人教A版高中數(shù)學(xué)五第二章第三節(jié)《等差數(shù)列的前n項和》教學(xué)設(shè)計

1、人教 A 版高中數(shù)學(xué)五第二章第三節(jié)等差數(shù)列的前 n 項和教學(xué)設(shè)計浙江寧海知恩中學(xué)王麗亞【一】內(nèi)容及內(nèi)容分析本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容是？普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學(xué)5？人教 A 版中第二章第三節(jié)等差數(shù)列的前n 項和第一課時是數(shù)列的基本概念和等差數(shù)列知識的延續(xù)，該數(shù)學(xué)模型在實際生活中有著廣泛的應(yīng)用。本節(jié)課主要研究如何應(yīng)用倒序相加法求等差數(shù)列的前n 項和及該求和公式的應(yīng)用,通過等差數(shù)列前n 項和公式的探究，讓學(xué)生體會從特殊到一般的研究問題的方法，表達授之于魚，不如授之于漁的教學(xué)價值；通過介紹高斯求和的故事，向?qū)W生滲透人文價值與情感教育價值；通過求和公式的選用、變用與拓展來表達數(shù)學(xué)課堂的方法價值、應(yīng)用價值、類

2、比價值；這些價值的滲透有利于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。目標分析知識與技能目標:理解等差數(shù)列前n 項和公式的推導(dǎo)過程；掌握并能運用等差數(shù)列前n項和公式；了解倒序相加法的原理；過程與方法目標學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，經(jīng)歷從特殊到一般探究得到等差數(shù)列前n項和公式，進一步體會特殊與一般、化歸與轉(zhuǎn)化、整體與方程組等重要數(shù)學(xué)思想；學(xué)生在理解和運用公式的過程中，運算求解能力、分析問題及解決問題的能力得到進一步提高，創(chuàng)新意識與應(yīng)用意識得到發(fā)展。情感態(tài)度價值觀結(jié)合具體模型,將教材知識和實際生活聯(lián)系起來,使學(xué)生感受數(shù)學(xué)的實用性 ,有效激發(fā)學(xué)習(xí)興趣,并通過對高斯故事的了解,滲透數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化，培養(yǎng)善于觀察、勇于探索、敢于創(chuàng)新

3、的良好學(xué)習(xí)態(tài)度。學(xué)生學(xué)情分析學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的通項公式及基本性質(zhì)，也對高斯算法有所了解，這都為倒序相加法的教學(xué)提供了基礎(chǔ)；但是高斯算法與一般的等差數(shù)列求和還有一定的距離，如何從首尾配對法引出倒序相加法，這是學(xué)生 學(xué)習(xí)的困難.因為首尾配對法還需要分奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論，偶數(shù)的 情況學(xué)生相對較為熟悉，也更容易掌握；奇數(shù)的情況時，學(xué)生對配對后剩 下的中間項較難處理。教學(xué)重點探索并掌握等差數(shù)列前n項和公式，學(xué)會用公式解決求和問題教學(xué)難點等差數(shù)列前n項和公式推導(dǎo)思路的獲得.重點、難點解決策略為了幫助學(xué)生掃清障礙，避免分類討論而引入倒序相加法，可以設(shè)計 以下兩個環(huán)節(jié)。環(huán)節(jié)一是借助幾何圖形的直觀性，

4、在原來的圖形旁邊再放 置一個倒置的圖形，讓學(xué)生再來觀察圖形的特征，從形的角度獲得倒序相 加法的思路，該方法形象、直觀，學(xué)生易于接受。環(huán)節(jié)二是奇變偶，啟發(fā) 學(xué)生，提出如下問題 我們知道，當(dāng)項數(shù)為偶數(shù)時可以直接湊成整數(shù)對， 那么對于任意的正整數(shù)項數(shù)n而言，如何能讓它轉(zhuǎn)化為偶數(shù)呢？ ，給出 充裕的時間交流、討論后，師生共同探究分析得出結(jié)論： 任何一個正整 數(shù)的偶數(shù)倍一定是偶數(shù)，且2倍是最簡單的方法，教師因勢利導(dǎo)再問 如 何才能剛好湊對呢？ ，學(xué)生自然而然的想到把另外一組和的順序倒置再 相加，而進一步理解倒序相加法的原理，該方法表達了數(shù)學(xué)的本質(zhì)及數(shù)學(xué) 的嚴謹。兩個環(huán)節(jié)相輔相成，從數(shù)形兩個方面很好的詮釋

