北京西城區(qū)2018-2019學(xué)年第一學(xué)期期末高三數(shù)學(xué)理試題及答案版

北京市西城區(qū)2018—2019學(xué)年度第一學(xué)期期末試卷高三數(shù)學(xué)（理科）2019.1高三數(shù)學(xué)（理科）2019.1第1卷（選擇題共40分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).11.已知集合A={xIx=2k,kgZ}

B={xIx2w5},那么A^B=2.3.(A){0,2,4}(C){0,2}在等比數(shù)列｛an｝中，若a3=2(A)10(B)16一個(gè)四棱錐的三視圖如圖所示，(A)(B)<6(C)2\：’2(D)"0(B)(D)(C){-2,0,2}{-2,2}24(D)32那么這個(gè)四棱錐最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)為正（主）視圖側(cè)（左）視圖俯視圖4.5.123(D)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A4.5.123(D)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（1,1）,點(diǎn)B在圓x2+y2=4上，貝”O(jiān)A-OBI的最大值31+<22+五4打在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（2,-）到直線pcos?=-1的距離等于2第1頁共15頁.設(shè)M,N>0,0<a<1,則“l(fā)ogM〉logbN”是“M<N+1”的(A)充分而不必要條件 (B)必要而不充分條件(C)充要條件 (D)既不充分也不必要條件.已知函數(shù)f(x)二sin震，g(x)=x2—x+2，則(A)曲線y=f(x)+g(x)不是軸對(duì)稱圖形 (B)曲線y=f(x)-g(x)是中心對(duì)稱圖形(C)函數(shù)y=f(x)g(x)是周期函數(shù) (D)函數(shù)y=f(?最大值為4g(x) 7.一個(gè)國(guó)際象棋棋盤(由8x8個(gè)方格組成)，其中有一個(gè)小方格因破損而被剪去(破損位置不確定).“L”形骨牌由三個(gè)相鄰的小方格組成，如圖所示現(xiàn)要將這個(gè)破損的棋盤剪成數(shù)個(gè)“L”形骨牌，則(A)至多能剪成19塊“L”形骨牌 士 二二二二二二二二：(B)至多能剪成20塊“L”形骨牌 “L”形骨牌 二二二二二二二二(C)一定能剪成21塊“L”形骨牌 二二二二二二二二(D)前三個(gè)答案都不對(duì) 國(guó)際象棋棋盤第2頁共15頁第n卷(非選擇題共110分)二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分..復(fù)數(shù)z滿足方程1—i-z=i，則z=____..已知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)(—3,4)，則tana=；cos(a+n)=..執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的根=1,則輸出數(shù)據(jù)的總個(gè)數(shù)為2x—y+3三0,12.設(shè)x,y滿足約束條件<x—y—3W0,則z=x+3y的取值范圍是—.x+2y三0,.能說明“若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(0)f(2)>0，則f(x)在區(qū)間(0,2)上不存在零點(diǎn)”為假命題的一個(gè)函數(shù)是—..設(shè)雙曲線C:x2—?dú)?1的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A.若在雙曲線C上，有且只有2個(gè)不同的點(diǎn)P使得PF.PA=成立，則實(shí)數(shù)大的取值范圍是.第3頁共15頁

三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟..(本小題滿分13分)在AABC中，a=3,b=2V6,B=2A.(I)求cosA的值；(II)試比較/B與/C的大小..(本小題滿分14分),M,N分別是AB,AC的如圖，在三棱柱ABC-AB]C]中，側(cè)面B[BCC,M,N分別是AB,AC的(I)求證：平面B]BCC]±平面&ABB];(II)求證：AN//平面BCM;1(III)若A1ABB1是邊長(zhǎng)為2的菱形，求直線A1N與平面MCC]所成角的正弦值.第4頁共15頁

