新教材人教b版數(shù)學(xué)必修誘導(dǎo)公式(二)

7.2.4

誘導(dǎo)公式(二)1.誘導(dǎo)公式⑤【思考】(1)角-α與角α的終邊有什么樣的位置關(guān)系?提示:角-α與角α的終邊關(guān)于y=x對(duì)稱.

(2)點(diǎn)P1(a,b)關(guān)于y=x對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是什么?提示:點(diǎn)P1(a,b)關(guān)于y=x對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是P2(b,a).2.誘導(dǎo)公式⑥【思考】如何由公式②、公式⑤推導(dǎo)公式⑥?提示:

3.誘導(dǎo)公式⑦【思考】如何推導(dǎo)公式⑦?提示:4.誘導(dǎo)公式⑧【思考】如何理解誘導(dǎo)公式⑤⑥⑦⑧?提示:(1)函數(shù)名稱:±α的正弦(余弦)函數(shù)值,分別轉(zhuǎn)化為α的余弦(正弦)函數(shù)值.(2)符號(hào):函數(shù)值前面加上一個(gè)把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào).(3)作用:利用誘導(dǎo)公式⑤⑥⑦⑧,可以實(shí)現(xiàn)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的相互轉(zhuǎn)化.(4)簡(jiǎn)記:“函數(shù)名改變,符號(hào)看象限”.【素養(yǎng)小測(cè)】

1.思維辨析(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)sin(90°+α)=-cosα. (

)(2)在△ABC中, (

)(3)sin=±cosα. (

)提示:(1)×.由誘導(dǎo)公式⑥知sin(90°+α)=cosα.(2)√.因?yàn)?/p>

由誘導(dǎo)公式⑤可知

(3)×.例如當(dāng)k=2時(shí),sin=sin(π-α)=sinα≠±cosα.2.sin95°+cos175°的值為(

)A.sin5°B.1C.0 D.2sin5°【解析】選C.sin95°=sin(90°+5°)=cos5°,cos175°=cos(180°-5°)=-cos5°,故sin95°+cos175°=cos5°-cos5°=0.3.若=(

)【解析】選D.因?yàn)?/p>

所以sinα=所以

4.若cos(π+α)=,則sin=________.

【解析】方法一:cos(π+α)=-cosα=,所以cosα=-,方法二:cos(π+α)=所以

所以

答案:-

類型一利用誘導(dǎo)公式求值【典例】1.已知cos31°=m,則sin239°tan149°的值是 (

)2.已知cos(π+α)=-,α為第一象限角,則cos的值為_(kāi)_______.

3.已知,則cos的值為_(kāi)_______.

【思維·引】1.239°=270°-31°,149°=180°-31°.2.利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)計(jì)算.3.【解析】1.選B.sin239°tan149°=sin(270°-31°)·tan(180°-31°)=-cos31°·(-tan31°)=sin31°2.因?yàn)閏os(π+α)=-cosα=-,所以cosα=,又α為第一象限角,則

答案:-3.答案:

【內(nèi)化·悟】對(duì)于含有參變量的已知角和未知角怎樣轉(zhuǎn)化?提示:通常把含有參變量的兩個(gè)式子進(jìn)行加減運(yùn)算,從而發(fā)現(xiàn)互補(bǔ)、互余關(guān)系.【類題·通】解決化簡(jiǎn)求值問(wèn)題的策略(1)首先要仔細(xì)觀察條件式與所求式之間的關(guān)系,發(fā)現(xiàn)它們的互補(bǔ)、互余關(guān)系.(2)可以將已知式進(jìn)行變形,向所求式轉(zhuǎn)化,或?qū)⑺笫竭M(jìn)行變形,向已知式轉(zhuǎn)化.提醒:常見(jiàn)的互余關(guān)系有:-α與+α,+α與

-α等;常見(jiàn)的互補(bǔ)關(guān)系有:+θ與-θ,+θ與-θ等.【習(xí)練·破】1.已知sin40°=a,則cos130°等于 (

)【解析】選B.cos130°=cos(90°+40°)=-sin40°=-a.2.已知sin(75°+α)=,則cos(15°-α)的值為 (

)【解析】選C.因?yàn)?75°+α)+(15°-α)=90°,所以cos(15°-α)=cos[90°-(75°+α)]=sin(75°+α)=.類型二利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)、證明【典例】求證=-tanα. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)【思維·引】等式左邊含有k·±α,k∈Z的形式的角,可以利用誘導(dǎo)公式直接對(duì)等式左邊進(jìn)行化簡(jiǎn),從而推得等式右邊.【證明】因?yàn)樽筮?所以原等式成立.【內(nèi)化·悟】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)的基本原則是什么?提示:(1)負(fù)化正、大化小、小化銳、銳求值.(2)對(duì)于k·±α,k∈Z的形式的角,記準(zhǔn):奇變偶不變,符號(hào)看象限.【類題·通】對(duì)于恒等式的證明,應(yīng)遵循化繁為簡(jiǎn)的原則,從左邊推導(dǎo)右邊或從右邊推導(dǎo)左邊,也可以左右歸一,變更論證的方法.常用定義法、弦化切、拆項(xiàng)拆角法、“1”的代換法、公式變形法等,要熟練掌握基本公式,善于從中選擇巧妙簡(jiǎn)捷的方法.【習(xí)練·破】證明:【證明】左邊=所以原式成立.【加練·固】化簡(jiǎn):【解析】原式=類型三誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用【典例】已知f(α)=世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)(1)化簡(jiǎn)f(α).(2)若f(α)=,求sinα+cosα的值.【思維·引】利用誘導(dǎo)公式對(duì)函數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn),再利用平方關(guān)系等三角函數(shù)知識(shí)解題.【解析】(1)f(α)=(2)若f(α)=,則sinα=,cos2α=1-sin2α=.當(dāng)α為第一象限角時(shí),cosα=,sinα+cosα=

當(dāng)α為第二象限角時(shí),cosα=-,sinα+cosα=【內(nèi)化·悟】對(duì)于復(fù)雜的、綜合性很強(qiáng)的三角函數(shù)化簡(jiǎn)計(jì)算、求值問(wèn)題怎樣解決?提示:運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn):求值的前提是熟記誘導(dǎo)公式,誘導(dǎo)公式可以概括為一句口訣:“奇變偶不變,符號(hào)看象限”;即把已知角統(tǒng)一寫成“k·±α,k∈Z”的形式,根據(jù)k的奇偶性選擇函數(shù)名進(jìn)行化簡(jiǎn),再綜合利用三角函數(shù)的定義,特殊角的三角函數(shù)等知識(shí)解決問(wèn)題.【類題·通】誘導(dǎo)公式綜合應(yīng)用要“三看”一看角:①化大為小;②看角與角間的聯(lián)系,可通過(guò)相加、相減分析兩角的關(guān)系.二看函數(shù)名稱:一般是弦切互化.三看式子結(jié)構(gòu):通過(guò)分析式子,選擇合適的方法,如分式可對(duì)分子分母同乘一個(gè)式子變形.【習(xí)練·破】已知(1)化簡(jiǎn)f(α).(2)若角A是△ABC的內(nèi)角,且f(A)=,求tanA-sinA的值.【解析】(1)f(α)=(2)因?yàn)閒(A)=cosA=,又A為△ABC的內(nèi)角,所以由平方關(guān)系,得sinA=所以tanA=所以tanA-sinA=【加練·固】已知sinθ,cosθ是關(guān)于x的方程x2-ax+a=0(a∈R)的兩個(gè)根.(1)求

的值.(2)求tan(