工程力學(xué)彎曲應(yīng)力

1、工程力學(xué)彎曲應(yīng)力第1頁，共60頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期三一、梁橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力的對應(yīng)關(guān)系t = f1 (FS)正應(yīng)力僅與彎矩有關(guān)111 引 言切應(yīng)力僅與剪力有關(guān)s = f2 (M)二、純彎曲概念(Pure Bending)FaaAFBCDFSMxxFFFaFa若FS = FS(x) M = M(x) 同時存在，稱為橫力彎曲或剪切彎曲。梁在彎曲變形的同時產(chǎn)生剪切變形。如簡支梁的AC、BD段。在梁的CD段中：FS = 0，M = 常量 即只有M 存在，沒有剪力作用，稱為純彎曲。第2頁，共60頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期三純彎曲：FS = 0，梁橫截面上沒有t

2、，只有s 。112 對稱彎曲正應(yīng)力一、矩形橫截面梁純彎曲實(shí)驗(yàn)研究純彎曲實(shí)驗(yàn)：萬能材料實(shí)驗(yàn)機(jī)上進(jìn)行。FbdacO2O11122取矩形橫截面梁實(shí)驗(yàn)：zyO梁表面作與梁軸線平行的縱向線代表縱向纖維；與梁軸線垂直的橫向線代表橫截面。第3頁，共60頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期三在梁兩端加彎矩 M，使梁產(chǎn)生純彎曲變形。第4頁，共60頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期三觀察現(xiàn)象：1. 橫向線仍為直線，但相對地轉(zhuǎn)過 一個微小角度，仍與已彎曲成圓 弧線的縱向線垂直；與軸向拉、壓時變形相似。2. 縱向線均彎曲成圓弧線，且靠近 凸面處伸長，靠近凹面處縮短；3. 在伸長區(qū)，梁寬度減小， 在縮

3、短區(qū)，梁寬度增加。bdacO2O11122MMababMcdcdM伸長縮短zyObdacO2O11122第5頁，共60頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期三二、假設(shè)1. 梁彎曲平面假設(shè)彎曲變形時：2. 單向受力假設(shè)由實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象和假設(shè)可推知：設(shè)想梁由許多層縱向纖維組成，彎曲時各縱向纖維處于單向受拉或單向受壓狀態(tài)。梁彎曲變形后，橫截面仍保持為平面，并仍與已變彎后的梁軸線垂直，只是繞該截面內(nèi)某軸轉(zhuǎn)過一個微小角度?？拷喉斆娴目v向纖維受壓、縮短；靠近梁底面的縱向纖維受拉、伸長。zyObdacO2O11122bdacO2O11122MM第6頁，共60頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期三O

4、1O2彎曲變形時，梁橫截面是繞中性軸轉(zhuǎn)動的。從伸長到縮短的過程中，必存在一層縱向纖維既不伸長也不縮短，保持原來的長度。由變形的連續(xù)形可知：中性層：由既不伸長也不縮短的縱 向纖維組成。中性軸：中性層與梁橫截面的交線。O2中性層中性軸中性軸垂直于梁橫截面的縱向?qū)ΨQ軸。bdacO2O11122bdacO2O11122MM第7頁，共60頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期三1. 變形幾何關(guān)系 正應(yīng)變分布規(guī)律二、彎曲正應(yīng)力一般公式取梁微段 dx 分析：彎曲變形后：1122O2O1dxr設(shè)中性層曲率半徑為 r。橫截面1-1、2-2仍保持為平面，取坐標(biāo)軸：y 軸，z 軸。y 軸與截面對稱軸重合；z

