四年級(jí)奧數(shù)正式教材學(xué)生用

目錄TOC\o"1-3"\h\u7655目錄 -1-21073〔一〕找規(guī)律 -2-19954① 數(shù)列中的規(guī)律 -2-4837② 圖形中的規(guī)律 -3-21818〔二〕數(shù)字謎 -6-28836① 橫式字謎 -6-30039②豎式字謎 -9-10198〔三〕定義新運(yùn)算 -12-15937〔四〕雞兔同籠 -14-25147〔五〕行程問(wèn)題 -16-11728① 追擊及遇問(wèn)題 -17-7414② 火車過(guò)橋 -19-12420〔六〕植樹(shù)問(wèn)題 -21-3790〔七〕有趣的數(shù)陣圖 -24-13631〔八〕有趣的數(shù)陣圖練習(xí) -27-6509〔九〕枚舉法 -29-21524〔十〕邏輯推理 -32-25978〔十一〕抽屜原理 -34-18530〔十二〕倒推法的妙用 -36-2257〔十三〕火柴棍游戲 -39-16578① 擺圖形游戲 -39-20255②移動(dòng)火柴，變換圖形游戲 -40-23463③ 去掉火柴，變換圖形游戲 -41-16551〔十四〕巧求面積習(xí)題 -42-7568〔十五〕方程式解應(yīng)用題 -43-8199〔十六〕移多補(bǔ)少平均數(shù) -45-22081〔十七〕一筆畫(huà) -46-找規(guī)律觀察是解決問(wèn)題的根據(jù)。通過(guò)觀察，得以揭示出事物的開(kāi)展和變化規(guī)律，在一般情況下，我們可以從以下幾個(gè)方面來(lái)找規(guī)律：1．根據(jù)每組相鄰兩個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，找出規(guī)律，推斷出所要填的數(shù)；2．根據(jù)相隔的每?jī)蓚€(gè)數(shù)的關(guān)系，找出規(guī)律，推斷出所要填的數(shù)；3．要善于從整體上把握數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系，從而很快找出規(guī)律；4．?dāng)?shù)之間的聯(lián)系往往可以從不同的角度來(lái)理解，只要言之有理，所得出的規(guī)律都可以認(rèn)為是正確的。① 數(shù)列中的規(guī)律一、例題與方法指導(dǎo)例1： 先找出以下數(shù)排列的規(guī)律，并根據(jù)規(guī)律在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。1，4，7，10，〔〕，16，19思路導(dǎo)航：在這列數(shù)中，相鄰的兩個(gè)數(shù)的差都是3，即每一個(gè)數(shù)加上3都等于后面的數(shù)。根據(jù)這一規(guī)律，括號(hào)里應(yīng)填的數(shù)為：10+3=13或16－3=13像上面按照一定的順序排列的一串?dāng)?shù)叫做數(shù)列。例2： 先找出以下數(shù)排列的規(guī)律，然后在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。1，2，4，7，〔〕，16，22思路導(dǎo)航：在這列數(shù)中，前4個(gè)數(shù)每相鄰的兩個(gè)數(shù)的差依次是1，2，3。由此可以推算7比括號(hào)里的數(shù)少4，括號(hào)里應(yīng)填：7+4=11。經(jīng)驗(yàn)證，所填的數(shù)是正確的。應(yīng)填的數(shù)為：7+4=11或16-5=11例3： 先找出規(guī)律，然后在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。23，4，20，6，17，8，〔〕，〔〕，11，12思路導(dǎo)航：在這列數(shù)中，第一個(gè)數(shù)減去3的差是第三個(gè)數(shù)，第二個(gè)數(shù)加上2的和是第四個(gè)數(shù)，第三個(gè)數(shù)減去3的差是第五個(gè)數(shù)，第四個(gè)數(shù)加上2的和是第六個(gè)數(shù)……依此規(guī)律，8后面的一個(gè)數(shù)為：17-3=14，11前面的數(shù)為：8+2=10穩(wěn)固訓(xùn)練1. 先找出以下各列數(shù)的排列規(guī)律，然后在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。〔1〕2，6，10，14，〔〕，22，26〔2〕3，6，9，12，〔〕，18，21〔3〕33，28，23，〔〕，13，〔〕，3〔4〕55，49，43，〔〕，31，〔〕，19〔5〕3，6，12，〔〕，48，〔〕，192〔6〕2，6，18，〔〕，162，〔〕〔7〕128，64，32，〔〕，8，〔〕，2〔8〕19，3，17，3，15，3，〔〕，〔〕，11，32. 先找出以下數(shù)排列的規(guī)律，然后在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)?！?〕10，11，13，16，20，〔〕，31〔2〕1，4，9，16，25，〔〕，49，64〔3〕3，2，5，2，7，2，〔〕，〔〕，11，2〔4〕53，44，36，29，〔〕，18，〔〕，11，9，8〔5〕81，64，49，36，〔〕，16，〔〕，4，1，0〔6〕28，1，26，1，24，1，〔〕，〔〕，20，1〔7〕30，2，26，2，22，2，〔〕，〔〕，14，2〔8〕1，6，4，8，7，10，〔〕，〔〕，13，14拓展提升先找出規(guī)律，然后在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)?！?〕1，6，5，10，9，14，13，〔〕，〔〕〔2〕13，2，15，4，17，6，〔〕，〔〕〔3〕3，29，4，28，6，26，9，23，〔〕，〔〕，18，14〔4〕21，2，19，5，17，8，〔〕，〔〕〔5〕32，20，29，18，26，16，〔〕，〔〕，20，12〔6〕2，9，6，10，18，11，54，〔〕，〔〕，13，486〔7〕1，5，2，8，4，11，8，14，〔〕，〔〕〔8〕320，1，160，3，80，9，40，27，〔〕，〔〕② 圖形中的規(guī)律我們通常會(huì)碰到一些圖形，它們?cè)谀骋环矫?，比方顏色，形狀，大小，結(jié)構(gòu)，位置或繁難等有些共同的特征或變化規(guī)律，你能通過(guò)觀察找規(guī)律，并根據(jù)規(guī)律推斷出結(jié)果嗎？一、例題與方法指導(dǎo)例1. 下面哪個(gè)圖形和其他幾個(gè)不一樣，你能找出來(lái)嗎？思路導(dǎo)航：題中幾個(gè)圖形的共同特征是：先連接各邊中點(diǎn)，組成一個(gè)復(fù)合圖形。所不同的是，B圖形是一個(gè)三角形，而其他幾個(gè)圖形都是四邊形，這樣，只有B與其他幾個(gè)不一樣。例2. 找出下組圖形中不同的項(xiàng)。思路導(dǎo)航：題中只有D圖形不是由A翻轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)的，其他圖形都是在同一個(gè)平面內(nèi)通過(guò)把A圖形旋轉(zhuǎn)而得到的。故不同的選項(xiàng)應(yīng)該為D例3. 在下面圖形中找出一個(gè)與眾不同的.(1)(2)(3)(4)(5)思路導(dǎo)航：很容易看出題目圖中(1)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)就是(4),但是這樣一來(lái),(2)、(3)、(5)都與它們不同了.題目上要求找出一個(gè).所以放棄這種想法.圖(2)順時(shí)針旋轉(zhuǎn),且大、小兩個(gè)矩形顏色互換一下就得到(5).而圖(1)與(3)的變化規(guī)律也是這樣:順時(shí)針旋轉(zhuǎn),大小兩局部顏色互換.因此(1)與(3)配對(duì),(2)與(5)配對(duì).解:與眾不同的是題目圖中的(4).例4.依照下面圖中所給圖形的變化規(guī)律,在空格中填圖.思路導(dǎo)航：我們分花盆、花莖、花葉、花朵四個(gè)局部逐步觀察.(1)花盆:花盆的形狀每一行都是由同樣的三種形狀組成,所以第三行所缺的形狀便是應(yīng)填的圖案中的花盆形狀;花盆的顏色在同一行中都是由黑、白、灰(畫(huà)有斜線)三色組成,圖中第三行已有白、灰二色，所以應(yīng)填的花盆為黑色(如以下圖(1));(2)花莖:如同上面一樣的分析.花莖的形狀為魚(yú)鉤狀,方向向右(如以下圖(2));(3)花葉:花葉數(shù)量為兩朵,方向是向左、右平展(如以下圖(3));(4)花朵:形狀為圓形(如以下圖(4)).(1)(2)(3)(4)解:依照所給圖形的變化規(guī)律,空格中應(yīng)填的圖形如圖(4).穩(wěn)固訓(xùn)練按順序觀察圖5—1與圖5—2中圖形的變化，想一想，按圖形的變化規(guī)律，在帶“?〞的空格處應(yīng)畫(huà)什么樣的圖形? 2. 請(qǐng)觀察右圖中已有的幾個(gè)圖形，并按規(guī)律填出空白處的圖形。按順序觀察以下圖中圖形的變化規(guī)律，并在“?〞處填上適宜的圖形. 4. 以下圖中的圖形是按一定規(guī)律排列的，請(qǐng)仔細(xì)觀察，并在“?〞處填上適當(dāng)?shù)膱D形.數(shù)字謎小朋友們都玩過(guò)字謎吧，就是一種文字游戲，例如“空中碼頭〞〔打一城市名〕。謎底你還記得嗎？記不得也沒(méi)關(guān)系，想想“空中〞指什么？“天〞。這個(gè)地名第1個(gè)字可能是天?！按a頭〞指什么呢？碼頭又稱渡口，聯(lián)系這個(gè)地名開(kāi)頭是“天〞字，容易想到“天津〞這個(gè)地名，而“津〞正好又是“渡口〞的意思。這樣謎底就出來(lái)了：天津。算式謎又被稱為“蟲(chóng)食算〞，意思是說(shuō)一道算式中的某些數(shù)字被蟲(chóng)子吃掉了無(wú)法識(shí)別，需要運(yùn)用四那么運(yùn)算各局部之間的關(guān)系，通過(guò)推理判定被吃掉的數(shù)字，把算式復(fù)原?！跋x(chóng)食算〞主要指橫式算式謎和豎式算式謎，其中未知的數(shù)字常常用□、△、☆等圖形符號(hào)或字母表示。文字算式謎是前兩種算式謎的延伸，用文字或字母來(lái)代替未知的數(shù)字，在同一道算式中不同的文字或字母表示不同的數(shù)字，相同的數(shù)字或字母表示同一個(gè)數(shù)字。文字算式謎也是最難的一種算式謎。在數(shù)學(xué)里面，文字也可以組成許許多多的數(shù)學(xué)游戲，就讓我們一起來(lái)看看吧。① 橫式字謎例題與方法指導(dǎo)例1□，□8，□97在上面的3個(gè)方框內(nèi)分別填入恰當(dāng)?shù)臄?shù)字，可以使得這3個(gè)數(shù)的平均數(shù)是150。那么所填的3個(gè)數(shù)字之和是多少？思路導(dǎo)航：150*3-8-97-5=340

