武漢理工大學(xué) 2015-2016第一學(xué)期線性代數(shù)A卷答案

1、 武漢理工大學(xué)考試試題答案2015 2016 學(xué)年 1 學(xué)期 線性代數(shù)（A 卷）課程一、單項(xiàng)選擇題（每小題 3 分，共 15 分）1.C 2.A 3.D 4.C 5.B二、填空題（每小題 3 分，共 15 分）5 2 0 01 0 03Ak T或 1,1,1T0 0 2 1(2, 1,3)裝訂線1. 16 ； 2.； 3.1 ； 4. 0 0 1 1 1,1,1(1, 2, 2) k； 5. 20TT三、計(jì)算題（本大題共 4 小題，共 28 分）1.解：將第 2 至第n 列的 1 倍加到第 1 列，有再按第1 列展開(kāi)，有 ( 1) (n 1)a a a -7 分n 2裝訂線內(nèi)不要答題，不要填寫(xiě)

2、信息裝訂線12nA 44A X A，故原方程組為2X，-2 分2. 由題知114X E 2AX, (4E 2A)X E,故兩邊同時(shí)左乘A，得X (4E 2A) ,-4 分11 1 02 -2 2144E 2A2 2 -2-2 2 2 X0 1 11 0 1 ，得 -7 分由1 0 2 11 1 1 411 3 20 1 1 3 A ( , , , )0 0 0 0r2 1 3 53.-4 分12343 1 5 6 0 0 0 0 ,是最大無(wú)關(guān)組-5分所以R(A)=2， 2 12-6分312 3-7分412注：此處任意兩個(gè)列向量均可構(gòu)成最大無(wú)關(guān)組。是最大無(wú)關(guān)組，則 , 2 7 3，如：若1321

3、3413113 7 1 ,，是最大無(wú)關(guān)組，則333若14214314A 卷 1 A x x4. 依題意，有，-2 分 21 2 11 Ax5 a 3 1 1 b1 1 代入矩陣有；-4 分2 1 1 2 1 121 5 a 3 1 1 b2 a1 即，得2 1 1 b 1 1,a 3;b 0；-7 分（每個(gè)參數(shù) 1 分）A 卷 2 四、（本題 15 分）方法 1：直接對(duì)增廣矩陣進(jìn)行初等行變換，有： 1 1 1 k 41234 (A,b)1 k 1 k0 k 1k 4 r 22 -2 分 1 1 2 4 0k 228 1 141024122k 280 2k 28 r r-6 分0 k 13k 4

4、(k 4)(k 1) k(k 4)20 02故：（1）k=-1,無(wú)解；-7 分（2）k-1 且 k4,唯一解；-8 分（3）k=4,無(wú)窮 多解。-9 分1 0 4 10 1 2 1(A,b)r ，-10分0 0 0 0 03 1 ,4 , 0 1 導(dǎo)出組基礎(chǔ)解系為-12 分，齊次方程組的特解為-13 分 30 cc 14 , 故原方程組的通解為c 為任意常數(shù)。-15 分1 0方法 2：由原方程組的系數(shù)矩陣為方陣，A (k 4)(k 1)-3 分(1) 由克拉默法則 k-1 且 k4,唯一解；-5 分，(2) k=-1,代入原方程，同方法 1.(3) k=4,代入原方程。同方法 1.A 卷 3

5、五. （本題 15 分） 0, 1, 2為特征值-2 分（1）由題知 A 有特征值123A 0,得=，故由-4 分A 0,得= 0，由當(dāng)A E 0,得 =0，故-6 分1 0 11 0 1 0時(shí)，解方程組Ax=0，由A0 1 00 1 0r，11 0 10 0 0 1 p0 , 得正交的的特征向量為-8分1 1 1時(shí)，解方程組(A E)x 0當(dāng)21 0 0 00 0 10 0 0 A E0 0 1p1 r ，得 為對(duì)應(yīng)特征向量 -10 分31 0 00 0 00 2時(shí)，解方程組(A 2E)x 0當(dāng)3 1 0 11 0 111 0 A 2E00 1 0p0 r ，得為對(duì)應(yīng)特征向量 -12 分3

6、1 010 0 0 1 故所求正交矩陣 P 為 1110222pppP (,)0100p1p2p3，-14 分112320 1。-15分2A 卷 4 六、證明題（每小題 6 分，共 12 分）AB A B AB A B E E，1. 因?yàn)?(A E)(B E) E-2 分 (A E)(B E)-3 分1因此 A-E 可逆，且(A E)(B E) E(B E)(A E) E，-4 分由知(A E)(B E) (B E)(A E)所以AB A B E BA A B E2.證明：由系數(shù)矩陣的秩為 n-1，知 Ax=0 的基礎(chǔ)解系只含 1 個(gè)解向量，故 為 Ax=0 的一個(gè)基礎(chǔ)解系；AB BA.-6 分比較等式兩邊，從而有-2 分 為齊次