數(shù)學認知結構與數(shù)學概念的學習_以高等數(shù)學的概念學習為例_百度

1、第 23卷 第 4期 文山學院學報Vo l 23 No 4數(shù)學認知結構與數(shù)學概念的學習以高等數(shù)學的概念學習為例哈 玲 1, 楊愛民2(1 昆明學院 數(shù)學系 , 云南 昆明 650214; 2 文山學院 數(shù)理系 , 云南 文山 663000收稿日期 :2010-08-25作者簡介 :哈 玲 (1962- , 女 , 回 族 , 云南昆 明人 , 高 級講師 , 主 要從事 數(shù)學課 程與教學 論研究 ; 楊愛民 (1961-, 女 , 彝族 , 云南文山人 , 教授 , 碩士 , 主要從事數(shù)學分析教學與研究 。摘要 :隨著教育理念由行為主義到認知主義的發(fā)展 , 數(shù)學能力的提高有待于對概念理解的強化

2、越來越成 為共識 。 數(shù)學概念是數(shù)學的邏輯起點 , 是學生認知的基礎 , 是數(shù)學思維的核心 。 基于數(shù)學認知結構與數(shù)學概 念學習的關系 , 探討了高等數(shù)學概念學習的理論與實踐 , 以期促進高等數(shù)學概念的學習 。關鍵詞 :數(shù)學認知結構 ; 數(shù)學概念 ; 高等數(shù)學 ; 學習中圖分類號 :O1-0 文獻標識碼 :A 文章編號 :1674-9200(2010 04-0120-05 利用強化學生解題過程的方式提高學生的數(shù)學 成績是一個符合行為主義理論基本觀點的學習方法。 但是行為主義過多地強調可以被觀察到的或可以被 量化的外在行為的研究 , 而對研究對象的內在變化 的研究并不充分。數(shù)學學習是 需要學生主

3、動領 悟、 整體把握與強化刺激共同發(fā)生 的心理和學習過 程。 因此 , 隨著教育理念由行為主義到認知主義的發(fā)展 , 人們越來越認識到數(shù)學能力的提高有待于對概念理 解的強化。1 數(shù)學認知結構關于學習理論 , 存在著兩種基本觀點 :一種是 以桑代克、巴甫洛夫、斯金納為代表的刺激 反 映聯(lián)結觀點 ; 另一種是布魯納、奧蘇泊爾為代表的 認知觀 點。認知心理 學認為 , 刺激 和反映的聯(lián) 結 , 是以主體的某種 結構 ! 為中介的 , 這 種 結構 ! 對信息加工和改造起著積極的作用。認知心理學把 這種主體中存在的結構稱為認知結構。學生在數(shù)學 認知活動中 , 也同樣存在著某種結構 , 這種結構稱 之為數(shù)

4、學認知結構。所謂數(shù)學認知結構 , 就是學生 頭腦里 的數(shù)學知識 , 按照自己的理 解深度、廣 度 , 結合著自己的知覺、記憶、思維、聯(lián)想等認知特點 , 組合成的一個具有內部規(guī)律的整體結構。 1 1數(shù)學認知結構的特點實踐表明 , 學生 的數(shù) 學認 知 結構 有其 固有 的 特點。(1 數(shù)學認知結構是數(shù)學知識結構和學生心理 結構相互作用的產(chǎn)物。(2 數(shù)學認知 結構是 學生 頭腦 中已 有數(shù)學 知 識、經(jīng)驗的組織。它既可以是學生頭腦里所有數(shù)學知識、經(jīng)驗的 組織 , 也可以是特殊數(shù)學知識內容的組織。前者指 的是學生數(shù)學學科 的全部知識、經(jīng)驗的組織 特征 , 這些特征影響它在數(shù)學學科中的一般學習。后者指

