武漢科技大學(xué)2012

1、武漢科技大學(xué)2012-2013-2線性代數(shù)期末試卷（本科A）解答與參考評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共15分）1. A是m x k矩陣，B是k x t矩陣，若B的第j列元素全等于零，則下列結(jié)論正確的是（B ）.(aaaa、141312112 .設(shè) A(aaaa、141312112 .設(shè) A = (a ) , B =a24a23a22a21 ij4x4aaaa34333231k aaaa )44434241A. AB的第j 行元素 全等于零;C. BA的第j行元素全等于零;（其中A可逆），則B-1 = （ B ）.(0 0 0 1、(1 0 0 0、0 10 00 0 10；P =,P =

2、10 0 1020 10 0k 1 0 0 0/k0 0 0 1 /B. AB的第j列元素全等于零;D. BA的第j列元素全等于零.D. PA-i牛 ).A. 27;B. -27;C. 3;D.-3.4. A =a b2 1.aba b 2 2 a1b - a2bn,且 ai 主 0 (i = 1,2，n)，ba b a ba bA. A-1 匕P； B.匕PA-1 ；C.匕A-iP ；3. A為 3 階方陣，且|A| = -1,則|a*-(2A-i)|=( A系中含有（A ）個(gè)向量.豐0 jA. n 一 1 ；B. n ；C. 1 ； D.不確定.（j = 1,2，,n），則Ax = 0的基

3、礎(chǔ)解5.當(dāng)(a,b,c)滿足(C)時(shí)，二次型 f (x ,x ,x ) = ax2 + bx2 + ax2 + 2cxx 為正定二次型。 TOC o 1-5 h z 1231231 3A. a 0,b + c 0 ；B. a 0,b 0 ； C. a |c ,b 0 ；D. a c,b 0.4 (16.設(shè)A = 4k 4 (16.設(shè)A = 4k 4當(dāng)x與y滿足一 y = x +1時(shí),有AB = BA.a 2abb 27.行列式 2a a + b 2b =(。-b)31118.設(shè)A為n階方陣，若A與n階單位矩陣等價(jià)，則方程組Ax = b有唯一解 1234、2345矩陣A = 3456，則A的秩為

4、一2；k4567/實(shí)二次型 f （x ,x ,x ）= x2 + 2x x + tx2 + 3x2，當(dāng) t = j 時(shí)，其秩為 2三、解答題（握小、題10分共60分1 -1230 -10111.計(jì)算行列式3 023。1 2-1 -11 -1 231-1230 -1 01 r - 3r 0-1 01解：316分3 023 r - r 03 -4 -61 2 -1 -103 -3 -4-4 -3=-=!510分-3 -1/ 1 0 1、12.設(shè)A,B為三階矩陣，滿足AB E = A2 + B，E為三階單位矩陣，又A =0 2 0，求矩陣B。、一1 0 1 解：AB - E = A2 + B n(A

5、 - E ) B = (A2 + E )4分6分/ 0 0 1、A 一 E =0 1 0可逆(-1 0 *(2 0 -1、 / 0 0 1、A 一 E =0 1 0可逆(-1 0 *(10 2 )J 1 1)13.求矩陣A = 1 x 1的秩。10分J 11)r 11x、解：A =10分J 11)r 11x、解：A =1x10 x -1-(x-1)1x J(00-(x + 2)( x -1) J當(dāng) x 主 1, x 主一2 時(shí)，R(A) = 3當(dāng) x = 1 時(shí)，R(A) = 1當(dāng) x = -2時(shí)，R(A) = 26分8分9分10分（1）(a1a |p)=3r 1231)r 1231）r 12

6、31 )1362013101315分(23ab J(0-1a 6b - 2 J00a 3b -1?14.問a，b取何值時(shí)，向量P =（1，2, b）可由向量組七項(xiàng)1，1，a 2=（2,3,3 ，a 3 =（3,6,危唯一的線性表示，（2）無(wú)窮多的線性表示，（3）不能線性表示。解：原問題可轉(zhuǎn)化為非齊次線性方程組（ a2 a3）x = P的求解問題，由題意可得a21）當(dāng)a豐3,b = 1時(shí)，方程組有唯一解，即P可由向量組&2，氣唯一的線性表示。2）當(dāng)a = 3,b = 1時(shí)，方程組有無(wú)窮多解，即P可由向量組a1，a2,a3線性表示，且表示法有無(wú)窮多。3）15.設(shè) A當(dāng)a3）15.設(shè) A當(dāng)a = 3

7、,b豐1時(shí)，方程組無(wú)解，即。不能由向量組a ,a ,a線性表示10分f 1234 ）0234003410004 J求解：A = 24,（A）= A124234、2124234、234034004 Jf 10002。10分16.設(shè) 16.設(shè) A =0問A能否對(duì)角化。a + a + 5 a 2 2a解：A 人E = （1人）（人一2）6 （2a 1）= 03分5分5分10分當(dāng)2a-1。1,2，即a豐1,3時(shí)，A有三個(gè)不同的特征值，故可對(duì)角化當(dāng)a = 1時(shí)，A的特征值為1（二重）和2，f0 0 2、A E = 0 0 4, R（A E） = 2，故A不能對(duì)角化e 3 1 /3當(dāng)a =-時(shí)，A的特征值

8、為1和2（二重），f）102f 1 0 2、A 2 E =01 40 1 413710 0 01v 7122 JR（A E） = 2，故A不能對(duì)角化四、證明題（每小題5分，共10分）設(shè)A,B為階實(shí)對(duì)稱矩陣，若有正交矩陣T使得T-1 AT,T-1BT同為對(duì)角陣，證明：AB = BA. TOC o 1-5 h z 證明：設(shè)有T-1 AT = diag（冗，冗）,T-1 BT = diag（日，日）2分1 n1 nT-1 ABT = diag（人，人）diag（四，四）則有1 n 。1 n=diag（R R ）diag（人， 人）=T-1 BAT故 AB = BA 1 n 1 n5分設(shè)向量組A:a ,a，,a和向量組B :。，P，,P ,的秩分別為p和q，試證明：若A可由B線性表12L12S示，則p