2020-2021數(shù)學(xué)選擇性第三冊(cè)課時(shí)5.2.1.2 等差數(shù)列的性質(zhì)含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2020-2021學(xué)年數(shù)學(xué)新教材人教B版選擇性必修第三冊(cè)課時(shí)分層作業(yè)：5.2.1.2等差數(shù)列的性質(zhì)含解析課時(shí)分層作業(yè)(四）等差數(shù)列的性質(zhì)(建議用時(shí)：40分鐘）一、選擇題1．在等差數(shù)列｛an}中，a1＋a9＝10，則a5的值為(）A．5B．6C．8D．10A[由a1＋a9＝2a5＝10得a52．如果等差數(shù)列{an｝中，a3＋a4＋a5＝12,那么a1＋a2＋…＋a7＝(）A．14B．21C．28D．35C[由題意可知a3＋a4＋a5＝3a4＝12,即a4又a1＋a2＋…＋a7＝3(a1＋a7)＋a4＝7a4∴a1＋a2＋…＋a7＝7×4＝28，故選C。］3．已知等差數(shù)列{an}的前三項(xiàng)依次為a－1,a＋1,2aA．a(chǎn)n＝2n－5 B．a(chǎn)n＝2n－3C．a(chǎn)n＝2n－1 D．a(chǎn)n＝2n＋1B［∵a－1，a＋1,2a＋3是等差數(shù)列{an}的前三項(xiàng)，∴2（a＋1)＝（a－1)＋(2a＋3），解得∴a1＝－1，a2＝1，a3＝3，∴d＝2,∴an＝－1＋2（n－1）＝2n－3。故選B.]4．下列說法中正確的是（)A．若a,b,c成等差數(shù)列，則a2，b2，c2成等差數(shù)列B．若a，b,c成等差數(shù)列，則log2a，log2b，log2C．若a，b，c成等差數(shù)列，則a＋2，b＋2,c＋2成等差數(shù)列D．若a,b，c成等差數(shù)列，則2a，2b,2C[由a,b,c成等差數(shù)列知2b＝a＋c，所以2(b＋2)＝a＋2＋c＋2，所以a＋2，b＋2，c＋2成等差數(shù)列．]5．在古老的數(shù)學(xué)著作中,書中有一道這樣的題目：把100個(gè)面包分給五個(gè)人，使每人所得面包數(shù)成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的eq\f(1，7)是較小的兩份之和,則最小的1份為(）A.eq\f（5，3)B。eq\f(10，3）C。eq\f(5,6）D.eq\f（11,6）A［設(shè)五個(gè)人分得的面包為a－2d，a－d，a,a＋d，a＋2d,(d>0），則(a－2d)＋(a－d）＋a＋a＋d＋a＋2d＝5a＝100,∴a＝20，由eq\f(1,7)(a＋a＋d＋a＋2d)＝a－2d＋a－d得3a＋3d＝7（2a－3d),∴24d＝11a,∴d＝eq\f（55,6），∴最小的一份為a－2d＝20－eq\f（110,6）＝eq\f（5，3）。故選A.］二、填空題6．方程x2＋6x＋1＝0的兩根的等差中項(xiàng)為________．－3［設(shè)方程x2＋6x＋1＝0的兩根分別為x1，x2，則x1＋x2＝－6,所以x1,x2的等差中項(xiàng)為A＝eq\f(x1＋x2,2）＝－3。］7．設(shè)數(shù)列｛an},｛bn｝都是等差數(shù)列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，則a37＋b37＝________。100[∵｛an}，｛bn｝都是等差數(shù)列,∴{an＋bn｝也是等差數(shù)列．又∵a1＋b1＝100，a2＋b2＝100,∴an＋bn＝100,故a37＋b37＝100。］8．若a,b，c成等差數(shù)列,則二次函數(shù)y＝ax2－2bx＋c的圖像與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為________．1或2［∵a，b，c成等差數(shù)列,∴2b＝a＋c，∴Δ＝4b2－4ac＝（a＋c）2－4ac＝（a－c)∴二次函數(shù)y＝ax2－2bx＋c的圖像與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1或2。］三、解答題9．四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，中間兩數(shù)的和為2,首末兩項(xiàng)的積為－8,求這四個(gè)數(shù)．[解］設(shè)這四個(gè)數(shù)為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差為2d）,依題意，2a＝2，且(a－3d）(a＋3d即a＝1，a2－9d2＝－8，∴d2＝1,∴d＝1或d＝－1。又四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列,∴d＝1。故所求的四個(gè)數(shù)為－2，0,2,4。10．