局部腦血流測(cè)定論文

-.z.局部腦血流測(cè)定摘要本文主要對(duì)人體大腦局部腦血流量進(jìn)行測(cè)定，實(shí)驗(yàn)使受試者吸入*種放射性同位素的氣體，定時(shí)測(cè)量放射性計(jì)數(shù)率和呼出氣的計(jì)數(shù)率，由計(jì)數(shù)率變化速率與計(jì)數(shù)率和呼出氣計(jì)數(shù)率的關(guān)系，求解頭部計(jì)數(shù)率的隨時(shí)間變化的關(guān)系。針對(duì)問題1，首先根據(jù)題設(shè)可知：由腦血流引起局部地區(qū)記數(shù)率下降的速率與當(dāng)時(shí)該處的記數(shù)率成正比與動(dòng)脈血從肺輸送同位素至大腦引起腦部記數(shù)率上升的速率與當(dāng)時(shí)呼出氣的記數(shù)率成正比的兩個(gè)關(guān)系，得到腦部計(jì)數(shù)率的變化量的二元一階線性非齊次常微分方程：；采用消元法，引入呼出氣記數(shù)率與時(shí)間的關(guān)系函數(shù)，設(shè)定初始值：，可建立一階線性非齊次常微分方程模型：，進(jìn)行求解。針對(duì)問題2，對(duì)上述模型進(jìn)行求解，首先對(duì)原始數(shù)據(jù)腦部計(jì)數(shù)率與時(shí)間，呼出氣計(jì)數(shù)率與時(shí)間的關(guān)系用進(jìn)行擬合，得到擬合曲線，由曲線看出呼出氣計(jì)數(shù)率與時(shí)間大致成指數(shù)關(guān)系，進(jìn)而對(duì)呼出氣計(jì)數(shù)率進(jìn)行取對(duì)數(shù)的數(shù)據(jù)變化，用進(jìn)行一次多項(xiàng)式擬合，擬合結(jié)果得到：。將帶入微分方程根據(jù)一階線性非齊次常微分方程的通解得。用MATLAB對(duì)其進(jìn)行最小二乘法擬合，求得正比系數(shù)，。問題二結(jié)果檢驗(yàn)：1、初值檢驗(yàn)：將帶入，得與所給初始值1534近似相等，誤差非常小，驗(yàn)證了結(jié)果的準(zhǔn)確性；2、差值檢驗(yàn)：由圖得差值在直線上下波動(dòng)較小。因此結(jié)果比較準(zhǔn)確。關(guān)鍵字腦血流量系數(shù)常微分方程模型最小二乘法差值圖問題重述用放射性同位素測(cè)定大腦局部血流量的方法如下：由受試者吸入含有*種放射性同位素的氣體，然后將探測(cè)器置于受試者頭部*固定處，定時(shí)測(cè)量該處的放射性記數(shù)率（簡(jiǎn)稱記數(shù)率），同時(shí)測(cè)量他呼出氣的記數(shù)率。由于動(dòng)脈血將肺部的放射性同位素傳送至大腦，使腦部同位素增加，而腦血流又將同位素帶離，使同位素減少。實(shí)驗(yàn)證明由腦血流引起局部地區(qū)記數(shù)率下降的速率與當(dāng)時(shí)該處的記數(shù)率成正比。其比例系數(shù)反應(yīng)該處的腦血流量，被稱為腦血流量系數(shù)，只要確定該系數(shù)即可推算出腦血流量。動(dòng)脈血從肺輸送同位素至大腦引起腦部記數(shù)率上升的速率與當(dāng)時(shí)呼出氣的記數(shù)率成正比。*受試者的測(cè)試數(shù)據(jù)見附表1。根據(jù)題目所給條件與數(shù)據(jù)，求解一下問題：建立確定腦部血流系數(shù)的數(shù)學(xué)模型；2.計(jì)算上述受試者的腦血流系數(shù)。問題分析2.1對(duì)問題1的分析：針對(duì)問題1，題目中給出了動(dòng)脈血，腦血流對(duì)腦部計(jì)數(shù)率的影響。首先，腦血流引起局部地區(qū)記數(shù)率下降的速率與當(dāng)時(shí)該處的記數(shù)率成正比，且比例系數(shù)反應(yīng)該處的腦血流量。另外，脈血從肺輸送同位素至大腦引起腦部記數(shù)率上升的速率與當(dāng)時(shí)呼出氣的記數(shù)率成正比。由這兩個(gè)正比關(guān)系即可得到腦部地區(qū)計(jì)數(shù)率總的變化率與時(shí)間的關(guān)系，列出微分方程，建立微分方程數(shù)學(xué)模型。2.2對(duì)問題2的分析：針對(duì)問題2，由問題1建立的微分方程模型進(jìn)行求解?？紤]模型是二元一階方程，無法求解。我們對(duì)呼出氣的計(jì)數(shù)率與時(shí)間的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，用matlab進(jìn)行擬合得到它們之間的關(guān)系方程，帶入模型，模型變?yōu)橐浑A線性常微分方程，進(jìn)而可以求解。