5、軸與中性軸重合(位置未定)。但各自繞中性軸轉(zhuǎn)過一個角度，形成一夾角，為 dq ；zyOdq1122MMO1O2第8頁，共60頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期三距中性層為 y 處縱向纖維 ab的變形：彎曲前：abO1O2= dx彎曲后：ab= (r + y)dq中性層長度不變：O1O2= dx = r dqO1O2ab= dx = r dqab 的伸長：D ab =abab = (r + y)dq r dq = ydq ab 的正應(yīng)變：為橫截面上正應(yīng)變分布規(guī)律。ybabay(a) 式表示：縱向纖維的正應(yīng)變與其離中性層的距離 y 成正比。在一定的 M 作用下，r 為常數(shù)， | y |，

6、 | e | 。zyO1122O2O1dxdq1122MMO1O2r第9頁，共60頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期三中性層下方，y 為正值，e 也為正值，表示為拉應(yīng)變；baO2O11122MMdqry中性層上方，y 為負(fù)值，e 也為負(fù)值，表示為壓應(yīng)變。zyO2. 物理關(guān)系 正應(yīng)力分布規(guī)律縱向纖維 間無相互擠壓，ab單向受拉(壓)，由s =Ee ，將 (a)式帶入，得為橫截面上正應(yīng)力分布規(guī)律。式中 E、r 為常數(shù)，(b)式表示：橫截面上某點(diǎn)的正應(yīng)力與該點(diǎn)離中性層的距離 y 成 正比。即橫截面上正應(yīng)力沿高度呈線性分布。第10頁，共60頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期三中性層

7、下方，y 為正值， s 也為正值，表示為拉應(yīng)力；baO2O11122MMdqry中性層上方，y 為負(fù)值， s 也為負(fù)值，表示為壓應(yīng)力。zyOy =0 (中性軸上)，s = 0 ；| y |max (上、下表層)， | s |max 。由(b)式可得s 的分布規(guī)律，但因r 的數(shù)值未知，中性軸的位置未確定， y 無從算起，所以仍不能計算正應(yīng)力，用靜力學(xué)關(guān)系解決。第11頁，共60頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期三zyO3. 靜力學(xué)關(guān)系確定中性軸位置及r 的計算取微面積 dA：( z，y )yzssdAdA上微內(nèi)力：s dAM截面上所有微內(nèi)力s dA組成一空間平行力系，可合成為三個內(nèi)力合力

8、： FN、My、Mz1) As dA =FN FN = 0 As dA = 0 (c)(b)帶入(c) ： E、r 不為零， A ydA = 0而 A ydA = Sz = yCA = 0 yC = 0 z 軸(中性軸)為形心軸。即中性軸必須通過梁橫截面的形心。第12頁，共60頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期三zyOyzssdA(b)帶入(e) ：令 Iz = A y2dA，稱 Iz 為橫截面對 z 軸的慣性矩。 即為用曲率表示的彎曲變形公式。yz2) As dAy = Mz Mz = M As dAy = M (e)橫截面一定時， Iz 一定。sM第13頁，共60頁，2022年，

9、5月20日，3點(diǎn)54分，星期三zyOyzssdAyz1/r 為中性層彎曲變形后的曲率。 將 EIz 稱為梁的抗彎剛度。將上式帶入( b) ： 表示：梁橫截面上的 s 與 M 成正比，與 Iz 成 反比，沿截面高度呈線性分布。中性軸上：y =0 ， s = 0 ；上、下表層：| y |max ，| s |max 。sM第14頁，共60頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期三zyOyzssdAyz2. 中性層曲率：s 的方向可由梁的變形直接判定：1. 中性軸位置：中性軸過截面形心；MMs ()s (+)MMs (+)s ()結(jié)論：3. 正應(yīng)力公式：sM第15頁，共60頁，2022年，5月20

10、日，3點(diǎn)54分，星期三 最大彎曲正應(yīng)力上、下表層： y = y max，三、最大彎曲正應(yīng)力令 Wz = Iz /ymax ，稱 Wz 為橫截面的抗彎截面系數(shù)。2. 彈性范圍內(nèi)，且 Ec = Et 1. 純彎曲：平面假設(shè)條件下；四、公式適用條件3. 對稱彎曲，y 軸為梁橫截面的縱向?qū)ΨQ軸。 公式 、 、可用于s sp，對稱彎曲中純彎曲時的正應(yīng)力計算和中性層曲率計算。第16頁，共60頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期三例1：懸臂梁如圖示，Me= 20kNm，E = 200 GPa，梁用No18工字 鋼制成。試求梁的最大彎曲正應(yīng)力和梁軸的曲率半徑。解：(1)工字鋼 Iz 、Wz(3) 計算