5、 的是某 一數(shù)學知識、經(jīng)驗的組織特 征。也就是 說 , 數(shù)學認知結構既是專門化的概念 , 又是一個帶有普 遍性的概念 , 它體現(xiàn)了數(shù)學知識和數(shù)學認知的統(tǒng)一。數(shù)學認知結構可以在各種抽象水平上來表征數(shù) 學知識。即數(shù)學認知結構是一個有層次的階梯。高 層次是由所有數(shù)學知識、經(jīng)驗有機結合而組成的認 知結構。(3 每一個學生的認知結構各有特點 , 個體認 知結構在內容和組織方面的特征稱為認知結構變量。 數(shù)學認知結構具有 3個變量 : 在認知結構中是否 有適當?shù)钠鸸潭ㄗ饔玫挠^點可以利用 ; #新的學習 材料和起固定作用的觀念之間的可辨別程度 ; 原 有起固定作用的觀念的固定性和清晰性。(4 數(shù)學認知結構不是

6、一種消極的組織 , 而是 一種積極的組織 , 它在數(shù)學認知活動中 , 乃至一般 的認知活動中發(fā)揮著作用。形成了一定的數(shù)學認知 結構后 , 一旦大腦接受到新的數(shù)學信息 , 人們就能120不自覺地 , 甚至是自覺地用相應的認知結構對新信 息進行處理和加工。(5 數(shù)學認知結 構是 一個 不斷 變化 的動態(tài) 組 織。隨著數(shù)學認知活動的進行 , 學生的認知結構不 斷分化和重組 , 并逐漸變得更加精確和完善。正是 因為數(shù)學認知結構具有這樣的特點 , 所以通過數(shù)學 教學能促進學生數(shù)學認知結構的完善和發(fā)展。(6 數(shù)學認知結構是在數(shù)學認知活動中形成和 發(fā)展起來的。(7 從功能上說 , 學生既能借助已有的認知結

7、構去掌握現(xiàn)有的知識 , 又能借助原有的認知結構創(chuàng) 造性地去解決問題。 1 2數(shù)學學習與數(shù)學認知結構數(shù)學認知結構是數(shù)學學習活動中的一個中心心 理成分 , 學生的數(shù)學認知結構主要是通過同化和順 應兩種方式去建構的 , 同化和順應是學生數(shù)學認知 的基本方式。在數(shù)學學習中 , 同化是指學生利用原有數(shù)學認 知結構對新的數(shù)學知識進行適當改造 , 然后將改造 后的數(shù)學知識直接納入認知結構 , 擴大原有認知結 構 , 使數(shù)學認知結構發(fā)生量變的過程。從同化的意 義不難看出 , 同化學習的必要條件是所學習的新知 識與原有認知結構中的適當觀念有實質的、非人為 聯(lián)系 , 即原有認知結構中有能夠同化新知識的適當 觀念。

8、很明顯 , 同化主要適用于那些與舊知識有密 切聯(lián)系的新知識的學習。順應是指某些新知識不能直接同化到學生原有 認知結構中去 , 必須適當調整或改造原有認知結構 使其適應新知識的學習。在此基礎上將新知識納入 改造后的認知結構中去 , 從而建立新的數(shù)學認知結 構的過程。簡言之 , 順應就是改造原有認知結構而 建立新的數(shù)學認知結構的過程。如果說同化是促進原有認知結構量變從而擴大認 知結構內容的 過程 , 那么順應則是使原有認知結構發(fā)生質變從而建立新 的數(shù)學認知結構的過程。順應主要適用于那些與舊 知識沒有直接聯(lián)系的新知識的學習。心理學研究表 明 , 在學習中 , 學生用順應的方式改造原有認知結 構接納新

9、知識主要是通過兩種途徑去實施的 :一是 調整 , 二是并列。所謂調整 , 就是改變原有認知結 構的組織形式 , 或賦予原有認識結構中某些觀念以 新的意義 , 使之與新知識相適應 , 并以此為固定點 接納新知識。所謂并列 , 就是賦予新知識和認知結 構中某些原有觀念以一定意義的外在聯(lián)系 , 并把新 知識與舊知識聯(lián)結成一定的結構。綜上所述 , 同化和順應是認知過程中學生原有 的數(shù)學認知結構和新學習內容相互作用的兩種不同 形式 , 它們往往存在于同一學習過程中 , 只是各自 側重不同而已。如果說同化是改造新學習內容使其 與原有認知結構相吻合的話 , 那么 , 順應則是改組 學生原有的認知結構以適應新

