2021江蘇數(shù)學(xué)高考真題

1、 11/112021江蘇數(shù)學(xué)高考真題 2018年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（江蘇卷） 數(shù)學(xué) 參考公式： 錐體的體積 1 3 V Sh =，其中S是錐體的底面積，h是錐體的高 一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位 置上 1已知集合0,1,2,8 A=，1,1,6,8 B=-，那么A B= 2若復(fù)數(shù)z滿足i12i z?=+，其中i是虛數(shù)單位，則z的實部為 3已知5位裁判給某運(yùn)動員打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖如圖所示，那么這5位裁判打出的分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為 4一個算法的偽代碼如圖所示，執(zhí)行此算法，最后輸出的S的值為 5 函數(shù)()f x =的定義域為 6某興趣小組有2名男

2、生和3名女生，現(xiàn)從中任選2名學(xué)生去參加活動，則恰好選中2名女生的概率為 7已知函數(shù)sin(2)()22y x ?=+- 的右焦點(diǎn)(,0)F c 到一條漸近 ，則其離心率的值是 9函數(shù)()f x 滿足(4)()()f x f x x +=R ，且在區(qū)間(2,2-上，cos ,02,2 ()1|,20,2 x x f x x x ?成立的n 的最小值為 二、解答題：本大題共6小題，共計90分請在答題卡指定區(qū)域 內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 15（本小題滿分14分） 在平行六面體1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C = 求證：（1）11AB

3、A B C 平面； （2）111ABB A A BC 平面平面 16（本小題滿分14分） 已知,為銳角，4 tan 3 =，cos()+= （1）求cos2的值； （2）求tan()-的值 17（本小題滿分14分） 某農(nóng)場有一塊農(nóng)田，如圖所示，它的邊界由圓O 的一段圓弧MPN （P 為此圓弧的中點(diǎn)）和線段MN 構(gòu)成已知圓O 的半徑為40米，點(diǎn)P 到MN 的距離為50米現(xiàn)規(guī)劃在此農(nóng)田上修建兩個溫室大棚，大棚內(nèi)的地塊形狀為矩形ABCD ，大棚內(nèi)的地塊形狀為CDP ，要求,A B 均在線段MN 上，,C D 均在圓弧上設(shè)OC 與MN 所成的角為 （1）用分別表示矩形ABCD 和CDP 的面積，并確定

4、sin 的取值范圍； （2）若大棚內(nèi)種植甲種蔬菜，大棚內(nèi)種植乙種蔬菜，且甲、 乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為4:3求當(dāng)為何值時，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大 18（本小題滿分16分） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，橢圓C 過點(diǎn)1 )2，焦點(diǎn) 12(F F ，圓O 的直徑為12F F （1）求橢圓C 及圓O 的方程； （2）設(shè)直線l 與圓O 相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)P 若直線l 與橢圓C 有且只有一個公共點(diǎn)，求點(diǎn)P 的坐標(biāo)； 直線l 與橢圓C 交于,A B 兩點(diǎn)若OAB ， 求直線l 的方程 19（本小題滿分16分） 記(),()f x g x 分別為函數(shù)(),()f x g x 的導(dǎo)函數(shù)

5、若存在0 x R ，滿足00()()f x g x =且00()()f x g x =，則稱0 x 為函數(shù)()f x 與()g x 的一個“S 點(diǎn)” （1）證明：函數(shù)()f x x =與2()22g x x x =+-不存在“S 點(diǎn)”； （2）若函數(shù)2()1f x ax =-與()ln g x x =存在“S 點(diǎn)”，求實數(shù)a 的值； （3）已知函數(shù)2 ()f x x a =-+，e ()x b g x x =對任意0a ，判斷是否存在0b ，使函 數(shù)()f x 與()g x 在區(qū)間(0,)+內(nèi)存在“S 點(diǎn)”，并說明理由 20（本小題滿分16分） 設(shè)n a 是首項為1a ，公差為d 的等差數(shù)列，

