微積分6省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

第六章定積分§6.1定積分概念和性質(zhì)§6.2微積分基本定理§6.3定積分換元積分法和分部積 分法§6.4定積分應(yīng)用§6.5反常積分初步習(xí)題課第1頁(yè)1§6.1定積分概念和性質(zhì)一、問(wèn)題提出二、定積分定義三、函數(shù)可積幾個(gè)定理四、定積分幾何意義五、定積分基本性質(zhì)六、小結(jié)思索題第2頁(yè)2abxyo實(shí)例1

（求曲邊梯形面積）

一、問(wèn)題提出第3頁(yè)3abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，分得越細(xì)，矩形總面積越靠近曲邊梯形面積．（四個(gè)小矩形）（九個(gè)小矩形）第4頁(yè)4曲邊梯形如圖所表示，(1)分割(2)近似代替（以直代曲）第5頁(yè)5曲邊梯形面積近似值為曲邊梯形面積為(3)求和(4)取極限第6頁(yè)6實(shí)例2

（求變速直線運(yùn)動(dòng)旅程）思緒：把整段時(shí)間分割成若干小段，每小段上把變速看成是勻速，求出各小段旅程再相加，便得到旅程近似值，最終經(jīng)過(guò)對(duì)時(shí)間無(wú)限細(xì)分過(guò)程求得旅程準(zhǔn)確值．第7頁(yè)7（1）分割部分旅程值某時(shí)刻速度（3）求和（4）取極限旅程準(zhǔn)確值(2)近似代替（以不變代變）第8頁(yè)8二、定積分定義定義6.1第9頁(yè)9被積函數(shù)被積表示式積分變量記為積分下限積分和積分上限第10頁(yè)10注：（1）與不定積分不一樣，定積分是個(gè)數(shù)。第11頁(yè)11第12頁(yè)12定理1（充分條件）定理2（充分條件）三、函數(shù)可積幾個(gè)定理定理3（必要條件）第13頁(yè)13曲邊梯形面積曲邊梯形面積負(fù)值四、定積分幾何意義第14頁(yè)14幾何意義：第15頁(yè)15解第16頁(yè)16第17頁(yè)17例2.利用定積分幾何意義，說(shuō)明以下等式：第18頁(yè)18第19頁(yè)19例3.將和式極限：表示成定積分.解原式第20頁(yè)20五、定積分基本性質(zhì)性質(zhì)6.1證第21頁(yè)21補(bǔ)充：不論相對(duì)位置怎樣,上式總成立.例若（定積分對(duì)于積分區(qū)間含有可加性）則性質(zhì)6.2第22頁(yè)22證命題性質(zhì)6.3第23頁(yè)23證第24頁(yè)24解解第25頁(yè)25證（此性質(zhì)可用于預(yù)計(jì)積分值大致范圍）性質(zhì)6.3推論：第26頁(yè)26解第27頁(yè)27解第28頁(yè)28第29頁(yè)29證性質(zhì)6.4第30頁(yè)30證由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)介值定理知性質(zhì)6.5（定積分中值定理）積分中值公式第31頁(yè)31使即積分中值公式幾何解釋：第32頁(yè)32證由積分中值定理知有第33頁(yè)33證第34頁(yè)34六、小結(jié)思索題１．定積分實(shí)質(zhì)：特殊和式極限．２．定積分思想和方法：分割化整為零求和積零為整取極限準(zhǔn)確值——定積分求近似以直（不變）代曲（變）取極限第35頁(yè)353．定積分性質(zhì)（注意單調(diào)性質(zhì)、絕對(duì)值不等式、估值性質(zhì)和積分中值定理應(yīng)用）4．經(jīng)典問(wèn)題（１）預(yù)計(jì)積分值（２）不計(jì)算定積分比較積分大?。?）積分中值定理常與介值定理和微分中值定理結(jié)合證實(shí)不等式和根問(wèn)題.第36頁(yè)36思索題第37頁(yè)37思索題答案1.由積分中值定理知有使第38頁(yè)38例第39頁(yè)39§6.2微積分基本定理一、問(wèn)題提出二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)三、牛頓—萊布尼茨公式四、小結(jié)思索題第40頁(yè)40變速直線運(yùn)動(dòng)中位置函數(shù)與速度函數(shù)聯(lián)絡(luò)變速直線運(yùn)動(dòng)中旅程為另首先這段旅程可表示為一、問(wèn)題提出第41頁(yè)41考查定積分記積分上限函數(shù)二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)積分上限變量，在上改變積分變量，在上改變（變上限積分）第42頁(yè)42積分上限函數(shù)性質(zhì)1：證第43頁(yè)43第44頁(yè)44證積分上限函數(shù)性質(zhì)2：第45頁(yè)45由積分中值定理得第46頁(yè)46注1：定理主要意義：（1）必定了連續(xù)函數(shù)原函數(shù)是存在.（2）初步揭示了積分學(xué)中定積分與原函數(shù)之間聯(lián)絡(luò).故定理6.2又稱原函數(shù)存在定理第47頁(yè)47推論6.3證第48頁(yè)48例1求解注2：求含有變限積分函數(shù)極限，若是型不定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則.第49頁(yè)49例2求解第50頁(yè)50例3求解第51頁(yè)51例4求解第52頁(yè)52證令第53頁(yè)53定理6.3（微積分基本定理）證三、牛頓—萊布尼茨公式第54頁(yè)54令令牛頓（Newton）—萊布尼茨(Leibniz)公式或微積分基本公式第55頁(yè)55微積分基本原理表明：注4求定積分問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)（求不定積分）問(wèn)題.第56頁(yè)56例6求

