 2 ab cos C.一、常用公式設(shè)q、b表示向量，且a =(%，%), b = (x2,%)，入表示實數(shù).1 .加法原理：a + b =(九 + %2> % +)，2).2 .減法原理，a-b= (%i-x2, % -")3 .數(shù)乘，Aa =(Ax1,入%).4 .數(shù)量積：a - b = x1x2 + yry2- a b = abcos0 (其中6為a與b的夾角)5 .平行關(guān)系：a II b a xrx2 jy2 = 0-（1） |a| = yjx2

27、4- y2,其中Q =（工，y）；2） ImI = 盯）2 + 61 2尸,其中A（x” ”），B（%2, y2）.10 .角度公式：8s6 =/ =亍叁篤用=,其中。為a與力的夾角. la,lbl二、常用定理L平面向量基本定理如果用、.是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量.那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對實數(shù)入！、七，使a = %一十 ”.11 兩向量共線定理向量力與非零向量a共線的充要條件是有且僅有有個實數(shù)兀 使b =入口12 兩向量垂直定理向量a與向量b垂直的充要條件是a b = 0.一、常用公式1 .等差數(shù)列、等比數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列定義*1-4 =d八十1- q an通項公式an

28、 = at + (n l)d, an =+ (n- m)dan = at Qn_1, 5 = amqn-m公差（比）d = =y(nw D， n-1 v,ta九一Cm，一、a =(n 亍 m)n Tnq3=當(dāng) An-m 4%q - -前711頁和公式n(at + an)勿一2n(n -1) =na. Ha2Sn = nat(Q = 1)中項公式a + BA =2G = +Vab(ab > 0)m + n=p + q=+%=' + %"a” =2 .在等差數(shù)列中，(l)an = m, am = n, mrt,貝戊粗+九=0；(2)若S九=m, Sm = n, m * ri

29、, 貝USm+n = (m+ n)；(3)右Syj Sm 9 771 W 71 f 則5工+八0.3 .若Q。與%均為等差數(shù)列，且前九項和分別為Sn與,則署=A bm 弓m一工4 .項數(shù)為2九5 GN")偶數(shù)的等差數(shù)列a J有： s2n =九（Q1 + a2n）=n（an + Q+DSn，Qrz+l 為中間的兩項）;ana7l+l項數(shù)為奇數(shù)271 - 15 £ V)的等差數(shù)列Q/有，Sm =(2九一 1) 0n 為中間項)；S奇一 5偶=Q3S奇、S偶分別為數(shù)列中所有奇數(shù)項的和與所有偶數(shù)項的和.5 .常見數(shù)列的前九項和的公式1 + 2 + 3+九=9* 21 + 3 + 5

30、 +1- (2n - 1) = n2*F十22十32十十/:613 + 23 + 33 + . + / =二、常用結(jié)論LA是a, b的等差中項的充要條件懸4=空與 22. G是a, b的等比中項的充要條件是G2 = ab,其中ab > 0.L不等式的性質(zhì) a > b 0 b v a：q > b9b>c =>a > c:q > b =>a+ c >b + c a > b,c>0 =>ac > be； a> b, c < 0 => ac < bea > b,c>d na c >

31、bda > & > 0, c > d > 0 => ac > bda > Z? > 0 => an > bn (n E N, n > 2) a > b > 0 => ya > e N, n > 2)2.一元二次不等式, ax2 -¥ bx + c > 0(a豐0),設(shè)與、七是方程+ bx+c = 0的解,且%! < %2,若Q > 0,則A> 0, xx < x13 或% >%2卜A=0,a bx x ER,且工。一二一 2 aA<0, r

32、 6 R.3.基本不等式, yab <（其中q>0, b>0,當(dāng)且僅當(dāng)Q = b時取一、常用符號pVqp或q,pAqP且q，非PV任意7存在A = B是B成立的充分條件B = A是B成立的必要條件A = B4是E成立的充要條件二、常用結(jié)論1.2.在p或q命題中，一真為真.3 .在p且q命題中，一假為假.4 .在非p命題中，與p的真假相反.5 .全稱命題p： V% 6 M, p(x),它的否定叩：3xEM, p(x).6 .特稱命題q：G M,式兀),它的否定VxE M, q(x).一、常用公式1 .常用函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式(1) C = 0(C為常數(shù)):C2) Qxny =九'