6、n b 是首項為1b ，公比為q 的等比數(shù)列 （1）設(shè)110,1,2a b q =，若1|n n a b b -對1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范圍； （2）若*110,a b m q =N ，證明：存在d R ，使得1|n n a b b -對 2,3,1n m =+均成立，并求d 的取值范圍（用1,b m q 表示） 數(shù)學(xué)試題參考答案 一、填空題：本題考查基礎(chǔ)知識、基本運(yùn)算和基本思想方法每小題5分，共計70分 11，8 22 390 48 52，+） 6 310 76 - 82 9 1043 113 123 139 1427 二、解答題 15本小題主要考查直線與直線、直線與平面以

7、及平面與平面的位置關(guān)系，考查空間想象 能力和推理論證能力滿分14分 證明：（1）在平行六面體ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB A 1B 1 因為AB ?平面A 1B 1C ，A 1B 1?平面A 1B 1C ， 所以AB 平面A 1B 1C （2）在平行六面體ABCD -A 1B 1C 1D 1中，四邊形ABB 1A 1為平行四邊形 又因為AA 1=AB ，所以四邊形ABB 1A 1為菱形， 因此AB 1A 1B 又因為AB 1B 1C 1，BC B 1C 1， 所以AB 1BC 又因為A 1B BC =B ，A 1B ?平面A 1BC ，BC ?平面A 1BC ， 所以AB 1平

8、面A 1BC 因為AB 1?平面ABB 1A 1， 所以平面ABB 1A 1平面A 1BC 16本小題主要考查同角三角函數(shù)關(guān)系、兩角和（差）及二倍角的三角函數(shù)，考查運(yùn)算求 解能力滿分14分 解：（1）因為，所以 因為，所以， 因此， （2）因為為銳角，所以 又因為，所以， 因此 因為，所以， 4tan 3= sin tan cos =4 sin cos 3 =22sin cos 1+=29 cos 25 =27 cos22cos 125 =-=-,(0,)+ cos()+= sin()+=tan()2+=-4tan 3= 2 2tan 24 tan 21tan 7 =- - 因此， 17本小題

9、主要考查三角函數(shù)的應(yīng)用、用導(dǎo)數(shù)求最值等基礎(chǔ)知識，考查直觀想象和數(shù)學(xué)建 模及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析和解決實際問題的能力滿分14分 解：（1）連結(jié)PO 并延長交MN 于H ，則PH MN ，所以O(shè)H =10 過O 作OE BC 于E ，則OE MN ，所以COE =， 故OE =40cos ，EC =40sin ， 則矩形ABCD 的面積為240cos （40sin +10）=800（4sin cos +cos ）， CDP 的面積為 1 2 240cos （4040sin ）=1600（cos sin cos ） 過N 作GN MN ，分別交圓弧和OE 的延長線于G 和K ，則GK =KN =10 令

10、GOK =0，則sin 0=14，0（0，6 ） 當(dāng)0， 2 ）時，才能作出滿足條件的矩形ABCD ， 所以sin 的取值范圍是 1 4 ，1） 答：矩形ABCD 的面積為800（4sin cos +cos ）平方米，CDP 的面積為 1600（cos sin cos ），sin 的取值范圍是 1 4 ，1） （2）因為甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為43， 設(shè)甲的單位面積的年產(chǎn)值為4k ，乙的單位面積的年產(chǎn)值為3k （k 0）， 則年總產(chǎn)值為4k 800（4sin cos +cos ）+3k 1600（cos sin cos ） =8000k （sin cos +cos ），0， 2）

11、設(shè)f （）= sin cos +cos ，0， 2 ）， 則222()cos sin sin (2sin sin 1)(2sin 1)(sin 1)f =-=-+-=-+ 令()=0f ，得= 6 ， 當(dāng)（0， 6 ）時，()0f ，所以f （）為增函數(shù)； 當(dāng)（ 6， 2）時，() 又點(diǎn)1 )2 在橢圓C 上， 所以2222311, 43, a b a b ?+=?-=? ，解得2 24,1,a b ?=?=? 因此，橢圓C 的方程為2 214 x y += 因為圓O 的直徑為12F F ，所以其方程為223x y += （2）設(shè)直線l 與圓O 相切于0000(),(00)P x y x y

