長郡中學(xué)理實班自主招生考試數(shù)學(xué)試卷

1、2015年湖南省長沙市長郡中學(xué)理實班自主招生考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題有6小題，每小題5分，共30分.1. （5分）方程（x2+x-1） x+3=1的所有整數(shù)解的個數(shù)是（）A. 5個B. 4個C. 3個D. 2個2. （5分）如圖，已知等邊 ABC外有一點P, P落在/ BAC內(nèi)，設(shè)P到BG CA AB的距離分別為hi, h2, h3,滿足h2+h3- hi=6,那么等邊 ABC的面積為（ ） A. 4 二 B. 8 二 C. 9 二 D. 12 二3. （5分）若-1<a<0,則a, a3,蟲,上一定是（）aA.工最小，a3最大B.如最小，a最大C.工最小，a最大D.最小，弧最

2、大 3a4. （5分）如圖，將 ADE繞正方形ABCD的頂點A順時針旋轉(zhuǎn)90°,得 ABF, 連接EF交AB于H,則下列結(jié)論錯誤的是（）A. AE±AF B. EF: AF=/2: 1 C, AF2=FH?FE D. FB: FC=HB EC5. （5分）在 ABC中，點D, E分別在AB, AC上，且CD與BE相交于點F,已 知ABDF的面積為10, 4BCF的面積為20, CEF的面積為16,則四邊形區(qū)域 ADFE的面積等于（ ）A. 22 B. 24 C. 36 D. 446. （5分）某醫(yī)院內(nèi)科病房有護士 15人，每2人一班，輪流值班，每8小時換 班一次，某兩人同值

3、一班后，到下次兩人再同班，最長需要的天數(shù)是（）A. 30 B. 35 C. 56 D. 448二、填空題：本題有6小題，每小題5分，共30分.7. （5 分）若 4sin2A- 4sinAcosA+cos2A=0,貝 tanA=.8. （5分）在某海防觀測站的正東方向12海里處有A、B兩艘船相會之后，A船 以每小時12海里的速度往南航行，B船則以每小時3海里的速度向北漂流.則 經(jīng)過 小時后，觀測站及A、B兩船恰成一個直角三角形.9. （5分）如圖，在坐標(biāo)平面上，沿著兩條坐標(biāo)軸擺著三個相同的長方形， 其長、 寬分別為4、2,則通過A, B, C三點的拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是 .10. （5分）桌

4、面上有大小兩顆球，相互靠在一起.已知大球的半徑為20cm,小 球半徑5cm,則這兩顆球分別與桌面相接觸的兩點之間的距離等于 cm.11. （5分）物質(zhì)A與物質(zhì)B分別由點A （2, 0）同時出發(fā)，沿正方形BCDE的周 界做環(huán)繞運動，物質(zhì)A按逆時針方向以1單位/秒等速運動，物質(zhì)B按順時針方 向，以2單位/秒等速運動，則兩個物質(zhì)運動后的第2015次相遇地點的坐標(biāo)是.12. （5分）設(shè)C2, C3, 為一群圓，其作法如下：C1是半徑為a的圓，在 G的圓內(nèi)作四個相等的圓C2 （如圖），每個圓C2和圓G都內(nèi)切，且相鄰的兩個 圓C2均外切，再在每一個圓C2中，用同樣的方法作四個相等的圓 C3,依此類推 作出

5、C4, C5, ，則（1）圓C2的半徑長等于 （用a表示）；（2）圓Ck的半徑為 （k為正整數(shù)，用a表示，不必證明）三、解答題：本題有4個小題，共60分.13. （12分）如圖，四邊形 ABCD內(nèi)接于圓O,且AD是圓。的直徑，DC與AB 的延長線相交于E點，OC/ AB.（1）求證：AD=AE（2）若OC=AB=4求4BCE的面積.14. （14分）已知拋物線y=x2+2px+2P 2的頂點為M ,（1）求證拋物線與x軸必有兩個不同交點；（2）設(shè)拋物線與x軸的交點分別為A,B,求實數(shù)p的值使 ABM面積達到最小.15. （16分）某次足球邀請賽的記分規(guī)則及獎勵方案如下表：勝一場平一場負一場積分

