高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試分類匯編導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用新人教A版_第1頁
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)A.16 B.54 C.-25 D.-16【答案】D【解析】解:,則,解得:,,故選:D.2.(2021·重慶合川·高二階段練習(xí))過函數(shù)圖像上一個動點作函數(shù)的切線,則切線領(lǐng)斜角范圍為(

)A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意,函數(shù),可得,因為,所以,即切線的斜率,設(shè)切線的傾斜角為,則又因為,所以或,即切線的傾斜角的范圍為.故選:B.3.(2022·安徽·合肥一中模擬預(yù)測)對于三次函數(shù),若曲線在點處的切線與曲線在點處點的切線重合,則(

)A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè),,設(shè),則,即……①又,即……②由①②可得,.故選:B.4.(2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學(xué)校高二期中)已知曲線在點處的切線也是曲線的一條切線,則實數(shù)的值為(

)A. B. C. D.【答案】D【解析】解:因為,所以,,所以,所以切線的方程為,又,所以,設(shè)切線與的切點為,可得切線的斜率為,即,,可得切點為,所以,解得.故選:D.5.(2022·河北·邢臺市第二中學(xué)高二階段練習(xí))已知函數(shù)與的部分圖像如圖所示,則(

)A. B.C. D.【答案】B【解析】由圖可知,與在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以,.在區(qū)間上,的圖像比的圖像更陡峭,所以,.故選:B6.(2022·廣東·中山大學(xué)附屬中學(xué)高二期中)設(shè)函數(shù),則(

)A.e B.1 C. D.【答案】B【解析】由題意,所以,所以原式等于.故選:B.7.(2022·重慶·高二階段練習(xí))定義在上的函數(shù)滿足,且,則滿足不等式的的取值有(

)A. B.0 C.1 D.2【答案】D【解析】構(gòu)造函數(shù),則,因為,所以,所以單調(diào)遞減,又,所以,不等式變形為,即,由函數(shù)單調(diào)性可得:故選:D8.(2022·江蘇·昆山柏廬高級中學(xué)高二期中)已知的定義域是,為的導(dǎo)函數(shù),且滿足,則不等式的解集是(

)A. B.C. D.【答案】B【解析】令,則,所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以,解之得或,即原不等式的解集為,故選:B.9.(2022·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高二期中)是定義在上的函數(shù),是的導(dǎo)函數(shù),已知,且,則不等式的解集為(

)A. B.C. D.【答案】C【解析】由,得構(gòu)造函數(shù),,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,因為,所以不等式等價于即,所以故選:C.10.(2022·江蘇南通·模擬預(yù)測)已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),,,,則(

)A. B. C. D.【答案】A【解析】,則,為偶函數(shù),且在單調(diào)遞增,,,即,,所以,∴,故選:A二、解答題11.(2021·重慶合川·高二階段練習(xí))已知函數(shù)(1)當(dāng),證明:;(2)若函數(shù)在上恰有一個極值,求a的值.【答案】(1)證明見解析;(2).【解析】(1)由題設(shè)且,則,所以在上遞增,則,得證.(2)由題設(shè)在有且僅有一個變號零點,所以在上有且僅有一個解,令,則,而,故時,時,時,所以在、上遞增,在上遞減,故極大值,極小值,,要使在上與有一個交點,則或或.經(jīng)驗證,或時對應(yīng)零點不變號,而時對應(yīng)零點為變號零點,所以.12.(2022·吉林·長春市第二實驗中學(xué)高二期中)設(shè)函數(shù),若在處有極值.(1)求實數(shù)a的值;(2)求函數(shù)的極值;(3)若對任意的,都有,求實數(shù)c的取值范圍.【答案】(1)(2)在處有極大值,在處有極小值(3)【解析】(1),因為在處有極值,所以,解得.檢驗:當(dāng)時,,當(dāng)時,,單調(diào)遞減;當(dāng)時,,單調(diào)遞增,所以在處有極小值,滿足條件.故.(2)由(1)知當(dāng)時,,單調(diào)遞增;當(dāng)時,,單調(diào)遞減;當(dāng)時,,單調(diào)遞增;又,.所以在處有極大值,在處有極小值.(3)原命題等價于對任意的都成立,由(2)知,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,因為,,所以,解得.13.(2022·天津河北·高二期中)已知函數(shù),其中,曲線在處的切線方程為.(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,4]上的最大值和最小值.【答案】(1)(2)最大值是-,最小值是-19【解析】(1):∵,∴.由題意得,即,解得,.∴;(2)解:令,解得,或,列表討論和f(x)的變化情況:3(3,4)+0-0+單調(diào)遞增單調(diào)遞減-19單調(diào)遞增∴當(dāng)時,函數(shù)f(x)有極大值;當(dāng)時,函數(shù)f(x)有極小值.又,,∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,4]上的最大值是-,最小值是-19.14.(2022·河北·滄縣中學(xué)高二階段練習(xí))已知函數(shù),為函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)求的解集;(2)求曲線的單調(diào)區(qū)間.【答案】(1)(2)單調(diào)遞增區(qū)間是,,單調(diào)遞減區(qū)間是【解析】【分析】由得,,∴,即,解得,∴的解集是(2),∴當(dāng)x變化時,的變化情況如下表:x+0-0+∴的單調(diào)遞增區(qū)間是,,單調(diào)遞減區(qū)間是.15.(2022·安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)高二期中)已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)若恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【解析】(1)解:因為,所以,若,則在上恒成立,故在上單調(diào)遞增,若,則當(dāng)時,;當(dāng)時,.故在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.綜上所述,當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.(2)由等價于.令,函數(shù),則,由,可得.當(dāng)時,單調(diào)遞減;當(dāng)時,單調(diào)遞增,故.所以a的取值范圍為.16.(2022·廣西·柳州市第三中學(xué)高二階段練習(xí)(理))已知函數(shù)在處的切線與軸平行.(1)求的值;(2)若函數(shù)的圖象與拋物線恰有三個不同交點,求的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】(1)解:因為,所以,在處的切線與軸平行,,解得.(2)解:令,則原題意等價于圖象與軸有三個交點,由,解得或;由,解得.在時取得極大值;在時取得極小值.故,.一、單選題1.(2022·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)高二期中)已知函數(shù),,若對任意的存在,使,則實數(shù)的取值范圍是(

