向量基本定理ppt課件

1、 2.2.1平面向量基本定理 2.2 分解及向量坐標表示火箭在升空的某一時刻，速度可以分解成豎直向上和水平向前的兩個分速度情景1在物理學中我們知道，一個放在斜面上的物體所受的豎直向下的重力G，可分解為使物體沿斜面下滑的力F1，和使物體垂直與斜面壓緊斜面的力F2， 情景2GF1F2如圖，一盞電燈，可以由電線CO吊在天花板上，也可以由電線AO和繩BO拉住，CO所受的拉力F應于電燈重力平衡，拉力F可以分解為AO與BO所受的拉力F1和F2 情景3ae1e2ae1e2OCMNAB問題2平面內任一向量是否可以用兩個不共線的向量來表示呢？在同一平面內有兩個不共線的向量e1，e2 ，給定向量a，那么向量a，存

2、在一對實數1，2，使結論問題1 給定一個向量a是否可以分解成兩個不共線方向上的 向量之和, 即a=1e1+2e2平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面內兩個不共線的向量,那么對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數1，2，使 a=1e1+2e2基底線性組合（1）我們把不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底（base）（2）一個平面向量用一組基底e1，e2表示成a=1e1+2e2的形式，我們稱它為向量的分解（3）當e1，e2互相垂直時，就稱為向量的正交分解； 數學建構）平面向量基本定理的內容存在性唯一性如果是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面的任意向量一對實

3、數，使存在有且只有思考：上述表達式中的是否唯一？數學建構平面向量基本定理的理解有且只有使若與共線，則使若正交基底：一個平面向量用一組基底表示成：稱它為向量的分解基底：把不共線的向量叫做這一平面內所有向量的一組基底當互相垂直時，稱為向量的正交分解平面向量基本定理的拓展 探究：一組平面向量的基底有多少對？無數對 探究：若基底選擇不同，則表示同一向量的實數是否相同？可以不同,也可不同OFCEAEBNDCBAM例1數學應用數學應用練習）已知向量求作向量則下面的四組向量中不能作為一組基底的是是平面內所有向量的一組基底，）若（B）數學應用2如圖，已知梯形ABCD，AB/CD，且AB= 2DC,M,N分別是

4、DC,AB的中點.請大家動手,在圖中確定一組基底，將其他向量用這組基底表示出來。ANMCDB練習數學應用2如圖，已知梯形ABCD，AB/CD，且AB= 2DC,M,N分別是DC,AB的中點.ANMCDB解：設則有練習數學應用3平行四邊形ABCD中，E、F分別是DC和AB的中點，試判斷AE,CF是否平行？FADCEB分析：找是否共線？練習練習4已知ABCD為矩形，且AD=2AB，又ADE為等腰三角形，F為ED的中點，表示向量 e1e23）ABC中，三邊BC，CA，AB的中點依次為D，E，F，則ABCM練習設e1，e2是平面內的一組基底 =3e1 -2 e2,=4 e1 + e2, =8 e1 -

5、9 e2,證明A，D，B，三點共線 練習思考 , 是兩個不共線的向量，已知 ，若A，B，D三點共線，求實數 的值。 回顧小結：）平面向量基本定理內容定理的拓展性）對定理的理解與拓展實數對的存在性和唯一性基底的不唯一性）平面向量基本定理的應用復習回顧平面向量基本定理的內容是什么？如果 e1 , e2是同一平面內的兩個不共線的向量，那么對于這一平面內的任一向量 a ，有且只有一對實數 1 , 2 使得a= 1 e1+ 2 e2平面向量基本定理:不共線的平面向量 e1 , e2 叫做這一平面內所有向量的一組基底.向量的基底:思考：既然向量是既有大小又有方向的量，那如何刻畫向量a的相對位置呢？思考：

6、2.2.1向量的正交分解與向量的直角坐標運算探索1:以坐標原點O為起點，P為終點的向量能否用坐標表示？如何表示？oPxya向量的坐標表示向量 P（x ，y）一 一 對 應在平面直角坐標系內，起點不在坐標原點O的向量如何用坐標來表示?探索2:oxya在平面直角坐標系內，起點不在坐標原點O的向量如何用坐標來表示?探索2:Aoxyaa可通過向量的平移，將向量的起點移到坐標的原點O處,其終點的坐標（x，y）稱為a的（直角）坐標，記a=（x，y）。解決方案:在平面直角坐標系內，若分別取與X軸、Y軸正方向相同的兩個單位向量 i , j作為基底，任作一向量a，由平面向量基本定理知，有且僅有一對實數 x ,

