北京市朝陽區(qū)市級名校2023-2024學年高二上數(shù)學期末檢測模擬試題含解析

北京市朝陽區(qū)市級名校2023-2024學年高二上數(shù)學期末檢測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知數(shù)列滿足，則（）A. B.1C.2 D.42．雙曲線的離心率的取值范圍為，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.3．若雙曲線經(jīng)過點，且它的兩條漸近線方程是，則雙曲線的離心率是（）A. B.C. D.104．設正方體的棱長為，則點到平面的距離是（）A. B.C. D.5．在等比數(shù)列{}中，，，則=（）A.9 B.12C.±9 D.±126．中國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“今有俸糧三百零五石，令五等官（正一品、從一品、正二品、從二品、正三品）依品遞差十三石分之，問，各若干？”其大意是，現(xiàn)有俸糧石，分給正一品、從一品、正二品、從二品、正三品這位官員，依照品級遞減石分這些俸糧，問，每個人各分得多少俸糧？在這個問題中，正三品分得俸糧是（）A.石 B.石C.石 D.石7．如圖，在棱長為1的正方體中，點B到直線的距離為（）A. B.C. D.8．已知，，直線：，：，且，則的最小值為（）A.2 B.4C.8 D.99．中秋節(jié)吃月餅是我國的傳統(tǒng)習俗，若一盤中共有兩種月餅，其中5塊五仁月餅、6塊棗泥月餅，現(xiàn)從盤中任取3塊，在取到的都是同種月餅的條件下，都是五仁月餅的概率是（）A B.C. D.10．如圖，某圓錐的軸截面是等邊三角形，點是底面圓周上的一點，且，點是的中點，則異面直線與所成角的余弦值是（）A. B.C. D.11．已知O為坐標原點，，點P是上一點，則當取得最小值時，點P的坐標為（）A. B.C. D.12．已知實數(shù)a，b，c，若a＞b，則下列不等式成立的是（）A B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知滿足的雙曲線（a，b＞0，c為半焦距）為黃金雙曲線，則黃金雙曲線的離心率為______14．某商場對華為手機近28天的日銷售情況進行統(tǒng)計，得到如下數(shù)據(jù)，t36811ym357利用最小二乘法得到日銷售量y（百部）與時間t（天）的線性回歸方程為，則表格中的數(shù)據(jù)___________.15．與雙曲線有共同的漸近線，并且經(jīng)過點的雙曲線方程是______16．如圖所示，二面角為，是棱上的兩點，分別在半平面內(nèi)，且，，，，，則的長______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率為，圓：過橢圓的三個頂點，過點的直線（斜率存在且不為0）與橢圓交于兩點（1）求橢圓的標準方程（2）證明：在軸上存在定點，使得為定值，并求出定點的坐標18．（12分）已知數(shù)列的前n項和為，，，其中.（1）記，求證：是等比數(shù)列；（2）設，數(shù)列的前n項和為，求證：.19．（12分）已知，2，4，6中的三個數(shù)為等差數(shù)列的前三項，且100不在數(shù)列中，102在數(shù)列中.（1）求數(shù)列的通項；（2）設，求數(shù)列的前項和.20．（12分）已知函數(shù)，.（1）令，求函數(shù)的零點；（2）令，求函數(shù)的最小值.21．（12分）已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有且僅有2個零點，求實數(shù)的值.22．（10分）已知橢圓的左、右焦點分別為，，離心率為，過左焦點的直線l與橢圓C交于A，B兩點，的周長為8（1）求橢圓C的標準方程；（2）如圖，，是橢圓C的短軸端點，P是橢圓C上異于點，的動點，點Q滿足，，求證與的面積之比為定值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)遞推式以及迭代即可.【詳解】由，得，，，，，，.故選：B2、C【解析】分析可知，利用雙曲線的離心率公式可得出關于的不等式，即可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意有，，則，解得：故選：C.3、A【解析】由已知設雙曲線方程為：，代入求得，計算即可得出離心率.