基于能量變分法的薄壁箱梁剪力滯效應(yīng)分析

基于能量變分法的薄壁箱梁剪力滯效應(yīng)分析

1鋼的撓度分析近年來，箱梁的剪切力和柔軟度引起了人們的廣泛關(guān)注，相關(guān)文獻(xiàn)豐富。然而,這些文獻(xiàn)主要側(cè)重于研究箱梁的應(yīng)力分析,相比之下,對箱梁撓度的研究則較少。從箱梁的使用極限狀態(tài)考慮,研究剪力滯效應(yīng)對撓度的影響,在一定程度上更具有現(xiàn)實意義。箱梁的剪力滯效應(yīng)使翼緣板的面內(nèi)剛度降低,從而必然導(dǎo)致?lián)隙仍龃?。文獻(xiàn)應(yīng)用能量變分法建立箱梁的剪力滯微分方程,推導(dǎo)了考慮剪力滯效應(yīng)影響時箱梁的撓度公式。文獻(xiàn)用有限梁段法分析剪力滯效應(yīng)對箱形梁撓度和應(yīng)力的影響,與文獻(xiàn)中的梁段單元相比較,文獻(xiàn)[4,5]在單元的節(jié)點位移向量中增加了剪力滯廣義位移的一階導(dǎo)數(shù)。文獻(xiàn)考慮剪力滯效應(yīng)及混凝土收縮徐變影響,分析預(yù)應(yīng)力混凝土簡支箱梁的長期撓度。文獻(xiàn)分析剪力滯效應(yīng)對施工過程中發(fā)生體系轉(zhuǎn)換的混凝土連續(xù)箱梁撓度的影響。文獻(xiàn)借助有限元軟件MARC中的殼單元,分析剪力滯效應(yīng)對簡支箱梁跨中撓度的影響,其中還考慮到荷載的各種施加方式對計算結(jié)果的影響。為了提高計算精度,還可以考慮采用更為有效的三維單元。值得注意的是,上述文獻(xiàn)的研究對象均為單室箱梁。此外,文獻(xiàn)選取的剪力滯翹曲位移函數(shù)存在缺陷。因為,相應(yīng)的剪力滯翹曲應(yīng)力在橫截面上無法滿足軸力自平衡條件。本文在合理選取雙室箱梁剪力滯翹曲位移函數(shù)的基礎(chǔ)上,推導(dǎo)簡支箱梁和懸臂箱梁的撓度公式和梁段單元剛度矩陣。結(jié)合數(shù)值算例,具體分析剪力滯效應(yīng)對簡支、懸臂及連續(xù)箱梁的撓度提高程度。2剪力滯翹曲式如圖1所示箱梁發(fā)生豎向撓曲時,橫截面上任一點的縱向位移u(x,y,z)表達(dá)式為式中w(z)為撓度,ζ(z)為剪力滯廣義位移,ωζ(x,y)為橫截面上預(yù)先選定的剪力滯翹曲位移函數(shù)。箱梁頂板和底板的ωζ(x,y)可設(shè)為式中ω0為一常數(shù),可由箱梁橫截面上軸力為零的條件確定,b2為單室寬度,ζ為板件位置修正系數(shù),對頂板為1,對底板則為箱梁橫截面形心至底板與頂板的距離之比,即ζ=yx/ys。懸臂板的ωζ(x,y)可設(shè)為式中b1為懸臂板寬度,ξ為板寬修正系數(shù),即ξ=b12/b22。引入相應(yīng)于剪力滯變形的三個幾何特性Iζ、Iyζ和Aζ,分別稱為剪力滯翹曲慣性矩、慣性積及面積,即寫出箱梁總勢能Π,其一階變分表達(dá)式為式中Ix為橫截面繞形心軸x的慣性矩,M為彎矩。根據(jù)最小勢能原理的駐值條件,δΠ=0,由式(4)可得控制微分方程及變分所要求的邊界條件,經(jīng)整理后,可得式中Q為剪力,λ為翹曲慣性積Iyζ與慣性矩Ix之比,即λ=Iyζ/Ix,k和k0為Reissner參數(shù),即3剪力滯效應(yīng)引起的撓度再由微分方程(6),即可求得簡支箱梁在集中荷載作用下的撓曲線方程為由式(10,11)可知,撓度由兩部分組成,第一部分為材料力學(xué)中按初等梁求得的撓度,第二部分為剪力滯效應(yīng)引起的撓度增大部分。