所以3個(gè)數(shù)之和為3+4+5=12。例2在以下算式的□中填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使得等式成立：

〔1〕6□□4÷56=□0□，

〔2〕7□□8÷37=□1□，

〔3〕3□□3÷2□=□17，

〔4〕8□□□÷58=□□6。思路導(dǎo)航：〔1〕6104/56=109〔2〕7548/37=204

〔3〕3393/29=117

〔4〕8468/58=146例3在算式40796÷□□□=□99……98的各個(gè)方框內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字后，就可以使其成為正確的等式。求其中的除數(shù)。思路導(dǎo)航：40796/102=399...98。例4我學(xué)數(shù)學(xué)樂(lè)×我學(xué)數(shù)學(xué)樂(lè)=數(shù)數(shù)數(shù)學(xué)數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)數(shù)學(xué)

在上面的乘法算式中，“我、學(xué)、數(shù)、樂(lè)〞分別代表的4個(gè)不同的數(shù)字。如果“樂(lè)〞代表9，那么“我數(shù)學(xué)〞代表的三位數(shù)是多少？

思路導(dǎo)航：學(xué)=1，我=8，數(shù)=6，81619*81619=6661661161例5□÷〔□÷□÷□〕=24在式中的4個(gè)方框內(nèi)填入4個(gè)不同的一位數(shù)，使左邊的數(shù)比右邊的數(shù)小，并且等式成立。思路導(dǎo)航：這樣，我們可以先用字母代替數(shù)字，原等式寫(xiě)成：a/(b/c/d)=a/(b/c*d)=a*c*d/b，(a<b<c<d)

當(dāng)a=1時(shí)，有6*8/2=24，8*9/3=24；

當(dāng)a=2時(shí)，有4*9/3=12，6*8/4=12，8*9/6=12；

所以，滿足要求的等式有：1÷〔2÷6÷8〕=24，1÷〔3÷8÷9〕=24，2÷〔3÷4÷9〕=24，2÷〔4÷6÷8〕=24，2÷〔6÷8÷9〕=24。例6①□×□=5□；②12+□－□=□，把1至9這9個(gè)數(shù)字分別填入上面兩個(gè)算式的各個(gè)方框中，使等式成立，這里有3個(gè)數(shù)字已經(jīng)填好。

訓(xùn)練穩(wěn)固1.迎迎×春春=杯迎迎杯，數(shù)數(shù)×學(xué)學(xué)=數(shù)賽賽數(shù)，春春×春春=迎迎賽賽在上面的3個(gè)算式中，相同的漢字代表相同的數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字。如果這3個(gè)等式都成立，那么，“迎+春+杯+數(shù)+學(xué)+賽〞等于多少？迎+春×春=迎春，〔迎+杯〕×〔迎+杯〕=迎杯

在上面的兩個(gè)橫式中，相同的漢字代表相同的數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字。那么“迎+春+杯〞等于多少？拓展提升1.在以下各式的□中分別填入相同的兩位數(shù)：(1)5×□=2□； (2)6×□＝3□。將3～9中的數(shù)填入以下各式，使算式成立，要求各式中無(wú)重復(fù)的數(shù)字：(1)□÷□=□÷□； (2)□÷□＞□÷□。3.在以下各式的□中填入適宜的數(shù)字：(1)448÷□□=□； (2)2822÷□□=□□；(3)13×□□=4□6。在以下各式的□中填入適宜的數(shù)：(1)□÷32＝8……31； (2)573÷32＝□……29；(3)4837÷□＝74……27。②豎式字謎例題與方法指導(dǎo)例1在圖4-1所示的算式中，每一個(gè)漢字代表一個(gè)數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字．那么“喜歡〞這兩個(gè)漢字所代表的兩位數(shù)是多少？分析：首先看個(gè)位，可以得到“歡〞是0或5，但是“歡〞是第二個(gè)數(shù)的十位，所以“歡〞不能是0，只能是5。再看十位，“歡〞是5，加上個(gè)位有進(jìn)位1，那么，加起來(lái)后得到的“人〞就應(yīng)該是偶數(shù)，因?yàn)榻Y(jié)果的百位也是“人〞，所以“人〞只能是2；由此可知，“喜〞等于8。所以，“喜歡〞這兩個(gè)漢字所代表的兩位數(shù)就是85。例2在圖4-2所示的豎式中，相同的漢字表示相同的數(shù)字，不同的漢字表示不同的數(shù)字．如果：巧+解+數(shù)+字+謎=30，那么“數(shù)字謎〞所代表的三位數(shù)是多少？分析：還是先看個(gè)位，5個(gè)“謎〞相加的結(jié)果個(gè)位還是等于“謎〞，“謎〞必定是5〔0顯然可以排出〕；接著看十位，四個(gè)“字〞相加再加上進(jìn)位2，結(jié)果尾數(shù)還是“字〞，那說(shuō)明“字〞只能是6；再看百位，三個(gè)“數(shù)〞相加再加上進(jìn)位2，結(jié)果尾數(shù)還是“數(shù)〞，“數(shù)〞可能是4或9；再看千位，〔1〕如果“數(shù)〞為4，兩個(gè)“解〞相加再加上進(jìn)位1，結(jié)果尾數(shù)還是“解〞，那說(shuō)明“解〞只能是9；5+6+4+9=24，30-24=6，“巧〞等于6與“字〞等于6重復(fù)，不能；〔2〕如果“數(shù)〞為9，兩個(gè)“解〞相加再加上進(jìn)位2，結(jié)果尾數(shù)還是“解〞，那說(shuō)明“解〞只能是8；5+6+9+8=28，30-28=2，可以。所以“數(shù)字謎〞代表的三位數(shù)是965。例3在圖4-3所示的加法算式中，相同的漢字表示相同的數(shù)字，不同的漢字表示不同的數(shù)字．請(qǐng)把這個(gè)豎式翻譯成數(shù)字算式．