6、310獎勵（元/每人）15007000當(dāng)比賽進行到12輪結(jié)束（每隊均要比賽12場）時，A隊共積19分.（1）試判斷A隊勝、平、負各幾場？（2）若每一場每名參賽隊員均得出場費 500元，設(shè)A隊中一位參賽隊員所得的 獎金與出場費的和為 W （元），試求W的最大值.16. （18分）已知：矩形ABCD （字母順序如圖）的邊長 AB=3, AD=2,將此矩形 放在平面直角坐標(biāo)系xOy中，使AB在x軸正半軸上，而矩形的其它兩個頂點在 第一象限，且直線y=JLx-1經(jīng)過這兩個頂點中的一個.2（1）求出矩形的頂點A、B、C、D的坐標(biāo)；（2）以AB為直徑作。M,經(jīng)過A、B兩點的拋物線，y=ax2+bx+c的頂

7、點是P點.若點P位于。M外側(cè)且在矩形ABCD內(nèi)部，求a的取值范圍；過點C作。M的切線交AD于F點，當(dāng)PF AB時，試判斷拋物線與y軸的交 點Q是位于直線y=1x- 1的上方？還是下方？還是正好落在此直線上？并說明 理由.2015年湖南省長沙市長郡中學(xué)理實班自主招生考試數(shù)學(xué) 試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本題有6小題，每小題5分，共30分.1. （5分）（2015以心區(qū)校級自主招生）方程（x2+x- 1） x+3=1的所有整數(shù)解的個 數(shù)是（）A. 5個B. 4個C. 3個D. 2個【分析】方程的右邊是1,有三種可能，需要分類討論.第1種可能：指數(shù)為0,底數(shù)不為0;第2種可能：底數(shù)為1;第3種

8、可能：底數(shù)為-1,指數(shù)為偶數(shù).【解答】解：（1）當(dāng)x+3=0, x2+x1*0時，解得x=- 3;（2）當(dāng) x2+x- 1=1 時，解得 x=- 2 或 1.（3）當(dāng)x2+x-1 = -1, x+3為偶數(shù)時，解得x=- 1因而原方程所有整數(shù)解是-3, -2, 1, - 1共4個.故選B.【點評】本題考查了： a0=1（a是不為0的任意數(shù)）以及1的任何次方都等于1.本 題容易遺漏第3種可能情況而導(dǎo)致誤選C,需特別注意.2. （5分）（2015?天心區(qū)校級自主招生）如圖，已知等邊 ABC外有一點P, P 落在/ BAC內(nèi)，設(shè)P到BC、CA AB的距離分別為h1，h2, h3,滿足h2+h3-h1二

9、6, 那么等邊 ABC的面積為（）A. 4 三 B. 8 三 C. 9 三 D. 12 二【分析】先設(shè)等邊三角形ABC的邊長為a,連接PA PR PC,根據(jù)&pab+&pacSpce=&cab,得出Lahidah2 Lah3=H2,再根據(jù) h2+h3hi=6,求得 a=4后 2224即可得到等邊 ABC的面積.【解答】解：設(shè)等邊三角形ABC的邊長為a,連接PA、PR PC,則& PAB+&PAC- a PCB=S CAB,gpJLahi+JLah2 - Lah3al_ 22224 a'a （h2+h3-hi） =”，24盤h2+h3 hi=6,a

10、=4«,&CAB=（ ” = i2、/§,故選（D）.【點評】本題主要考查了等邊三角形面積的計算，等邊三角形高線長與邊長之間的關(guān)系.根據(jù)等邊三角形的高計算等邊三角形的面積是解決問題的關(guān)鍵.3. （5分）（20i5?天心區(qū)校級自主招生）若-Ka<0,則ma3,匕，上一定 a是（）A.工最小，a3最大B.q,最小，a最大C.人最小，a最大D.1最小，最大 aa【分析】在所給范圍內(nèi)選擇一個具體的數(shù)，代入后比較即可.【解答】解：二.若i<a<0, a可取-0.00i,那么 a3=-0.000 000 00i,孤=-O,；=-1000，工最小，a3最大， a

11、故選A.【點評】考查實數(shù)的大小比較；選擇一個合適的具體的數(shù)，代入所給代數(shù)式比較， 可以簡化比較的步驟.4. （5分）（2001?!龍江）如圖，將 ADE繞正方形ABCD的頂點A順時針旋轉(zhuǎn)90°,得ABF,連接EF交AB于H,則下列結(jié)論錯誤的是（）A. AE±AF B. EF: AF地:1 C AF2=FH?FE D. FB: FC=HB EC【分析】由旋轉(zhuǎn)得到 AF® AAED,根據(jù)相似三角對應(yīng)邊的比等于相似比，即 可求得.【解答】解：由題意知， AF® AAEDAF=AE / FAB=z EAD, / FABZ BAE=Z EAD+Z BAE玄 BAD