)A. B.C. D.【答案】B【解析】因為對任意的存在,使成立,即,由函數(shù),可得,當(dāng)時,,單調(diào)遞減;當(dāng)時,,單調(diào)遞增,所以當(dāng)時,函數(shù)取得最小值,最小值為,又由函數(shù),當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞增,,即,解得,不成立,舍去;當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增,,即,解得或,不成立,舍去;當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞減,,即,解得,綜上可得,實數(shù)的取值范圍是.故選:B.2.(2022·湖北·高二階段練習(xí))函數(shù)在內(nèi)存在極值點,則(

)A. B. C.或 D.或【答案】A【解析】由題意知:在內(nèi)存在變號零點,即在內(nèi)有解,則,易得在內(nèi)單調(diào)遞減,值域為,故.故選:A.3.(2022·甘肅·蘭州一中高二期中)定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足,且f(4)=ln(4e4),則不等式f(ex)>ex+x的解集為()A.(4,+∞) B.(﹣∞,2) C.(ln2,+∞) D.(ln4,+∞)【答案】D【解析】解:令g(x)=f(x)﹣lnx﹣x,

因為定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足xf′(x)﹣1﹣x>0,所以g′(x)=,所以g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,因為f(4)=ln(4e4)=4+ln4,所以g(4)=0,則不等式f(ex)>ex+x可轉(zhuǎn)化為g(ex)+x+ex>ex+x,即g(ex)>0=g(4),所以ex>4,所以x>ln4.故選:D.4.(2022·河南·高二階段練習(xí)(理))若當(dāng)時,關(guān)于的不等式恒成立,則實數(shù)的取值范圍是(

)A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】令,所以,所以當(dāng)時,單調(diào)遞增,當(dāng)時,單調(diào)遞減,所以,即時,恒成立,所以當(dāng)時,恒成立成立;若當(dāng)時,關(guān)于的不等式恒成立,則等價于當(dāng)時,關(guān)于的不等式恒成立,當(dāng)時,不等式顯然成立當(dāng)時,關(guān)于的不等式恒成立,即恒成立,又函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以,所以,即;綜上實數(shù)的取值范圍是.故選:A.5.(2022·江蘇·海門中學(xué)高二階段練習(xí))已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程為,且函數(shù)在上的最大值為M,最小值為m,則的值為(

)A. B. C. D.0【答案】B【解析】解:,,又時,,則,解得,,則,,,當(dāng)時,,當(dāng)或時,,故函數(shù)在,上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故的極小值為,極大值為,,故函數(shù)在上的最大值為,最小值為,則故選:B6.(2022·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高二期中)已知函數(shù),若有三個不同的零點,則實數(shù)k的取值范圍為(

)A. B. C. D.【答案】C【解析】當(dāng)時,,故當(dāng)時,單調(diào)遞減,當(dāng)時,單調(diào)遞增,故,且時,,當(dāng)時,,由此作出函數(shù)的大致圖象如圖:由有三個不同的零點,即函數(shù)的圖象與有三個不同的交點,結(jié)合圖象,可得,故選:C7.(2022·天津市薊州區(qū)第一中學(xué)高二期中)已知函數(shù),若對任意的,存在使得,則實數(shù)a的取值范圍是()A. B.[,4]C. D.【答案】B【解析】解:的導(dǎo)函數(shù)為,由時,,時,,可得g(x)在[–1,0]上單調(diào)遞減,在(0,1]上單調(diào)遞增,故g(x)在[–1,1]上的最小值為g(0)=0,最大值為g(1)=,所以對于任意的,.因為開口向下,對稱軸為軸,所以當(dāng)時,,當(dāng)時,,則函數(shù)在[,2]上的值域為[a–4,a],由題意,得,,可得,解得.故選:B.8.(2022·山東濟寧·高二期中)已知,則a,b,c的大小關(guān)系為(