【詳解】雙曲線經(jīng)過點，且它的兩條漸近線方程是，設雙曲線方程為：，代入得：，.所以雙曲線方程為：..雙曲線C的離心率為故選：A4、D【解析】建立空間直角坐標系，根據(jù)空間向量所學點到面的距離公式求解即可.【詳解】建立如下圖所示空間直角坐標系，以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸.因為正方體的邊長為4，所以，，，，，所以，，，設平面的法向量，所以，，即，設，所以，，即，設點到平面的距離為，所以，故選：D.5、D【解析】根據(jù)題意，設等比數(shù)列的公比為，由等比數(shù)列的性質求出，再求出【詳解】根據(jù)題意，設等比數(shù)列的公比為，若，，則，變形可得，則，故選：6、D【解析】令位官員(正一品、從一品、正二品、從二品、正三品)所分得的俸糧數(shù)是公差為數(shù)列，利用等差數(shù)列的前n項和求，進而求出正三品即可.【詳解】正一品、從一品、正二品、從二品、正三品這位官員所分得的俸糧數(shù)記為數(shù)列，由題意，是以為公差的等差數(shù)列，且，解得.故正三品分得俸糧數(shù)量為（石）.故選：D.7、A【解析】以為坐標原點，以為單位正交基底，建立空間直角坐標系，取，，利用向量法，根據(jù)公式即可求出答案.【詳解】以為坐標原點，以為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，取，，則，，則點B到直線AC1的距離為.故選：A8、C【解析】由，可求得，再由，利用基本不等式求出最小值即可.【詳解】因為，所以，即，因為，，所以，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為8.故選：C.【點睛】本題考查垂直直線的性質，考查利用基本不等式求最值，考查學生的計算求解能力，屬于中檔題.9、C【解析】分別求出取到3塊月餅都是同種月餅和取到3塊月餅都是五仁月餅的種數(shù)，再根據(jù)概率公式即可得解.【詳解】解：由題意可得，取到3塊月餅都是同種月餅有種情況，取到3塊月餅都是五仁月餅有種情況，所以在取到的都是同種月餅的條件下，都是五仁月餅的概率是.故選：C.10、C【解析】建立空間直角坐標系，分別得到，然后根據(jù)空間向量夾角公式計算即可.【詳解】以過點且垂直于平面的直線為軸，直線，分別為軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.不妨設，則根據(jù)題意可得，，，，所以，，設異面直線與所成角為，則.故選：C.11、A【解析】根據(jù)三點共線，可得，然后利用向量的減法坐標運算，分別求得，最后計算，經(jīng)過化簡觀察，可得結果.【詳解】設，則則∴當時，取最小值為-10，此時點P的坐標為.故選：A【點睛】本題主要考查向量數(shù)量積的坐標運算，難點在于三點共線，審清題干，簡單計算，屬基礎題.12、C【解析】根據(jù)不等式的性質逐一分析即可得出答案.【詳解】解：對于A，因為a＞b，若，則，故A錯誤；對于B，若，則，故B錯誤；對于C，若a＞b，又，所以，故C正確；對于D，當時，，故D錯誤.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】根據(jù)題設及雙曲線離心率公式可得，結合雙曲線離心率的性質即可求離心率.【詳解】由題設，，整理得：，所以，而，故.故答案為：.14、1【解析】根據(jù)已知條件，求出，的平均值，再結合線性回歸方程過樣本中心，即可求解【詳解】解：由表中數(shù)據(jù)可得，，，線性回歸方程為，，解得故答案為：115、【解析】設雙曲線的方程為，將點代入方程可求的值，從而可得結果【詳解】設與雙曲線有共同的漸近線的雙曲線的方程為，該雙曲線經(jīng)過點，所求的雙曲線方程為：，整理得故答案為【點睛】本題考查雙曲線的方程與簡單性質，意在考查靈活應用所學知識解答問題的能力，屬于中檔題．與共漸近線的雙曲線方程可設為，只需根據(jù)已知條件求出即可.16、【解析】推導出，從而，結合，，，能求出的長【詳解】二面角為，是棱上的兩點，分別在半平面、內(nèi)，且所以,所以，，，的長故答案為【點睛】本題主要考查空間向量的運算法則以及數(shù)量積的運算法則，意在考查靈活應用所學知識解答問題的能力，是中檔題三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）見解析，定點【解析】（1）先判斷圓經(jīng)過橢圓的上、下頂點和右頂點，令圓方程中的，得，即．