第十一章-無(wú)窮級(jí)數(shù)名師優(yōu)質(zhì)課獲獎(jiǎng)市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

無(wú)窮級(jí)數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù)是研究函數(shù)工具表示函數(shù)研究性質(zhì)數(shù)值計(jì)算數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)傅氏級(jí)數(shù)第十一章第1頁(yè)無(wú)窮級(jí)數(shù)從18世紀(jì)以來(lái)，無(wú)窮級(jí)數(shù)就被認(rèn)為是微積分一個(gè)不可缺乏部分，是高等數(shù)學(xué)主要內(nèi)容，同時(shí)也是有力數(shù)學(xué)工具，在表示函數(shù)、研究函數(shù)性質(zhì)等方面有巨大作用，在自然科學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用本章主要內(nèi)容包含常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和兩類主要函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)——冪級(jí)數(shù)和三角級(jí)數(shù)，主要圍繞三個(gè)問(wèn)題展開(kāi)討論：①級(jí)數(shù)收斂性判定問(wèn)題，②把已知函數(shù)表示成級(jí)數(shù)問(wèn)題，③級(jí)數(shù)求和問(wèn)題。第2頁(yè)重點(diǎn)級(jí)數(shù)斂散性，常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法，冪級(jí)數(shù)收斂域，函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，函數(shù)Fourier展開(kāi)式；難點(diǎn)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法，函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)直接法和間接法，F(xiàn)ourier展開(kāi)，級(jí)數(shù)求和；基本要求①掌握級(jí)數(shù)斂散性概念和性質(zhì)②掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較審斂法、檢比法、檢根法③掌握交織級(jí)數(shù)Leibniz審斂法第3頁(yè)④掌握絕對(duì)收斂和條件收斂概念⑤掌握冪級(jí)數(shù)及主要性質(zhì)，會(huì)求收斂半徑和收斂區(qū)間，會(huì)求簡(jiǎn)單冪級(jí)數(shù)和函數(shù)⑥熟記五個(gè)基本初等函數(shù)Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)式及其收斂半徑⑦掌握Fourier級(jí)數(shù)概念，會(huì)熟練地求出各種形式Fourier系數(shù)⑧掌握奇、偶函數(shù)Fourier級(jí)數(shù)特點(diǎn)及怎樣將函數(shù)展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)或余弦級(jí)數(shù)第4頁(yè)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)概念和性質(zhì)一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)概念

二、無(wú)窮級(jí)數(shù)基本性質(zhì)三、級(jí)數(shù)收斂必要條件第一節(jié)第5頁(yè)一、問(wèn)題提出1.計(jì)算圓面積正六邊形面積正十二邊形面積正形面積第6頁(yè)引例3.(神秘康托爾塵集)把[0,1]區(qū)間三等分,舍棄中間開(kāi)區(qū)間將剩下兩個(gè)子區(qū)間分別三等分,并舍棄在中間開(kāi)區(qū)間,如此重復(fù)進(jìn)行這種“棄中”操作,問(wèn)丟棄部分總長(zhǎng)和剩下部分總長(zhǎng)各是多少？丟棄各開(kāi)區(qū)間長(zhǎng)依次為故丟棄部分總長(zhǎng)剩下部分總長(zhǎng)剩下部分總長(zhǎng)即使為0,但康托爾證實(shí)了其組員和實(shí)數(shù)“一樣多”,它們象塵埃一樣散落在[0,1]區(qū)間上,人們稱其為康托爾塵集.01(此式計(jì)算用到后面例1)第7頁(yè)二、級(jí)數(shù)概念1.級(jí)數(shù)定義:普通項(xiàng)(常數(shù)項(xiàng))無(wú)窮級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)部分和部分和數(shù)列第8頁(yè)2.級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散:第9頁(yè)余項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂性舉例：Koch雪花.做法：先給定一個(gè)正三角形，然后在每條邊上對(duì)稱產(chǎn)生邊長(zhǎng)為原邊長(zhǎng)1/3小正三角形．如此類推在每條凸邊上都做類似操作，我們就得到了面積有限而周長(zhǎng)無(wú)限圖形——“Koch雪花”．第10頁(yè)觀察雪花分形過(guò)程第一次分叉：依次類推第11頁(yè)第次分叉：周長(zhǎng)為面積為第12頁(yè)于是有雪花面積存在極限（收斂）．結(jié)論：雪花周長(zhǎng)是無(wú)界，而面積有界．第13頁(yè)解

收斂

發(fā)散第14頁(yè)

發(fā)散

發(fā)散

綜上第15頁(yè)解第16頁(yè)例3.