33、;二】(其中71 e R)；C3) (sinx)z = cos x：(4) (cosx)f = sinx；(5) (InxY =i;X(loga x = -7； xna(7) (exy = ex(8) (a» = ax Ina.(9)復(fù)合函數(shù)y = f(g(x)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y =間的關(guān)系為：=此'鞏/.2 .函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)/(x)±g(x), = r(%)±g,(x)； t/3) g(x)f=ru)g(x)+gwco；(3)ya)，_ /g'GfcoLg(r) Jg2 w3 .定積分的線性性質(zhì)(1) . kf(x)dx = k/(x)d

34、x；<2)rfOO ± g(x)dx = C/(x)dx ± r g(x)dx： +。f (x)dr (a < b <u = g(x)的導(dǎo)數(shù)c).(3) J/(x)d% = J/(x)dx二、常用定理L函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)的關(guān)系在某個區(qū)間(q, b)內(nèi)，如果廣(乃>0,那么函數(shù)y = r在這個區(qū)間 內(nèi)單調(diào)遞增；如果/'(乃<0,那么函數(shù)丫 = 尢)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞2, 一般地，求函數(shù)y = f(x)極值的方法是：解方程廣(乃=0,當(dāng)尸(與)=0時：如果在/附近的左側(cè)尸(工)> 0、右側(cè)尸(x) V0,那么了(%)是極大如

35、果在與附近的左側(cè)廣< 0,右側(cè)廣> 0,那么f &)是極小3, 一般地，求函數(shù)y = /(%)在如可上的最大值與最小值的步驟如 下：求函數(shù)y = /(6在(a,匕)的極值；將函數(shù)y = /(x)的各極值與端點處的函數(shù)值/(a),頒比軌其中 最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.4,微積分基本定理如果/6) = /&),且/1(%)在如匕上可積，則(勸dx = F(x)|： = F(b) F(a),其中F(x)叫做/(%)的一個原函 數(shù)一、帛用公式1 . (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i(a + by) a + di)

36、 = (a c) + S - d)i(a 十 bi)Co + aii) = Que bd)十 Qad 十 bc)i9a -f bi c +diac+ Ddife 十 di K 0)(以Jta、b、 c、 d e R).2 ' Z ，Z 2, Z ，Z 2 >z 1 z2. = Z1. Z2，百一袋a2 r 0),z - z = z2 , z = z.3. IzL zz M |z工 士 N2| M |n" + zz,|NNnI = Izi»IIzn|s沖I = yl-2r2 I In? Iz n = zn I，Vm = |Wi|.一、常用公式1 .排列數(shù)公式：A

37、1 = 7i(n l)(n- 2)- (n -771+ 1) = r n，. (m、且山式孔). (n-mJ!2 .排列數(shù)性質(zhì)：£ =曲二3 線1 ="iA魯二；+縹_i(m、nEN”且mMn)3 .階乘：？1! = 1 X 2 X 3 X X 兀；=n!；規(guī)定0 ! =1；常用變形:n-n! = (n + l)!-n!.(ne N4)4 .組合數(shù)公式，C獸=箓=胞匚絲產(chǎn)吧2 =需/；規(guī)定£ = l.(m、7i£Ammi7n!1Ti-7nJ!N*且m < n)5 .組合數(shù)性質(zhì)：Cm _ pn-m n ，rm _ rm pm-1.Ln un-l 丁

38、un-l ，pm _ 2im-1.j -mJT 'C獸=C1 + C- + C霖1 + + Cz二;.(以上m、n E N*且m < n)6 .二項式定理：(a + b尸=C°an + C 濃 71Tb + + Can-rbr + + Cbn(O <r <ri, reN, neN C；叫做二項式系數(shù))，a、b是任意的數(shù)、代數(shù)式. 特別地，(l + x)n = 1 + Cx + cx2 + + C*廠+ + Cxnf(a - b)n = Can "*q”t+ Can-2b2 一 + (-l)rC；an-rbr +(-i)y煦7 .二項展開式的通項公式

39、，Tn =。+-丁/（0Wti，t£N，ri £N）8 .+禺+啜+.+大=2,或+第+第+=C +第+/+=2f （ri & N*）二、常用結(jié)論1.含有n（riEN）個元素的集合的子集數(shù)為2%真子集數(shù)為2”-1.2,組合數(shù)恒等式MEN）（叱¥+ （禺產(chǎn)+ （鬃尸+. +（5尸=pn _（2乳）!2n =麗L極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化設(shè)M為平面上的一點，它的直角坐標(biāo)為(x, y),極坐標(biāo)為(p,。).由 圖可知下面的關(guān)系式成立：% = pcos0 J p2 = X2 +y2,y 二0sin 9 =2 w 0)順便指出，上式對p < 0也成立,這就是極至標(biāo)