.(本小題滿分13分)為保障食品安全，某地食品監(jiān)管部門對(duì)轄區(qū)內(nèi)甲、乙兩家食品企業(yè)進(jìn)行檢查，分別從這兩家企業(yè)生產(chǎn)的某種同類產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了100件作為樣本，并以樣本的一項(xiàng)關(guān)鍵質(zhì)量指標(biāo)值為檢測(cè)依據(jù).已知該質(zhì)量指標(biāo)值對(duì)應(yīng)的產(chǎn)品等級(jí)如下：質(zhì)量指標(biāo)值[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45]等級(jí)次品二等品一等品二等品三等品次品根據(jù)質(zhì)量指標(biāo)值的分組，統(tǒng)計(jì)得到了甲企業(yè)的樣本頻率分布直方圖和乙企業(yè)的樣本頻數(shù)分布表(圖表如下，其中〃0).質(zhì)量指標(biāo)值頻數(shù)[15,20)質(zhì)量指標(biāo)值頻數(shù)[15,20)2[20,25)18[25,30)48[30,35)14[35,40)16[40,45]2合計(jì)100乙企業(yè)(I)現(xiàn)從甲企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，試估計(jì)該件產(chǎn)品為次品的概率；(II)為守法經(jīng)營(yíng)、提高利潤(rùn)，乙企業(yè)將所有次品銷毀，并將一、二、三等品的售價(jià)分別定為120元、90元、60元.一名顧客隨機(jī)購買了乙企業(yè)銷售的2件該食品，記其支付費(fèi)用為X元，用頻率估計(jì)概率，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(III)根據(jù)圖表數(shù)據(jù)，請(qǐng)自定標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)甲、乙兩企業(yè)食品質(zhì)量的優(yōu)劣情況進(jìn)行比較第5頁共15頁.(本小題滿分13分)已知函數(shù)f(%)=lnx一x+a，其中agR.(I)如果曲線y=f(x)與x軸相切，求a的值；(II)如果函數(shù)g(x)=△%)在區(qū)間(1,e)上不是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍.x2.(本小題滿分14分)已知橢圓C：上+==1(a><2)的離心率為紅，左、右頂點(diǎn)分別為A,B，點(diǎn)M是橢圓a2 2 2C上異于A,B的一點(diǎn)，直線AM與y軸交于點(diǎn)P.(I)若點(diǎn)P在橢圓C的內(nèi)部，求直線AM的斜率的取值范圍；(II)設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)Q在y軸上，且AQ//BM，求證：/PFQ為定值.第6頁共15頁.(本小題滿分13分)設(shè)正整數(shù)數(shù)列A：a,a,,a(N>3)滿足a<a,其中1Wi<后N.如果存在1 2 N ijke{2,3,,N},使得數(shù)列A中任意k項(xiàng)的算術(shù)平均值均為整數(shù)，則稱A為"k階平衡數(shù)列”.(1)?判斷數(shù)列2,4,6,8,10和數(shù)列1,5,9,13,17是否為“4階平衡數(shù)列”？(II)若N為偶數(shù)，證明：數(shù)列A：1,2,3,,N不是“k階平衡數(shù)列”，其中ke{2,3,,N}.(Ill)如果aNW2019，且對(duì)于任意ke{2,3,,N}，數(shù)列A均為“k階平衡數(shù)列”，求數(shù)列A中所有元素之和的最大值.…第7頁共15頁

北京市西城區(qū)23g—2019學(xué)年度第一學(xué)期期末2019.14.A&,C2019.14.A&,CIL614.(-2JJ)一、選擇劇：本大題共囂小題，每小題5分，共的分.I.B 2.D 3.C5.C 6,A 7.口12.曰,內(nèi)) B答案不唯一, =二、填空題：本大通共12.曰,內(nèi)) B答案不唯一, =注r第I。攜第一問3分，第二間工分.三、解答題:本大周共6小題，共蒯分.其他正碉解答過程，請(qǐng)參照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給分一151本小題滿分13分)TOC\o"1-5"\h\z解二(I)在也dEC中.由正弦定理一烏一=—2—. ，2分sinAsinZ?得匚_=上或,即匚_=2^6. 4分sin/Isin2^4sin^ 西4解得casX=乎. 分([I)由Te(0,iz)+得sin4=J1二cos3A=專. .…，….………7分因?yàn)榭?2/.所以8%四"8$2』=28鏟》-1=3， ….……8分所以sin-=Ji-g/月=, ……I……….g分又.因?yàn)榍?￡+「=7Lh所以cnsC=-心口蠅+H，-co.dc<ifc+￥如 一…“…….j]分所以￡口5總>86「.又因?yàn)楹瘮?shù)y=CCSM在(0對(duì))上單闔遞減,且民匚w[0,70T所以一 Q分第8頁共15頁

