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1、 11/112021江蘇數(shù)學(xué)高考真題 2018年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(江蘇卷) 數(shù)學(xué) 參考公式: 錐體的體積 1 3 V Sh =,其中S是錐體的底面積,h是錐體的高 一、填空題:本大題共14小題,每小題5分,共計(jì)70分請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位 置上 1已知集合0,1,2,8 A=,1,1,6,8 B=-,那么A B= 2若復(fù)數(shù)z滿足i12i z?=+,其中i是虛數(shù)單位,則z的實(shí)部為 3已知5位裁判給某運(yùn)動(dòng)員打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖如圖所示,那么這5位裁判打出的分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為 4一個(gè)算法的偽代碼如圖所示,執(zhí)行此算法,最后輸出的S的值為 5 函數(shù)()f x =的定義域?yàn)?6某興趣小組有2名男
2、生和3名女生,現(xiàn)從中任選2名學(xué)生去參加活動(dòng),則恰好選中2名女生的概率為 7已知函數(shù)sin(2)()22y x ?=+- 的右焦點(diǎn)(,0)F c 到一條漸近 ,則其離心率的值是 9函數(shù)()f x 滿足(4)()()f x f x x +=R ,且在區(qū)間(2,2-上,cos ,02,2 ()1|,20,2 x x f x x x ?成立的n 的最小值為 二、解答題:本大題共6小題,共計(jì)90分請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域 內(nèi)作答,解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟 15(本小題滿分14分) 在平行六面體1111ABCD A B C D -中,1111,AA AB AB B C = 求證:(1)11AB
3、A B C 平面; (2)111ABB A A BC 平面平面 16(本小題滿分14分) 已知,為銳角,4 tan 3 =,cos()+= (1)求cos2的值; (2)求tan()-的值 17(本小題滿分14分) 某農(nóng)場(chǎng)有一塊農(nóng)田,如圖所示,它的邊界由圓O 的一段圓弧MPN (P 為此圓弧的中點(diǎn))和線段MN 構(gòu)成已知圓O 的半徑為40米,點(diǎn)P 到MN 的距離為50米現(xiàn)規(guī)劃在此農(nóng)田上修建兩個(gè)溫室大棚,大棚內(nèi)的地塊形狀為矩形ABCD ,大棚內(nèi)的地塊形狀為CDP ,要求,A B 均在線段MN 上,,C D 均在圓弧上設(shè)OC 與MN 所成的角為 (1)用分別表示矩形ABCD 和CDP 的面積,并確定
4、sin 的取值范圍; (2)若大棚內(nèi)種植甲種蔬菜,大棚內(nèi)種植乙種蔬菜,且甲、 乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為4:3求當(dāng)為何值時(shí),能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大 18(本小題滿分16分) 如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy 中,橢圓C 過(guò)點(diǎn)1 )2,焦點(diǎn) 12(F F ,圓O 的直徑為12F F (1)求橢圓C 及圓O 的方程; (2)設(shè)直線l 與圓O 相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)P 若直線l 與橢圓C 有且只有一個(gè)公共點(diǎn),求點(diǎn)P 的坐標(biāo); 直線l 與橢圓C 交于,A B 兩點(diǎn)若OAB , 求直線l 的方程 19(本小題滿分16分) 記(),()f x g x 分別為函數(shù)(),()f x g x 的導(dǎo)函數(shù)
5、若存在0 x R ,滿足00()()f x g x =且00()()f x g x =,則稱0 x 為函數(shù)()f x 與()g x 的一個(gè)“S 點(diǎn)” (1)證明:函數(shù)()f x x =與2()22g x x x =+-不存在“S 點(diǎn)”; (2)若函數(shù)2()1f x ax =-與()ln g x x =存在“S 點(diǎn)”,求實(shí)數(shù)a 的值; (3)已知函數(shù)2 ()f x x a =-+,e ()x b g x x =對(duì)任意0a ,判斷是否存在0b ,使函 數(shù)()f x 與()g x 在區(qū)間(0,)+內(nèi)存在“S 點(diǎn)”,并說(shuō)明理由 20(本小題滿分16分) 設(shè)n a 是首項(xiàng)為1a ,公差為d 的等差數(shù)列,