同理,可得簡支箱梁在滿跨均布荷載q作用下的撓曲線方程為懸臂箱梁(左端自由,右端固定)在均布荷載q作用下的撓曲線方程為為節(jié)省篇幅,集中荷載作用下懸臂箱梁的撓曲線方程不再列出。4單元剛度矩陣推導(dǎo)對于變截面連續(xù)箱梁等復(fù)雜結(jié)構(gòu),可用有限梁段法分析剪力滯效應(yīng)對撓度的影響。由式(4)可知,相應(yīng)于ζ的廣義力(剪滯力矩)為兩節(jié)點箱梁單元的節(jié)點位移如圖3所示,圖3中θi和θj為單元兩端的撓曲轉(zhuǎn)角。單元節(jié)點位移和節(jié)點力列向量分別表示為選取箱梁控制微分方程的齊次解作為單元位移函數(shù),則不難導(dǎo)出其單元剛度矩陣,各上三角元素:式中α1=GAζ/β2,α2=2EIx,α3=α1β1,α4=2EIyζ,γ1=γ2=β2+2β3l2,γ3=2β2+3β3l2,γ4=β2-β3l2,γ5=2β2-3β3l2,γ6=2β2+β3l2,φ1=-α3l2+2α4β1,φ2=α3l2+2α4β1,Ψ1=2α3β1-α4β2γ4,Ψ2=2α3β1-α4β2γ2,η1=γ1c+β2,η2=β2c+γ1,Δ=γ6l2s-4β1lt,s=shkl,c=chkl,t=chkl-1。單元的等效節(jié)點力亦不難得到。5模型梁計算結(jié)果為了驗證本文方法和撓度公式的正確性,對文獻(xiàn)中的有機(jī)玻璃箱梁模型進(jìn)行計算。該模型為一簡支單室矩形箱梁,計算跨度為0.8m,懸臂板凈寬為72mm,截面全寬為0.3m,截面總高為60mm,頂和底板厚度均為4mm,腹板厚度為6mm。材料彈性模量E=2845MPa,泊松比μ=0.4。箱梁跨中截面腹板頂部作用集中荷載,其總值為P=1.625kN。用本文公式和ANSYS通用有限元軟件的殼單元SHELL63對箱梁模型的撓度進(jìn)行計算,跨中撓度計算值和文獻(xiàn)提供的實測值一并列入表1。由表1可知,按本文求得的撓度與實測值和ANSYS殼單元結(jié)果均較為接近。該模型梁計算結(jié)果表明:本文的撓度公式是正確的,按初等梁計算的撓度明顯偏小;考慮剪力滯效應(yīng)的影響,對初等梁計算結(jié)果進(jìn)行修正很有必要。6懸臂箱梁受均布荷載作用為了具體分析剪力滯效應(yīng)對簡支和懸臂箱梁的撓度提高程度,以文獻(xiàn)中給出的有機(jī)玻璃箱梁模型為例進(jìn)行計算。該模型為一簡支箱梁,計算跨度為0.8m,截面尺寸如圖4所示。材料彈性模量E=3000MPa,剪切模量G=1083MPa。對懸臂箱梁,也取相同的跨度和橫截面進(jìn)行計算。簡支箱梁和懸臂箱梁分別在集中荷載和均布荷載作用下,按初等梁理論和按本文考慮剪力滯效應(yīng)的方法求得的撓度結(jié)果列入表2。由表2可知,無論在集中荷載還是均布荷載作用下,剪力滯效應(yīng)對簡支箱梁撓度的提高比對懸臂箱梁撓度的提高要大得多。對簡支箱梁,無論在均布荷載還是跨中集中荷載作用下,剪力滯效應(yīng)對跨中撓度的提高程度都超過了10%,集中荷載作用下的撓度提高程度更大,達(dá)到11.7%。對懸臂箱梁,無論在均布荷載還是懸臂端集中荷載作用下,剪力滯效應(yīng)對懸臂端撓度的提高程度均未超過4%,集中荷載作用下的撓度提高更小,僅為3.1%。這就是說,計算懸臂箱梁的懸臂端撓度時,可以近似忽略剪力滯效應(yīng)對撓度的提高。箱梁的跨寬比l/B(B為箱室寬度)是影響剪力滯效應(yīng)的主要因素。