數(shù)學形態(tài)學及碎形維度於X光醫(yī)學影像分析

1、國立臺灣大學土木工程學研究所民國95年博士學位論文摘要數(shù)學形態(tài)學及碎形維度於X光醫(yī)學影像分析研 究 生:林啟豪指導(dǎo)教授:呂良正第一章 諸論 近年來，隨著電腦計算能力的提升，電腦影像處理技術(shù)及應(yīng)用有著迅速的發(fā)展，並在各個科學研究及應(yīng)用領(lǐng)域中得到廣泛的應(yīng)用。例如在生物醫(yī)學工程領(lǐng)域中，癌細胞的識別、白血球分類、紅血球統(tǒng)計及手術(shù)方案的電腦影像確定等等。這些課題都涉及到影像處理中一個主要分支-影像分割(Segmentation)及描述(Description)。 影像分割的主要目的，在於將觀察者有興趣的區(qū)域自影像中分割出來。有別於傳統(tǒng)影像分割的方法，數(shù)學形態(tài)法是以一結(jié)構(gòu)元素去度量和萃取影像中對應(yīng)的特徵，

2、適合用於X光醫(yī)學影像的紋理特徵擷取。 影像描述是指以特徵資訊來代表影像特性，如在形容一個圓形時，半徑大小即為最佳的描述方法。有別於傳統(tǒng)歐氏幾何學之整數(shù)維度，碎形可具有分數(shù)維度，常用以表徵某些不規(guī)則的幾何形體。X光醫(yī)學影像紋理特徵形態(tài)複雜，有著與碎形結(jié)構(gòu)類似的特性，非常適合以碎形維度來描述之。 數(shù)學形態(tài)學及碎形維度為影像分割及描述的新方法。研究分為以下三個部份來評估數(shù)學形態(tài)學及碎形維度於X光醫(yī)學影像分析時之可行性及限制性。第一部份:利用豬脊骨試體之Micro CT數(shù)位影像，模擬X光照射時可能產(chǎn)生的變異。討論照射角度、影像對比及幾何誤差的變異對分析結(jié)果所產(chǎn)生的影響。第二部份:以材料試驗機求得試體的

3、材料性質(zhì)(楊氏系數(shù)及極限強度)，探討影像特徵之碎形維度與楊氏系數(shù)及極限強度之相關(guān)性。第三部份以臨床根管治療為例，以數(shù)學形態(tài)學擷取影像特徵，並配合碎形維度評估根管治療前後影像特徵的差異，以期做為早期根管治療成效的評估。另外，碎形維度常見的評估方法-方格計數(shù)法，於非整數(shù)分割時，所產(chǎn)生的平臺效應(yīng)，本研究亦提出修正公式來解決此一問題。第二章 數(shù)學形態(tài)學 以數(shù)學形態(tài)學的方法來描述及求取骨架時，設(shè)為歐幾里德空間上的集合，的骨架記為，為骨架的子集，即為中最大內(nèi)切圓半徑為時所對應(yīng)之骨架，以數(shù)學形態(tài)學的表示如下: (2.1) (2.1)式中指半徑為的圓，為具有微小半徑值的圓。在歐幾里德空間中，圓可近似為一個小的

4、結(jié)構(gòu)元素B。而圓則可近似為離散半徑的圓，其中(次)。由此可得出另一種數(shù)學形態(tài)對骨架的定義形式: (2.2)Original Imagen=0n=1n=2n=15n=3n=4n=5圖2.1灰階影像的骨架分析(特徵擷取)第三章 碎形維度表3.1歐氏幾何與碎形幾何的比較盒子維度 對於一個複雜的幾何圖形，我們無法知道其局部與整體之間的相似比時，可以採用大小不同的方塊分別去覆蓋(或填充)被測對象，依方格大小統(tǒng)計覆蓋所需的方格數(shù)來計算其維度，這種方法稱為盒子計數(shù)法(Box Counting)又稱方格計數(shù)法( Majumdar, Weinstein and Prasad 1993)。用這種方法計算出的維度稱

5、為容量維度。 設(shè)想我們用一長度為的線去量測長度為的線段時，測得與之比值為。顯然值的大小與的長短有關(guān)，越小越大，即: (3.1) 如我們用一邊長為的正方塊去覆蓋面積為的平面時，測得與之比值為。顯然值的大小與正方塊的面積有關(guān)，越小越大，即: (3.2) 上述(3.1)、(3.2)式中的指數(shù)部份1及2分別為直線與平面的維度。將上述的討論加以推廣，對於容量維度為的物件用邊長為r的方塊去覆蓋時，可得到的個數(shù)為: (3.3) 一般來說，為了精確測量一個不規(guī)則物體，所用的尺度越小越精確，在極限情況下: (3.4) 對式(3.4)取對數(shù)得容量維度： (3.5) 由於在實際計算碎形體的容量維度時，我們不可能取長

