圓錐曲線間的三個(gè)統(tǒng)一(統(tǒng)一定義、統(tǒng)一公式、統(tǒng)一方程)

`圓錐曲線間的三個(gè)統(tǒng)一巴彥淖爾市奮斗中學(xué)0504班 高卓瑋指導(dǎo)老師：薛紅梅感謝閱讀世界之美在于和諧，圓錐曲線間也有其在的和諧與統(tǒng)一，通過對(duì)圓錐曲線謝謝閱讀圖形和已知公式的變換，我們可以得出以下結(jié)論。一、四種圓錐曲線的統(tǒng)一定義動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F的距離到定直線L的距離之比等于常數(shù)e，則當(dāng)0e1時(shí)，精品文檔放心下載動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是橢圓：當(dāng)e1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是拋物線；當(dāng)e1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P精品文檔放心下載的軌跡是雙曲線；若e0，我們規(guī)定直線L在無窮遠(yuǎn)處且P與F的距離為定值謝謝閱讀（非零），則此時(shí)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是圓，同時(shí)我們稱e為圓錐曲線的離心率，F(xiàn)為謝謝閱讀焦點(diǎn)，L為準(zhǔn)線。二、四種圓錐曲線的統(tǒng)一方程從第1點(diǎn)我們可以知道離心率影響著圓錐曲線的形狀。為了實(shí)現(xiàn)統(tǒng)一我們把橢圓、雙曲線進(jìn)行平移，使橢圓、雙曲線的右頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，記它們感謝閱讀的半通徑為p，則pba2。如圖1，將橢圓x2y21(ab0)按向量（a,0）平移a2b2精品文檔放心下載得到(xa)2y21∴y22b2b2x2a2axb2a2b2，b2∵橢圓的半通徑|FM|pa1e211a2∴橢圓的方程可寫成y22px(e21)x2(0e1)類似的，如圖2，將雙曲線x2y2a1(a0,b0)按向量(a,0)平移得到2b2(xa)2y2∴y2b2xb2x2a212aa2b2Word文檔`∵雙曲線的半通徑|FM|b2，b2ae2122a2∴雙曲線方程可寫成y22px(e21)x2(e1)對(duì)于拋物線y22px(x0)P為半通徑，離心率e1，它也可寫成y22px(e21)x2(e1)謝謝閱讀對(duì)于圓心在（P，0），半徑為P的圓，其方程為(xp)2y2p2，它也可謝謝閱讀寫成y22px(e21)x2 (e0)謝謝閱讀于是在同一坐標(biāo)下，四種圓錐曲線有統(tǒng)一的方程y22px(e21)x2，其感謝閱讀P是曲線的半通徑長(zhǎng)，當(dāng)e0，0e1，e1,e1時(shí)分別表示圓、橢圓、拋物線、雙曲線。感謝閱讀三、四種圓錐曲線的統(tǒng)一焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程和焦半徑公式精品文檔放心下載在同一坐標(biāo)系下，作出方程y22px(e21)x2所表示的四種圓錐曲線，如圖3，設(shè)P、B、A、C分別是圓的圓心，橢圓的左焦點(diǎn)、拋物線的焦點(diǎn)、雙曲線的右焦點(diǎn)統(tǒng)一記為y22px(e21)x2的焦點(diǎn)F感謝閱讀c2a2a(e21)P(e1)則有OCcaace1e1ppa2c2a(1e2)p(0e1)OA(e1)，OBace12e1ace1OPpp(e0)e1即方程y22px(e21)x2所表示的四種圓錐曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為F(p,0)，設(shè)焦點(diǎn)F相應(yīng)的準(zhǔn)線為xm，則有OFe。