原式解例7求

解第57頁(yè)57例8設(shè)

,求.解第58頁(yè)58例9求

解第59頁(yè)59例10求

解由圖形可知第60頁(yè)60例11解第61頁(yè)613.微積分基本公式1.積分上限函數(shù)2.積分上限函數(shù)導(dǎo)數(shù)四、小結(jié)思索題牛頓－萊布尼茨公式溝通了微分學(xué)與積分學(xué)之間關(guān)系．（★）（★）4.掌握分段函數(shù)定積分計(jì)算第62頁(yè)62思索題第63頁(yè)63思索題答案第64頁(yè)64第65頁(yè)65§6.3定積分換元積分法

與分部積分法一、定積分換元積分法二、定積分分部積分法三、小結(jié)思索題第66頁(yè)66定理6.4一、定積分換元積分法第67頁(yè)67證第68頁(yè)68例1計(jì)算解（法1）令

（法2）原式第69頁(yè)69注1：應(yīng)用換元公式時(shí)應(yīng)注意:（1）（2）換元必?fù)Q限第70頁(yè)70例2計(jì)算解第71頁(yè)71例3計(jì)算解（法1）原式第72頁(yè)72（法2）令原式第73頁(yè)73例4計(jì)算解令原式第74頁(yè)74例5計(jì)算解原式＝第75頁(yè)75證第76頁(yè)76第77頁(yè)77奇函數(shù)例7計(jì)算解原式偶函數(shù)單位圓面積第78頁(yè)78例8第79頁(yè)79證（1）設(shè)第80頁(yè)80（2）設(shè)第81頁(yè)81第82頁(yè)82例10解第83頁(yè)83定積分分部積分公式證二、定積分分部積分法第84頁(yè)84例11