12、，則22003x y +=， 所以直線l 的方程為0000()x y x x y y =- -+，即000 3x y x y y =-+ 由22 0001,43,x y x y x y y ?+=?=-+? ，消去y ，得 222200004243640()x y x x x y +-+-=（*） 因為直線l 與橢圓C 有且只有一個公共點(diǎn)， 所以222222000000()()( 24)(44364820)4x x y y y x ?=-+-=-= 因為00,0 x y ，所以001x y = 因此，點(diǎn)P 的坐標(biāo)為 因為三角形OAB ，所以1 2AB OP ?= 7AB = 設(shè)1122,()(

13、),A x y B x y ， 由（* ）得001,2x = ， 所以2222121()()x B y y x A =-+- 2220002222 00048(2) (1)(4)x y x y x y -=+?+ 因為22003x y +=， 所以22 022 016(2)32 (1)49 x AB x -=+，即42002451000 x x -+=， 解得22005(202x x =舍去），則201 2 y =，因此P 的坐標(biāo)為 綜上，直線l 的方程為y =+ 19本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究初等函數(shù)的性質(zhì)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析與解 決問題以及邏輯推理能力滿分16分 解：（1）函數(shù)f

14、 （x ）=x ，g （x ）=x 2+2x -2，則f （x ）=1，g （x ）=2x +2 由f （x ）=g （x ）且f （x ）= g （x ），得 222 122x x x x ?=+-? =+? ，此方程組無解， 因此，f （x ）與g （x ）不存在“S ”點(diǎn) （2）函數(shù)21f x ax =-（），()ln g x x =， 則1 2f x ax g x x = （），（） 設(shè)x 0為f （x ）與g （x ）的“S ”點(diǎn)，由f （x 0）=g （x 0）且f （x 0）=g （x 0），得 200001ln 12ax x ax x ?-=?=? ，即2 00 201ln 2

15、1ax x ax ?-=?=?，（*） 得01 ln 2 x =-，即1 20e x -=，則12 21e 2 2(e ) a -= = 當(dāng)e 2 a =時，1 20e x -=滿足方程組（*），即0 x 為f （x ）與g （x ）的“S ”點(diǎn) 因此，a 的值為 e 2 （3）對任意a 0，設(shè)32()3h x x x ax a =-+ 因為(0)0(1)1320h a h a a =-+=-0 函數(shù)2 e ()()x b f x x a g x x =-+=， 則2 e (1) ()2()x b x f x x g x x -=-= ， 由f （x ）=g （x ）且f （x ）=g （x

16、），得 22e e (1)2x x b x a x b x x x ?-+=?-?-=?，即003 200 30202e e (1)2e (1)2e (1)x x x x x x a x x x x x x x ?-+=?-?-?-=?-? （*） 此時，0 x 滿足方程組（*），即0 x 是函數(shù)f （x ）與g （x ）在區(qū)間（0，1）內(nèi)的一個“S 點(diǎn)” 因此，對任意a 0，存在b 0，使函數(shù)f （x ）與g （x ）在區(qū)間（0，+）內(nèi)存在“S 點(diǎn)” 20本小題主要考查等差和等比數(shù)列的定義、通項公式、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查代數(shù)推理、 轉(zhuǎn)化與化歸及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識探究與解決問題的能力滿分16分

17、解：（1）由條件知： 因為1|n n a b b -對n =1，2，3，4均成立， 即對n =1，2，3，4均成立， 即11，1d 3，32d 5，73d 9，得 因此，d 的取值范圍為 （2）由條件知： 若存在d ，使得1|n n a b b -（n =2，3，m +1）成立， 即， 即當(dāng)時，d 滿足 因為，則， 112(,)n n n a n d b -=-=1 12|()1|n n d 75 32 d 75 ,32 111(1),n n n a b n d b b q -=+-=1111 |1|2,3,(1()n b n d b q b n m -+-=+2,3, ,1n m =+11