模型假設(shè)假設(shè)題目所給數(shù)據(jù)均真實(shí)可靠；假設(shè)受試者的腦血流量不受吸入放射性同位素氣體的影響；假設(shè)受試者在吸入放射性同位素氣體前，腦中無這種放射性同位素氣體；假設(shè)腦部計(jì)數(shù)率的下降只與腦血流有關(guān)，且下降速率與該處的計(jì)數(shù)率成正比；假設(shè)腦部計(jì)數(shù)率的上升只與動(dòng)脈血有關(guān)，且上升速率與當(dāng)時(shí)呼出氣的計(jì)數(shù)率成正比；假設(shè)每次測(cè)量的數(shù)據(jù)均是相互獨(dú)立的。符號(hào)說明符號(hào)意義表示時(shí)間時(shí)刻頭部計(jì)數(shù)率時(shí)刻呼出氣計(jì)數(shù)率腦部計(jì)數(shù)率下降的速率與該處計(jì)數(shù)率成正比關(guān)系的比例系數(shù)腦部計(jì)數(shù)率上升的速率與當(dāng)時(shí)呼出氣的計(jì)數(shù)率成正比關(guān)系的比例系數(shù)自定義常數(shù)，誤差的大小差值模型的建立與求解5.1.1建模準(zhǔn)備過程分析：以腦部計(jì)數(shù)率為研究對(duì)象，腦部計(jì)數(shù)率的變化分兩個(gè)過程：1、腦血流使得腦部計(jì)數(shù)率下降，并且下降速率與該時(shí)刻腦部計(jì)數(shù)率成正比；2、動(dòng)脈血使得頭部計(jì)數(shù)率上升，并且上升速率與該時(shí)刻呼出氣計(jì)數(shù)率成正比。如圖1：動(dòng)脈血頭部計(jì)數(shù)率頭部計(jì)數(shù)率上升：速率與該時(shí)刻頭部計(jì)數(shù)率成正比上升：速率與該時(shí)刻頭部計(jì)數(shù)率成正比下降：速率與該時(shí)刻呼出氣計(jì)數(shù)率成正比下降：速率與該時(shí)刻呼出氣計(jì)數(shù)率成正比腦血流圖1頭部計(jì)數(shù)率變化流程圖5.1.2建模過程根據(jù)頭部計(jì)數(shù)率變化流程圖建立以下模型：設(shè)時(shí)刻頭部計(jì)數(shù)率為，呼出氣計(jì)數(shù)率為，經(jīng)過時(shí)刻，由腦血流引起的頭部計(jì)數(shù)率的變化，；由動(dòng)脈血引起的頭部計(jì)數(shù)率的變化，則經(jīng)過時(shí)刻頭部計(jì)數(shù)率的總變化量，即：，此方程為二元一階常系數(shù)線性常微分方程。消元法求解：該方程為二元方程，不能求解，考慮消去。引入呼出氣計(jì)數(shù)率與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系：，帶入原方程得：，即：此方程為一階線性非齊次常微分方程。設(shè)定初始值：，即求解：5.2.1模型求解受試者腦血流系數(shù)的計(jì)算：將原始數(shù)據(jù)腦部計(jì)數(shù)率與時(shí)間，呼出氣計(jì)數(shù)率與時(shí)間的關(guān)系用matlab進(jìn)行擬合，得到擬合曲線如圖2，圖2計(jì)數(shù)率隨時(shí)間變化趨勢(shì)圖由圖可以看出呼出氣計(jì)數(shù)率與時(shí)間大致呈指數(shù)函數(shù)關(guān)系，因此，對(duì)呼出氣數(shù)據(jù)進(jìn)行取對(duì)數(shù)變換，得表2：表2呼出氣計(jì)數(shù)率對(duì)數(shù)變換表時(shí)間11.251.51.7522.252.52.7533.253.53.7544.254.54.7555.255.55.75呼出氣記數(shù)率22311534105472449834223516211176523625171286432取對(duì)數(shù)7.71027.33566.96036.58486.21065.83485.45965.08764.70954.33073.95123.58353.21892.83322.48492.07941.79181.38631.09860.6931取對(duì)數(shù)大于0的部分，用MATLAB進(jìn)行一次多項(xiàng)式擬合，得擬合系數(shù)，擬合曲線如圖3：圖3對(duì)數(shù)變換一次擬合直線與原始數(shù)據(jù)得到很好的匹配。取對(duì)數(shù)后，即，5.2.2殘差分析：殘差平方和的概念：為了明確解釋變量和隨機(jī)誤差各產(chǎn)生的效應(yīng)是多少，統(tǒng)計(jì)學(xué)上把公式數(shù)據(jù)點(diǎn)與它在回歸直線上相應(yīng)位置的差異稱殘差，把每個(gè)殘差平方后加起來稱為殘差平方和。對(duì)所求的的函數(shù)進(jìn)行數(shù)據(jù)殘差分析：用MATLAB工具求得該殘差平方和為：，殘差平方和很小，說明誤差很小。5.2.3數(shù)據(jù)檢驗(yàn)：繪制原始數(shù)據(jù)與函數(shù)的對(duì)比圖，如圖4：圖4數(shù)據(jù)檢驗(yàn)圖將代入原方程：根據(jù)線性一階非齊次微分方程的通式及其通解形式，解得：令得，其中。