10、學習內容的需要。在 數(shù)學學習中 , 同化和順應總是相輔相成、互為補充 的。一方面在改造新學習內容的同時 , 學生也必須 適當調整自己的原有認知結構 , 使新學習內容與原 有認知結構更加吻合 ; 另一方面學生在調整原有認 知結構的同時 , 也總是要對新學習內容作適當改造 , 將其改造成更有利于接納的形式 , 從而保證原有認 知結構與新學習內容之間的相互適應。 1 3認知理論與數(shù)學學習的模式根據(jù)學習的認知理論 , 數(shù)學學習過程是一個數(shù) 學認知過程 , 即新的學習內容學生原有數(shù)學認知結 構相互作用 , 形成新的數(shù)學認知結構的過程。依據(jù) 學生認知結構的變化 , 數(shù)學學習過程的一般模式見 圖 1。 圖

11、1 數(shù)學 學習過程的一般模式從圖 1可以看出數(shù)學學習 過程包括三個階 段 :輸入階段、新舊知識相互作用階段和操作階段?；趯W習認知理論 , 國內在學界進行了積極的 探索和實踐。 2001年貴州師范大學數(shù)學與跨文化數(shù) 學教育研究所汪秉彝、呂傳漢兩位教授開展了中小 學 數(shù)學情境 與提出 問題 ! 教學 , 其相 關成果 于 2004、 2007年分別刊載于數(shù)學教育學報、貴州師范 大學學報上。1-2這種教學強調培養(yǎng)學生數(shù)學問題意識以促進創(chuàng)新意識的形成 , 重視培養(yǎng)問題解決能力 以促進創(chuàng)新能力的提高 , 在應用數(shù)學知識解決實際問題過程中發(fā)展學生的數(shù)學應 用意識和應用 能力 , 這些教學理念和教學目的正

12、迎合了高等數(shù)學教學的 需要。 2009年褚海峰對 情境 問題 ! 教學模式進 行修 改 與 補 充 , 將 其 推 廣 與 運 用 到 高 等 數(shù) 學 教 學中。31212 數(shù)學概念學習的基本形式2 1數(shù)學概念形成所謂數(shù)學概念形成 , 是指在教學條件下 , 從大 量的實際例子出發(fā) , 經(jīng)過比較、分類 , 從中找出一 類事物的本質屬性 , 然后再通過具體的例子對所發(fā) 現(xiàn)的屬性進行檢驗 , 最后通過概括得到定義并用符 號表達出來。這種獲得數(shù)學概念的方式叫做數(shù)學概 念形成。數(shù)學概 念形成的過程 可以分為觀察實 例、 分析共同屬性、抽象本質屬性、確認本質屬性、概 括定義、符號表示、具體運用等階段。概念

13、的形成 揭示了概念如何通過個體思維活動 , 構建成個體的 知識。例如導數(shù)的概念 , 就可利用數(shù)學概念形成的 方式進行建構。2 2 數(shù)學概念同化所謂數(shù)學概念同化 , 是指在課堂學習的條件下 , 利用學生認知結構中原有的知識經(jīng)驗 , 以定義的方式 直接向學生揭示概念的本質屬性 , 從而使學生獲得新 概念。這種獲得數(shù)學概念的方式叫做數(shù)學概念同化。 用數(shù)學概念同化的方式進行概念學習時 , 要求 學生的認知結構中具備一定的概念 , 并能積極地進 行認知活動 , 將新概念的本質屬性與原有認知結構 中的適 當概念 相聯(lián) 系 , 明 確新 概念 是原 有概念 的 限定 ! , 并能把它從原有概念中分離出來 ,

14、 把新概 念與原有認知結構中的有關概念融合在一起 , 納入 認知結構中去。數(shù)學概念同化的學習過程可以分為 揭示本質屬性、討論特例、新舊概念聯(lián)系、實例辨 認、具體運用等階段。例如數(shù)列概念的建立 , 通常 采用概念同化的方式進行。數(shù)學概念形成與數(shù)學概念同化是有區(qū)別的。數(shù) 學概念形成主要依靠的是對具體事物的抽象 , 而數(shù) 學概念同化則主要依靠的是學生對新舊知識的聯(lián)系 ; 數(shù)學概念形成與人類自發(fā)形成概念的方式接近 , 而 數(shù)學概念同化則是具有一定心理水平的人自覺學習 概念的主要方式。高等數(shù)學學習中 , 數(shù)學概念同化 成為獲得數(shù)學概念的主要方式 , 但對較難理解的或 新學科開始時的一些數(shù)學概念 , 仍然