40、與直角坐標(biāo)的互化公式.2,圓的極坐標(biāo)方程圓心在極點，半徑為R的圓的極坐標(biāo)方程為° = R.心在極軸上的點(Q, 0)處且過極點。的圓的極坐標(biāo)方程為p = 2a cos 9.圓心在點(a,習(xí)處且過極點的圓的極坐標(biāo)方程為 =2asi 0 < 0 < 7T.注：當(dāng)圓心不在直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸上時，要建立圓的極坐標(biāo)方程, 通常把極點放置在圓心處，極軸與支軸同向，然后運(yùn)用極坐標(biāo)與直角 坐標(biāo)的變換公式.X =X(> + PCOS(9_(P2 = a %)2 + 6一 %)2y = y0 + p sin 0 0 tan 0 =3 .直線的參數(shù)方程直線的參數(shù)方程可以從它的普通方程轉(zhuǎn)化

41、而來，設(shè)直線的點斜式方程 為y 一 比=Q -x0).其中k = tana, a為直線的做斜角，代人上式，得y-y0=（x-%0）,嗚艮乃=?.記上式的比值為t,整理后得卜為+3 %（y = y0 + tsina.這是直線的參數(shù)方格其中參數(shù)陌明顯的幾何意義.在直角三角形M泗中，M川=|工-端，|MA| = |y-%|, |%M| = |t|,聊|表示直線上任一點M到定點M。的距離.4 .圓的參數(shù)方程若圓心在點場（如y0）,半徑為R,則圓的參數(shù)方程為0 < t < 2ti.x = xo + /?cos0, y = y0 + /?sine,5 .橢圓的參數(shù)方程若梅的中心不在原點，而在點

42、M。（卬%）,對稱軸與野軸平行的 的胭的參教方程為:i = io + acost, y = %+bsint,高考數(shù)學(xué)終極版知識清單L集合與常用邏輯用語笠合亡?；业牧Ｐ訰集外的含乂1友小元素與集合的關(guān)嘉T確定性，T(異性T無序性L卜屈hj t不植T e一列書法 t|加合的表不法I T描述法L，面那法集合同的基本關(guān)匐值 三B0Tk立川一工會丹 t 真?第集 合 與 第 用 期 舞 用一畫T尖合的基本運(yùn)臥T網(wǎng) 幽eA-iiA = Hnjidi-AA U 8=r| 工w Aot-XE 團(tuán) 月門丹-舊工亡AatidxB i A邛|心"泌dx w可里如否俞昱園用命屋及其關(guān)系JL力逆互力為也總J

43、I -.賽哲命題 P出必為充分上必要條件0 pnq、qf ?f ；市用邏輯河講f|四肝條件|p*刊為必要.充分條件Q中*外9 pp是H的充要條仃。/n5.W網(wǎng)充要條ft 1前互的)P心裕設(shè)仲充分工非必要條件o廣于小g W pf或(山：pv(f -翼則M一匿函邈函卦，1 1的力；pngf-齦氏-非(not)：1產(chǎn)p與p真假相反IYY司；一全稱量詞：Mr全稱命題.況代同一口(工)【序誤提醒】(1)所究一個第合普光要看秦臺中的代表元亦 然E野看元素的限制條件：當(dāng)集合用描述法表示時,注意弄清其 元素表示的賽義常見幾種桀自及其含義;集合x|/W>0比=/(切含義方程的解集不等式./a)>u的

44、解集函數(shù)了=/5)的定義域集合川尸/(必(w):/")L j引,)二0| 。；州乙x AUi(xj) = Oj含義函數(shù))=/(1)的值域曲線，=/(工)曲線工(KJ) = 0與/；(&» =。交集<2>在解決含參數(shù)的集公問題時,要注意槍艙集合中元索的互異牝！<3)在進(jìn)行集合的運(yùn)算時婆盡可能地借助【加”圖和數(shù)軸，使抽象佝題直觀化：一般地，集合元素需散時用密必圖表示，集合元素連續(xù)時用數(shù)軸表示，用數(shù)粕表示時注意端點是實心還是空心！(4)在解決有關(guān)/u8MU6 = BMn8 = /Mn8 = 0等集合問題N，務(wù)必要考慮4("8) = 0是否苻合題