5、了倒序相加法， 既直觀又嚴謹。【四】教學(xué)工具多媒體教學(xué)：課件、投影儀、白板【五】教學(xué)過程設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動學(xué)生活動活動 說明復(fù)同學(xué)回答以下問題通過對等差習(xí)1.等差數(shù)列的定義是什么？如何用遞推公式描數(shù)列相關(guān)知提述？識的回顧，問2.等差數(shù)列的通項公式有利于課堂3.公差d的計算方法小的順利4.在等差數(shù)列an 中 am anap aq進行。的條件是什么？特別地 a1 a n可以等于什么？情幻燈投影高斯，德國著名數(shù)學(xué)家，被譽為 數(shù)首項與末項的和：學(xué)生對高斯學(xué)王子。200多年前，高斯的算術(shù)教師提出了下1 + 100=101,的算法是熟景面的問題：1 + 2+3+100 = ?第2項與倒數(shù)第2項的和：悉的

6、，知道引據(jù)說，當(dāng)其他同學(xué)忙于把100個數(shù)逐項相加時，102+99 =101,米用首尾配歲的高斯卻迅速算出了正確答案，你知道他是如何第3項與倒數(shù)第3項的和：對的方法來計算的嗎？O 1 nod nd.求和，但估入3 十 98 10 1,請一學(xué)生將高斯算法再現(xiàn)一下。第50項與倒數(shù)第50項的和:計他們對這50+51 =101,種方法的認于是所求的和是：識可能僅限101 X 50=5050。于小學(xué)記 記。:教師：高斯的思路有什么特點？學(xué)生：首尾配對教師借此滲舁教師：為什么這么做，目的是什么？學(xué)生：發(fā)現(xiàn)和相等,方便運算透學(xué)習(xí)態(tài)度法教師幫助總結(jié)特點：首尾配對教育：高斯思把小同數(shù)求和轉(zhuǎn)化為相同數(shù)求和從小就善于

7、把加法運算轉(zhuǎn)化為乘法運算思考，敢于考思考，所以 他能從很簡 單的事物中 發(fā)現(xiàn)和尋找 出某些規(guī)律 性的東西。問如圖堆放一堆鋼管，最上層放了4根，卜面隼一學(xué)生思考：即求：偶數(shù)個項的層比上一層多放一根，共9層，這堆鋼管共有多少4+5+6+7+8+9+10+11+12和能首尾配題根？對，奇數(shù)個1探if1怎么辦？產(chǎn)l，. 鼠生問題，引究起學(xué)生思w考。問教師：圖斯辦法行嗎？學(xué)生：不行配對嘗試在這個過程教師：為什么不行？原因？學(xué)生：剩下一個中間項，因為中讓學(xué)生發(fā)題教師：剛才為什么行？是奇數(shù)個。現(xiàn)當(dāng)項數(shù)為教師：如何處理能否對高斯學(xué)生：偶數(shù)個相加。奇數(shù)時，首探?同學(xué)們相互探討下,學(xué)生探討尾配對出現(xiàn)究的思路改進一

8、下？了問題，尋求新的解決 方案，引導(dǎo)奇變偶探怎樣求一般等差數(shù)列an的前n項和呢？Sna1a2an 1an把這種求和 的本質(zhì)規(guī)律索推廣到一般公Swim1 彳an 12Sn|2 n(a1L1 ar的等差數(shù) ）列，獲得一式Snn / 2(a1in)般的等差數(shù) 列求和思 路。同時讓 學(xué)生體會了 研究問題是 從特殊到一方動態(tài)演示。 圖形要求：學(xué)生分組討論后得到將圖形 倒置平移得到一平行四邊形。法原圖平移生成將圖形語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)式子。探旋轉(zhuǎn)顯示 倒究補全呈現(xiàn)平行四邊形 /HUT 通過把和倒過來再寫一次， 上卜對應(yīng)兩數(shù)進行配對 相加。進一步提問：這種配對方式對偶數(shù)個項相加也適用 嗎？尊提問：等差數(shù)列1, 2