15、采用數(shù)學概念 形成的學習方式。由于數(shù)學的高度抽象性與概括性 , 教學實踐中往往依據(jù)學習者個體的認知差異 , 把兩 者有機結合起來學習 , 使學生在有限的時間內較快 地理解概念所反映事物的本質屬性。2 3數(shù)學概念的順應如果認識主體把已有圖式中的信息作用于環(huán)境 , 使主體主動適應環(huán)境 , 并根據(jù)環(huán)境調節(jié)原有的圖式 使之更加合理 , 就是順應。順應是對原有認知結構 進行改造或重組 , 形成一種與新概念相適應的新的 結構 , 從而對新概念進行同化的方式。如關于 矩 陣乘法 ! 的概念 , 在學生的原有認知結構中 , 已有 了 矩陣加減法 ! 概念 , 而 矩陣加減法 ! 與 矩 陣乘法 ! 有相當大的

16、距離 , 這時學生會從 矩陣乘 法 ! 概念的特點、性質出發(fā) , 建立新圖式 , 使主觀 順應客觀 , 從而掌握新概念 , 進而弄清楚為什么要 這么定義 矩陣乘法 ! , 這樣做有什么作用等。 2 4數(shù)學概念的異化異化 ! 是皮亞杰 圖式理論的重要 概念。 異 化 ! 就是把外界的信息歸入已有的圖式 , 使圖式不 時擴展。異化是與同化有區(qū)別而又有聯(lián)系的一種更 高水平理解概念的方式 , 強調在理解概念時認知主 體主動修正自己的認知結構或對概念的正誤進行分 辨從而提高認知水平或有創(chuàng)建 地理解概念的 方式 , 從而達到概念的鞏 固。一種概 念的擴展過程 當中 , 由于范圍擴大了 , 新舊概念之間除了

17、共同之處又增 添了不同之處時往往用到數(shù)學概念的異化。如從實 數(shù)到復數(shù)的擴展 ; 從一元函數(shù)到多元函數(shù)、定積分 到重積分 , 在原來一元函數(shù)、定積分的基礎上增加 了新的概念和性質 , 從而改造了原有的認知結構。 3 數(shù)學概念學習的現(xiàn)代研究進展在現(xiàn)代哲學、心理學、數(shù)學學習論、數(shù)學研究 方法等最新領域研究成果基礎上 , 進年來以高層次 數(shù)學思維為焦點對高等數(shù)學概念的學習進行了細致 地分析 , 提出了包括 概念意象與概念定義 ! 、 概 念網(wǎng)絡 ! 與 概念域 ! 、 概念的過程與對象 ! 在內 的一系列新觀點與新假設 , 以及一些新的數(shù)學思想。 學界對高等數(shù)學概念學習的研究和認識升華到一個 新的高度

18、 , 大大促進了數(shù)學概念學習研究的發(fā)展。 隨著教育理念由 行為主義向認 知主義的轉 變 , 認知論成為現(xiàn)代數(shù)學學習論的基石 , 因此關于聯(lián)系 與網(wǎng)絡的觀點便被引入數(shù)學概念的學習中。一方面 共同點是把人類的大腦看作含有 結點和連接的一 個巨大的網(wǎng)絡 , 許多特殊的結點和連接群體是它的 組成部分 ! 即神經(jīng)網(wǎng)絡理論 4; 另一方面 , 又 從皮亞杰等人的主要觀點擴展成為頗具代表性的現(xiàn) 代信息網(wǎng)絡理論。高等數(shù)學概念的學習與初等數(shù)學 概念學習的主要區(qū) 別是激活網(wǎng)絡 , 強化概念 理解 , 而不緊緊是記憶事實 , 背誦概念。數(shù)學概念的理解 就是建立網(wǎng)絡 , 如果它的智力表示成了表示網(wǎng)絡 的部分 , 說一