5.2.4模型結(jié)果：采用最小二乘法進(jìn)行擬合，擬合曲線見圖5：圖5最小二乘擬合曲線得到參數(shù)：,根據(jù)求得動(dòng)脈血頭部計(jì)數(shù)率上升系數(shù)5.2.5模型檢驗(yàn)：5.2.5.1初值分析檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)，代入得：時(shí)，與所給初始值1534近似相等所得誤差為：誤差非常的小，因此驗(yàn)證了該模型的準(zhǔn)確性。5.2.5.2差值分析檢驗(yàn)設(shè)時(shí)刻頭部計(jì)數(shù)率的真實(shí)值為表示，擬合值為，差值。做時(shí)間——差值圖：圖6差值分析圖由圖可以看出，差值在直線上下波動(dòng)，起伏很小，驗(yàn)證了結(jié)果的準(zhǔn)確性。模型評(píng)價(jià)與推廣6.1.模型的評(píng)價(jià)模型的優(yōu)點(diǎn)：模型屬于微分方程模型，比較簡(jiǎn)單，但結(jié)果比較準(zhǔn)確。模型多次利用MATLAB進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，且擬合結(jié)果均與實(shí)際相符合，對(duì)呼出氣計(jì)數(shù)率與時(shí)間的關(guān)系先進(jìn)行擬合，再提出猜想，最后進(jìn)行驗(yàn)證，證明正確性。模型求解采用最小二乘法擬合，最后將結(jié)果做差值圖進(jìn)行驗(yàn)證，得出較小的誤差與分析，由此可以看出，模型結(jié)果比較準(zhǔn)確，與實(shí)際相符合。因此模型對(duì)實(shí)際腦部血流量的測(cè)定有很好的指導(dǎo)意義。模型的缺點(diǎn)：本模型在建立的過程中沒有考慮這種放射性同位素的衰變，以及動(dòng)脈血從肺部到腦部所需要的時(shí)間，因此結(jié)果比較理想化，可能與實(shí)際存在一定誤差。。6.2.模型的推廣本模型可以推廣到其他用放射性同位素測(cè)試的實(shí)際問題中，找出所研究問題與可以放射性同位素之間的關(guān)系，同樣列出常微分方程模型進(jìn)行求解。同時(shí)該模型在醫(yī)療方面，可對(duì)病人病情進(jìn)行檢測(cè)。具有很好的實(shí)際指導(dǎo)意義。當(dāng)考慮同位素的衰變，動(dòng)脈血從肺部到腦部所需要的時(shí)間等因素后，可以實(shí)際測(cè)得這些數(shù)據(jù)，用本模型依然可以實(shí)現(xiàn)。參考文獻(xiàn)[1]曹衛(wèi)華,郭止.最優(yōu)化技術(shù)方法及MATLAB的實(shí)現(xiàn)[M],：化學(xué)工業(yè)出版社，2005.1[2]王家文，王皓，劉海.MATLAB7.0編程基礎(chǔ)[M],：機(jī)械工業(yè)出版社，2005.7[3]劉志平，石林英.最小二乘法原理及其MATLAB實(shí)現(xiàn)[J],中國(guó)科技西部，2008，17(7):33-34附錄表1*受試者的測(cè)試數(shù)據(jù)時(shí)間頭部記數(shù)率呼出氣記數(shù)率時(shí)間頭部記數(shù)率呼出氣記數(shù)率1.00153422315.7522521.25152815346.0019911.50146810546.2517511.7513787246.5015512.0012724986.7513712.2511623427.0012102.5010522357.2510702.759471627.509403.008481117.758303.25757768.007303.50674528.256503.75599368.505704.00531258.755004.25471179.004404.50417129.253904.7536989.503505.0032669.753105.25288410.002705.502553附源程序代碼：%data.mclear;closeall;clc;a=*lsread('C:\Users\谷柏辰\Desktop\data.*ls')t=1:0.25:10;plot(t,a(1,:),'-b');holdonplot(t,a(2,:),'-r');functionf=fun(*,*data)n=length(*data);fori=1:nf(i)=*(1)*e*p(-1.4808**data(i))+*(2)*e*p(-*(3)**data(i));endclcclear;t=[1:0.25:5.75];m=[22311534105472449834223516211176523625171286432];plot(t,m,'*');holdon;y=e*p(-1.4808*t+9.1648);plot(t,y,'r');title('M函數(shù)原始數(shù)據(jù)檢驗(yàn)')*label('時(shí)間')ylabel('呼出氣計(jì)數(shù)率')%最小二乘法擬合曲線a=*lsread('C:\Users\谷柏辰\Desktop\data.*ls');*data=1:0.25:10;ydata=a(1,:);*0=[-5000400