分析：首先萬(wàn)位上“華〞=1；再看千位，“香〞只能是8或9，那么“人〞就相應(yīng)的只能是0或1。但是“華〞=1，所以，“人〞就是0；再看百位，“人〞=0，那么，十位上必須有進(jìn)位，否那么“港〞+“人〞還是“港〞。由此可知“回〞比“港〞大1，這樣就說(shuō)明“港〞不是9，百位向千位也沒(méi)有進(jìn)位。于是可以確定“香〞等于9的；再看十位，“回〞+“愛(ài)〞=“港〞要有進(jìn)位的，而“回〞比“港〞大1，那么“愛(ài)〞就等于8；同時(shí)，個(gè)位必須有進(jìn)位；再看個(gè)位，兩數(shù)相加至少12，至多13，即只能是5+7或6+7，顯然“港〞=5，“回〞=6，“歸〞=7。這樣，整個(gè)算式就是：9567+1085=10652。例4圖4-4是一個(gè)加法豎式，其中E，F(xiàn)，I，N，O，RS，T，X，Y分別表示從0到9的不同數(shù)字，且F，S不等于零．那么這個(gè)算式的結(jié)果是多少？

分析：先看個(gè)位和十位，N應(yīng)為0，E應(yīng)為5；再看最高位上，S比F大1；千位上O最少是8；但因?yàn)镹等于0，所以，I只能是1，O只能是9；由于百位向千位進(jìn)位是2，且X不能是0，因此決定了T、R只能是7、8這兩個(gè)；如果T=7，X=3，這是只剩下了2、4、6三個(gè)數(shù)，無(wú)法滿足S、F是兩個(gè)連續(xù)數(shù)的要求。所以，T=8、R=7；由此得到X=4；那么，F(xiàn)=2，S=3，Y=6。所以，得到的算式結(jié)果是31486。訓(xùn)練穩(wěn)固1.在圖4-5所示的減法算式中，每一個(gè)字母代表一個(gè)數(shù)字，不同的字母代表不同的數(shù)字．那么D+G等于多少？2.王老師家的號(hào)碼是一個(gè)七位數(shù)，把它前四位組成的數(shù)與后三位組成的數(shù)相加得9063，把它前三位數(shù)組成的數(shù)與后四位數(shù)組成的數(shù)相加得2529．求王老師家的號(hào)碼．3.將一個(gè)四位數(shù)的各位順序顛倒過(guò)來(lái)，得到一個(gè)新的四位數(shù)．如果新數(shù)比原數(shù)大7902，那么在所有符合這樣條件的四位數(shù)中，原數(shù)最大是多少？拓展提升1.圖4-6所示的乘法豎式成立．那么ABCDE是多少？

2.某個(gè)自然數(shù)的個(gè)位數(shù)字是4，將這個(gè)4移到左邊首位數(shù)字的前面，所構(gòu)成的新數(shù)恰好是原數(shù)的4倍．問(wèn)原數(shù)最小是多少？3.在圖4-7所示的豎式中，相同的漢字表示相同的數(shù)字，不同的漢字表示不同的數(shù)字．那么符合題意的數(shù)“迎春杯競(jìng)賽贊〞是多少？