7、y ,使得 a=x i+y j.歸納總結2、單位向量 i1、 a=x i+y j =( x , y) 稱其為向量的坐標形式. = (0,0)=（1，0），j =（0，1）平面向量可以用坐標表示，向量的運算可以用坐標來運算嗎？探索3：（1）已知a =(x1 , y1), b= (x2 , y2) ， 求a + b , a b .（2）已知a =(x1 , y1)和實數 ， 求 a的坐標 .如何計算？ 向量的坐標運算說明： 兩個向量的和與差的坐標等于兩個向量的相應坐標的和與差； 數乘向量的積的坐標等與數乘以向量相應坐標的積。 x44-4-4-3-3-2-1-1-23322110y5A解：由圖可知同

8、理你能發(fā)現向量a的坐標與它起點坐標和終點坐標間有什么聯系嗎？一個向量的坐標等于表示該向量的終點的坐標減去起點的坐標說明：四邊形OCDA是平行四邊形？例1. 在直角坐標系xOy中，向量a，b，c的方向和長度如圖所示，分別求它們的坐標。例2.已知A(x1,y1）,B(x2,y2),求向量 的坐標.解：=(x2,y2)(x1,y1)=(x2x1，y2y1)。說明：一個向量的坐標等于向量終點的坐標減去始點的坐標。例3.在直角坐標系xOy中，已知點A(x1,y1), B( x2, y2), 求線段AB中點的坐標。 解：設M(x,y)是線段AB的中點，則 例3得到的公式，叫做線段中點的坐標公式，簡稱中點公

9、式。 例4.在直角坐標系xOy中，已知點A(3,2), B(2，4)，求向量 的方向和長度. 解：= (3,2)+(2，4)= (1,6).=arctan 6 例5.已知ABCD的三個頂點A(2, 1)、B(1, 3)、C(3, 4)，求頂點D的坐標。 解： =(2,1)+(3,4) (1,3) =(2, 2)所以D點的坐標是(2, 2).例6. 已知A(2，1)，B(1，3)，求線段AB中點M和三等分點坐標P，Q的坐標 .解：(1) 求中點M的坐標，利用例3得到的公式可知M( ，2)(2) 因為 =(1，3)(2，1) =(3，2)練習1. 設向量a=(1,3)，b =(2,4)，c =(1

10、,2)，若表示向量4a、4b2c、2(ac)、d的有向線段首尾相接能構成四邊形，則向量d為 .解： 4a+(4b2c)+2(ac)+d=0,所以d=6a4b+4c=(2, 6).2.設點P在平面上做勻速直線運動,速度向量 ,設起始P(10,10), 則5秒鐘后點P的坐標為( ). 解：5秒種后，P點坐標為 (10, 10)+5(4, 3)=(10, 5).3.設A(2, 3)，B(5, 4)，C(7, 10) 滿足(1) 為何值時,點P在直線y=x上?(2)設點P在第三象限, 求的范圍.解: (1) 設P(x, y)，則 (x2, y3)=(3, 1)+(5, 7), 所以x=5+5，y=7+

11、4. 解得 =(2) 由已知5+50,7+40 ,所以1. 課時小結:2 加、減法法則.a + b=( x1 , y1) + (x2 , y2)= (x1+x2 , y1+y2)3 實數與向量積的運算法則：a =(x i+y j )=x i+y j =(x , y) 4 向量坐標.若A(x1 , y1) , B(x2 , y2)1 向量坐標定義.則 =(x2 - x1 , y2 y1 ) a - b=( x1 , y1) - (x2 , y2)= (x1- x2 , y1-y2)歸納小結 1.1.向量的坐標表示是向量的另一種表示形式（也可以稱之為向量的代數表示），其背景是向量基本定理； 22.向量的坐標表示，為我們進行向量的運算打開了方便之門1(1)兩向量和的坐標