45、恚！ <6)令題的否定與否命題:命題命題的令命題命題4的否定-4著。，則。若、p,則4若P.則。(6注意區(qū)九：p是q的充分*必要條件(P = q,q® p)'Jp的充分*必要條件是q( P中q,qnP)的不同!(7) (pvq)二(p)A( q). (p八夕)(p)v(1).【必記結(jié)論】L常用數(shù)集及表示:集合自然數(shù)集正蝴竦賽集有理教集春都理81集實數(shù)集正實數(shù)集復(fù)效失表示NN, "V20(XRR.C2. (1) 0cA 0(4±0)(2)若集合4的元素個數(shù)5=八則/的子集個數(shù)為2。算子集個數(shù)為2.,非空自子能個數(shù)為2"-2.4U0 = 0U乂

46、=1./U/ =4.1U8 = BU/；3. (1> 4rl0 = 0。4=0.4。/=4/0夕=8,4：4 U &乂)=. A fl C") = 0, % (* 由二 4(3)川8 =304曰0箱8 = 4【必各方法】(1)利用“農(nóng)力逆臺命題的兩個含宓具有相同的且假件/這衿等價關(guān)系群段:充分條件、必要條件的判定方潟 定義法、桀合溫等價法.具體如下;0條（版g對鹿的奧會分發(fā)加k B. QI由I77A U B. B z .4用夯介I/密在伴 夕是冏充分且必要條件世決勺舊）無分又小必1條仲 勺是沖戰(zhàn)；充分N?Z甚條件P收的信要手充分條件 ?即T；玄分三必表備作p是盛充分豐必

47、要每付9即倒必要寺充分條件qn P，0%是狗必要+充分條件 3,廠窗;充分主辦要&體戲的充分，必曼條件 O毅或必更充分笑作-系，的有分習(xí)必藜條M oq定/qt勺.1Z條件一夕星一4與鳳丁充5）又甘必要條件 o命題名稱真假定義法等價法全稱命題：丸集合M中每一個元素工，恒有p（x）成立假Vr.W,/Kx)假集合A,中找到一個元素餐,使行雙天）不成立否a/E特S冷黑真集合M中找到一個兀索X，使得p（x）成立為假m%wA7,p(*假集合M中使得p（x）成M符元索x不4 4a唯淮電）充分又。辦裝條件（3,¥稱命題真假的判定方；：（4）含有一個一詞的命題的否定（交換最訊 否定結(jié)論上命題命

48、題的否定全稱命題；Vr«A/» p（x）特稱命眼：認(rèn)eM>k）特砍命題：以el工雙）全稱命題:VxeA/t p(x)2 .函數(shù)的概念及其表示【易遇提醒】（I）函數(shù)與映射的芳異:映射中兩個非空集合4月特例成非空教集就是函教.（2）曲數(shù)的定義域知值域都是空致集?。?）解決與函數(shù)有關(guān)的一切問題的原則：定義域優(yōu)先?。?）分段函數(shù):定義域等各段函數(shù)的定義域構(gòu)許出（各內(nèi)定義域不餞伊5市!）：值域等各段函數(shù)的僧城的井泉：福圖象時注意是否含揣點.若含端點用實點,否則用空心點!設(shè)a房是兩個去空優(yōu)缶 如果按束一個確定的對應(yīng)美和；使對r狄格卜的任意,個元、 索工，在集合心，都僅隹哧定的元物

49、與之對應(yīng)，則利：.4t8為從/倒找J 個映射.，設(shè)4 8是兩個非空數(shù)集，如果按某種偷定的對應(yīng)關(guān)於，使MJ,集合:的任意、 個數(shù)工農(nóng)集合用科fi唯確定的數(shù)_/U）和它對應(yīng).則稱/ 4 T網(wǎng)從4L 硼一個函數(shù),4M做定義域，八。加/叫做值域.麗數(shù)的相念及其去示f解析法T圖象法f列表法T 陋定義域和對應(yīng)美系都相同的兩個小數(shù)叫做相等函數(shù)>1分段函數(shù)r具體函數(shù)的定義域（分式、偶次根式、*指對、三角等）一實際函數(shù)的定義域（使得解析式及實際問題都有意義）一復(fù)合函數(shù)的定義域荒/（r）的定義域為川，她：/lg（x）的定義域為.r|g（rR a hH【g3l的定義域為labj,則/W的定義域為烈訓(xùn)證與t|對