定義新運(yùn)算定義新運(yùn)算通常是用特殊的符號(hào)表示特定的運(yùn)算意義。它的符號(hào)不同于課本上明確定義或已經(jīng)約定的符號(hào)，例如“+、-、×、÷、、>、<〞等。表示運(yùn)算意義的表達(dá)式，通常是使用四那么運(yùn)算符號(hào)，例如a☆b=3a-3b，新運(yùn)算使用的符號(hào)是☆，而等號(hào)右邊表示新運(yùn)算意義的那么是四那么運(yùn)算符號(hào)。正確解答定義新運(yùn)算這類問(wèn)題的關(guān)鍵是要確切理解新運(yùn)算的意義，嚴(yán)格按照規(guī)定的法那么進(jìn)行運(yùn)算。如果沒(méi)有給出用字母表示的規(guī)那么，那么應(yīng)通過(guò)給出的具體的數(shù)字表達(dá)式，先求出表示定義規(guī)那么的一般表達(dá)式，方可進(jìn)行運(yùn)算。值得注意的是：定義新運(yùn)算一般是不滿足四那么運(yùn)算中的運(yùn)算律和運(yùn)算性質(zhì)，所以，不能盲目地運(yùn)用定律和運(yùn)算性質(zhì)解題。例題與方法指導(dǎo)例1. 設(shè)ab都表示數(shù)，規(guī)定a△b表示a的4倍減去b的3倍，即a△b=4×a-3×b,試計(jì)算5△6，6△5。解5△6-5×4-6×3=20-18=26△5=6×4-5×3=24-15=9說(shuō)明例1定義的△沒(méi)有交換律，計(jì)算中不得將△前后的數(shù)交換。例2. 對(duì)于兩個(gè)數(shù)a、b,規(guī)定a☆b表示3×a+2×b,試計(jì)算〔5☆6〕☆7，5☆〔6☆7〕。思路導(dǎo)航：先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算。解〔5☆6〕☆7=〔5×3+6×2〕☆7=27☆7=27×3+7×2=955☆〔6☆7〕=5☆〔6×3+7×2〕=5☆32=5×3+32×2=79說(shuō)明此題定義的運(yùn)算不滿足結(jié)合律。這是與常規(guī)的運(yùn)算有區(qū)別的。例3. 2△3=2×3×4，4△2=4×5，一般地，對(duì)自然數(shù)a、b，a△b表示a×(a+1)×…〔a+b-1〕.計(jì)算〔6△3〕-〔5△2〕。思路導(dǎo)航：原式=6×7--5×6=336-30規(guī)定：a△=a+(a+1)+(a+2)+…+〔a+b-1〕,其中a,b表示自然數(shù)。例4. 求1△100的值。x△10=75,求x.思路導(dǎo)航：〔1〕原式=1+2+3+…+100=〔1+100〕×100÷2=5050〔2〕原式即x+(x+1)+(x+2)+…+〔X+9〕=75,所以10X+(1+2+3+…+9)=7510x+45=7510x=30x=3穩(wěn)固訓(xùn)練1. 假設(shè)對(duì)所有b,a△b=a×x,x是一個(gè)與b無(wú)關(guān)的常數(shù)；a☆b=(a+b)÷2,且〔1△3〕☆3=1△〔3☆3〕。求〔1△4〕☆2的值。如果規(guī)定：③=2×3×4，④=3×4×5，⑤=4×5×6，……，⑨=8×9×10，求⑨+⑧-⑦+⑥-⑤+④-③的值。能力提升雞兔同籠雞兔同籠問(wèn)題是指雞與兔同在一個(gè)籠中，雞與兔的總頭數(shù)以及雞與兔的總足數(shù)，求雞和兔各是多少只的應(yīng)用題。這種類型題是古代趣題，在現(xiàn)實(shí)生活和生產(chǎn)中應(yīng)用廣泛，有著十分重要的使用價(jià)值。雞兔問(wèn)題，也叫簡(jiǎn)換問(wèn)題。解答時(shí)，一般采用假設(shè)法，即假定全部的只數(shù)都是雞或者是兔，算出假定情況下的足數(shù)和實(shí)際上的足數(shù)和、足數(shù)差，然后推算出雞和兔的只數(shù)。計(jì)算時(shí)的主要數(shù)量關(guān)系是：1.如果假定全部是兔，那么雞的只數(shù)=〔每只兔的足數(shù)×總頭數(shù)－總足數(shù)〕÷〔每一只雞與兔足數(shù)的差〕簡(jiǎn)單理解就是：雞的只數(shù)=〔4×總頭數(shù)－總足數(shù)〕÷2兔的只數(shù)=總頭數(shù)－雞的只數(shù)2.如果假定全部是雞，那么兔的只數(shù)=〔總足數(shù)－每只雞的足數(shù)×總頭數(shù)〕÷〔每一只雞與兔足數(shù)的差〕簡(jiǎn)單寫(xiě)就是兔的只數(shù)=〔總足數(shù)－2×總頭數(shù)〕÷2雞的只數(shù)=總頭數(shù)－兔的只數(shù)例題與方法指導(dǎo)例1.雞兔同籠，共有100個(gè)頭，320只腳，問(wèn)雞和兔各是多少只？思路導(dǎo)航：雞有2只腳，兔有4只腳，如果把兔子的兩只前腳用繩子捆起來(lái)，當(dāng)成一只腳，兩只后腳也用繩子捆起來(lái)，當(dāng)成一只腳，那么兔子和雞一樣，都是2只腳。雞和兔的總腳數(shù)就是100×2=200〔只〕，但比實(shí)際320只腳要少320－200=120〔只〕，為什么會(huì)少了120只腳呢？是因?yàn)槊恐煌米又凰阋恢磺澳_，一只后腳，而少算了一只前腳和一只后腳。也就是說(shuō)每只兔子都少算了兩只腳，一共少算了120只腳，所以兔子應(yīng)該有120÷2=60〔只〕。解法一： 解法二：2×100=200〔只〕 4×100=400〔只〕320－200=120〔只〕 400－320=80〔只〕120÷2=60〔只〕 80÷2=40〔只〕100－60=40〔只〕 100－40=60〔只〕答：雞有40只，兔有60只。例2.5元紙幣和2元紙幣總張數(shù)是200張，它們的總面值是940元，這兩種紙幣各多少?gòu)垼克悸穼?dǎo)航：〔1〕假設(shè)200張紙幣完全是2元，共值：2×200=400〔元〕〔2〕比實(shí)際少：940－400=540〔元〕〔3〕2元換成5元，每張?jiān)黾樱?－2=3〔元〕〔4〕5元紙幣有：540÷3=180〔張〕〔5〕2元紙幣有：200－180=20〔張〕答：有180張5元、20張2元紙幣。例3.雞兔同籠，雞比兔多25只，腳數(shù)共176只，雞、兔各多少只？思路導(dǎo)航：假設(shè)去掉多的25只雞，那么一共去掉2×25=50〔只〕腳，那么176－50=126〔只〕腳是雞和兔一樣多的腳的總數(shù)量，而一對(duì)雞兔共有2＋4=6〔只〕腳，可以求出去掉25只雞以后一共多少對(duì)雞和兔，然后再加上去掉的25只雞。2×25=50〔只〕176－50=126〔只〕2＋4=6〔只〕126÷6=21〔對(duì)〕‥‥‥雞、兔各21只21+25=46〔只〕‥‥‥雞的只數(shù)答：雞有46只，兔有21只。穩(wěn)固訓(xùn)練1.雞兔同籠，共有頭90只，腳252只。雞兔各多少只？2.雞兔同籠，共有頭80只，雞的腳數(shù)比兔的腳數(shù)多40只，雞兔各多少只？3.30枚硬幣由2分和5分組成，共值9角9分，兩種硬幣各多少枚？拓展提升雞兔共100只，雞的腳數(shù)比兔少40只，雞兔各多少只？46人去劃船，一共乘坐10條船，其中大船坐7人，小船坐4人，大、小船各多少條？某車棚共停放三輪車和自行車共39輛，兩種車輪總和96個(gè)，三輪車和自行車各多少輛？行程問(wèn)題行程問(wèn)題是小學(xué)奧數(shù)中變化最多的一個(gè)專題，不管在奧數(shù)競(jìng)賽中還是在“小升初〞的升學(xué)考試中，都擁有非常重要的地位。行程問(wèn)題中包括：火車過(guò)橋、流水行船、沿途數(shù)車、獵狗追兔、環(huán)形行程、多人行程，等等。每一類問(wèn)題都有自己的特點(diǎn)，解決方法也有所不同，但是，行程問(wèn)題無(wú)論怎么變化，都離不開(kāi)“三個(gè)量，三個(gè)關(guān)系〞：

