2022年北京師大附屬高三3月份第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知：1全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1已知雙曲線的一條漸近線方程為，分別是雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線C上，且，則( )A9B5C2或9D1或52已知等差數(shù)列的公差不為零，且，構(gòu)成新的等差數(shù)列，為的前項(xiàng)和

2、，若存在使得，則（ ）A10B11C12D133已知的面積是, ,則（ ）A5B或1C5或1D4（ ）ABCD5已知，則的值構(gòu)成的集合是（ ）ABCD6已知函，則的最小值為（ ）AB1C0D7已知三點(diǎn)A(1,0)，B(0， )，C(2，)，則ABC外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為()ABCD8已知底面為邊長為的正方形，側(cè)棱長為的直四棱柱中，是上底面上的動點(diǎn).給出以下四個結(jié)論中，正確的個數(shù)是（ ）與點(diǎn)距離為的點(diǎn)形成一條曲線，則該曲線的長度是；若面，則與面所成角的正切值取值范圍是；若，則在該四棱柱六個面上的正投影長度之和的最大值為.ABCD9如圖，中，點(diǎn)D在BC上，將沿AD旋轉(zhuǎn)得到三棱錐，分別記，與平面

3、ADC所成角為，則，的大小關(guān)系是（ ）ABC，兩種情況都存在D存在某一位置使得10已知平面和直線a，b，則下列命題正確的是（ ）A若，b，則B若，則C若，則D若，b，則11已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)P是C的右支上一點(diǎn)，連接與y軸交于點(diǎn)M，若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線C的漸近線方程為（ ）ABCD12已知函數(shù)，則的極大值點(diǎn)為( )ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知函數(shù)，且，使得，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_.14已知雙曲線的兩條漸近線方程為，若頂點(diǎn)到漸近線的距離為1，則雙曲線方程為 15設(shè)是等比數(shù)列的前項(xiàng)的和，成等差數(shù)列，則的值為_16已知函數(shù)，則的值為 _三、解答

4、題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知，均為正項(xiàng)數(shù)列，其前項(xiàng)和分別為，且，當(dāng)，時，.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18（12分）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程是，直線和直線的極坐標(biāo)方程分別是（）和（），其中（）.（1）寫出曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線和直線分別與曲線交于除極點(diǎn)的另外點(diǎn)，求的面積最小值.19（12分）如圖，四棱錐中，底面，點(diǎn)在線段上，且.（1）求證：平面；（2）若，求二面角的正弦值.20（12分）如圖，在三棱錐中，平面平面，、分別為、中點(diǎn)（1）求證：；（2）求二面角的大小21（12分）在如

5、圖所示的四棱錐中，四邊形是等腰梯形，平面，. （1）求證：平面；（2）已知二面角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值.22（10分）三棱柱中，平面平面，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的動點(diǎn).（1）求證：；（2）若直線與平面所成角為，求二面角的正切值.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1B【解析】根據(jù)漸近線方程求得，再利用雙曲線定義即可求得.【詳解】由于，所以，又且，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查由漸近線方程求雙曲線方程，涉及雙曲線的定義，屬基礎(chǔ)題.2D【解析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，再利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解.【詳

6、解】由，構(gòu)成等差數(shù)列可得即又解得：又所以時，.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.3B【解析】，,若為鈍角，則，由余弦定理得，解得；若為銳角，則，同理得.故選B.4D【解析】利用，根據(jù)誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡，可得，然后利用兩角差的正弦定理，可得結(jié)果.【詳解】由所以，所以原式所以原式故故選：D【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式以及兩角差的正弦公式，關(guān)鍵在于掌握公式，屬基礎(chǔ)題.5C【解析】對分奇數(shù)、偶數(shù)進(jìn)行討論，利用誘導(dǎo)公式化簡可得.【詳解】為偶數(shù)時，；為奇數(shù)時，則的值構(gòu)成的集合為.【點(diǎn)睛】本題考查三角式的化簡，誘導(dǎo)公式，分類討論，屬于基本題.6B【解析】，