e1m∴準(zhǔn)線L為xmp，對(duì)于圓e0表示準(zhǔn)線L在無限遠(yuǎn)處，設(shè)點(diǎn)e(e1)Word文檔`M(x,y)為曲線y22px(e21)x2上在y軸右側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)M對(duì)焦點(diǎn)F的00焦半徑|mF|e(xm)exp。00e1圓錐曲線的在統(tǒng)一，使我們可以將圓、橢圓、雙曲線和拋物線有機(jī)地聯(lián)系感謝閱讀起來，從而更好地理解圓錐曲線的含義，更好地運(yùn)用圓錐曲線解決實(shí)際問題。精品文檔放心下載Word文檔`圓錐曲線中的數(shù)學(xué)思想方法巴彥淖爾市奮斗中學(xué)0504班 高卓瑋指導(dǎo)老師：薛紅梅精品文檔放心下載在解決圓錐曲線的有關(guān)問題時(shí)，數(shù)學(xué)思想方法尤為重要，通過對(duì)我們平時(shí)感謝閱讀所遇到的例題及習(xí)題的歸納、總結(jié)，可以得出以下一些關(guān)于圓錐曲線問題中的感謝閱讀數(shù)學(xué)思想方法，幫助我們解決問題。思想方法一：分類討論思想例1.給定拋物線y22x設(shè)A(a,0)(aR)，P是拋物線上的一點(diǎn)，且精品文檔放心下載|PA|d，試求d的最小值。解：設(shè)P(x,y)(x0)，則y22x感謝閱讀0 0 0 0∴d|PA| (xa)2y2 (xa)22x [x(1a)2]2a1感謝閱讀0 0 0 0 0aR，x00∴（1）當(dāng)0a1時(shí)，1a0，此時(shí)有x0感謝閱讀0(1a)22a1amin（2）當(dāng)a1時(shí)，此時(shí)有xa10dmin 2a1評(píng)注：引起分類討論的情況有：參數(shù)的取值圍、去絕對(duì)值符號(hào)、大小關(guān)系謝謝閱讀不等式等，在討論中要思維全面，謹(jǐn)慎，做到不懂不漏。思想方法二：轉(zhuǎn)化思想2已知過點(diǎn)A（―2，―4）且斜率為1的直線L交拋物線y22px(p0)感謝閱讀B、C兩點(diǎn)，若|AB|、|BC|、|CA|成等比數(shù)列，求拋物線方程。精品文檔放心下載解：直線L的方程為yx2設(shè)B（x,y），C(x,y)謝謝閱讀1 1 2 2yx2由得x22(2p)x40y22px∴xx2(2p)xx41212∵|AB|、|BC|、|CA|成等比數(shù)列Word文檔`|BC||CA||AB||BC|精品文檔放心下載過A作直線l∥x軸，設(shè)B、C在l上的射影分別是B，C謝謝閱讀則|BC||BC|xx|CA||CA|x221|BC|2x121∴xxx2即(xx)2(x2)(x2)212xx2x2112221∴(xx)24xxxx2(xx)412121212得4(2p)21644(2p)4化簡(jiǎn)為p23p40解得p1滿足1或p4（舍去）精品文檔放心下載故所求的拋物線方程為y22x評(píng)注：如何將“|AB|、|BC|、|CA|成等比數(shù)列”這一條件轉(zhuǎn)化為A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，本題巧妙運(yùn)用了“投影”方法將這一條件轉(zhuǎn)化為在水平線上的三線段之間的比例關(guān)系，從而達(dá)到轉(zhuǎn)化的目的。感謝閱讀思想方法三：化歸思想例3直線L：ykx1與雙曲線C：2x2y21的右支交于不同的兩點(diǎn)A、謝謝閱讀B。（1）數(shù)k的取值圍。（2）是否存在實(shí)數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點(diǎn)。