61本小題滿分14分）解：CI）因?yàn)?8-平面就u平面所以3日_1曳，由正方形用St?*知日鳥_L宛「又因?yàn)榱n廳用二療，所以f0_L平面又因?yàn)榇松掀矫婧笏?,所以平面B}BCCi±平面同［幽.CII）設(shè)中點(diǎn)。,熔黏NQ…"Q.因?yàn)锳f,N分別是8聲|，dC■的巾點(diǎn)，所以出0口月6,ILN0=；d￡\又因?yàn)?￡〃用用.且16二4國(guó)，所以NQ”4M.且Wg=4.W.所以四邊形4」WQY為平行四邊形.TOC\o"1-5"\h\z所以4VlM。一 6分又網(wǎng)為M0u平面BCM.4和a平面BCM、所以4平面8（M. *…?8分（JII）由fI>（如胡rSM，F(xiàn)C兩兩互■相垂直，國(guó)此以河為隙點(diǎn)，以反ftSM,BC分別為*軸，y軸1二軸建立空間直拓坐標(biāo)系B-jtjj如圖所示- 9分因?yàn)?/斤第是邊長(zhǎng)為2的菱形，時(shí)為d禺的中點(diǎn)1且4與J.曲修.易得"4d=EF.則第m ,題工。,0）,時(shí){。,JT,O）,以。,0,2）,4（1,點(diǎn)，時(shí)郎-L忑⑼、q-gmMLOJ} 10分所以瀛=E—VJ,i）.,wq=（-1,0,2）.氏=（一】,有⑼一設(shè)平面WC］的法向量為u=（上乂工），第9頁共15頁

-x+22=Q-x+忑y-0,12分令y=2.則、=26h工-小.所以修=(2行，2,12分設(shè)宜線同,即與平面河口7]所成角為我.則sinor=|cos(nT?N)匕因此宣戰(zhàn)4N與平面時(shí)C6所成兒的正弦伉為李3814分17.■(本小題滿分13分｝TOC\o"1-5"\h\z#1(1)ih(a+0.020+0.022+0,028-^0.042+0,080)x5=1,得1=0.003, - 2分所以甲企業(yè)的樣本中次品的頻率為("0.020L5=0.14,故從甲企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，詼產(chǎn)品是次品的概率約為。」4. 4分<[1)由圖表知，乙企業(yè)在10。件樣品中合格品有兜件*則--等品的概率為二=w,：：等品的概率為—=三,三等品的概率為*=-.962 96 3 驪6,m++.it?■嘴上++■1++■+■!，分由題意,隨機(jī)變量*的所TT可能取值為才L20.15。一院0,2】4244). 6分-l20)Wq,以*二】5①工C；乂:算：二2，RX=1M)=C；$號(hào)+$?=￡.耳龍="0)=Ck；T=；.*X=240)=；x；=; g分所以班機(jī)變量X的分布列為X120150180210240F136195￡3]_7?B…………+…9分^fUJLf(y)^120K—+15O>i+ISOx—+210x1+2^0x1^200. 1。分36 9 18 3 4(111>答案不唯一.只要言之方理便可得分(下面給出幾種參考答案》.CD以產(chǎn)品的自凈率L非次品的占有率)為標(biāo)曲對(duì)甲、乙兩家企業(yè)的食品質(zhì)量進(jìn)行比較第10頁共15頁

