新教材高中數(shù)學(xué)第2章一元二次函數(shù)方程和不等式31一元二次不等式及其解法32一元二次不等式的應(yīng)用課件湘教版必修第一冊

2.3.1一元二次不等式及其解法2.3.2一元二次不等式的應(yīng)用第2章2021內(nèi)容索引0102課前篇自主預(yù)習(xí)課堂篇探究學(xué)習(xí)課標(biāo)闡釋1.經(jīng)歷從實際情境中抽象出一元二次不等式的過程,了解一元二次不等式的現(xiàn)實意義.(數(shù)學(xué)抽象)2.能夠借助二次函數(shù)求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集.(直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算)3.借助二次函數(shù)的圖象,了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系.(直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算)思維脈絡(luò)課前篇自主預(yù)習(xí)情境導(dǎo)入隨著城市人口的急劇增加和人們生活水平的不斷提高,車輛日益增多,很多城市需要通過修建立交橋和高架道路形成多層立體的布局,以提高車速和通過能力.城市環(huán)線和高速公路網(wǎng)的連接也必須通過大型互通式立交橋進行分流和引導(dǎo),保證交通的暢通.城市立交橋已成為現(xiàn)代化城市的重要標(biāo)志.為了保證安全,交通部門規(guī)定,在某地段立交橋運行汽車的車距d正比于速度v的平方與車身長的積,且車距不得小于半個車身長,假定車身長均為lm,當(dāng)車速為60km/h時,車距為1.44個車身長,那么在交通繁忙時,應(yīng)規(guī)定車速為多少,才使此處的車流量最大?知識梳理知識點一:一元二次不等式的概念一元二次不等式的概念及形式(1)概念:我們把只含有一個未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式,稱為一元二次不等式.(2)形式:①ax2+bx+c>0(a≠0);②ax2+bx+c≥0(a≠0);③ax2+bx+c<0(a≠0);④ax2+bx+c≤0(a≠0).(3)解集:一般地,使某個一元二次不等式成立的x的值叫作這個不等式的解,一元二次不等式的所有解組成的集合叫作這個一元二次不等式的解集.

解集用集合、區(qū)間表示

名師點析

1.一元二次不等式的二次項系數(shù)a有a>0或a<0兩種,注意a≠0.當(dāng)a<0時,我們通常將不等式兩邊同乘-1,化為二次項系數(shù)大于0的一元二次不等式,但要注意不等號要改變方向,這樣我們只需要研究二次項系數(shù)大于0的一元二次不等式.2.一元二次不等式一定為整式不等式,例如,x2+<0就不是一元二次不等式.3.理解一元二次不等式的定義時,還需了解下列概念.(1)如果兩個不等式的解集相同,那么這兩個不等式稱為同解不等式;(2)將一個不等式轉(zhuǎn)化為另一個與它解集相同的不等式稱為不等式的同解變形.微思考從未知數(shù)的個數(shù)以及未知數(shù)的最高次數(shù)看,不等式x2-2x-3>0,x2+5x≤0,-3x2-6x+1<0,4x2-1≥0等有什么共同特點?提示

它們只含有一個未知數(shù),且未知數(shù)的最高次數(shù)是2.微練習(xí)已知下列不等式:①ax2+2x+1>0;②x2-y>0;③-x2-3x<0;④

>0.其中是一元二次不等式的個數(shù)為(

)A.1

B.2C.3 D.4答案

A知識點二:一元二次不等式的解法

微思考(1)一元二次不等式ax2+bx+c>0恒成立的含義是什么,系數(shù)a,b,c之間有什么關(guān)系?(2)對任意的一元二次不等式,求解集的關(guān)鍵點有哪些?提示

(1)一元二次不等式ax2+bx+c>0恒成立的含義是指不等式的解集為(-∞,+∞),系數(shù)a,b,c之間的關(guān)系是a>0且Δ=b2-4ac<0.(2)①拋物線y=ax2+bx+c與x軸的位置情況,也就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情況;②拋物線y=ax2+bx+c的開口方向,也就是a的正負.微練習(xí)不等式x2-2x-3<0的解集為

.

答案

(-1,3)解析

方程x2-2x-3=0的解是x1=-1,x2=3.因為對應(yīng)函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線,所以原不等式的解集為(-1,3).課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一一元二次不等式的求解例1解下列不等式:(1)2x2-3x-2>0;(2)-3x2+6x-2>0;(3)x2-2x+2>0.分析先求出對應(yīng)一元二次方程的解,再結(jié)合對應(yīng)的二次函數(shù)的圖象寫出不等式的解集.(3)因為x2-2x+2=0的判別式Δ<0,所以方程x2-2x+2=0無解.又因為函數(shù)y=x2-2x+2的圖象是開口向上的拋物線,所以原不等式的解集為R.反思感悟

解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟(1)化標(biāo)準(zhǔn).通過對不等式的變形,使不等式的右側(cè)為0,使二次項系數(shù)為正.(2)判別式.對不等式的左側(cè)進行因式分解,若不能分解,則計算對應(yīng)方程的判別式.(3)求實根.求出相應(yīng)的一元二次方程的根或根據(jù)判別式說明方程無實根.(4)畫草圖.根據(jù)一元二次方程根的情況畫出對應(yīng)的二次函數(shù)的草圖.(5)寫解集.根據(jù)圖象寫出不等式的解集.變式訓(xùn)練1解下列不等式.(1)4x2-20x<-25;(2)(x-3)(x-7)<0;(3)-3x2+5x-4<0;(4)x(1-x)≥x(2x-3)+1.解