6、n b 是首項(xiàng)為1b ,公比為q 的等比數(shù)列 (1)設(shè)110,1,2a b q =,若1|n n a b b -對(duì)1,2,3,4n =均成立,求d 的取值范圍; (2)若*110,a b m q =N ,證明:存在d R ,使得1|n n a b b -對(duì) 2,3,1n m =+均成立,并求d 的取值范圍(用1,b m q 表示) 數(shù)學(xué)試題參考答案 一、填空題:本題考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算和基本思想方法每小題5分,共計(jì)70分 11,8 22 390 48 52,+) 6 310 76 - 82 9 1043 113 123 139 1427 二、解答題 15本小題主要考查直線與直線、直線與平面以
7、及平面與平面的位置關(guān)系,考查空間想象 能力和推理論證能力滿分14分 證明:(1)在平行六面體ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB A 1B 1 因?yàn)锳B ?平面A 1B 1C ,A 1B 1?平面A 1B 1C , 所以AB 平面A 1B 1C (2)在平行六面體ABCD -A 1B 1C 1D 1中,四邊形ABB 1A 1為平行四邊形 又因?yàn)锳A 1=AB ,所以四邊形ABB 1A 1為菱形, 因此AB 1A 1B 又因?yàn)锳B 1B 1C 1,BC B 1C 1, 所以AB 1BC 又因?yàn)锳 1B BC =B ,A 1B ?平面A 1BC ,BC ?平面A 1BC , 所以AB 1平
8、面A 1BC 因?yàn)锳B 1?平面ABB 1A 1, 所以平面ABB 1A 1平面A 1BC 16本小題主要考查同角三角函數(shù)關(guān)系、兩角和(差)及二倍角的三角函數(shù),考查運(yùn)算求 解能力滿分14分 解:(1)因?yàn)?,所?因?yàn)椋裕?因此, (2)因?yàn)闉殇J角,所以 又因?yàn)?,所以?因此 因?yàn)?,所以?4tan 3= sin tan cos =4 sin cos 3 =22sin cos 1+=29 cos 25 =27 cos22cos 125 =-=-,(0,)+ cos()+= sin()+=tan()2+=-4tan 3= 2 2tan 24 tan 21tan 7 =- - 因此, 17本小題
9、主要考查三角函數(shù)的應(yīng)用、用導(dǎo)數(shù)求最值等基礎(chǔ)知識(shí),考查直觀想象和數(shù)學(xué)建 模及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力滿分14分 解:(1)連結(jié)PO 并延長(zhǎng)交MN 于H ,則PH MN ,所以O(shè)H =10 過(guò)O 作OE BC 于E ,則OE MN ,所以COE =, 故OE =40cos ,EC =40sin , 則矩形ABCD 的面積為240cos (40sin +10)=800(4sin cos +cos ), CDP 的面積為 1 2 240cos (4040sin )=1600(cos sin cos ) 過(guò)N 作GN MN ,分別交圓弧和OE 的延長(zhǎng)線于G 和K ,則GK =KN =10 令
10、GOK =0,則sin 0=14,0(0,6 ) 當(dāng)0, 2 )時(shí),才能作出滿足條件的矩形ABCD , 所以sin 的取值范圍是 1 4 ,1) 答:矩形ABCD 的面積為800(4sin cos +cos )平方米,CDP 的面積為 1600(cos sin cos ),sin 的取值范圍是 1 4 ,1) (2)因?yàn)榧?、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為43, 設(shè)甲的單位面積的年產(chǎn)值為4k ,乙的單位面積的年產(chǎn)值為3k (k 0), 則年總產(chǎn)值為4k 800(4sin cos +cos )+3k 1600(cos sin cos ) =8000k (sin cos +cos ),0, 2)
11、設(shè)f ()= sin cos +cos ,0, 2 ), 則222()cos sin sin (2sin sin 1)(2sin 1)(sin 1)f =-=-+-=-+ 令()=0f ,得= 6 , 當(dāng)(0, 6 )時(shí),()0f ,所以f ()為增函數(shù); 當(dāng)( 6, 2)時(shí),() 又點(diǎn)1 )2 在橢圓C 上, 所以2222311, 43, a b a b ?+=?-=? ,解得2 24,1,a b ?=?=? 因此,橢圓C 的方程為2 214 x y += 因?yàn)閳AO 的直徑為12F F ,所以其方程為223x y += (2)設(shè)直線l 與圓O 相切于0000(),(00)P x y x y
