考研數(shù)學(xué)線代課件

1、第 三 章向量與向量空間n維向量及其n維向量空間向量組的線性相關(guān)及其線性無(wú)關(guān)向量組的秩 研究人造地球衛(wèi)星在天空運(yùn)行時(shí)的狀態(tài)，人們不但希望知道它的幾何軌跡，還希望知道它在某時(shí)刻t的位置及表面溫度 和壓力p。在數(shù)學(xué)上，我們?nèi)绾伪硎拘l(wèi)星的狀態(tài)呢？ 我們已知，衛(wèi)星在某時(shí)刻t的位置可用三元有序數(shù)組（x，y，z）來(lái)表示，那么在某時(shí)刻t的狀態(tài)可用六元有序數(shù)組（ t ，x，y，z ， ， p）來(lái)表示。 由此可知，在許多實(shí)際問(wèn)題中，所研究的對(duì)象需要用多個(gè)數(shù)構(gòu)成的有序數(shù)組來(lái)描述，僅用三元有序數(shù)組即幾何向量是不夠的。因此有必要把幾何向量推廣到n維向量。第三節(jié) n維向量及其運(yùn)算主要內(nèi)容1. n維向量的概念2. n維向

2、量的線性運(yùn)算 n個(gè)數(shù)a1，a2，an所組成的有序數(shù)組a1，a2，an稱為n維向量，記作 行向量列向量列向量記作：行向量記作：注 以后沒(méi)有特別說(shuō)明，所說(shuō)向量均指列向量。這n個(gè)數(shù)稱為該向量的n個(gè)分量，其中第i個(gè)數(shù)ai 稱為第i個(gè)分量.（a1，a2， ,an）或【定義3.7】一、n維向量的概念兩向量相等零向量向量 的負(fù)向量實(shí)向量：分量為實(shí)數(shù)的向量；復(fù)向量：分量為復(fù)數(shù)的向量. 除特別指明外，一般只討論實(shí)向量.加法運(yùn)算減法運(yùn)算數(shù)與向量的乘法 與 的和向量 與 的差向量注 兩個(gè)向量的加、減運(yùn)算可推廣到n個(gè)向量，你會(huì)嗎？ 與數(shù)k的積向量，簡(jiǎn)稱 的數(shù)乘向量。 n維向量的加法運(yùn)算和向量與數(shù)的數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的

3、 線性運(yùn)算。二、n維向量的線性運(yùn)算向量線性運(yùn)算的性質(zhì)加法數(shù)量乘法例1. 線性方程組的向量方程形式:設(shè)方程組為:令向量根據(jù)向量的線性運(yùn)算有：方程組的向量方程形式 解設(shè)M（x，y，z）為直線上的點(diǎn)由題意知：M 為有向線段 的定比分點(diǎn)。特別地 第四節(jié) 向量組的線性相關(guān)主要內(nèi)容1.向量組及其線性組合2.線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)3.線性相關(guān)的性質(zhì)4.線性相關(guān)的判定1、向量組與矩陣的關(guān)系 若干個(gè)同維數(shù)的列向量(或同維數(shù)的行向量)所組成的集合叫做向量組。得到一個(gè)有m個(gè)n維列向量組成的向量組，給定一個(gè)nm型矩陣或一個(gè)有n個(gè)m維行向量組成的向量組.一、向量組及其線性組合 給出一個(gè)由m個(gè)n維列向量組成的向量組可構(gòu)成一個(gè)

4、 型矩陣：矩陣的列向量組由n個(gè)m維行向量組成的向量組也可構(gòu)成一個(gè)nm型的矩陣矩陣的行向量組即：含有有限個(gè)向量的有序向量組與矩陣一一對(duì)應(yīng)。2、線性組合的概念【定義3.10】 稱為向量組A的一個(gè)線性組合。設(shè)有向量組 若存在一組數(shù)k1，k2，km使 則說(shuō)向量 的線性組合，或者說(shuō)向量 線性表示.【定義3.10】【注】 10 定義中的一組數(shù)k1，k2，km只要存在即 可，不一定唯一20 零向量可由任何向量組線性表示。 給出幾個(gè)向量，如何判斷、如何求一個(gè)向量能不能由其它向量線性表示？分析：【問(wèn)題】解：設(shè)有一組實(shí)數(shù)k1，k2，k3使是否存在？如果存在就表示可以線性表示；如果不存在就不能線性表示。解：解線性方

5、程組得出k17，k25，k303、等價(jià)向量組例2 單位坐標(biāo)向量組e1=(1,0,0)T，e2= (0,1,0)T ，e 3= (0,0,1)T和向量組1= (1,1,1)T ，2= (1,1,0)T ，3= (1,0,0)T是否等價(jià)? 解 因?yàn)?1 = e1+e2+e3， 2 = e1+e2， 3 = e1.又容易解出 e1= 3， e2= 2 - 3 ， e3= 1 - 2 .可見(jiàn)這兩個(gè)向量組可以相互線性表示，因此它們是等價(jià)的向量組。 設(shè)有兩個(gè)n維向量組如果向量組A中的每一個(gè)向量都可由向量組B線性表示，則稱向量組A可由向量組B線性表示.如果向量組A和B可以相互線性表示，則稱這兩個(gè)向量組等價(jià).