這三個(gè)量是：路程(s)、速度(v)、時(shí)間(t)

三個(gè)關(guān)系：1.簡(jiǎn)單行程：路程=速度×?xí)r間

2.相遇問(wèn)題：路程和=速度和×?xí)r間

3.追擊問(wèn)題：路程差=速度差×?xí)r間

牢牢把握住這三個(gè)量以及它們之間的三種關(guān)系，就會(huì)發(fā)現(xiàn)解決行程問(wèn)題還是有很多方法可循的。① 追擊及遇問(wèn)題例題與方法指導(dǎo)例1. 有甲、乙、丙三人同時(shí)同地出發(fā)，繞一個(gè)花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲與乙、丙相背而行。甲每分鐘走40米，乙每分鐘走38米，丙每分鐘走36米。在途中，甲和乙相遇后3分鐘和丙相遇。問(wèn)：這個(gè)花圃的周長(zhǎng)是多少米？思路導(dǎo)航：這個(gè)三人行程的問(wèn)題由兩個(gè)相遇、一個(gè)追擊組成，題目中所給的條件只有三個(gè)人的速度，以及一個(gè)“3分鐘〞的時(shí)間。

第一個(gè)相遇：在3分鐘的時(shí)間里，甲、丙的路程和為〔40+36〕×3=228〔米〕第一個(gè)追擊：這228米是由于在開(kāi)始到甲、乙相遇的時(shí)間里，乙、丙兩人的速度差造成的，是逆向的追擊過(guò)程，可求出甲、乙相遇的時(shí)間為228÷〔38-36〕=114〔分鐘〕