相應(yīng)于不同跨寬比時,簡支箱梁的跨中撓度和懸臂箱梁的懸臂端撓度的提高系數(shù)(考慮剪力滯效應(yīng)求得的撓度與按初等梁理論求得的撓度之比)變化曲線,如圖5和圖6所示。從圖5和圖6可以看出,隨著跨寬比的增大,撓度提高系數(shù)明顯減小;當(dāng)簡支箱梁的跨寬比約為4.0時,撓度提高系數(shù)約為1.11,當(dāng)跨寬比大于6.0時,提高系數(shù)小于1.05;當(dāng)懸臂箱梁的跨寬比大于3.5時,撓度提高系數(shù)近似在1.05以下。大量計算結(jié)果表明,對常規(guī)構(gòu)造尺寸的簡支箱梁,當(dāng)跨寬比約為4.0~6.0時,剪力滯效應(yīng)對跨中撓度的提高程度一般都在5%~11%。因此,在工程實用計算中,為了近似考慮剪力滯效應(yīng)對簡支箱梁跨中撓度的提高,將按初等梁計算的撓度乘以提高系數(shù)1.05~1.11。京杭運河邳州高架橋PZQ-Ⅰ施工標(biāo)段的一座預(yù)應(yīng)力混凝土三跨變截面連續(xù)箱梁的跨度布置為33m+48m+33m,采用懸臂澆注法施工。中墩處梁高為2.6m,主跨跨中梁高為1.5m,梁高按二次拋物線變化。箱梁采用C50混凝土,跨度布置及橫截面尺寸如圖7所示。按本文有限梁段法分別計算了豎向均布荷載和每跨跨中集中荷載作用下,該連續(xù)箱梁的撓度分布。圖8給出了均布荷載q=10kN/m作用下考慮和不考慮剪力滯效應(yīng)時箱梁的撓度曲線(由于對稱,圖8只給出了左半部梁體的撓度曲線,軸向坐標(biāo)z的原點位于左端支點處,下同),圖9給出了集中荷載P=10kN作用于每跨跨中時的撓度曲線。從圖8和圖9可以看出,該三跨連續(xù)箱梁受均布荷載作用時,剪力滯效應(yīng)對撓度的影響程度相對稍小,主跨跨中截面的撓度增大系數(shù)為1.08;而集中荷載作用時,剪力滯效應(yīng)對撓度有顯著影響,主跨跨中截面的撓度增大系數(shù)達(dá)到1.14。值得指出的是,對于混凝土薄壁箱梁,由于開裂還會導(dǎo)致梁體剛度的進(jìn)一步退化,因此,撓度提高系數(shù)將會更大。除了剪力滯效應(yīng)引起的頂、底板的面內(nèi)剪切變形以外,腹板平面內(nèi)的剪切變形對梁體撓度的影響也是不容忽視的,特別是在腹板斜裂縫發(fā)生并發(fā)展之后,這方面還需深入研究。7剪力滯效應(yīng)對懸架撓度的影響(1)從剪力滯翹曲應(yīng)力的軸向平衡出發(fā),構(gòu)造了雙室箱梁的翹曲位移函數(shù),用能量變分法建立了薄壁箱梁剪力滯效應(yīng)分析的控制微分方程。通過求解控制微分方程,導(dǎo)出了簡支箱梁和懸臂箱梁考慮剪力滯效應(yīng)后的撓曲線方程及梁段單元剛度矩陣。模型試驗和ANSYS計算結(jié)果驗證了本文方法和公式的正確性。(2)與材料力學(xué)中給出的撓曲線方程相比,考慮剪力滯效應(yīng)后的撓曲線方程增加了一項,亦即剪力滯效應(yīng)對撓度的提高部分。該提高部分隨箱梁跨寬比和繞水平形心軸抗彎慣性矩的增大而減小,隨剪力滯翹曲慣性積的增大而增大。(3)無論在均布荷載還是集中荷載作用下,當(dāng)跨寬比約為4.0~6.0時,剪力滯效應(yīng)對簡支箱梁跨中撓度的提高程度一般都在5%~11%,對懸臂箱梁懸臂端撓度的提高程度在4%以下。因此,當(dāng)計算跨寬比較小的簡支箱梁的撓度時,必須考慮剪力滯效應(yīng)的影響,而剪力滯效應(yīng)對懸臂箱梁撓度的影響則通?？梢院雎圆挥?。(4)工程實踐中,對于跨寬比約為4.0~6.0的簡支箱梁。為了考慮剪力滯效應(yīng)對跨中撓度的