6、度的比例尺去測量，常用的方法是用幾個有限長度的比例尺多次量測，並將測量結(jié)果作雙對數(shù)圖。如果測量物件的確是碎形體，便會得到一條負斜率的直線，其斜率絕對值即為該物件的容量維度。第四章 修正修正型方格計數(shù)法1.直線的非整數(shù)分割 以方格計數(shù)法評估線寬為1 pixel直線之碎形維度時，因不當選取方格大小所產(chǎn)生非整數(shù)分割情形(圖4.1)。由方格計數(shù)法基本定義(直線D=1)，經(jīng)由移項可得(為常數(shù))，此時所代表意義為直線之總長。在此情況下我們可知C=9，。2.平面的非整數(shù)分割 以方格計數(shù)法評估平面之碎形維度時，因不當選取方格大小所產(chǎn)生非整數(shù)分割情形(圖4.1)。由方格計數(shù)法基本定義(平面D=2)，經(jīng)由移項可得

7、 (為常數(shù))，此時所代表意義為平面之總面積。在此情況下我們可知C=81，。 直線 平面圖4.1於非整數(shù)分割下評估直線、平面之碎形維度3修正公式推導(dǎo) 觀察直線及平面的理論解，我們發(fā)現(xiàn)可將理論解分成二部分: (4.1) (:完整方格區(qū)塊 , :非完整方格區(qū)塊) 完整方格區(qū)塊與傳統(tǒng)方格計數(shù)法計算方式完全相同，方格中若包含物件不論是一點或是填滿整個方格，則方格總數(shù)加1。在非完整方格區(qū)塊部份則以下列公式計算之:直線: (4.2) 平面: (4.3) (:有效長度 , :方格邊長 , :有效面積 , :方格面積) 觀察(2.2)、(2.3)式並將碎形維度導(dǎo)入，可將其改寫成:直線: (4.4) 平面: (4

8、.5) 經(jīng)由以上整理我們可發(fā)現(xiàn)不論是直線或是平面，在非完整方格區(qū)塊部份所應(yīng)貢獻的方格數(shù)都可看成是其特徵長度的碎形維度次方。當碎形物件維度介於12間時，配合線性內(nèi)插公式可得下列近似公式: (4.6) (其中 , ) 當D=1時，=與式4.4相同。 當D=2時，=與式4.5相同。4.結(jié)果表4.1整數(shù)分割、非整數(shù)分割於四種圖紋之碎形維度值 *格線採180方格大小進行回歸分析第五章 照射條件之影響1.研究流程圖5.1研究流程圖2.結(jié)果 由表5.1可知，不論是相減法或是碎形維度法，分析區(qū)域越接近病變大小越能成功判讀病變之發(fā)生。所有因素中，病變大小影響判讀成功機率最大，於病變大小40 pixel及分析區(qū)域

9、80×80 pixel下相減法有70%以上成功判讀機率，而碎形維度法有著高逹95%以上的成功機率。然而在病變大小20 pixel及分析區(qū)域80×80 pixel下相減法有55%左右的成功判讀機率，而碎形維度法也僅有75%左右的成功機率。在三種不同照射條件變異中，相減法對幾何誤差最敏感而投影角度的影響最小，而碎形維度法則受投影角度的影響最大而影像對比的影響最小。然而不論是哪種照射條件之變異，碎形維度法均較相減法有著更高的判讀成功率。表5.1照射條件、分析區(qū)域及病變大小於相減法及碎形維度法之影響第六章 碎形維度與其材料性質(zhì)之研究 由極限強度與楊氏模數(shù)的關(guān)係圖可知二者有中度的正相

10、關(guān)(R2=0.676)，對於醫(yī)療診斷上而言，極限強度的描述比楊氏模數(shù)更有其代表意義。從前、後面(AP View)及側(cè)面(Lateral View)所求得的碎形維度(D1、D2)，可知二者有中度正相關(guān)(R2=0.450)(圖6.10)。這也代表如果碎形維度與材料性質(zhì)(極限強度與楊氏模數(shù))相關(guān)的話，不同角度所產(chǎn)生的X光投影影像僅能部份解釋同一試體的材料性質(zhì)，也代表著若能收集更多的投影資料則其預(yù)測能力將可提高。由碎形維度與極限強度的關(guān)係圖(圖6.1、6.2)可發(fā)現(xiàn)二者有中度的負相關(guān)性(R2=0.517、R2=0.623)。以變數(shù)D1及D2乘積對極限強度與楊氏模數(shù)做線性回歸，則碎形維度與極限強度的相關(guān)

11、性，可由中度相關(guān)提升至高度相關(guān)(R2=0.738)，而與楊氏模數(shù)的相關(guān)性則差異不大仍屬於中度相關(guān) (R2=0.505)?；貧w公式如表6.1所示。圖6.1 D1 V.S.極限強度圖6.2 D2 V.S.極限強度表6.1單、雙變數(shù)線性回歸Regression RelationshipR2 Value Maximum Stress VS. D1×D2 VS. D1 VS. D2 Youngs Modulus VS. D1×D2 VS. D1 VS. D2Y=-154.551X+460.960Y=-407.396X+712.633Y=-396.755X+687.169Y=-4378