第二個(gè)相遇：在114分鐘里，甲、乙二人一起走完了全程

所以花圃周長(zhǎng)為〔40+38〕×114=8892〔米〕

我們把這樣一個(gè)抽象的三人行程問(wèn)題分解為三個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題，使解題思路更加清晰。 例2. 東西兩地間有一條公路長(zhǎng)217.5千米，甲車以每小時(shí)25千米的速度從東到西地，1.5小時(shí)后，乙車從西地出發(fā)，再經(jīng)過(guò)3小時(shí)兩車還相距15千米。乙車每小時(shí)行多少千米？思路導(dǎo)航：從圖中可以看出，要求乙車每小時(shí)行多少千米，關(guān)鍵要知道乙車已經(jīng)行了多少路程和行這段路程所用的時(shí)間。解：〔1〕甲車一共行多少小時(shí)？1.5+3=4.5〔小時(shí)〕〔2〕甲車一共行多少千米路程？25×4.5=112.5〔千米〕〔3〕乙車一共行多少千米路程？217.5-112.5=105〔千米〕〔4〕乙車每小時(shí)行多少千米？(105-15)÷3=30〔千米〕答：乙車每小時(shí)行30千米。 例3. 兄妹二人同時(shí)從家里出發(fā)到學(xué)校去，家與學(xué)校相距1400米。哥哥騎自行車每分鐘行200米，妹妹每分鐘走80米。哥哥剛到學(xué)校就立即返回來(lái)在途中與妹妹相遇。從出發(fā)到相遇，妹妹走了幾分鐘？相遇處離學(xué)校有多少米？思路導(dǎo)航：從圖中可以看出，哥與妹妹相遇時(shí)他們所走的路程的和相當(dāng)于從家到學(xué)校距離的2倍。因此此題可以轉(zhuǎn)化為“哥哥妹妹相距2800米，兩人同時(shí)出發(fā)，相向而行，哥哥每分鐘行200米，妹妹每分鐘行80米，經(jīng)過(guò)幾分鐘相遇？〞的問(wèn)題，解答就容易了。解：〔1〕從家到學(xué)校的距離的2倍：1400×2=2800〔米〕〔2〕從出發(fā)到相遇所需的時(shí)間：2800÷〔200+80〕=10〔分〕〔3〕相遇處到學(xué)校的距離：1400-80×10=600〔米〕答：從出發(fā)到相遇，妹妹走了10分鐘，相遇處離學(xué)校有600米。穩(wěn)固訓(xùn)練 1. 兩城市相距328千米，甲、乙兩人騎自行車同時(shí)從兩城出發(fā)，相向而行。甲每小時(shí)行28千米，乙每小時(shí)行22千米，乙在中途修車耽誤1小時(shí)，然后繼續(xù)行駛，與甲相遇，求出發(fā)到相遇經(jīng)過(guò)多少時(shí)間？快車和慢車同時(shí)從甲乙兩地相對(duì)開(kāi)出，快車每小時(shí)行40千米，經(jīng)過(guò)3小時(shí)快車已過(guò)中點(diǎn)12千米與慢車相遇，慢車每小時(shí)行多少千米？小華和小明同時(shí)從甲、乙兩城相向而行，在離甲城85千米處相遇，到達(dá)對(duì)方城市后立即以原速沿原路返回，又在離甲城35千米處相遇，兩城相距多少千米？拓展提升客車和貨車同時(shí)從甲、乙兩地相對(duì)開(kāi)出，客車每小時(shí)行54千米，貨車每小時(shí)行48千米，兩車相遇后又以原來(lái)的速度繼續(xù)前進(jìn)，客車到達(dá)乙站后立即返回，貨車到達(dá)甲站后也立即返回，兩車再次相遇時(shí)，客車比貨車多行216千米。求甲乙兩站相距多少千米？2. 甲、乙、丙三輛車同時(shí)從A地出發(fā)到B地去，甲、乙兩車速度分別為每小時(shí)60千米和48千米，有一輛迎面開(kāi)來(lái)的卡車分別在他們出發(fā)后6小時(shí)、7小時(shí)、8小時(shí)先后與甲、乙、丙三車相遇。求丙車的速度。3. 兩列火車從某站相背而行，甲車每小時(shí)行58千米，先開(kāi)出2小時(shí)后，車以每小時(shí)62千米才開(kāi)出，乙車開(kāi)出5小時(shí)后，兩列火車相距多少千米？② 火車過(guò)橋過(guò)橋問(wèn)題也是行程問(wèn)題的一種。首先要弄清列車通過(guò)一座橋是指從車頭上橋到車尾離橋。列車過(guò)橋的總路程是橋長(zhǎng)加車長(zhǎng)，這是解決過(guò)橋問(wèn)題的關(guān)鍵。過(guò)橋問(wèn)題也要用到一般行程問(wèn)題的根本數(shù)量關(guān)系：過(guò)橋問(wèn)題的一般數(shù)量關(guān)系是：因?yàn)椋? 過(guò)橋的路程=橋長(zhǎng)+車長(zhǎng)所以有：通過(guò)橋的時(shí)間=〔橋長(zhǎng)+車長(zhǎng)〕÷車速車速=〔橋長(zhǎng)+車長(zhǎng)〕÷過(guò)橋時(shí)間公式的變形：橋長(zhǎng)=車速×過(guò)橋時(shí)間—車長(zhǎng)車長(zhǎng)=車速×過(guò)橋時(shí)間—橋長(zhǎng)后三個(gè)都是根據(jù)第二個(gè)關(guān)系式逆推出的?；疖囃ㄟ^(guò)隧道的問(wèn)題和過(guò)橋問(wèn)題的道理是一樣的，也要通過(guò)上面的數(shù)量關(guān)系來(lái)解決。例題與方法指導(dǎo)例1. 