11、s max 由附錄E表4(P359)查得：Iz = 1.66105 m4 Wz = 1.85104 m3 (2) 作M 圖 (4)計算梁軸的曲率半徑r由有第17頁，共60頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期三113 慣性矩與平行軸定理一、簡單截面的慣性矩1. 定 義：Iz = A y2dA，為圖形A 對 z 軸的慣性矩。Iy = A z2dA，為圖形A 對 y 軸的慣性矩。2. 分析討論(1) dA0， y2、z20， Iz 、Iy 0，單位：m4，cm4，mm4 (2) 若 A = A1+ A2 + + An 則： Iz = IzA1+ IzA2 + + IzAn = S IzAiI

12、y = IyA1+ IyA2 + + IyAn = S IyAi為組合圖形的慣性矩公式。第18頁，共60頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期三矩形截面的慣性矩：取微面積 dA：bdy圓形截面的慣性矩：取微面積 dA：( z，y ) Iz = Iy且有 r 2 = y2 + z2zyCddAyzrzyCh/2h/2b/2b/2dyy第19頁，共60頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期三箱形截面的慣性矩：由組合圖形的慣性矩公式：空心圓截面的慣性矩：zyCbhHBzyCDd第20頁，共60頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期三二、平行軸定理已知：A、Iz0、Iy0Iz =A

13、y2dA = A ( y0 + a)2 dA求：Iz、IyCy0z0：過形心直角坐標(biāo)系Oyz：任意直角坐標(biāo)系z與z0平行，間距為a，y與y0平行，間距為b，= A (y02 + 2ay0 + a2) dA Iz = Iz0 + a2A Iz 0 = A y02dA同理得：解：y = y0 + az = z0 + bA y0dA = 0AdA = AIy = Iy0 + b2A=A y02dA + 2aA y0dA + a2AdA即：截面對任一坐標(biāo)軸 z 的慣性矩 Iz，等于對其平行形心軸 z0 的慣性矩 Iz0 加上截面面積與兩軸間距離平方的乘積。第21頁，共60頁，2022年，5月20日，3

14、點(diǎn)54分，星期三已知：d、m求：Iz解：dmzz0yC已知：h、b求：Iz解：Chbzyz0第22頁，共60頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期三46zy22求：圖示圖形對形心軸 z 的慣性矩 Iz。單位：cm解：(1) 確定形心位置zC(2) Iz Iz = IzA1+ IzA2 = 21.28 + 36.59 = 57.87 cm4C2C1A1A2yC第23頁，共60頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期三46zy22組合圖形對形心軸 z 慣性矩 Iz的計算步驟：(1) 將組合圖形分解為幾個簡單圖形， 由形心公式確定形心位置：zC(2) 由平行軸定理分別計算各簡單圖形對 z

15、軸的慣性矩 IzAiC2C1A1A2yCIzAi = Iz0 + a2Ai第24頁，共60頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期三MmaxM1解：1) 作 M 圖確定截面彎矩例 受均布載荷作用的簡支梁如 圖所示，試求：12120180zy30(1) 1-1截面上1、2兩點(diǎn)的正應(yīng)力；(2) 此截面上的最大正應(yīng)力；(3) 全梁的最大正應(yīng)力；(4) 已知E=200GPa，求1-1截面的 曲率半徑。xMq=60kN/mAB1m2m11第25頁，共60頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期三2) 計算應(yīng)力3) 計算曲率半徑MmaxM112120180zy30 xMq=60kN/mAB1m2m