12、=90 .AE±AF,所以A正確;.AEF是等腰直角三角形，有EF: AF=/: 1,所以B正確；v HB/ EC, .FBIH AFCE.FB: FC=HB EG 所以 D 正確.AEF與AAHF不相似，；aF?=fh?fe 正確.故選：C.【點評】本題利用了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定 和性質(zhì)求解.5. （5分）（2015以心區(qū)校級自主招生）在 ABC中，點D, E分別在AB, AC上， 且CD與BE相交于點F,已知4BDF的面積為10, 4BCF的面積為20, CEFI勺 面積為16,則四邊形區(qū)域ADFE的面積等于（）A. 22 B. 24 C. 36

13、D. 44【分析】可設(shè)Sa ADF=m,根據(jù)題中條件可得出三角形的面積與邊長之間的關(guān)系， 進而用m表示出 AEF,求出m的值，進而可得四邊形的面積.【解答】解：如圖，連AF,設(shè)SaADF=m,.SBDE &BC=10: 20=1: 2=DF: CF,則有 2m=&aef+SaefgSx AEF=2m - 16,而 &BFC： &efg=20: 16=5: 4=BE EF,又; SJaabf： &aef=BE EF=5 4,而 &ABF=m+SBD尸m+10,Sabf: aae尸BF: EF=5 4= （m+10）: （2m16）, 解得m=20.

14、及 aef=2X 20- 16=24, Sadef=S aef+S adf=24+20=44.故選D.【點評】本題主要考查了三角形的面積計算問題，能夠利用三角形的性質(zhì)進行一些簡單的計算.6. （5分）（2015以心區(qū)校級自主招生）某醫(yī)院內(nèi)科病房有護士15人，每2人一班，輪流值班，每8小時換班一次，某兩人同值一班后，到下次兩人再同班， 最長需要的天數(shù)是（）A. 30 B. 35 C. 56 D. 448【分析】此題可運用排列組合解答，15人，每2人一班，輪流值班，則有C152=105 種組合，一天是24小時，8小時1班，24除以3二每天3個班 再用105除以3=35 天.【解答】解：由已知護士

15、15人，每2人一班，輪流值班，得：有052=105種組合，又已知每8小時換班一次，某兩人同值一班后，到下次兩人再同班，所以最長需要的天數(shù)是105+ （24 + 8） =35 （天）.故選：B.【點評】此題考查的知識點是整數(shù)問題的綜合運用，關(guān)鍵是先求出 15人，每2 人一班有多少種組合，再由每8小時換班一次，某兩人同值一班后，到下次兩人 再同班求出最長需要的天數(shù).二、填空題：本題有6小題，每小題5分，共30分.7. （5 分）（2015以心區(qū)校級自主招生）若 4sin2A 4sinAcosA+cos2A=0,貝U tanA=一，【分析】先解一元二次方程，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義得出即可.【解答】

16、 解：4sin2A 4sinAcosA+cos A=0),(2sinA- cosA) 2=0,2sinA- cosA=Q2sinA=cosAtanA=5i& =, cosA 2故答案為： 2【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義和解一元二次方程等知識點，比較簡單，注意銳角三角函數(shù)定義的掌握.8. (5分)(2015?天心區(qū)校級自主招生)在某海防觀測站的正東方向 12海里處 有A、B兩艘船相會之后，A船以每小時12海里的速度往南航行，B船則以每小 時3海里的速度向北漂流.則經(jīng)過 2小時后,觀測站及 A、B兩船恰成一個 直角三角形.【分析】根據(jù)題意畫出圖形，設(shè)經(jīng)過x小時后，觀測站及A、B兩船

17、恰成一個直 角三角形，在RtAOBG RtAOCA和RtABO中分別應(yīng)用勾股定理，即可求出 x 的化【解答】解：如下圖所示，設(shè)經(jīng)過x小時后，觀測站及A、B兩船恰成一個直角三角形，貝U BC=3x AC=12k在RtOBC中，根據(jù)勾股定理得：122+ (3x) 2=OB2;在Rt OCA中，根據(jù)勾股定理得：122+ (12x) 2=AC2;在RtABO中，根據(jù)勾股定理得：OW+ACAB2" (15x) 2;122+ (3x) 2+122+ ( 12x) 2= (15x) 2,解得：x=2或-2 (舍去).即經(jīng)過2小時后，觀測站及A、B兩船恰成一個直角三角形.故答案為：2.【點評】本題考