12、,則22003x y +=, 所以直線l 的方程為0000()x y x x y y =- -+,即000 3x y x y y =-+ 由22 0001,43,x y x y x y y ?+=?=-+? ,消去y ,得 222200004243640()x y x x x y +-+-=(*) 因?yàn)橹本€l 與橢圓C 有且只有一個(gè)公共點(diǎn), 所以222222000000()()( 24)(44364820)4x x y y y x ?=-+-=-= 因?yàn)?0,0 x y ,所以001x y = 因此,點(diǎn)P 的坐標(biāo)為 因?yàn)槿切蜲AB ,所以1 2AB OP ?= 7AB = 設(shè)1122,()(
13、),A x y B x y , 由(* )得001,2x = , 所以2222121()()x B y y x A =-+- 2220002222 00048(2) (1)(4)x y x y x y -=+?+ 因?yàn)?2003x y +=, 所以22 022 016(2)32 (1)49 x AB x -=+,即42002451000 x x -+=, 解得22005(202x x =舍去),則201 2 y =,因此P 的坐標(biāo)為 綜上,直線l 的方程為y =+ 19本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究初等函數(shù)的性質(zhì),考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析與解 決問(wèn)題以及邏輯推理能力滿分16分 解:(1)函數(shù)f
14、 (x )=x ,g (x )=x 2+2x -2,則f (x )=1,g (x )=2x +2 由f (x )=g (x )且f (x )= g (x ),得 222 122x x x x ?=+-? =+? ,此方程組無(wú)解, 因此,f (x )與g (x )不存在“S ”點(diǎn) (2)函數(shù)21f x ax =-(),()ln g x x =, 則1 2f x ax g x x = (),() 設(shè)x 0為f (x )與g (x )的“S ”點(diǎn),由f (x 0)=g (x 0)且f (x 0)=g (x 0),得 200001ln 12ax x ax x ?-=?=? ,即2 00 201ln 2
15、1ax x ax ?-=?=?,(*) 得01 ln 2 x =-,即1 20e x -=,則12 21e 2 2(e ) a -= = 當(dāng)e 2 a =時(shí),1 20e x -=滿足方程組(*),即0 x 為f (x )與g (x )的“S ”點(diǎn) 因此,a 的值為 e 2 (3)對(duì)任意a 0,設(shè)32()3h x x x ax a =-+ 因?yàn)?0)0(1)1320h a h a a =-+=-0 函數(shù)2 e ()()x b f x x a g x x =-+=, 則2 e (1) ()2()x b x f x x g x x -=-= , 由f (x )=g (x )且f (x )=g (x
16、),得 22e e (1)2x x b x a x b x x x ?-+=?-?-=?,即003 200 30202e e (1)2e (1)2e (1)x x x x x x a x x x x x x x ?-+=?-?-?-=?-? (*) 此時(shí),0 x 滿足方程組(*),即0 x 是函數(shù)f (x )與g (x )在區(qū)間(0,1)內(nèi)的一個(gè)“S 點(diǎn)” 因此,對(duì)任意a 0,存在b 0,使函數(shù)f (x )與g (x )在區(qū)間(0,+)內(nèi)存在“S 點(diǎn)” 20本小題主要考查等差和等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),考查代數(shù)推理、 轉(zhuǎn)化與化歸及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)探究與解決問(wèn)題的能力滿分16分
17、解:(1)由條件知: 因?yàn)?|n n a b b -對(duì)n =1,2,3,4均成立, 即對(duì)n =1,2,3,4均成立, 即11,1d 3,32d 5,73d 9,得 因此,d 的取值范圍為 (2)由條件知: 若存在d ,使得1|n n a b b -(n =2,3,m +1)成立, 即, 即當(dāng)時(shí),d 滿足 因?yàn)?,則, 112(,)n n n a n d b -=-=1 12|()1|n n d 75 32 d 75 ,32 111(1),n n n a b n d b b q -=+-=1111 |1|2,3,(1()n b n d b q b n m -+-=+2,3, ,1n m =+11