計(jì)算解第85頁(yè)85例12

計(jì)算解第86頁(yè)86例13

設(shè)求解第87頁(yè)87例14

求定積分解第88頁(yè)88當(dāng)n≥3時(shí)，用分部積分法建立遞推公式第89頁(yè)89第90頁(yè)90第91頁(yè)912.奇偶函數(shù)和周期函數(shù)定積分公式及1.定積分換元法（能用湊微分直接用）三、小結(jié)3.定積分分部積分公式（注意與不定積分分部積分法區(qū)分）第92頁(yè)92思索題第93頁(yè)93解第94頁(yè)94§6.4定積分應(yīng)用一、微元法二、平面圖形面積三、立體體積四、定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)簡(jiǎn)單應(yīng)用五、小結(jié)思索題第95頁(yè)95一、微元法第96頁(yè)96微元法普通步驟：此法通常叫做微元法（或元素法）．應(yīng)用方向：平面圖形面積；體積；平面曲線弧長(zhǎng)；功；水壓力；引力和平均值等．第97頁(yè)97二、平面圖形面積僅討論用定積分計(jì)算在直角坐標(biāo)系下平面圖形面積.第98頁(yè)98第99頁(yè)99解兩曲線交點(diǎn)面積微元選為積分變量第100頁(yè)100解兩曲線交點(diǎn)選為積分變量第101頁(yè)101解兩曲線交點(diǎn)選為積分變量第102頁(yè)102解由對(duì)稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積．第103頁(yè)103第104頁(yè)104

設(shè)空間某立體由一曲面和垂直于軸兩平面圍成.三、立體體積第105頁(yè)105解第106頁(yè)106xyo旋轉(zhuǎn)體體積為第107頁(yè)107第108頁(yè)108第109頁(yè)109解第110頁(yè)110解第111頁(yè)111第112頁(yè)112四、定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中簡(jiǎn)單應(yīng)用第113頁(yè)113解第114頁(yè)114第115頁(yè)115第116頁(yè)116解第117頁(yè)117第118頁(yè)118解第119頁(yè)119（注意恰當(dāng)選擇積分變量有利于簡(jiǎn)化積分運(yùn)算）三、小結(jié)微元法平面圖形面積立體體積定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)簡(jiǎn)單應(yīng)用第120頁(yè)120思索題第121頁(yè)121思索題解答xyo兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)第122頁(yè)122積分得所以所求曲線為第123頁(yè)123§6.5反常積分初步一、無(wú)窮限積分二、瑕積分三、函數(shù)與函數(shù)四、小結(jié)思索題第124頁(yè)124一、無(wú)窮限積分第125頁(yè)125第126頁(yè)126第127頁(yè)127例1

計(jì)算無(wú)窮限積分解第128頁(yè)128第129頁(yè)129第130頁(yè)130例2

計(jì)算無(wú)窮限積分解第131頁(yè)131證第132頁(yè)132證第133頁(yè)133第134頁(yè)134發(fā)散注第135頁(yè)135二、瑕積分第136頁(yè)136第137頁(yè)137第138頁(yè)138第139頁(yè)139例7

計(jì)算廣義積分解（法1）第140頁(yè)140第141頁(yè)141證第142頁(yè)142例9

計(jì)算瑕積分解瑕點(diǎn)第143頁(yè)143例10

計(jì)算瑕積分解（注：不能忽略內(nèi)部瑕點(diǎn)而看成普通定積分來(lái)求）第144頁(yè)144例11

計(jì)算瑕積分解原式第145頁(yè)145三、函數(shù)與函數(shù)第146頁(yè)146第147頁(yè)147解例12

計(jì)算第148頁(yè)148第149頁(yè)149瑕積分無(wú)窮限積分三、小結(jié)（注不能忽略內(nèi)部瑕點(diǎn)而看成普通定積分來(lái)求）第150頁(yè)150思索題1、積分瑕點(diǎn)是哪幾點(diǎn)？2、計(jì)算反常積分第151頁(yè)151思索題解答案1、積分可能瑕點(diǎn)是不是瑕點(diǎn),瑕點(diǎn)是第152頁(yè)152習(xí)題課基本內(nèi)容經(jīng)典例題第153頁(yè)153問(wèn)題1:曲邊梯形面積問(wèn)題2:變速直線運(yùn)動(dòng)旅程定積分應(yīng)用廣義積分定積分定積分性質(zhì)定積分計(jì)算法牛頓-萊布尼茨公式一、主要內(nèi)容換元和分部積分法第154頁(yè)154例1解二、經(jīng)典例題第155頁(yè)155例2解第156頁(yè)156例3解分析為去絕對(duì)值，必須討論t第157頁(yè)157例4解第158頁(yè)158例5解第159頁(yè)159例6證第160頁(yè)160第161頁(yè)161例7解第162頁(yè)162例8解第163頁(yè)163例