50、應(yīng)關(guān)系K利用配送法、換無法、待定系數(shù)法、密方程組法、賦侑法等求解析式）研討利用苣接法、配方法、換無法、法本不等式法、單調(diào)性法、數(shù)形結(jié)合法、分離常 數(shù)法、導(dǎo)數(shù)法等求值域.3 .函數(shù)的性質(zhì)【易俁提醒】（|）單調(diào)區(qū)間是定義域的子集,所以求單調(diào)區(qū)間時要先確定函數(shù)的定義城:（2）的調(diào)區(qū).間只儲用區(qū)間表示.不能用不等式或集合的描述法表示：若單調(diào)攙（減）區(qū)間不止一個,應(yīng)分機(jī)寫出用逗號，”分開,不能用“或”聯(lián)結(jié),也不傕用并集符號“U”聯(lián)結(jié)！【必記結(jié)論】1 .（1）若/a）.g（K）均是區(qū)間d上的增（減）函數(shù),則幻+奴工）也是/）上的增（減）函數(shù)：2 2） h/（x）與/（燈的單調(diào)性當(dāng)內(nèi)>0時相同,當(dāng)上&

51、lt;0時相反：<3），a）（/（x）>o）在公共定義域內(nèi)q_L的單調(diào)性相反：/（X）（4） /（x）（/（x）20）在公共定義城內(nèi)與師T的單調(diào)性相同.對定義域內(nèi)某個區(qū)間上任意兩個口變k妁值斗士且受 j/偽） （）/（&）。/（X）在 l-Ji增（減）由數(shù)=，.？必 «）0V« -O（工】-2） 1/（巧）- /（、2 ）1 （W'對/定義域內(nèi)某個區(qū)間。上門左至右看圖象是逐漸上升（卜降）0 /（刈、在D上是增（減）函數(shù),t|攵合函數(shù)法|'/|g（X）W單調(diào)性：內(nèi)（g（X»外夕）單調(diào)性相同則珀,內(nèi)（g（x）外'單調(diào)性相反則

52、誠）T叵豳對口。）定義境內(nèi)某個區(qū)向WUT）（）0,則f（x）4：/川出（減）卜I解不等式住要是利用生調(diào)性將函數(shù)符號“脫拉，轉(zhuǎn)化成白變量的不等關(guān)系 用 1比較大小心要坦通過物擊單調(diào)由數(shù),將自變丫轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，利出單調(diào)性 M 1南麗主要是利用“閉區(qū)網(wǎng)匕的單調(diào)函數(shù)在端點處雙待最侑”-I含參數(shù)問的F要是先碓定由數(shù)的單調(diào)區(qū)間,然后勺已知單調(diào)區(qū)間比較解決參數(shù)問!g而 數(shù) 奇 鴿 ,空 判 定數(shù) 周f期 性 判 定定義法/（燈的圖象關(guān)于，細(xì)對稱o 燈是？函數(shù) 原點奇“奇士奇”是奇,“奇X小奇”是偶 畫四T“偶士x+4T是偶T “奇X偶”是奇（，仁）定義域為，若存在非零常數(shù)7；對Yxc/*Mj/a

53、+ r）-/m）=力圖fixr）=f（xr則/為周期函數(shù)，7為/（幻的一個周期22/'小用好（若在周期函數(shù)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，則這丫1個最小正數(shù)叫做/（x/J最小正周期）,T |怪象法| W的圖。呈現(xiàn)“周而復(fù)始”的變化，則K）是周期函數(shù)2.函數(shù)中的存在性與任意住問題:已知函數(shù)/（外在。上連續(xù)函數(shù)g在外上連續(xù),則(1> V.rw/)| J(x)N 恒成。9/(刈皿 >a,xe D: Vxw J(x) 4。恒成 No /(g <a,xe D:W"",/(%)N。成比= /(x)m Na、xwR ： %£%,/(%)“成立o/(x)

54、 1Tm “，卜七 A .(2) VreflD2),/(x)>g(x)恒成立c/(r)-g(K)K >0,xw(功f)D?)；% g( A n d:)j(x()> g(/)成立 o if(x)- g.)L >o,r(onft). 3xID,3r2Z)2 .使得/(M = g(三)o /OOIxwDjnk口工。：5wQ坦 g/)；,使得/«) = g(x：)o /(x)|xw/)Ju|g|xc/)J； Vr eDj,Ve/A ,使得/«)>g。/2 >g(x)1r“ ； 加心叫wo1,耳w。,使fg/a)>g區(qū))。/儂乂叱 雙4 m£>2(5)Vr,6 ",訓(xùn) ",使 ft) f(x.) > g伍)o /(x)g > "). ；叫牛也心,使得/(Xj>