7、利用整體換元法求最小值.【詳解】由已知，又，故當(dāng)，即時，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查整體換元法求正弦型函數(shù)的最值，涉及到二倍角公式的應(yīng)用，是一道中檔題.7B【解析】選B.考點(diǎn)：圓心坐標(biāo)8C【解析】與點(diǎn)距離為的點(diǎn)形成以為圓心，半徑為的圓弧，利用弧長公式，可得結(jié)論；當(dāng)在（或時，與面所成角（或的正切值為最小，當(dāng)在時，與面所成角的正切值為最大，可得正切值取值范圍是；設(shè)，則，即，可得在前后、左右、上下面上的正投影長，即可求出六個面上的正投影長度之和【詳解】如圖：錯誤， 因?yàn)?，與點(diǎn)距離為的點(diǎn)形成以為圓心，半徑為的圓弧，長度為； 正確，因?yàn)槊婷?，所以點(diǎn)必須在面對角線上運(yùn)動，當(dāng)在（或）時，與面所成角（或）的

8、正切值為最?。橄碌酌婷鎸蔷€的交點(diǎn)），當(dāng)在時，與面所成角的正切值為最大，所以正切值取值范圍是；正確，設(shè)，則，即，在前后、左右、上下面上的正投影長分別為，所以六個面上的正投影長度之，當(dāng)且僅當(dāng)在時取等號.故選：.【點(diǎn)睛】本題以命題的真假判斷為載體，考查了軌跡問題、線面角、正投影等知識點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，屬于難題9A【解析】根據(jù)題意作出垂線段，表示出所要求得、角，分別表示出其正弦值進(jìn)行比較大小，從而判斷出角的大小，即可得答案【詳解】由題可得過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過作的垂線，垂足為，則易得，設(shè)，則有，可得，；，；，綜上可得，故選：【點(diǎn)睛】本題考查空間直線與平面所成的角的大小關(guān)系，考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，意在考查

9、學(xué)生對這些知識的理解掌握水平10C【解析】根據(jù)線面的位置關(guān)系，結(jié)合線面平行的判定定理、平行線的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.【詳解】A：當(dāng)時，也可以滿足，b，故本命題不正確；B：當(dāng)時，也可以滿足，故本命題不正確；C：根據(jù)平行線的性質(zhì)可知：當(dāng)，時，能得到，故本命題是正確的；D：當(dāng)時，也可以滿足，b，故本命題不正確.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了線面的位置關(guān)系，考查了平行線的性質(zhì)，考查了推理論證能力.11C【解析】利用三角形與相似得，結(jié)合雙曲線的定義求得的關(guān)系，從而求得雙曲線的漸近線方程?！驹斀狻吭O(shè)，由，與相似，所以，即，又因?yàn)?，所以，所以，即，所以雙曲線C的漸近線方程為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線幾何性質(zhì)

10、、漸近線方程求解，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力。12A【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為零，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，求得極大值點(diǎn)即可.【詳解】因?yàn)?，故可得，令，因?yàn)?，故可得或，則在區(qū)間單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故的極大值點(diǎn)為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值點(diǎn)，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上的值域是函數(shù)在上的值域的子集；分別求值域即可得到結(jié)論.【詳解】解：依題意，即函數(shù)在上的值域是函數(shù)在上的值域的子集.因?yàn)樵谏系闹涤驗(yàn)椋ǎ┗颍ǎ谏系闹涤驗(yàn)?，故或，解得故答案為?【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)的值域求

11、參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題.14【解析】由已知，即，取雙曲線頂點(diǎn)及漸近線，則頂點(diǎn)到該漸近線的距離為，由題可知，所以，則所求雙曲線方程為.152【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比設(shè)為再根據(jù)成等差數(shù)列利用基本量法求解再根據(jù)等比數(shù)列各項(xiàng)間的關(guān)系求解即可.【詳解】解：等比數(shù)列的公比設(shè)為成等差數(shù)列,可得若則顯然不成立,故則,化為解得,則故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的基本量求解以及運(yùn)用,屬于中檔題.164【解析】根據(jù)的正負(fù)值，代入對應(yīng)的函數(shù)解析式求解即可.【詳解】解：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)函數(shù)值的求解，是基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1），（