18、查勾股定理的實際應(yīng)用， 難度適中，先根據(jù)題意畫出圖形是解題 關(guān)鍵.9. (5分)(2015以心區(qū)校級自主招生)如圖，在坐標(biāo)平面上，沿著兩條坐標(biāo)軸 擺著三個相同的長方形，其長、寬分別為 4、2,則通過A, B, C三點的拋物線 對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是 y= - _Lx2-J_x+皎 .-122芻一【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，利用矩形邊長得出 A, B, C三點的坐標(biāo)，再利用待 定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可.【解答】解：二.沿著兩條坐標(biāo)軸擺著三個相同的長方形， 其長、寬分別為4、2, .A點的坐標(biāo)為：（-4, 2）, B點的坐標(biāo)為：（-2, 6）, C點的坐標(biāo)為：（2,4）, 將 A, B, C代入 y

19、=a/+bx+c,r16a-4b+c=2Ya-2b+56 , L4a+2b+ c=4 '_ 5 a-W解得：b二卷,20 ,C=T一二次函數(shù)解析式為：y= - -x2 - x+.1223故答案為：y=- -Lx2-1x+皎. 1223【點評】此題主要考查了矩形的性質(zhì)以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，根據(jù)矩形邊長得出A, B, C三點坐標(biāo)是解決問題的關(guān)鍵.10. （5分）（2015以心區(qū)校級自主招生）桌面上有大小兩顆球，相互靠在一起.已 知大球的半徑為20cm,小球半徑5cm,則這兩顆球分別與桌面相接觸的兩點之 間的距離等于 20 cm.【分析】首先根據(jù)題意作圖，可得：O A與。B外切，O

20、 A, OB與CD分別相切 于C, D, AC=20cm, BD=5cm,然后過點B作BH AC,又由切線的性質(zhì)，即可得 四邊形ECDB是矩形，則在RtA AEB中，即可求得BE的長，即可求得這兩顆球 分別與桌面相接觸的兩點之間的距離 CD的長.【解答】解：如圖，根據(jù)題意得：O A與。B外切，O A, OB與CD分別相切于C, D, AC=20crn BD=5cm, .AB=25cm, AC± CD, BD± CD, /ACD玄 BDC=90,過點B作BE! AC,丁. / BEC=90,四邊形ECDB是矩形,BE=CD EC=BD=5cmAE=AC- EC=15cm在 R

21、tAAEB中，BE=/ad2_ae2=/252,152=20 (cm), . CD=20cm故答案為：20.【點評】此題考查了外切兩圓的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，以及矩形的性質(zhì)等知識.此 題綜合性較強，難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用與輔助線的作 法.11. (5分)(2015以心區(qū)校級自主招生)物質(zhì) A與物質(zhì)B分別由點A (2, 0) 同時出發(fā)，沿正方形BCDE的周界做環(huán)繞運動，物質(zhì) A按逆時針方向以1單位/ 秒等速運動，物質(zhì)B按順時針方向，以2單位/秒等速運動，則兩個物質(zhì)運動后 的第2015次相遇地點的坐標(biāo)是-2).3_【分析】此題利用行程問題中的相遇問題，由于正方形的邊長為4,物質(zhì)B

22、是物質(zhì)A的速度的2倍，求得每一次相遇的地點，找出規(guī)律即可解答.【解答】解：正方形的邊長為4,因為物質(zhì)B是物質(zhì)A的速度的2倍，時間相同， 物質(zhì)A與物質(zhì)B的路程比為1:2,由題意知：第一次相遇物質(zhì)A與物質(zhì)B行的路程和為16X1,物質(zhì)A行的路程為16X擊 二牛，物質(zhì)B行的路程為16乂磊與，在BC邊相遇；0JL 1 士 。第二次相遇物質(zhì)A與物質(zhì)B行的路程和為16X2,物質(zhì)A行的路程為16X2X : 汽,物質(zhì)B行的路程為16X2X卷卷，在DE邊相遇；J. 丁 £ 。JL T 士。第三次相遇物質(zhì)A與物質(zhì)B行的路程和為16X3,物質(zhì)A行的路程為16X3X 3二16,物質(zhì)B行的路程為16X3X工二?