判別以下級(jí)數(shù)斂散性:解:(1)所以級(jí)數(shù)(1)發(fā)散;技巧:利用“拆項(xiàng)相消”求和第17頁(yè)(2)所以級(jí)數(shù)(2)收斂,其和為1.技巧:利用“拆項(xiàng)相消”求和第18頁(yè)

例3.判別級(jí)數(shù)斂散性.解:故原級(jí)數(shù)收斂,其和為第19頁(yè)二、無(wú)窮級(jí)數(shù)基本性質(zhì)性質(zhì)1.若級(jí)數(shù)收斂于S,則各項(xiàng)乘以常數(shù)c所得級(jí)數(shù)也收斂,證:令則這說(shuō)明收斂,其和為cS.

說(shuō)明:級(jí)數(shù)各項(xiàng)乘以非零常數(shù)后其斂散性不變.即其和為cS.第20頁(yè)性質(zhì)2.

設(shè)有兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)也收斂,其和為證:令則這說(shuō)明級(jí)數(shù)也收斂,其和為第21頁(yè)說(shuō)明:(2)若兩級(jí)數(shù)中一個(gè)收斂一個(gè)發(fā)散,則必發(fā)散.但若二級(jí)數(shù)都發(fā)散,不一定發(fā)散.比如,

(1)性質(zhì)2表明收斂級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)相加或相減.(用反證法可證)第22頁(yè)性質(zhì)3.在級(jí)數(shù)前面加上或去掉有限項(xiàng),不會(huì)影響級(jí)數(shù)斂散性.證:

將級(jí)數(shù)前k項(xiàng)去掉,部分和為數(shù)斂散性相同.當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí),其和關(guān)系為類似可證前面加上有限項(xiàng)情況.極限情況相同,故新舊兩級(jí)所得新級(jí)數(shù)第23頁(yè)性質(zhì)4.

收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成級(jí)數(shù)仍收斂于原級(jí)數(shù)和.證:設(shè)收斂級(jí)數(shù)若按某一規(guī)律加括弧,則新級(jí)數(shù)部分和序列為原級(jí)數(shù)部分和序列一個(gè)子序列,推論:若加括弧后級(jí)數(shù)發(fā)散,則原級(jí)數(shù)必發(fā)散.注意:收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成級(jí)數(shù)不一定收斂.但發(fā)散.所以必有比如，用反證法可證比如第24頁(yè)三、級(jí)數(shù)收斂必要條件

設(shè)收斂級(jí)數(shù)則必有證:

可見(jiàn):若級(jí)數(shù)普通項(xiàng)不趨于0,則級(jí)數(shù)必發(fā)散.比如,其普通項(xiàng)為不趨于0,所以這個(gè)級(jí)數(shù)發(fā)散.第25頁(yè)注意:并非級(jí)數(shù)收斂充分條件.比如,調(diào)和級(jí)數(shù)即使但此級(jí)數(shù)發(fā)散.實(shí)際上

,假設(shè)調(diào)和級(jí)數(shù)收斂于S,則但矛盾!所以假設(shè)不真.第26頁(yè)2項(xiàng)2項(xiàng)4項(xiàng)8項(xiàng)項(xiàng)由性質(zhì)4推論,調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散.第27頁(yè)由定積分幾何意義這塊面積顯然大于定積分以1為底矩形面積把每一項(xiàng)看成是以為高就是圖中n個(gè)矩形面積之和即故調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散調(diào)和級(jí)數(shù)部分和第28頁(yè)例4.判斷級(jí)數(shù)斂散性:解:考慮加括號(hào)后級(jí)數(shù)發(fā)散,從而原級(jí)數(shù)發(fā)