一列客車經(jīng)過(guò)南京長(zhǎng)江大橋，大橋長(zhǎng)6700米，這列客車長(zhǎng)100米，火車每分鐘行400米，這列客車經(jīng)過(guò)長(zhǎng)江大橋需要多少分鐘？思路導(dǎo)航：從火車頭上橋，到火車尾離橋，這之間是火車通過(guò)這座大橋的過(guò)程，也就是過(guò)橋的路程是橋長(zhǎng)+車長(zhǎng)。通過(guò)“過(guò)橋的路程〞和“車速〞就可以求出火車過(guò)橋的時(shí)間?！?〕過(guò)橋路程：6700+100=6800〔米〕〔2〕過(guò)橋時(shí)間：6800÷400=17〔分〕答：這列客車通過(guò)南京長(zhǎng)江大橋需要17分鐘。例2. 一列火車長(zhǎng)160米，全車通過(guò)440米的橋需要30秒鐘，這列火車每秒行多少米？思路導(dǎo)航：要想求火車過(guò)橋的速度，就要知道“過(guò)橋的路程〞和過(guò)橋的時(shí)間?！?〕過(guò)橋的路程：160+440=600〔米〕〔2〕火車的速度：600÷30=20〔米〕答：這列火車每秒行20米。例3. 某列火車通過(guò)360米的第一個(gè)隧道用了24秒鐘，接著通過(guò)第二個(gè)長(zhǎng)216米的隧道用了16秒鐘，求這列火車的長(zhǎng)度？思路導(dǎo)航：火車通過(guò)第一個(gè)隧道比通過(guò)第二個(gè)隧道多用了8秒，為什么多用8秒呢？原因是第一個(gè)隧道比第二個(gè)隧道長(zhǎng)360—216=144〔米〕，這144米正好和8秒相對(duì)應(yīng)，這樣可以求出車速?；疖?4秒行進(jìn)的路程包括隧道長(zhǎng)和火車長(zhǎng)，減去的隧道長(zhǎng)，就是火車長(zhǎng)?！?〕第一個(gè)隧道比第二個(gè)長(zhǎng)多少米？360—216=144〔米〕〔2〕火車通過(guò)第一個(gè)隧道比第二個(gè)多用幾秒？24—16=8〔秒〕〔3〕火車每秒行多少米？144÷8=18〔米〕〔4〕火車24秒行多少米？18×24=432〔米〕〔5〕火車長(zhǎng)多少米？432—360=72〔米〕答：這列火車長(zhǎng)72米。穩(wěn)固訓(xùn)練 1. 某列火車通過(guò)342米的隧道用了23秒，接著通過(guò)234米的隧道用了17秒，這列火車與另一列長(zhǎng)88米，速度為每秒22米的列車錯(cuò)車而過(guò)，問(wèn)需要幾秒鐘？一列火車全長(zhǎng)265米，每秒行駛25米，全車要通過(guò)一座985米長(zhǎng)的大橋，問(wèn)需要多少秒鐘？一列長(zhǎng)50米的火車，穿過(guò)200米長(zhǎng)的山洞用了25秒鐘，這列火車每秒行多少米？拓展提升 1. 一列長(zhǎng)240米的火車以每秒30米的速度過(guò)一座橋，從車頭上橋到車尾離橋用了1分鐘，求這座橋長(zhǎng)多少米？ 2. 一列貨車全長(zhǎng)240米，每秒行駛15米，全車連續(xù)通過(guò)一條隧道和一座橋，共用40秒鐘，橋長(zhǎng)150米，問(wèn)這條隧道長(zhǎng)多少米？ 3. 一列火車開(kāi)過(guò)一座長(zhǎng)1200米的大橋，需要75秒鐘，火車以同樣的速度開(kāi)過(guò)路旁的電線桿只需15秒鐘，求火車長(zhǎng)多少米？ 4. 在上下行軌道上，兩列火車相對(duì)開(kāi)來(lái)，一列火車長(zhǎng)182米，每秒行18米，另一列火車每秒行17米，兩列火車錯(cuò)車而過(guò)用了10秒鐘，求另一列火車長(zhǎng)多少米？植樹(shù)問(wèn)題只要我們稍加留意，都會(huì)看到在馬路兩旁一般都種有樹(shù)木。細(xì)心觀察，這些樹(shù)木的間距一般都是等距離種植的。路長(zhǎng)、間距、棵數(shù)之間存在著確定的關(guān)系，我們把這種關(guān)系叫做“植樹(shù)問(wèn)題〞。而植樹(shù)問(wèn)題，一般又可分為封閉型的和不封閉型的〔開(kāi)放型的〕。封閉型的和不封閉型的植樹(shù)問(wèn)題，區(qū)別在于間隔數(shù)〔段數(shù)〕與棵數(shù)的關(guān)系：1、不封閉型的〔多為直線上〕，一般情況為兩端植樹(shù)，如以下圖所示，其路長(zhǎng)、間距、棵數(shù)的關(guān)系是：但如果只在一端植樹(shù)，如右圖所示，這時(shí)路長(zhǎng)、間距、棵數(shù)的關(guān)系就是：如果兩端都不植樹(shù)，那么棵數(shù)比一端植樹(shù)還要再少一棵，其路長(zhǎng)、間距、棵數(shù)的關(guān)系就是：2、封閉型的情況〔多為圓周形〕，如以下圖所示，那么：植樹(shù)問(wèn)題的三要素：總路線長(zhǎng)、間距(棵距)長(zhǎng)、棵數(shù)．只要知道這三個(gè)要素中任意兩個(gè)要素，就可以求出第三個(gè)．植樹(shù)問(wèn)題的分類：⑴直線型的植樹(shù)問(wèn)題⑵封閉型植樹(shù)問(wèn)題⑶特殊類型的植樹(shù)問(wèn)題例題與方法指導(dǎo)例1有一條公路長(zhǎng)1000米，在公路的一側(cè)每隔5米栽一棵垂柳，可種植垂柳多少棵?