19、個數(shù)學的概念、方法或事實是徹底理 解了 , 是指和現(xiàn)有的網(wǎng)絡是由更強的或更多的聯(lián)系 聯(lián)結著。 ! 5自從在高等數(shù)學學習論中引進聯(lián)系和網(wǎng)絡以來 , 許多研究者關注到它們對概念學習的影響。其中最122具代表性的當屬 V er gnaud 提出的概念域思想 , 一 個概念域 (conceptual field 是有待處理的一組問題 與情境 , 對這些問題與情境的處理需要概念、程序 以及不同的但有緊密相連的各 種表征形式 ! 6這種 思想與其它研究中提出的概念意象、概念定義完全 不同 , 它聚焦于概念間的內在聯(lián)系。4 高等數(shù)學概念的學習實踐4 1把握數(shù)學概念的難點與新點高等數(shù)學中存在著傳統(tǒng)公認的難點

20、, 如極限的 概念、微分的定義、泰勒定理等。從數(shù)學概念建構 角度看 , 難點之難 , 是由于沒有找到最好、最適合 的表達方式。只要依據(jù)學習心理學 , 通過創(chuàng)造性的 改造 , 比如通過數(shù)學概念的順應方式尋求最佳的概 念表達方式和最便于掌握的方法 , 就可化解難點。 所謂 新點 ! , 是指與學生已有的 知識和經(jīng)驗 相去甚遠的內容 , 如連續(xù)的定義、多元函數(shù)、無窮 級數(shù)、梯度等。這些對于初次接觸高等數(shù)學的學生 來講 , 在知識內容 上就是 新點 ! 。如果對 新點處 理不當 , 易導致新知識與原有知識結構的沖突 , 使 學生感到無所適從 , 影響學習效果。因此在學習新 概念時 , 要充分考慮已有的

21、知識結構 , 充分發(fā)揮學 習過程中的正遷移作用 , 防止負遷移 , 做到新舊概 念的平穩(wěn)相接 , 順利過渡 , 減少可能出現(xiàn)的感知錯 誤 , 以確保學習效果。4 2逆向思維 , 深刻理解概念當直接認識一事物比較困難時 , 從事物的反面 入手來了解認識事物 , 往往會對學生的思維產(chǎn)生很 強的沖擊 , 達到很好的學習效果。比如學習連續(xù)的 定義時 , 可從連續(xù)的反面 不連續(xù) ! 入手 , 一步步 理解連續(xù)定義。第一步 , 給出函數(shù)在一點無定義而 間斷的例子 , 得出函數(shù)在一點有定義是函數(shù)在該點 連續(xù)的必要條件的結論 ; 第二步 , 給出函數(shù)在一點 有定義但極限不存在而間斷的例子 , 得出函數(shù)在一 點

22、極限存在是函數(shù)在該點連續(xù) 的必要條件的結 論。 這樣就把 連續(xù) ! 與 極限 ! 聯(lián)系在一起 , 深刻理 解函數(shù)在某一點連續(xù)的定義。通過對連續(xù)反面 不 連續(xù) ! 的討論 , 更清晰地看清了連續(xù)的本質 , 這種 學習達到了新舊概念的平穩(wěn)相接 , 順利過渡 , 促進 學生認知水平的提升。4 3創(chuàng)設情景 , 提出問題 , 形成概念數(shù)學來源于現(xiàn)實世界又反映現(xiàn)實世界 , 數(shù)學概 念的高度抽象只是在形式上與現(xiàn)實相對立 , 在內容 上卻與現(xiàn)實的世界有著密切聯(lián)系 , 許多抽象的數(shù)學 概念、數(shù)學思想 , 可以在現(xiàn)實世界中找到它們的原 型。例如導數(shù)概念的原型是變速直線運動的瞬時速 度、平面曲線的斜率 ; 微分概念