6、【定義3.11】例3 向量組1=(0,0)T，2= (0,3)T和向量組1= (1,2)T ，2= (1,3)T是否等價(jià)?解 由于1=01+02，2=32-31，所以向量組1, 2可由向量組1，2線性表示.但1的第一個(gè)分量是1，而1，2的第一個(gè)分量全都是零，所以它們的任何線性組合其第一個(gè)分量總是零，于是向量組1，2與向量組1，2不等價(jià).故1不能由1，2線性表示，因此向量組1，2不能由向量組1，2線性表示.關(guān)于向量組的等價(jià)，顯然有下面三條性質(zhì)： (1) 自反性：向量組A與其本身等價(jià)； (2) 對(duì)稱性：若向量組A與向量組B等價(jià)，則向量組B與向量組A也等價(jià)； (3) 傳遞性：若向量組A與向量組B等價(jià)

7、，向量組B與向量組C等價(jià)，則向量組A與向量組C等價(jià).4、向量組A可由向量組B線性表示的矩陣形式j(luò)=k1j 1+k2j 2 + +ktj t1， A 2， , s =（1，2，t）( )BK= =（1，2，t） =（1，2，t）向量組A由向量組B線性表示的系數(shù)矩陣（*）=（1，2，t）把向量組A 構(gòu)成的矩陣記作: A=（1，2，s）,把向量組B 構(gòu)成的矩陣記作: B=（1，2，t）.A組能由B組線性表示，即對(duì)每個(gè)向量j（j=1,2, ,s）存在數(shù)k1j，k2j ，ktj，使:反之，若存在矩陣Kts使式（*）成立，則向量組A能由向量組B線性表示.于是 列向量組A：1，2，s能由列向量組B： 1，

8、2， ，t線性表示的充分必要條件是存在矩陣Kt s使A=BK ，這里矩陣A，B分別是以向量組A和向量組B為列構(gòu)成的矩陣. 【思考】： 若向量組A、B為行向量組，會(huì)有什么結(jié)果呢？對(duì)式（*）兩邊進(jìn)行轉(zhuǎn)置即得： 行向量組A：1T，2T，sT能由行向量組B： 1T，2T，tT線性表示的充分必要條件是存在矩陣Kst使A=KB ，這里矩陣A，B分別是以行向量組A和行向量組B為行構(gòu)成的矩陣.由此可得若矩陣A經(jīng)初等列變換變成矩陣B(A與B列等價(jià))，則矩陣A的列向量組與矩陣B的列向量組等價(jià).證明思想 若矩陣A經(jīng)初等列變換變成矩陣B，則存在可逆矩陣P，使B= AP 矩陣B的列向量組可由矩陣A的列向量組線性表示 右

9、乘P-1 A= B P-1矩陣A的列向量組可由矩陣B的列向量組線性表示 矩陣A的列向量組與矩陣B的列向量組等價(jià).同理，若矩陣A經(jīng)初等行變換變成矩陣B(A與B行等價(jià))，則矩陣A的行向量組與矩陣B的行向量組等價(jià). 否則，稱這個(gè)向量組線性無(wú)關(guān)，即僅當(dāng)k1=k2=km=0時(shí),才有 設(shè)有n維向量組 ，如果存在一組不全為零的數(shù)k1，k2，km使 則稱向量組 線性相關(guān)，注 所謂向量組 線性相關(guān)，是指存在一組不全為零的數(shù)k1，k2，km使成立。在這里存在的這組數(shù)k1，k2，km是一組不全為零的數(shù)，而不是全不為零的數(shù)。二、線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的定義 【定義3.12】【問(wèn)題】：給出一個(gè)向量組，如何判斷線性相關(guān)還是無(wú)關(guān)？證明(解)： 設(shè)有一組實(shí)數(shù)k1，k2，ks使若k1，k2，ks不全為零，則線性相關(guān)，若只有零解，則線性無(wú)關(guān)。例4 試判斷下列向量組的線性相關(guān)性 解使得 即 因?yàn)槠湎禂?shù)行列式于是方程組只有零解，線性無(wú)關(guān)。所以是否全為零？全為零時(shí)，說(shuō)明這三個(gè)向量具有什么性質(zhì)？不全為零時(shí)，又如何？解 設(shè)有一組實(shí)數(shù)k1，k2，k3使即解方程組得： k1=k2=k3. 若取k1 =1，則存在不全為零的數(shù)1，1，1使得故向量組 線性相關(guān)。n維向量組 稱