23、？，在A點相遇； 1+21+2第四次相遇物質(zhì)A與物質(zhì)B行的路程和為16X4,物質(zhì)A行的路程為16X4X J二口,物質(zhì)B行的路程為16X4X/普，在BC邊相遇；L T £ JJL T 士。第五次相遇物質(zhì)A與物質(zhì)B行的路程和為16X5,物質(zhì)A行的路程為16X5X1 =S0,物質(zhì)B行的路程為16X5X 2 =16。在de邊相遇；1+2 31+2 3綜上可得相遇三次一個循環(huán)，因為2015=3X 671+2,即第2015次相遇和第二次相遇的地點相同，所以它們第2015次相遇在邊DE上，點的坐標(biāo)是 （-且，-2）.3故答案為：（-2，-2）. 3【點評】此題屬于應(yīng)用類問題，主要考查行程問題中的相

24、遇問題及按比例分配的 運用，通過計算發(fā)現(xiàn)規(guī)律就可以解決問題，難度較大.12. （5分）（2015以心區(qū)校級自主招生）設(shè) Ci, C2, C3, 為一群圓，其作法如 下：G是半徑為a的圓，在G的圓內(nèi)作四個相等的圓C2 （如圖），每個圓C2和 圓C1都內(nèi)切，且相鄰的兩個圓C2均外切，再在每一個圓C2中，用同樣的方法作 四個相等的圓C3,依此類推作出C4, C5, C6,，則（1）圓C2的半徑長等于_（加-1） a_ （用a表示）；（2）圓Ck的半徑為 _（返1 ） k 1a （k為正整數(shù)，用a表示，不必證明）【分析】（1）連接AR BC、CD AD, AC,設(shè)小圓白半徑是r,根據(jù)圓與圓相切， 得到

25、AC=2a- 2r,根據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理得到 AC=2、，推出方程2a- 2r=2：r,求出即可;（2）求出 r= （V2-1） a, r3=（我1） r=（a-D2a, r4=（V2 -1）,得出圓 Ck 的半徑為rk= （V2- 1 ） k1a即可.【解答】（1）解：連接AR BC、CD AD, AC,設(shè)小圓的半徑是r,根據(jù)圓與圓相切，AC=2a- 2r,一四邊形ABCD是正方形， .AB=BC /B=90°,由勾股定理得：AC=2二r, .2a-2r=2 %,解得：r= (Mj - 1) a,故答案為：1) a.(2)解：由(1)得：r=(V2-1) a, 同理圓C3的半

26、徑是3= (V2 - 1) r=(后1)4, C4的半徑是4=T),圓Ck的半徑為k=(近1 ) k1a, 故答案為：k= (V2- 1 ) k 1a.【點評】本題主要考查對正方形的性質(zhì)和判定，勾股定理，相切兩圓的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，能根據(jù)計算結(jié)果得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵.三、解答題：本題有4個小題，共60分.13. (12分)(2015以心區(qū)校級自主招生)如圖，四邊形 ABCD內(nèi)接于圓O,且 AD是圓O的直徑，DC與AB的延長線相交于E點，OC/ AB.(1)求證：AD=AE(2)若OC=AB=4求4BCE的面積.【分析】(1)根據(jù)。為AD中點，OC/ AE,得到2OC=AE再卞g據(jù)AD

27、是圓。的 直徑，得到2OC=AQ從而得到 AD=AE(2)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到 BC/ AD,再由g據(jù)C為中點，得到AB=BE=4從 而求得BC=BE=4然后連接BD,得至ij/ DBE=90,進而得到BE=BC=CE=4然后 求面積即可.【解答】(本小題滿分12分)解：(1) :。為 AD 中點，OC/ AE,2OC=AE又;AD是圓。的直徑，2OC=ADAD=AE(2)由條件得ABCO是平行四邊形，BC/ AD,又C為中點，AB=BE=4vAD=AEBC=BE=4連接BD,二.點B在圓。上， ./ DBE=90, . CE=BC=4即 BE=BC=CE=4 所求面積為4如.【點評】本題

28、考查了圓周角定理及平行四邊形的性質(zhì)及判定，解題的關(guān)鍵正確的應(yīng)用圓周角定理.14. (14分)(2015以心區(qū)校級自主招生)已知拋物線 y=x2+2px+2P -2的頂點為 M,(1)求證拋物線與x軸必有兩個不同交點；(2)設(shè)拋物線與x軸的交點分別為A,B,求實數(shù)p的值使 ABM面積達到最小.【分析】(1)先判斷出的符號即可得出結(jié)論；(2)設(shè)A (x1，0), B (x2, 0),利用兩點間的距離公式即可得出|AB|的表達式， 設(shè)頂點M (a, b),再把原式化為頂點式的形式，即可得到 b=- (p-1) 2-1, 根據(jù)二次函數(shù)的最值及三角形的面積公式即可解答.【解答】解：(1) = =4p2