9、, 3,，n,的前n項1 +2 +n 1+ n法和怎么求？通過以上啟發(fā)學(xué)生再自主探究，相信容易得出解n +n 1+ + 2 + 1啟法。(n+1)+(n+1)+ + (n+1)發(fā)總結(jié)下這種方法的特點，學(xué)生總結(jié)，師生提出倒序n ( n +1)1+2+3+ +n=-相加法。提問：這種方法可以推廣到一般的等差數(shù)列求和 嗎？2借助幾何圖 形的直觀 性，能啟發(fā) 思路，讓復(fù) 雜問題簡單 化，并為倒 序相加法的 出現(xiàn)提供了 一個直觀的 模型.引出求等差 數(shù)列前n項 和的一般方 法：倒序相 加法。這樣， 很自然過渡 到一般等差 數(shù)列。般的方法。根據(jù)以下各題中的條件，求相應(yīng)的等差數(shù)列a n學(xué)生求解學(xué)生熟悉公公式

10、，同時由式的S :n2引出公式變形應(yīng)1a=2, an=16, n=8用2a =6)d=3, n=10公公式 1： Sn n(a1an)學(xué)生小組討論后得出結(jié)論： 兩個公式都含后四個量，只是培養(yǎng)學(xué)生思 維的發(fā)散式2基本量不同而已：公式 1含性，為用函拓an-a1(n1)da1、n、an、Sn四個量，公數(shù)觀點解決 數(shù)列問題做展教師沁公麻,何的熟?n(n22d式2含a1、n、d、Sn四個 量。鋪墊培養(yǎng)學(xué)生觀 察、比較、 分析、歸納 等能力公式等差數(shù)列第n項為an的首項為a1,公差為d,項數(shù)為 an,前n項和為Sn,請?zhí)顚懖繁?n,學(xué)生練習(xí)公式中一共臺后五個量， 根據(jù)三個公式之間的聯(lián)系， 由方簡單模仿性

11、 練習(xí)，讓學(xué) 生熟悉公鞏aidnanSn程的思想，知二可求一。式，培養(yǎng)學(xué)生用方程固9220組思想 分析問題、 解決問題的 能力。并建 立知二求一 思想。2122492091519例題例1:S10在等差數(shù)列an中，第5項a50,求前20項的和S201,前10項和師生共同完成建立 等差數(shù)列前 n項和與解講分析本例是使用等差數(shù)列的求和公式與通項公式方程之間的解求未知兀， 求解?？梢悦子霉?和通項公式聯(lián)立方程組聯(lián)系，讓學(xué) 生體會方程 的思想。ZSrlo在維萬尸In中a12 a0,求 S11 急來處理， :無法求解,學(xué)生思考學(xué)生不少學(xué)生首先對條 件作轉(zhuǎn)化，希望能通過解方程 求出首項和公差，但發(fā)現(xiàn)條件

12、不夠，不能解出這些基本量。公式的 應(yīng)用除了 直接代入 的常規(guī)解 法及簡單 的變用之例 題 講 解I列2/LL中左奴夕D a(1)已知：a2 a5(2)已知：a6 2(1)用方程的思彳 夠?qū)е陆Y(jié)算236,求S16但由于方程個數(shù)不 與 知二求一的思想產(chǎn)生強烈沖突外，還要注 意整體思(2)基本量 a1 , d表示,3等差性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)整體代入想在數(shù)學(xué) 解題中的 應(yīng)用，培養(yǎng) 學(xué)生靈活 運用公式的能力課 堂 練 習(xí)1 .在等差數(shù)列 an中，d4, an 18,Sn 48,求a1的值2 .已知等差數(shù)列an ,其前四項和為21,末四項 和為67,所有項和為286,求項數(shù)n.學(xué)生課堂練習(xí)鞏固方 程思想和 整體思想課堂小結(jié)1 .等差數(shù)列前n項和Sn公式的推導(dǎo)：