12、.00X+13292.46Y=-17009.71X+29735.18Y=-10426.24X+18350.220.7380.5170.6230.5050.5470.371圖6.8研究流程圖第七章 應(yīng)用實例 根管治療一般俗稱抽神經(jīng)，正確說來抽神經(jīng)只是根管治療中的一部份。完整的根管治療包括牙髓腔的開擴、牙髓去除(抽神經(jīng))、根管的開創(chuàng)、消毒及充填。成功的根管治療可以撲滅根管內(nèi)的病菌及毒素，治療牙根尖周圍組織的創(chuàng)傷，促使牙根周圍組織的修補及癒合(圖7.1) 使牙齒仍能以一種良好的健康狀態(tài)處於它的支持組織中。 (a) (b)圖7.1根管治療前後牙根尖週圍組織變化情形(a)根管治療前 (b)根管治療後結(jié)果

13、 從二十六例根管治療前後X光影像特徵之碎形維度變化可知，根管治療前牙根病灶處其影像特徵之碎形維度平均值為1.619，而成功的根管治療三個月後其碎形維度平均值提升至1.639。在二十六個病例中，有三個病例治療後之碎形維度值低於治療前。以無母數(shù)成對樣本W(wǎng)ilcoxon Signed Rank Test統(tǒng)計分析可知，治療前後牙根尖病灶處影像特徵之碎形維度值有顯著的變化(P<0.05)。圖7.4根管治療前後碎形維度之變化:(D1)治療前(D2)治療後之碎形維度第八章 結(jié)論 影像特徵擷取的正確與否，對於最終分析結(jié)果有著絕對的影響。以數(shù)學形態(tài)法擷取影像特徵時需先決定1.結(jié)構(gòu)元素大小及形態(tài)2. 疊合影

14、像的處理次數(shù)。這兩項因素對於影像特徵擷取的正確與否有著重大的影響。文章中建議以5x5 pixel的圓形結(jié)構(gòu)元素為擷取X光影像的基本結(jié)構(gòu)元素單元，再視其影像特徵及處理上需求，調(diào)整疊合影像的處理次數(shù)。影像特徵較基本結(jié)構(gòu)元素單元大時，取較高的處理次數(shù)影像疊合，而影像特徵接近於基本結(jié)構(gòu)元素單元時，取較低的處理次數(shù)影像疊合，然而至少取n=1以上的處理影像疊合，以避免過多的高頻雜訊被引入。 在碎形維度計算方面，方格計數(shù)法為各種碎形維度的評估方法中，最常見也最易理解的計算方法。在眾多影響方格計數(shù)法結(jié)果之各種參數(shù)中，以方格大小範圍的選定最為重要(Chen, Keller and Crownover 1993;

15、 Chung et al. 1994; Nezádal, Zmeskal and Buchnícek 2001; Foroutan-pour, Dutilleul and Smith 2000)。以往在選定方格大小時，常受限於影像本身的大小及長寛比，合適的方格尺寸往往不能整數(shù)分割分析區(qū)域。有鑑於此本研究透過對直線及平面特殊碎形物件的觀察，提出【修正型方格計數(shù)法】。利用直線及平面所歸納出的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)不論是直線或是平面，在非完整方格區(qū)塊部份所應(yīng)貢獻的方格數(shù)都可看成是其特徵長度的碎形維度次方。配合線性內(nèi)差可正確的推估碎形維度介於12間的任意碎形物件，於所選定之方格大小無法整數(shù)分割

16、分析區(qū)域時，無法完整覆蓋區(qū)域所應(yīng)貢獻之方格數(shù)。 在結(jié)合數(shù)學形態(tài)法及碎形維度於X光影分析部份，數(shù)學形態(tài)學的主要功能在於影像特徵之擷取，能有效的減少影像冗餘的訊息量，當影像受到干擾時(如投影角度不同)，其主要特徵所受的影響較少。從擷取出的影像特徵來看，病變處所擷取出的紋理明顯少於其它正常部位。這個特點在照射條件變異時依然保留著，使得數(shù)學形態(tài)法在照射條件變異時能保有較高的診斷機率。相對於像素對像素、灰階值對灰階值的相減法(Subtraction) 使用了影像全部的訊息，使得影像中主要特徵之重要性相對地被降低。當照射條件擾動時這些次要特徵帶來大量的雜訊，致使在照射條件變異下大大的影響其病變之診斷。 從碎形維度與材料性質(zhì)之研究中，可發(fā)現(xiàn)碎形維度與我們所較關(guān)心的材料極限強度有著較高的相關(guān)性。此外，從不同角度投影特徵之