16、11第26頁，共60頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期三一、矩形截面梁橫截面上的切應(yīng)力假設(shè)：114 對稱彎曲切應(yīng)力簡介zyOtyFS橫截面上剪力 FS 位于縱向?qū)ΨQ軸上，由切應(yīng)力互等定理可知：截面兩側(cè)邊處的切應(yīng)力方向應(yīng)平行于側(cè)邊。1. 截面上各點(diǎn)切應(yīng)力都與剪力平行；2. 距中性軸等距離處，切應(yīng)力沿寬度均布。當(dāng) h/b 1 時與實(shí)際情況較接近。在以上假設(shè)的基礎(chǔ)上分析得切應(yīng)力的計算公式為：矩形截面：高 h，寬 b，h b。第27頁，共60頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期三即切應(yīng)力沿截面高度呈拋物線分布。Sz(w)：為所求切應(yīng)力處以外圖形 面積 w 對 z 軸的靜矩。在中性軸上

17、：y = 0，在上、下表層： y = h/2， t = 0 ；可知：t 方向：與橫截面上剪力方向相同；t 大小：沿截面寬度均勻分布，沿高度 h 呈拋物線分布。tmax ：為平均切應(yīng)力的 1.5 倍。第28頁，共60頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期三二、工字形截面梁橫截面上的切應(yīng)力切應(yīng)力仍可用矩形截面時公式計算：腹板上切應(yīng)力：腹板為矩形：h d 腹板上切應(yīng)力的分布與矩形截面相同。工字形截面：由中間腹板和上下兩 塊翼板組成。Sz(w)：為所求切應(yīng)力處以外圖形面積 w 對 z 軸的靜矩。求得 Sz(w) 后代入上式得腹板上切應(yīng)力的計算公式為：第29頁，共60頁，2022年，5月20日，3

18、點(diǎn)54分，星期三即腹板上切應(yīng)力沿腹板高度呈拋物線分布。在中性軸上：y = 0，在腹板與翼板交接處， y = h/2， 第30頁，共60頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期三對工字型鋼：式中翼板上切應(yīng)力：可查型鋼求得。在翼板上還存在垂直方向的切應(yīng)力，數(shù)值很小，一般略去不計。此外，在翼板上還有沿水平方向(z方向)的切應(yīng)力存在，其推導(dǎo)方法和結(jié)果可參考有關(guān)資料。第31頁，共60頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期三三、彎曲正應(yīng)力與彎曲切應(yīng)力比較最大彎曲正應(yīng)力：最大彎曲切應(yīng)力： 當(dāng) l h 時，s max t max 對實(shí)心截面的細(xì)長梁，彎曲正應(yīng)力是影響梁強(qiáng)度的主要因素。第32頁，共60

19、頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期三115 梁的強(qiáng)度條件對一般梁，彎曲正應(yīng)力和切應(yīng)力的分布規(guī)律為：橫截面的中性軸處：有t max ，并且為純剪切。橫截面的上下邊緣處：有s max，并且為單向受拉(壓)；第33頁，共60頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期三y2y1yzC一、彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件對一般梁，M = M(x)，作 M 圖，確定 Mmax，即危險截面，s 為彎曲時材料許用正應(yīng)力。則：發(fā)生在橫截面的上下邊緣處，且為單向受拉(壓)?；颍簭澢龖?yīng)力強(qiáng)度條件：塑性材料：s c=s t，只需 smax st 脆性材料：s cs t，應(yīng)：M第34頁，共60頁，2022年，5月20日

20、，3點(diǎn)54分，星期三由強(qiáng)度條件可進(jìn)行三方面強(qiáng)度計算：1. 強(qiáng)度校核：2. 設(shè)計截面：smax s 選擇型鋼時，若則可選用。3. 確定許可載荷：Mmax s Wz由 Mmax F 二、彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件一般對短梁( l 5h )、組合截面腹板較薄(工字形、T形、槽形等)、抗剪切強(qiáng)度低(焊縫、膠合面、鉚釘連接等)的場合要進(jìn)行彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度校核。彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件：t 為材料的許用切應(yīng)力。第35頁，共60頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期三解：(1) 作 FS、M 圖例5 圖示矩形截面木梁，已知 b = 0.12m，h = 0.18m，l = 3m， 材料 = 7 MPa， = 0.9 M