（1)已知等差數(shù)列｛an}中，a2＋a6＋a10＝1，求a4＋a8的值；（2）設(shè){an}是公差為正數(shù)的等差數(shù)列,若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，求a11＋a12＋［解](1)法一：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)a2＋a10＝a4＋a8＝2a6由a2＋a6＋a10＝1,得3a6＝1,解得a6＝eq\f（1,3),∴a4＋a8＝2a6＝eq\f（2，3).法二：設(shè)公差為d，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得a2＋a6＋a10＝(a1＋d)＋(a1＋5d）＋（a1＋9d）＝3a1＋15d，由題意知，3a1＋15d＝1，即a1＋5d＝eq\f(1,3).∴a4＋a8＝2a1＋10d＝2（a1＋5d)＝eq\f（2,3)。（2)設(shè)公差為d,∵a1＋a3＝2a2∴a1＋a2＋a3＝15＝3a2∴a2＝5。又a1a2a3＝80,｛an∴a1a3＝（5－d）(5＋d)＝16?d＝3或d＝－3(舍去∴a12＝a2＋10d＝35，a11＋a12＋a13＝3a1211．(多選題)設(shè){an}是等差數(shù)列，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A．若a1＋a2>0,則a2＋a3〉0B．若a1＋a3<0，則a1＋a2<0C．若0〈a1<a2，則a2>eq\r（a1a3)D．若a1〈0，則(a2－a1）（a2－a3）>0ABD[若等差數(shù)列是an＝5－3n，滿足a1＋a2＝2＋(－1）＝1>0，但a2＋a3＝(－1）＋(－4）＝－5<0,A錯(cuò)誤；an＝5－3n也滿足a1＋a3＝2＋(－4)＝－2〈0，但a1＋a2＝2＋（－1）＝1>0，B錯(cuò)誤；若0〈a1<a2,則a2＝eq\f（a1＋a3,2)>eq\r(a1a3），C正確；設(shè)等差數(shù)列{an｝的公差為d，則(a2－a1)(a2－a3)＝－d2≤0，D錯(cuò)誤．故選ABD.]12．若方程(x2－2x＋m）（x2－2x＋n)＝0的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為eq\f(1,4)的等差數(shù)列,則｜m－n|＝(）A．1B。eq\f(3，4)C。eq\f（1,2)D。eq\f（3，8）C[設(shè)方程的四個(gè)根a1，a2，a3，a4依次成等差數(shù)列，則a1＋a4＝a2＋a3＝2，再設(shè)此等差數(shù)列的公差為d，則2a1＋3d∵a1＝eq\f(1,4),∴d＝eq\f(1，2),∴a2＝eq\f（1，4)＋eq\f（1，2）＝eq\f（3，4),a3＝eq\f(1，4)＋1＝eq\f(5，4)，a4＝eq\f（1,4)＋eq\f（3，2)＝eq\f（7，4）.∴｜m－n|＝|a1a4－a2a＝eq\b\lc\|\rc\|（\a\vs4\al\co1(\f（1，4）×\f（7,4)－\f(3，4）×\f（5,4）)）＝eq\f（1，2）.］13．在等差數(shù)列{an}中,已知a1，a99是函數(shù)f(x)＝x2－10x＋16的兩個(gè)零點(diǎn),則eq\f(1,2）a50＋a20＋a80＝________.eq\f（25，2)［由題意，知a1，a99是方程x2－10x＋16＝0的兩根，則a1＋a99＝10。又因?yàn)閧an｝是等差數(shù)列，所以a50＝eq\f（a1＋a99,2）＝5，故eq\f(1，2）a50＋a20＋a80＝eq\f（5，2)a50＝eq\f(5,2)×5＝eq\f（25，2）。]14．（一題兩空）在數(shù)列｛an}中，a2＝2，a6＝0，且數(shù)列是等差數(shù)列,則a4＝________,an＝________.eq\f(1,2）eq\f(6－n,n)[由題意可知eq\f（2,a4＋1）＝eq\f(1,a2＋1）＋eq\f（1,a6＋1)，15．在數(shù)列｛an}中,已知a1＝5,且an＝2an－1＋2n－1(n≥2，且n∈N＋)．(1)求a2，a3的值；（2)是否存在實(shí)數(shù)λ,使得數(shù)列eq\b\lc\｛\rc\｝(\a\vs4\al\co1(\f(an＋λ,2n）)）為等差數(shù)列？若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．[解](1）因?yàn)閍1＝5，所以a2＝2a1＋22－1＝13，a3＝2a2＋2(2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ,使得數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}（\a\vs4\al\co1（\f(an＋λ，2n)))為等差數(shù)列，則eq\f(a1＋λ,2）,eq\f(a2＋λ,22)，eq\f（a3＋λ，23）成等差數(shù)列，所以2×eq\f(a2＋λ,22)＝eq\f(a1＋λ，2）＋eq\f（a3＋λ,23），即eq\f(13＋λ，2）＝eq\f(5＋λ，2）＋eq\f(33＋λ，8）。解得λ＝－1。當(dāng)λ＝－1時(shí)，eq\f（an＋1－1,2n＋1)－eq\f（an－1,2n）＝eq\f(1,2n＋1)[（an＋1－1）－2（an－1）］＝eq\f(1，2n＋1）(an＋1－2an＋1）＝eq\f(1，2n＋1）［（2an