(1)不等式可化為4x2-20x+25<0,由于Δ=0,且對應(yīng)的二次函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線,所以不等式的解集是?.(2)由題意知不等式對應(yīng)方程的兩個根是3和7,且對應(yīng)的二次函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線,故不等式的解集是{x|3<x<7}.(3)不等式-3x2+5x-4<0可化為3x2-5x+4>0,由于判別式Δ=25-48=-23<0,函數(shù)y=3x2-5x+4的圖象開口向上,所以不等式的解集是R.探究二已知不等式的解集求參數(shù)值例2(2021江蘇宿遷期末)已知函數(shù)y=ax2+2bx-c(a>0)的圖象與x軸交于A(2,0),B(6,0)兩點,求不等式cx2+2bx-a<0的解集.解

因為函數(shù)y=ax2+2bx-c(a>0)的圖象與x軸交于A(2,0),B(6,0)兩點,所以2和6是方程ax2+2bx-c=0的兩個實數(shù)根,所以不等式cx2+2bx-a<0等價于-12ax2-8ax-a<0.又a>0,所以不等式化為12x2+8x+1>0,反思感悟

1.一元二次不等式的解集的端點就是對應(yīng)的一元二次方程的根,要充分利用這個關(guān)系解題.2.不等式解集的形式與二次項系數(shù)有直接的關(guān)系,對于關(guān)于x的一元二次不等式a(x-x1)(x-x2)>0(x1<x2),當(dāng)a>0時,其解集是{x|x<x1,或x>x2},當(dāng)a<0時,其解集是{x|x1<x<x2}.變式訓(xùn)練2(2021河南月考)關(guān)于x的不等式(ax-b)(x+3)<0的解集為(-∞,-3)∪(1,+∞),求關(guān)于x的不等式ax+b>0的解集.解

由題意可得a<0,且1,-3是方程(ax-b)(x+3)=0的兩根,∴x=1為方程ax-b=0的根,∴a=b,則不等式ax+b>0可化為x+1<0,即x<-1,∴不等式ax+b>0的解集為(-∞,-1).探究三一元二次不等式的實際應(yīng)用(1)求n的值;(2)要使剎車距離不超過12.6m,則行駛的最大速度是多少?分析(1)根據(jù)兩個剎車距離的范圍建立不等式組,并結(jié)合n∈N求得n的值;(2)由s≤12.6解出v的取值范圍,從而得到行駛的最大速度.解得-84≤v≤60.因為v≥0,所以0≤v≤60,即行駛的最大速度為60

km/h.反思感悟

用一元二次不等式解決實際問題的操作步驟(1)理解題意,搞清量與量之間的關(guān)系.(2)建立相應(yīng)的不等關(guān)系,把實際問題抽象為數(shù)學(xué)中的一元二次不等式問題.(3)解這個一元二次不等式,得到實際問題的解.延伸探究本例中,條件不變,若該型號的汽車在某一限速為80km/h的路段發(fā)生了交通事故,交警進行現(xiàn)場勘查,測得該車的剎車距離超過了25.65m,試問該車是否超速行駛?素養(yǎng)形成求不等式恒成立問題中參數(shù)取值范圍的常見方法1.利用一元二次方程根的判別式解一元二次不等式在R上的恒成立問題.設(shè)y=ax2+bx+c(a≠0),則當(dāng)未說明不等式為一元二次不等式時,有

2.分離自變量和參數(shù),利用等價轉(zhuǎn)化思想將原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.典例若關(guān)于x的不等式(m2-2m-3)x2-(m-3)x-1<0對于x∈R恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.解

當(dāng)m2-2m-3=0時,m=3或m=-1.若m=3,不等式化為-1<0,顯然對于x∈R恒成立,滿足題意;若m=-1,不等式化為4x-1<0,顯然不滿足對于x∈R恒成立.當(dāng)m2-2m-3≠0時,方法點睛不等式在某范圍內(nèi)恒成立問題設(shè)y=ax2+bx+c(a≠0).變式訓(xùn)練已知y=3x2+bx+c,不等式y(tǒng)>0的解集為{x|x<-2,或x>0}.(1)求函數(shù)的解析式;(2)若對于任意的-2≤x≤2,y+m≤3恒成立,求實數(shù)m的最大值.解

(1)易知-2和0是y=0的兩個根,∴y=3x2+6x.(2)y+m≤3即m≤-3x2-6x+3,而當(dāng)-2≤x≤2時,函數(shù)t=-3x2-6x+3的對稱軸為x=-1,開口向下,所以函數(shù)的最小值在x=2時取得,此時tmin=-21,∴m≤-21,實數(shù)m的最大值為-21.當(dāng)堂檢測1.(2021江蘇常州高一期末)不等式2x2-7x+3>0的解集為(

)答案

D2.(2021湖南懷化期末)關(guān)于x的不等式x2-ax+1>0的解集是R,則實數(shù)a的取值范圍為(

)A.(-∞,-2)∪(2,+∞)B.(-∞,-2]∪[2,+∞)C.(-2,2)D.[-2,2]答案

C解析

由已知可得不等式x2-ax+1>0在R上恒成立,則只需Δ=a2-4<0,解得-2<a<2,所以實數(shù)a的取值范圍為(-2,2).故選C.3.(多選題)(2021江蘇阜寧期末)已知不等式ax2+bx+c>0的解集為(-,2),則下列結(jié)論正確的是(

)A.a<0 B.c<0

C.a-b+c>0 D.a+b+c>0答案

AD4.(