21、Pa。試校核梁的強(qiáng)度?？芍?FSmax = 5400 N Mmax = 4050Nm(2) 校核梁的強(qiáng)度= 6.25 MPa = 0.375 MPa FSx 梁安全。xMq=3.6 kN/mABl第36頁，共60頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期三xM例6 圖示減速箱齒輪軸，已知 F = 70 kN ，d1 = 110mm， d2= 100 mm，材料 =100 MPa。 試校核軸的強(qiáng)度。F140350350d1d2ABCD12.25 kNm9.8解：(1) 作M 圖，確定危險截面C截面：Mmax= 12.25 kNm ， 為危險截面D截面：MD = 9.8 kNm，但其直 徑較小

22、，也可能為危險 截面。(2) 強(qiáng)度校核C截面：= 93.9 MPa D截面：= 99.9 MPa 梁滿足強(qiáng)度要求。第37頁，共60頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期三解：(1) 作 M 圖例7 圖示T形截面鑄鐵梁，已知 Iz = 8.8410-6m4，y1 = 45mm， y2= 95mm，材料 t = 35 MPa，s c= 140 MPa。 試校核梁的強(qiáng)度?？芍ｋU截面：D 截面、B 截面D 截面：最大正彎矩 MD = 5.66 kNmB 截面：最大負(fù)彎矩 MB = 3.13 kNm第38頁，共60頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期三= 59.8 MPa | MB |

23、， | y2 | | y1 | |sa | |sd | 即最大壓應(yīng)力 為D 截面上a點(diǎn)。而最大拉應(yīng)力為D 截面上b點(diǎn)或B 截面上c點(diǎn)，由計算確定。stmax= 33.6 MPa t 梁不安全。(2) 校核梁的強(qiáng)度第39頁，共60頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期三彎曲正應(yīng)力是決定梁強(qiáng)度的主要因素，116 梁的合理強(qiáng)度設(shè)計是設(shè)計梁的主要依據(jù)。要使 smax，則應(yīng)使 Mmax 、Wz 一、合理安排梁的載荷及支座目的：使 Mmax 如：合理安排載荷Mmax = 0.25FlMmax = 0.167Fl第40頁，共60頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期三Mmax = 0.125ql

24、 2Mmax = 0.025ql 2如：合理安排支座二、梁的合理截面形狀Mmax s Wz即梁所能承受的彎矩Mmax與Wz 成正比，Wz 越大越有利；另外，梁所用材料的多少和重量的大小與橫截面面積A成正比，面積越小，材料越少，重量越輕，越經(jīng)濟(jì)。第41頁，共60頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期三梁的合理截面形狀應(yīng)為：A 較小而 Wz 較大。如：矩形截面，高 h，寬 b，h b實(shí)際中矩形截面梁均為豎放。豎放時：hbyzCbhyzC平放時：即矩形截面梁豎放比平放具有更高的彎曲強(qiáng)度。若：h:b = 3:2 時，豎放時強(qiáng)度比平放時強(qiáng)度高 50%。第42頁，共60頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期三根據(jù)彎曲正應(yīng)力的分布規(guī)律：離中性軸愈遠(yuǎn)，正應(yīng)力愈大；靠近中性軸處，正應(yīng)力很小。yzC因此靠近中性軸處的材料工作時未充分發(fā)揮作用。如：矩形截面改為工字形截面，可提高Wz 所以應(yīng)將盡可能多的材料配置在遠(yuǎn)離中性軸處的部位。yzC其他如箱形截面、T形截面、槽形截面等都可提高 Wz 。第43頁，共60頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期三一般可用 W