23、的原型是自由落體 由初始時刻到指定時刻所經(jīng)過路程的近似值 ; 定積 分概念的原型是曲邊梯形面積、變速直線運動的路 程 ; 函數(shù)最值的原型是用料最省、效率最高 ; 二重 積分的原型是曲頂柱體的體積 ; 級數(shù)的原型是無數(shù) 個離散量之和。雖然從數(shù)學的歷史來看 , 數(shù)學的產(chǎn) 生存在著兩個起點 , 即以實際問題為起點和以理論 問題為起點 , 但歸根結底 , 數(shù)學的最終起點還是現(xiàn) 實世界 , 它更多地來自人類的問題提出和問題解決 , 是人類力圖對現(xiàn)實世界的最本質的和最一般的反映。 正是數(shù)學概念產(chǎn)生的背景知識 , 揭示了數(shù)學概念的 現(xiàn)實意義 , 為數(shù)學的應用做好了鋪墊。4 4新舊聯(lián)系 , 利用類比 , 引入

24、概念所謂類比 , 就是借助于兩類不同本質事物之間 的相似性 , 通過比較將一種已經(jīng)熟悉或掌握的特殊 對象的知識推移到另一種新的特殊對象上去的推理 手段。當兩個對象系統(tǒng)中某些對象間的關系存在一 致性或者某些對象間存在同構關系 , 或者一對多的 同態(tài)關系時 , 便可對這兩個對象系統(tǒng)進行類比。極 限、連續(xù)、導數(shù)、微分、積分、級數(shù)、微分方程均 有線性性質 (共性 , 而這個共性 可以升華到線性 算子的理 論上 ; 還有幾 類積分 的類同 性 (對象 不 同 , 但處理方式相同 , 從而體現(xiàn)元素法的重要性 、 多元與一元微積分 (點與 線或線與面的關系 , 各 類級數(shù)與廣義積分 (類似的收斂發(fā)散概念及類

25、似的 判別法 , 各類微分方程求解 (各種變換 等等都 具有很豐富的類比性 ; 又如 , 各種中值定理、微分 與積分的幾何類比、物理類比等。通過類比把新舊 知識聯(lián)系起來 , 有利于加深對 概念的理解和 記憶 , 加強掌握知識的系統(tǒng)性 , 使學生循序漸進地將基本 知識學到手 , 實現(xiàn)知識的 正遷移 ! 。4 5建立良好的概念網(wǎng)絡體系數(shù)學概念的發(fā)展是體系化、網(wǎng)絡狀的發(fā)展。個 體的數(shù)學概念通過改變內涵與外延獲得發(fā)展 , 發(fā)展 的新概念與原有概念形成概念體系 , 個別概念既反 映自身來自于其它概念的關系 , 也反映來自系統(tǒng)的 整體性質。這種特殊與一般的對立統(tǒng)一 , 亦是數(shù)學 概念的思辯性之一 , 認識

26、這種思辯性 , 才能把握住 概念的本質。 7例如 , 積分學中的定積分、重積分、兩類曲線 積分、兩類曲面積分的概念之間的關系、異同就是 這方面典型的例子。首先 , 積分實質上是空間幾何體上不均勻分布 的量的和 , 定義這種 和 ! 的思想就是把幾何體進 行分割 , 分割后在每一局部以常量代變量近似求和 , 123然后讓分割無限加細加密 , 變化過程中使分出的每 小塊的度量都趨于 零 , 近似和 的極限就為精確 和。 用以下幾個詞可以簡單形象地概括積分的實質 :化 整為零 , 以常代變 , 積零為整 , 取極限。其次 , 又可以利用積分區(qū)域的變化使得積分從一維空間推廣進入到二維、三維空間直至更高

27、維空 間 , 得到積分的分類。再利用格林公式、高斯公式、 斯托克斯公式等建立起了各種積分之間的關系 , 建 立起如圖 2所示的概念網(wǎng)絡體系 , 使得單個積分概 念不再是孤立的。8 圖 2 各種積分之間概念網(wǎng)絡體系參考文獻 :1 楊孝 斌 , 汪 秉彝 中小 學 數(shù)學情 境與 提出 問題 ! 教學探析 J.數(shù)學教育學報 , 2004, (4 :84-872 呂傳 漢 , 汪 秉彝 中小 學 數(shù)學情 境與 提出 問題 ! 教學的理論基礎及 實施 策略 J.貴 州師 范大 學學 報 :自然 科學版 , 2007, (1:95-1003 褚海峰 情境 問題 ! 教學模 式在高等數(shù) 學教學中的推廣與運用

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