極限的性質(zhì)與四則運(yùn)算法則

1、2.4 極限的性質(zhì)與四則運(yùn)算法則一、性質(zhì)性質(zhì)1(唯一性)若極限lim f(x)存在，則極限唯一。注此定理對(duì)數(shù)列也成立。性質(zhì)2(局部有界性)注1、其他類型的極限對(duì)應(yīng)的鄰域由定義中x的變化范圍確定。2、此處只說有一個(gè)空心鄰域，至于空心鄰域有多大由具體函數(shù)確定。8/25/20220性質(zhì)3(局部保號(hào)性)性質(zhì)4注性質(zhì)58/25/20221二、四則運(yùn)算法則 根據(jù)極限的定義, 只能驗(yàn)證某個(gè)常數(shù) A是否為某個(gè)函數(shù)(x)的極限, 而不能求出函數(shù)(x)的極限. 為了解決極限的計(jì)算問題, 下面介紹極限的運(yùn)算法則; 并利用這些法則和一些已知結(jié)果來求函數(shù)極限。定理8/25/20222推論1常數(shù)因子可以提到極限記號(hào)外面.

2、 推論2推論3推論4推論58/25/20223注應(yīng)用時(shí)必須注意條件，如極限存在、分母不為零、偶次根號(hào)下非負(fù)等；定理和推論中C、n、a都是與自變量無關(guān)的常量。 如(3)參加求極限的函數(shù)應(yīng)為有限個(gè)。 8/25/20224況)時(shí)可直接代入。例 利用極限的運(yùn)算性質(zhì)和一些簡單的極限結(jié)果，可以計(jì)算一些復(fù)雜的函數(shù)極限。下面總結(jié)一下求函數(shù)極限的基本方法。 1、代入法答案注意 代入時(shí)把所有x都換成x0，不能只代入一部分。8/25/20225例1解8/25/20226例2解商的法則不能用由無窮小與無窮大的關(guān)系,得8/25/202272、消零法若分子分母都是多項(xiàng)式且都趨于零時(shí)，可將其分解因式，再消去公因式，直至可直

3、接代入。例計(jì)算過程8/25/20228 x3-x2-16x-20= x3+2x2-3x2-6x-10 x-20=x2 (x+2) -3x (x+2) -10 (x+2) = (x+2) (x2 -3x-10)= (x+2) (x+2) (x-5) 注意從高次冪到低次冪依次配項(xiàng)8/25/2022例3解8/25/2022103、消最大公因子法練習(xí)答案 0同樣都是多項(xiàng)式，若分子、分母都趨于無窮大，則分子、分母除以最高次數(shù)的項(xiàng)。例計(jì)算過程 很容易可以看出，這一類的極限只和分子、分母的次數(shù)以及(次數(shù)相等時(shí))最高次項(xiàng)的系數(shù)有關(guān)。8/25/202211分子、分母同除以最高次冪8/25/2022例5解例4解8

4、/25/202213例6解先變形再求極限.8/25/202214備忘消極大公因子法對(duì)分子、分母含指數(shù)形式也適用。例計(jì)算過程注8/25/202215分子、分母同除以“最大項(xiàng)”8/25/20224、有理化法 若分子或分母有根號(hào)(特別是有根號(hào)相減)時(shí)，可將之有理化。 例計(jì)算過程練習(xí)答案當(dāng)x-時(shí)結(jié)果為-(a+b)，故x時(shí)極限不存在8/25/202217平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)立方差公式a3-b3=(a2+ab+b2)(a-b)8/25/2022例7解8/25/2022195、通分法例答案練習(xí)答案 -18/25/2022206、變量代換法例方便時(shí)可考慮變量代換以簡化計(jì)算(注意變化趨勢(shì)也隨之改變)。練習(xí)答案 不存在。計(jì)算過程提 示取t滿足xt=1，則x0-時(shí)t-；x0+時(shí)t+。8/25/202221為把兩個(gè)根號(hào)同時(shí)去掉,做變量代換當(dāng)x1時(shí)t1，因此消零法。例如對(duì)分子： -tm+1= -tm +tm-1 tm-1 +tm-2 - t+1=(-tm-1 tm-2- 1)(t-1)本題也可以用有理化法計(jì)算8/25/20227、