第十一章-無窮級數(shù)名師優(yōu)質(zhì)課獲獎市賽課一等獎?wù)n件

無窮級數(shù)無窮級數(shù)無窮級數(shù)是研究函數(shù)工具表示函數(shù)研究性質(zhì)數(shù)值計算數(shù)項級數(shù)冪級數(shù)傅氏級數(shù)第十一章第1頁無窮級數(shù)從18世紀(jì)以來，無窮級數(shù)就被認(rèn)為是微積分一個不可缺乏部分，是高等數(shù)學(xué)主要內(nèi)容，同時也是有力數(shù)學(xué)工具，在表示函數(shù)、研究函數(shù)性質(zhì)等方面有巨大作用，在自然科學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用本章主要內(nèi)容包含常數(shù)項級數(shù)和兩類主要函數(shù)項級數(shù)——冪級數(shù)和三角級數(shù)，主要圍繞三個問題展開討論：①級數(shù)收斂性判定問題，②把已知函數(shù)表示成級數(shù)問題，③級數(shù)求和問題。第2頁重點級數(shù)斂散性，常數(shù)項級數(shù)審斂法，冪級數(shù)收斂域，函數(shù)冪級數(shù)展開式，函數(shù)Fourier展開式；難點常數(shù)項級數(shù)審斂法，函數(shù)展開成冪級數(shù)直接法和間接法，F(xiàn)ourier展開，級數(shù)求和；基本要求①掌握級數(shù)斂散性概念和性質(zhì)②掌握正項級數(shù)比較審斂法、檢比法、檢根法③掌握交織級數(shù)Leibniz審斂法第3頁④掌握絕對收斂和條件收斂概念⑤掌握冪級數(shù)及主要性質(zhì)，會求收斂半徑和收斂區(qū)間，會求簡單冪級數(shù)和函數(shù)⑥熟記五個基本初等函數(shù)Taylor級數(shù)展開式及其收斂半徑⑦掌握Fourier級數(shù)概念，會熟練地求出各種形式Fourier系數(shù)⑧掌握奇、偶函數(shù)Fourier級數(shù)特點及怎樣將函數(shù)展開成正弦級數(shù)或余弦級數(shù)第4頁常數(shù)項級數(shù)概念和性質(zhì)一、常數(shù)項級數(shù)概念

二、無窮級數(shù)基本性質(zhì)三、級數(shù)收斂必要條件第一節(jié)第5頁一、問題提出1.計算圓面積正六邊形面積正十二邊形面積正形面積第6頁引例3.(神秘康托爾塵集)把[0,1]區(qū)間三等分,舍棄中間開區(qū)間將剩下兩個子區(qū)間分別三等分,并舍棄在中間開區(qū)間,如此重復(fù)進(jìn)行這種“棄中”操作,問丟棄部分總長和剩下部分總長各是多少？丟棄各開區(qū)間長依次為故丟棄部分總長剩下部分總長剩下部分總長即使為0,但康托爾證實了其組員和實數(shù)“一樣多”,它們象塵埃一樣散落在[0,1]區(qū)間上,人們稱其為康托爾塵集.01(此式計算用到后面例1)第7頁二、級數(shù)概念1.級數(shù)定義:普通項(常數(shù)項)無窮級數(shù)級數(shù)部分和部分和數(shù)列第8頁2.級數(shù)收斂與發(fā)散:第9頁余項無窮級數(shù)收斂性舉例：Koch雪花.做法：先給定一個正三角形，然后在每條邊上對稱產(chǎn)生邊長為原邊長1/3小正三角形．如此類推在每條凸邊上都做類似操作，我們就得到了面積有限而周長無限圖形——“Koch雪花”．第10頁觀察雪花分形過程第一次分叉：依次類推第11頁第次分叉：周長為面積為第12頁于是有雪花面積存在極限（收斂）．結(jié)論：雪花周長是無界，而面積有界．第13頁解

收斂

發(fā)散第14頁

發(fā)散

發(fā)散

綜上第15頁解第16頁例3.

判別以下級數(shù)斂散性:解:(1)所以級數(shù)(1)發(fā)散;技巧:利用“拆項相消”求和第17頁(2)所以級數(shù)(2)收斂,其和為1.技巧:利用“拆項相消”求和第18頁

例3.判別級數(shù)斂散性.解:故原級數(shù)收斂,其和為第19頁二、無窮級數(shù)基本性質(zhì)性質(zhì)1.若級數(shù)收斂于S,則各項乘以常數(shù)c所得級數(shù)也收斂,證:令則這說明收斂,其和為cS.

說明:級數(shù)各項乘以非零常數(shù)后其斂散性不變.即其和為cS.第20頁性質(zhì)2.

設(shè)有兩個收斂級數(shù)則級數(shù)也收斂,其和為證:令則這說明級數(shù)也收斂,其和為第21頁說明:(2)若兩級數(shù)中一個收斂一個發(fā)散,則必發(fā)散.但若二級數(shù)都發(fā)散,不一定發(fā)散.比如,

(1)性質(zhì)2表明收斂級數(shù)可逐項相加或相減.(用反證法可證)第22頁性質(zhì)3.在級數(shù)前面加上或去掉有限項,不會影響級數(shù)斂散性.證:

將級數(shù)前k項去掉,部分和為數(shù)斂散性相同.當(dāng)級數(shù)收斂時,其和關(guān)系為類似可證前面加上有限項情況.極限情況相同,故新舊兩級所得新級數(shù)第23頁性質(zhì)4.

收斂級數(shù)加括弧后所成級數(shù)仍收斂于原級數(shù)和.證:設(shè)收斂級數(shù)若按某一規(guī)律加括弧,則新級數(shù)部分和序列為原級數(shù)部分和序列一個子序列,推論:若加括弧后級數(shù)發(fā)散,則原級數(shù)必發(fā)散.注意:收斂級數(shù)去括弧后所成級數(shù)不一定收斂.但發(fā)散.所以必有比如，用反證法可證比如第24頁三、級數(shù)收斂必要條件

設(shè)收斂級數(shù)則必有證:

可見:若級數(shù)普通項不趨于0,則級數(shù)必發(fā)散.比如,其普通項為不趨于0,所以這個級數(shù)發(fā)散.第25頁注意:并非級數(shù)收斂充分條件.比如,調(diào)和級數(shù)即使但此級數(shù)發(fā)散.實際上

,假設(shè)調(diào)和級數(shù)收斂于S,則但矛盾!所以假設(shè)不真.第26頁2項2項4項8項項由性質(zhì)4推論,調(diào)和級數(shù)發(fā)散.第27頁由定積分幾何意義這塊面積顯然大于定積分以1為底矩形面積把每一項看成是以為高就是圖中n個矩形面積之和即故調(diào)和級數(shù)發(fā)散調(diào)和級數(shù)部分和第28頁例4.判斷級數(shù)斂散性:解:考慮加括號后級數(shù)發(fā)散,從而原級數(shù)發(fā)