12、2）【解析】（1），所，兩式相減，即可得到數(shù)列遞推關(guān)系求解通項(xiàng)公式，由，整理得，得到，即可求解通項(xiàng)公式；（2）由（1）可知，即可求得數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1）因?yàn)椋?，兩式相減，整理得，當(dāng)時，解得，所以數(shù)列是首項(xiàng)和公比均為的等比數(shù)列，即，因?yàn)?，整理得，又因?yàn)?，所以，所以，即，因?yàn)?，所以?shù)列是以首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列，所以；（2）由（1）可知，即.【點(diǎn)睛】此題考查求數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及數(shù)列求和，關(guān)鍵在于對題中所給關(guān)系合理變形，發(fā)現(xiàn)其中的關(guān)系，裂項(xiàng)求和作為一類常用的求和方法，需要在平常的學(xué)習(xí)中多做積累常見的裂項(xiàng)方式.18（1）；（2）16.【解析】（1）將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程即可；（2

13、）利用極徑的幾何意義，聯(lián)立曲線，直線，直線的極坐標(biāo)方程，得出，利用三角形面積公式，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，得出的面積最小值.【詳解】（1）曲線：，即化為直角坐標(biāo)方程為：；（2），即同理當(dāng)且僅當(dāng)，即（）時取等號即的面積最小值為16【點(diǎn)睛】本題主要考查了極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程以及極坐標(biāo)的應(yīng)用，屬于中檔題.19（1）證明見解析（2）【解析】（1）要證明平面，只需證明，即可求得答案；（2）先根據(jù)已知證明四邊形為矩形，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立坐標(biāo)系，求得平面的法向量為，平面的法向量，設(shè)二面角的平面角為，即可求得答案.【詳解】（1）平面，平面，.，.又，平面.（2）由（1）可知.在中，.又，四邊形為

14、矩形.以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立坐標(biāo)系，如圖：則：，：，設(shè)平面的法向量為，即，令，則，由題平面，即平面的法向量為由二面角的平面角為銳角，設(shè)二面角的平面角為即二面角的正弦值為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求證線面垂直和向量法求二面角，解題關(guān)鍵是掌握線面垂直判斷定理和向量法求二面角的方法，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.20 (1)證明見解析；(2)60.【解析】試題分析：（1）連結(jié)PD，由題意可得,則AB平面PDE，；（2）法一：結(jié)合幾何關(guān)系做出二面角的平面角，計(jì)算可得其正切值為，故二面角的大小為；法二：以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算可得平面PBE的法向量平面PAB的法向量為據(jù)此計(jì)算

15、可得二面角的大小為.試題解析：（1）連結(jié)PD，PA=PB，PDAB，BCAB，DEAB又，AB平面PDE，PE平面PDE，ABPE（2）法一：平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AB，PDAB，PD平面ABC則DEPD,又EDAB，PD平面AB=D，DE平面PAB,過D做DF垂直PB與F，連接EF，則EFPB，DFE為所求二面角的平面角，則：DE=，DF=，則，故二面角的大小為法二：平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AB，PDAB，PD平面ABC如圖，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，B(1，0，0)，P(0，0，)，E(0，0)，=(1，0，)，=(0，）設(shè)平面PBE的法向量，

16、令，得DE平面PAB，平面PAB的法向量為設(shè)二面角的大小為，由圖知，所以即二面角的大小為.21（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由已知可得，結(jié)合，由直線與平面垂直的判定可得平面；（2）由（1）知，則，兩兩互相垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，所在直線為，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，0，由二面角的余弦值為求解，再由空間向量求解直線與平面所成角的正弦值【詳解】（1）證明：因?yàn)樗倪呅问堑妊菪危?又，所以，因此，又，且，平面，所以平面.（2）取的中點(diǎn)，連接，由于，因此，又平面，平面，所以.由于，平面，所以平面，故，所以為二面角的平面角.在等腰三角形中，由于，因此，又，因?yàn)?，所以，所以以為軸、為軸、

17、為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為所以，即，令，則，則平面的法向量，設(shè)直線與平面所成角為，則 【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了利用空間向量求解空間角，屬于中檔題22（1）見解析；（2）【解析】（1）可證面，從而可得.（2）可證點(diǎn)為線段的三等分點(diǎn)，再過作于，過作，垂足為，則為二面角的平面角，利用解直角三角形的方法可求.也可以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用兩個平面的法向量來計(jì)算二面角的平面角的余弦值，最后利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式可求.【詳解】證明：（1）因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面，而平面，故，又因?yàn)椋?，則，又，故面，又面，所以.（2）由（1）可得：面在面內(nèi)的射影為，則為直線與平面所成的角，即.因?yàn)?，所以，所以，所以，即點(diǎn)為線段的三等分點(diǎn).解法一：過作于，則平面，所以，