由圖表可知：中企業(yè)產(chǎn)品的合格率豹為O.B6T乙企業(yè)產(chǎn)品的合格率約為0一%.即乙企業(yè)產(chǎn)品的合格率高干甲企業(yè)產(chǎn)品的合格率，所以m以認(rèn)為乙企業(yè)的食品生產(chǎn)質(zhì)量更高.⑵以產(chǎn)品改號(hào)率為標(biāo)推對(duì)甲、乙兩家企業(yè)的食品質(zhì)量進(jìn)行比較(Bft).U)映產(chǎn)品中一等品的概率為標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)甲、乙兩家企業(yè)的賃品噴量進(jìn)行比較，根據(jù)圖表可知.甲企業(yè)產(chǎn)品中-等品的概率均為他4；乙企業(yè)產(chǎn)品中一等品的概率均為0.48r即乙企業(yè)產(chǎn)品中?一等品的概率高于甲企業(yè)產(chǎn)品中一等品的概率，所以乙企業(yè)的食品生產(chǎn)啦量更高，(4)根據(jù)第門|》問的定餅，計(jì)算購買一件產(chǎn)品費(fèi)用的數(shù)學(xué)期舉?進(jìn)而比較甲、乙兩個(gè)企業(yè)產(chǎn)品的優(yōu)劣(略)一 。分1心〔本小題耦分13分)因?yàn)榍€)，_汽2與x軸相切，所以此切我的斜率為0,由因?yàn)榍€)，_汽2與x軸相切，所以此切我的斜率為0,由^f\X)=0r解得才=1,乂由曲線i=/《H)與其鼬相切*得/(1)=-1+〃=。r對(duì)H(jr)求導(dǎo),得樹了｝=1—由//(x)=0,解得x=2.解一I)求導(dǎo),得『⑶=1_|=1_*.X X當(dāng)工變化時(shí)，林用與網(wǎng)力的變化情況如F表所示,X(1,2)X(1,2)1320+極小值/所以網(wǎng)幻在山2)上單調(diào)遞減，在(Ze)上單調(diào)遞增.又因?yàn)榫W(wǎng)1)=2-2%/i(e)=e-1-2(7,第11頁共15頁所以樹打酒=M2）=3-21口2-2口：自國(guó)—=自。）=2-&一 ――ig分如果函數(shù)第”）=￡史在區(qū)間H,公上單調(diào)遞增，則當(dāng)文w{1,e》時(shí)，目"自0.所以帕c）R在區(qū)間（.】，u}上恒成立，叩M#tk網(wǎng)2）=3-2M2-2啟0.解得口在］—L2.且當(dāng)口=：—時(shí)，宮'0戶。的解有有限個(gè)，TOC\o"1-5"\h\z即當(dāng)函數(shù)第力在區(qū)間山。）上的調(diào)遞增時(shí).ri^|-ln2： ① II分如果函數(shù)烈幻=坐在區(qū)間《14）上單調(diào)遞減，則當(dāng)xw（l,D時(shí)，g\x）^0.所以—wo在區(qū)間a㈤上恒成立,即網(wǎng)打叱=w=2-%事o.解得a力，旦當(dāng)4=1時(shí)，］（工產(chǎn)。的解行有限個(gè)，所酰當(dāng)函數(shù)烈用在區(qū)間6期上單調(diào)遞減時(shí).0^1 ② 12分因?yàn)楹瘮?shù)第工）=萼在區(qū)間e）上不是單調(diào)函數(shù)，結(jié)合①②：可得1―InNcicl.所以實(shí)數(shù)"的取值范圍是3一I力2工"<|一 13分―「解工（1}由題意，得1-1—21亍一號(hào). 2分解得看=“l(fā)近’所以橢囤。的方程為卷十千=1一 3分設(shè)產(chǎn)（0刈），由點(diǎn)尸在橢曲1。的內(nèi)部1得-《ffnv0,又因?yàn)榇èD2,0）.所以直線4H的斜率衽川二/一y=Jy￡ ? …5分又因?yàn)镸是橢圓「上異于兒"的一點(diǎn).所以匕h口一￥陽50.乎）- ，………,…，…6分（II）由題意只￡o）,設(shè)廿由與）,其中獷±2,則）十券=1一所以直規(guī)乂取的方程為『=1&<，+2}- - 7分第12頁共15頁

令才二。，得點(diǎn)F的坐標(biāo)為@亙二）,4+2因?yàn)槟A=,所以注漳="：?-10分+一L4外所以直線才白的方程為丁=4-10分+一L4外%-2令工=0,得點(diǎn)。的坐標(biāo)為電上馬）./一2由fA=Q忑,2^）,FQ=（—也?得再屈=2+4^-=絹1就咒。，TOC\o"1-5"\h\z針4 癡-4所以/_權(quán)@.即上2方@=9<r.所以上尸尸0為定值一20.（本小超滿分I3分）J解：《T）數(shù)列2,文也410不是-1階平衡數(shù)列；數(shù)列1.5,9,I&J7是4階平衡數(shù)列. 3分（II）若不為偶數(shù)，設(shè)依（屈匚N）考成1.2J」飛北這立項(xiàng)，其和為§=筆也，所以這此項(xiàng)的算術(shù)平均值為，="2=史/,此數(shù)不是整數(shù)一 5分若Jt為奇數(shù)，設(shè)考慮123,…5—l,k+l這片琳其和為挈=隼由+|,所以這4項(xiàng)的肆術(shù)平均值為二匕UJn四41』與匚，此數(shù)不是整數(shù)一k2k 2m+1曲數(shù)列W]23,H不是”階平衡數(shù)列”,其中問曲…,用,………8分UID在數(shù)列H中任職兩項(xiàng)與，40HF},對(duì)于?任意心正也3….N-I},在看中任取與％,%相第13頁共15頁異的hL項(xiàng)，并談