18、11211 n n q q b d b n n - -q 112n m q q -0時， 所以單調(diào)遞減，從而-2,3,1n m =+2,3, ,1n m =+121n q n 1 1 n q n -2,3, ,1n m =+2n m 111 2222 111()()() n n n n n n n n q q nq q nq n q q q n n n n n n +-+-= 1 12m q 21n m +12 1n q n 121n q n 2 m q m -()()21x f x x =-ln 21(0(n )l 22)x f x x =-， 則稱(,)s t i i 是排列12n i i

19、 i 的一個逆序，排列12n i i i 的所有逆序的總個數(shù)稱為其逆序 數(shù)例如：對1，2，3的一個排列231，只有兩個逆序(2，1)，(3，1)，則排列231的逆序數(shù)為2記()n f k 為1，2，n 的所有排列中逆序數(shù)為k 的全部排列的個數(shù) （1）求34(2),(2)f f 的值； （2）求(2)(5)n f n 的表達(dá)式(用n 表示) 數(shù)學(xué)(附加題)參考答案 21【選做題】 A 選修41：幾何證明選講 本小題主要考查圓與三角形等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力滿分10分 證明：連結(jié)OC 因為PC 與圓O 相切，所以O(shè)C PC 又因為PC =OC =2， 所以O(shè)P 又因為OB =2，從而B 為Rt

20、 OCP 斜邊的中點(diǎn)，所以BC =2 B 選修42：矩陣與變換 本小題主要考查矩陣的運(yùn)算、線性變換等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力滿分10分 解：（1）因為2312? =?A ，det()221310=?-?=A ，所以A 可逆， 從而1-A 2312-?=?-? （2）設(shè)P (x ，y )，則233121x y ?=?，所以13311x y -?=?-? A ， 因此，點(diǎn)P 的坐標(biāo)為(3，1) C 選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 本小題主要考查曲線的極坐標(biāo)方程等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力滿分10分 解：因為曲線C 的極坐標(biāo)方程為=4cos ， 所以曲線C 的圓心為（2，0），直徑為4的圓 因為直線l

21、 的極坐標(biāo)方程為 sin()26 -=， 則直線l 過A （4，0），傾斜角為 6 ， 所以A 為直線l 與圓C 的一個交點(diǎn) 設(shè)另一個交點(diǎn)為B ，則OAB = 6 連結(jié)OB ，因為OA 為直徑，從而OBA =2 ， 所以 4cos 6 AB = 因此，直線l 被曲線C 截得的弦長為 D 選修45：不等式選講 本小題主要考查柯西不等式等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力滿分10分 證明：由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z + 因為22=6x y z +，所以2224x y z +， 當(dāng)且僅當(dāng) 122x y z =時，不等式取等號，此時244333 x y z =，

22、 所以222x y z +的最小值為4 22【必做題】本小題主要考查空間向量、異面直線所成角和線面角等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)用 空間向量解決問題的能力滿分10分 解：如圖，在正三棱柱ABC ?A 1B 1C 1中，設(shè)AC ，A 1C 1的中點(diǎn)分別為O ，O 1，則OB OC ，OO 1OC ，OO 1OB ，以1,OB OC OO 為基底，建立空間直角坐標(biāo)系O ?xyz 因為AB =AA 1=2， 所以1110,1,0,0,1,0,0,1,()()()2,0,1,2)()A B C A B C - （1）因為P 為A 1B 1的中點(diǎn)， 所以1 ,2)2 P -， 從而131 (,2)(0,2,22 ),BP AC =- -， 故111|cos ,| | 5 BP AC BP AC BP AC ?= =? 因此，異面直線BP 與AC 1 （2）因為Q 為BC 的中點(diǎn)， 所以1 ,0)2 Q ， 因此33 ( ,0)2 AQ =，11(0,2,2),(0,0,2)AC CC = 設(shè)n =（x ，y