再由求即可.（2）設在軸上存在定點，使得為定值，根據(jù)題意，設直線的方程為，聯(lián)立可得，再運算將韋達定理代入化簡有與k無關即可.【詳解】（1）由圓方程中的時，的兩根不為相反數(shù)，故可設圓經(jīng)過橢圓的上、下頂點和右頂點，令圓方程中的，得，即有又，解得∴橢圓的標準方程為（2）證明：設在軸上存在定點，使得為定值，由（1）可得，設直線的方程為，聯(lián)立可得，設，則，，要使為定值，只需，解得∴在軸上存在定點，使得為定值，定點的坐標為【點睛】本題主要考查橢圓的幾何性質和直線與橢圓的位置關系，還考查了數(shù)形結合的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.18、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）應用的關系，結合構造法可得，根據(jù)已知條件及等比數(shù)列的定義即可證結論.（2）由（1）得，再應用錯位相減法求，即可證結論.【小問1詳解】證明：對任意的，，，時，，解得，時，因為，，兩式相減可得：，即有，∴，又，則，因為，，所以，對任意的，，所以，因此，是首項和公比均為3的等比數(shù)列【小問2詳解】由（1）得：，則，，，兩式相減得：，化簡可得：，又，∴.19、（1）（2）【解析】（1）確定數(shù)列為遞增數(shù)列，然后由4個數(shù)確定等差數(shù)列，得通項公式，驗證100和102是否為數(shù)列中的項得結論；（2）由裂項相消法求和【小問1詳解】首先數(shù)列是遞增數(shù)列，當2，4，6為的前三項時，易知此時，100，102都是該數(shù)列中的項，不滿足題意當，2，6為的前三項時，易知此時，100不是該數(shù)列中的項，102是該數(shù)列中的項，滿足題意所以【小問2詳解】因為所以所以.20、（1）答案見解析（2）答案見解析【解析】（1）函數(shù)零點的個數(shù)，就是方程的解的個數(shù)，顯然是方程的一個解，再對a分類討論，即得函數(shù)的零點；（2）令，可得，得，再對二次函數(shù)的對稱軸分三種情況討論得解.【詳解】（1）由，可知函數(shù)零點的個數(shù)，就是方程的解的個數(shù)，顯然是方程的一個解；當時,方程可化為，得，由函數(shù)單調(diào)遞增，且值域為，有下列幾種情況如下:①當時，方程沒有根，可得函數(shù)只有一個零點；②當時，方程的根為，可得函數(shù)只有一個零點；③當且時，方程的根為，由，可得函數(shù)有兩個零點和；由上知，當或時，函數(shù)的零點為；當且時，數(shù)的零點為和.（2）令，可得，由，，可得，二次函數(shù)的對稱軸為，①當時，即，此時函數(shù)的最小值為；②當時，即，此時函數(shù)的最小值為；③當，即，此時函數(shù)最小值為.【點睛】本題主要考查函數(shù)的零點問題，考查指數(shù)對數(shù)函數(shù)的圖象，考查函數(shù)的最值問題，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.21、（1）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，（2）【解析】（1）利用導數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間.（2）利用導數(shù)研究的單調(diào)性、極值，從而求得的值.【小問1詳解】由，得，令，得或；令，得.∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，.【小問2詳解】∵，∴.當時，；當時，∴的單調(diào)遞減區(qū)間為，；單調(diào)遞增區(qū)間為.∴的極小值為，極大值為.當時，；當時，.又∵函數(shù)有且僅有2個零點，∴實數(shù)的值為.22、（1）（2）證明見解析【解析】（1）根據(jù)周長為8，求得a，再根據(jù)離心率求解；（2）方法一：設，，得到直線和直線的方程，聯(lián)立求得Q的橫坐標，根據(jù)在橢圓上，得到，然后代入Q的橫坐標求解；方法二：設直線，的斜率分別為k，，點，，直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)