精品文檔放心下載解：（1）將直線L的方程ykx1代入雙曲線C的方程2x2y21，得謝謝閱讀(k22)x22kx20 ①感謝閱讀依題意直線L與雙曲線C的右支交于不同兩點(diǎn)k220∴(2k)28(k22)02k22k20,0k22k22Word文檔`2）設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x,y)(x,y)謝謝閱讀1122則由①可得xx2k，xx2②122k212k22假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點(diǎn)F（c，0）則由FA⊥FB得(xc)(xc)yy01212整理得：(k21)xx(kc)(xx)c210③1212把②式及c6代入③式化簡(jiǎn)得：5k226k602∴k66或k66(2,2)（舍去）55k66使得以AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點(diǎn)F。感謝閱讀5評(píng)注：解決數(shù)學(xué)問題的過程，實(shí)質(zhì)就是在不斷轉(zhuǎn)化與化歸的過程。應(yīng)在解題時(shí)注意思維調(diào)控，恰當(dāng)轉(zhuǎn)化解題途徑，使解題更加便捷。感謝閱讀思想方法四：數(shù)形結(jié)合思想例4 函數(shù)y x43x26x13 x4x21的最大值是________。精品文檔放心下載分析：原式= (x3)2(x22)2 x2(x21)2，其幾何模型是定曲線謝謝閱讀x2上的動(dòng)點(diǎn)p(x,y)到兩定點(diǎn)A（3，2），B（0，1）的距離之差，要求其最大值。精品文檔放心下載y|AP||PB||AB| (30)2(21)2 10 ∴ymax 10精品文檔放心下載評(píng)注：利用問題模型的幾何意義，借助圖形性質(zhì)來解決問題，可使抽象問題具體化，復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化。感謝閱讀思想方法五：函數(shù)與方程思想例5斜率為2的直線與等軸雙曲線x2y212相交于兩點(diǎn)P,P，求線段謝謝閱讀1 2PP中點(diǎn)的軌跡方程。1 2Word文檔`解：設(shè)直線方程為y2xm代入雙曲線方程得3x24mxm2120感謝閱讀∵直線與雙曲線相交于P,P2(4m)243(m212)0感謝閱讀m6或m6設(shè)P,P的坐標(biāo)為(x,y)(x,y)，線段PP中點(diǎn)為(x,y)12112212xx23則x1223m且x4或x4∴m2x代入直線方程得：所求軌跡方程為y12x（x4或x4）謝謝閱讀思想方法六：構(gòu)造思想x2 y2例6已知x,y滿足 1，求y3x的取值圍。感謝閱讀解：令y3x=b，則y3xb感謝閱讀原問題轉(zhuǎn)化為：在橢圓x2y21相切時(shí)，有最大截距與最小截距1625精品文檔放心下載y3xby2消去y得169x296bx16x24000由x2116250得b13∴y3x的取值圍為[－13，13]評(píng)注：應(yīng)用構(gòu)造思想解題的關(guān)鍵有①要有明確方向，即為何構(gòu)造②要弄清條件的本質(zhì)特點(diǎn)，以便進(jìn)行邏輯組合。感謝閱讀思想方法七：對(duì)稱思想例7在直線L：xy90上任取一點(diǎn)M過M且以橢圓x2y21的焦點(diǎn)123精品文檔放心下載為焦點(diǎn)作橢圓。問M在何處時(shí)，所作的橢圓長(zhǎng)軸最短，并求出其方程。感謝閱讀解：∵x2y21的兩焦點(diǎn)F(3,0),F(3,0)，F(xiàn)是F關(guān)于L的對(duì)稱點(diǎn)1231211Word文檔`又FF的直線方程為xy30與xy90聯(lián)立，求得F(9,6)，這時(shí)謝謝閱讀111FF的方程為x2y3012x2y30得M(5,4)這時(shí)2a|FF|650xy912x2 y2∴橢圓方程為 1評(píng)注：用對(duì)稱思想解題，不僅可以利用對(duì)稱的性質(zhì)，溝通已知與未知的關(guān)系，使分散的條件相對(duì)集中，促成問題的解決。精品文檔放心下載思想方法八：參數(shù)思想例8在橢圓x24y24x上，求使zx2y2取得最大值和最小值的點(diǎn)P謝謝閱讀的坐標(biāo)。解：將已知方程轉(zhuǎn)化為(x2)2y21感謝閱讀4 1設(shè)橢圓上動(dòng)點(diǎn)P為(22cos,sin)精品文檔放心下載zx2y2=(22cos)2sin25cos28cos3