18、11211 n n q q b d b n n - -q 112n m q q -0時(shí), 所以單調(diào)遞減,從而-2,3,1n m =+2,3, ,1n m =+121n q n 1 1 n q n -2,3, ,1n m =+2n m 111 2222 111()()() n n n n n n n n q q nq q nq n q q q n n n n n n +-+-= 1 12m q 21n m +12 1n q n 121n q n 2 m q m -()()21x f x x =-ln 21(0(n )l 22)x f x x =-, 則稱(,)s t i i 是排列12n i i
19、 i 的一個(gè)逆序,排列12n i i i 的所有逆序的總個(gè)數(shù)稱為其逆序 數(shù)例如:對(duì)1,2,3的一個(gè)排列231,只有兩個(gè)逆序(2,1),(3,1),則排列231的逆序數(shù)為2記()n f k 為1,2,n 的所有排列中逆序數(shù)為k 的全部排列的個(gè)數(shù) (1)求34(2),(2)f f 的值; (2)求(2)(5)n f n 的表達(dá)式(用n 表示) 數(shù)學(xué)(附加題)參考答案 21【選做題】 A 選修41:幾何證明選講 本小題主要考查圓與三角形等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力滿分10分 證明:連結(jié)OC 因?yàn)镻C 與圓O 相切,所以O(shè)C PC 又因?yàn)镻C =OC =2, 所以O(shè)P 又因?yàn)镺B =2,從而B(niǎo) 為Rt
20、 OCP 斜邊的中點(diǎn),所以BC =2 B 選修42:矩陣與變換 本小題主要考查矩陣的運(yùn)算、線性變換等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力滿分10分 解:(1)因?yàn)?312? =?A ,det()221310=?-?=A ,所以A 可逆, 從而1-A 2312-?=?-? (2)設(shè)P (x ,y ),則233121x y ?=?,所以13311x y -?=?-? A , 因此,點(diǎn)P 的坐標(biāo)為(3,1) C 選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程 本小題主要考查曲線的極坐標(biāo)方程等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力滿分10分 解:因?yàn)榍€C 的極坐標(biāo)方程為=4cos , 所以曲線C 的圓心為(2,0),直徑為4的圓 因?yàn)橹本€l
21、 的極坐標(biāo)方程為 sin()26 -=, 則直線l 過(guò)A (4,0),傾斜角為 6 , 所以A 為直線l 與圓C 的一個(gè)交點(diǎn) 設(shè)另一個(gè)交點(diǎn)為B ,則OAB = 6 連結(jié)OB ,因?yàn)镺A 為直徑,從而OBA =2 , 所以 4cos 6 AB = 因此,直線l 被曲線C 截得的弦長(zhǎng)為 D 選修45:不等式選講 本小題主要考查柯西不等式等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力滿分10分 證明:由柯西不等式,得2222222()(122)(22)x y z x y z + 因?yàn)?2=6x y z +,所以2224x y z +, 當(dāng)且僅當(dāng) 122x y z =時(shí),不等式取等號(hào),此時(shí)244333 x y z =,
22、 所以222x y z +的最小值為4 22【必做題】本小題主要考查空間向量、異面直線所成角和線面角等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)用 空間向量解決問(wèn)題的能力滿分10分 解:如圖,在正三棱柱ABC ?A 1B 1C 1中,設(shè)AC ,A 1C 1的中點(diǎn)分別為O ,O 1,則OB OC ,OO 1OC ,OO 1OB ,以1,OB OC OO 為基底,建立空間直角坐標(biāo)系O ?xyz 因?yàn)锳B =AA 1=2, 所以1110,1,0,0,1,0,0,1,()()()2,0,1,2)()A B C A B C - (1)因?yàn)镻 為A 1B 1的中點(diǎn), 所以1 ,2)2 P -, 從而131 (,2)(0,2,22 ),BP AC =- -, 故111|cos ,| | 5 BP AC BP AC BP AC ?= =? 因此,異面直線BP 與AC 1 (2)因?yàn)镼 為BC 的中點(diǎn), 所以1 ,0)2 Q , 因此33 ( ,0)2 AQ =,11(0,2,2),(0,0,2)AC CC = 設(shè)n =(x ,y
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