)A. B. C. D.【答案】D【解析】解:因為,令,則,當(dāng)時,,則在上遞增;當(dāng)時,,則在上遞減,因為,所以,又,所以,即,故選:D9.(2022·黑龍江·雙鴨山一中高二期末)已知是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),,當(dāng)時,,則使得成立的的取值范圍是A. B.C. D.【答案】A【解析】設(shè)g(x),則g′(x)=,∵當(dāng)x>0時,xf′(x)﹣f(x)>0,∴當(dāng)x>0時,g′(x)>0,此時函數(shù)g(x)為增函數(shù),∵f(x)是奇函數(shù),∴g(x)是偶函數(shù),即當(dāng)x<0時,g(x)為減函數(shù).∵f(﹣1)=0,∴g(﹣1)=g(1)=0,當(dāng)x>0時,f(x)>0等價為g(x)>0,即g(x)>g(1),此時x>1,當(dāng)x<0時,f(x)>0等價為g(x)<0,即g(x)<g(﹣1),此時﹣1<x<0,綜上不等式的解集為(﹣1,0)∪(1,+∞),故選A.10.(2022·重慶市萬州第二高級中學(xué)高二階段練習(xí))設(shè)函數(shù),其中,若存在唯一的整數(shù),使得,則的取值范圍是(

)A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè),,由題意知,函數(shù)在直線下方的圖象中只有一個點的橫坐標(biāo)為整數(shù),,當(dāng)時,;當(dāng)時,.所以,函數(shù)的最小值為.又,.直線恒過定點且斜率為,故且,解得,故選D.二、解答題11.(2022·北京·北師大二附中三模)已知函數(shù),其中,為的導(dǎo)函數(shù).(1)當(dāng),求在點處的切線方程;(2)設(shè)函數(shù),且恒成立.①求的取值范圍;②設(shè)函數(shù)的零點為,的極小值點為,求證:.【答案】(1)(2)①;②詳見解析【解析】(1)時,,,,,所以函數(shù)在處的切線方程,即.(2)①由題設(shè)知,,,,由,得,所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù);由,得,所以函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù).故在處取得最小值,且.由于恒成立,所以,得,所以的取值范圍為;②設(shè),則.設(shè),則,故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,由(1)知,,所以,,故存在,使得,所以,當(dāng)時,,,函數(shù)單調(diào)遞減;當(dāng)時,,,函數(shù)單調(diào)遞增.所以是函數(shù)的極小值點.因此,即.由①可知,當(dāng)時,,即,整理得,所以.因此,即.所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.由于,即,即,所以.又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以.12.(2022·河北衡水·高三階段練習(xí))已知函數(shù),.(1)若在點處的切線的斜率為,求的最值;(2)若在原點處取得極值,當(dāng)時,的圖像總在的圖像的上方,求k的取值范圍.【答案】(1)有最小值,且最小值為,無最大值;(2).【解析】由題意得,函數(shù)的定義域為,.因為,所以,解得,所以,則.令,解得或(舍),所以當(dāng)時,,則單調(diào)遞減;當(dāng)時,,則單調(diào)遞增,所以函數(shù)有最小值,且最小值,無最大值.(2)因為,,所以,解得,所以,若,則,單調(diào)遞減,若,則,單調(diào)遞增.因為當(dāng)時,函數(shù)的圖像總在函數(shù)的圖像的上方,即恒成立,所以,即.設(shè),,則,令,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,當(dāng),即時,,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以恒成立,符合題意;當(dāng),即時,,,所以存在,使得,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.又,所以不恒成立,故不符合題意.綜上所述,k的取值范圍為.13.(2022·河北保定·高二期中)已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)無零點,求實數(shù)a的取值范圍;(3)若函數(shù)有兩個相異零點,求證;.【答案】(1)答案見解(2)(3)證明見解析【解析】(1)解:由題可知的定義域是,當(dāng)時,,所以在上單調(diào)遞增;當(dāng)時,令解得,當(dāng)時,所以在上單調(diào)遞增,當(dāng)時,所以在上單調(diào)遞減.綜上:當(dāng)時,在上單調(diào)遞增;當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.(2)解:由(1)可知,要使函數(shù)無零點就需要,此時在上遞增,在上遞減,,欲使函數(shù)無零點,則只要,即所以的范圍是.(3)因為有兩個相異的零點,又由于,故不妨設(shè)令,且有,,要證令,則,所以只要證明時恒成立,令,由于已知恒成立,所以在遞增,所以時,恒成立,即恒成立,從而證明.【點睛】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題:(1)直接構(gòu)造法:證明不等式轉(zhuǎn)化為證明,進而構(gòu)造輔助函數(shù);(2)適當(dāng)放縮構(gòu)造法:一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮;二是利用常見放縮結(jié)

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