29、8p+8=4 (p 1) 2+4>0,:拋物線與x軸必有兩個不同交點.(2)設(shè) A (溝，0), B (x2, 0),則 | AB| 2二| x2 - x1| 2= (x1+x2) 2 - 4x1x2=4p2 - 8p+8=4 (p-1) 2+4, . 1AB|=2，J(p_i)2+.又設(shè)頂點 M (a, b),由 y= (x+p) 2 - (p-1) 2- 1.得 b= - (p-1) 2一1.當(dāng)p=1時，| b|及| AB|均取最小，此時SaABM=i-| AB| b|取最小值1.【點評】本題考查的是拋物線與x軸的交點問題，涉及到的知識點為：根的判別 式、兩點間的距離公式、二次函數(shù)的

30、頂點式及三角形的面積，熟知以上知識是解 答此題的關(guān)鍵.15. (16分)(2015?天心區(qū)校級自主招生)某次足球邀請賽的記分規(guī)則及獎勵方案如下表:勝一場平一場負一場積分310獎勵(元/每人)15007000當(dāng)比賽進行到12輪結(jié)束(每隊均要比賽12場)時，A隊共積19分.(1)試判斷A隊勝、平、負各幾場？(2)若每一場每名參賽隊員均得出場費 500元，設(shè)A隊中一位參賽隊員所得的 獎金與出場費的和為 W (元)，試求W的最大值.【分析】(1)首先假設(shè)A隊勝x場，平y(tǒng)場，負z場，得出x+y+z=12, 3x+y=19, 即可得出y, z與x的關(guān)系，再利用x>0, y>0, z>0,

31、得出即可；(2)根據(jù)圖表獎金與出場費得出 W= (1500+500) x+ (700+500) y+500z,進而 得出即可.【解答】解：(1)設(shè)A隊勝x場，平y(tǒng)場，負z場，fx+y+z=12(3x+y=19可得：'：'1. z=2x-7依題意，知x>0, y>0, z> 0,且x、v、z均為整數(shù), f19-3x>0解得：&xw畢， 23；x可取 4、5、6；A隊勝、平、負的場數(shù)有三種情況：當(dāng) x=4 時，y=7, z=1;當(dāng) x=5 時，y=4, z=3;當(dāng) x=6 時，y=1, z=5.(2) v W= (1500+500) x+ (700+

32、500) y+500z= - 600x+19300當(dāng) x=4 時，W 最大，W 最大值二-600X 4+19300=16900 (元)答：W的最大值為16900元.【點評】此題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用以及不等式組的應(yīng)用等知識，利用已知 得出x+y+z=12, 3x+y=19,進而得出y, z與x的關(guān)系是解題關(guān)鍵.16. (18分)(2015以心區(qū)校級自主招生)已知：矩形 ABCD (字母順序如圖) 的邊長AB=3, AD=2,將此矩形放在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，使AB在x軸正半軸上，而矩形的其它兩個頂點在第一象限，且直線y=Jx-1經(jīng)過這兩個頂點中的一個.(1)求出矩形的頂點A、B、C、D的

33、坐標(biāo)；(2)以AB為直徑作。M,經(jīng)過A、B兩點的拋物線，y=ax2+bx+c的頂點是P點.若點P位于。M外側(cè)且在矩形ABCD內(nèi)部，求a的取值范圍；過點C作。M的切線交AD于F點，當(dāng)PF/ AB時，試判斷拋物線與y軸的交點Q是位于直線y=lx- 1的上方？還是下方？還是正好落在此直線上？并說明2理由.【分析】(1)首先建立平面直角坐標(biāo)系，由矩形 ABCD中，AB=3, AD=2,設(shè)A (m, 0) (m>0),則有 B (m+3, 0); C (m+3, 2), D (m, 2);然后若 C點過 yx- 1與C點不過yx- 1分析，即可求得矩形的頂點 A、B、C、D的坐標(biāo)；22(2) OM以AB為直徑，即可求得 M點的坐標(biāo)，又由y=a/+bx+c過A (2, 0) 和B (5, 0)兩點，利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的圖象，然后頂點同時在 OM外側(cè)和在矩形ABCD內(nèi)部，即可求得a的取值范圍；首先設(shè)切