思路導(dǎo)航：每隔5米栽一棵垂柳，即以兩棵垂柳之間的距離5米為一段。公路的全長(zhǎng)1000米，分成5米一段，那么里包含有1000÷5=200段。由于公路的兩端都要求種樹(shù)，所以要種植的棵數(shù)比分成的段數(shù)多1，所以，可種植垂柳200+1=201棵。例2某一淡水湖的周長(zhǎng)1350米，在湖邊每隔9米種柳樹(shù)一株，在兩株柳樹(shù)中間種植2株夾枝桃，可栽柳樹(shù)多少株?可栽?shī)A枝桃多少株?兩株夾枝桃之間相距多少米?

思路導(dǎo)航：在圓周上植樹(shù)時(shí)，由于可栽的株數(shù)等于分成的段數(shù)，所以，可栽柳樹(shù)=1350÷9=150株；由于兩株柳樹(shù)之間等距離地栽株夾枝桃，而間隔數(shù)〔段數(shù)〕為150，所以栽?shī)A枝桃的株數(shù)=2×150=300株；每隔9米種柳樹(shù)一株，在兩株夾枝桃之間等距地栽2株夾枝桃，這就變成兩端都不植樹(shù)的情形，即2株等距離栽在9米的直線上，不含兩端，所以，每?jī)芍曛g的距離=9÷(2+1)=3(米)。例3一條街上，一旁每隔8米有一個(gè)廣告牌，從頭到尾有16個(gè)廣告牌，現(xiàn)在要進(jìn)行調(diào)整，變成每12米有一個(gè)廣告牌。那么除了兩端的廣告牌外，中間還有幾個(gè)牌不需要移動(dòng)？思路導(dǎo)航：16個(gè)廣告牌，每相鄰的兩個(gè)廣告牌的間隔為8米，那么共有16-1=15個(gè)間隔，這條街的總長(zhǎng)度為8×15＝120〔米〕；現(xiàn)在要調(diào)整為每12米一個(gè)廣告牌，那么不移動(dòng)的牌離端點(diǎn)的距離一定既是8的倍數(shù)，同時(shí)也是12的倍數(shù)；8×3=12×2=24，也就是說(shuō)，每24米及其倍數(shù)處的廣告牌可以不需要移動(dòng)；120÷24＝5，即段數(shù)為5個(gè)，但要扣除兩端的2個(gè)，所以，中間不需要移動(dòng)的有5-1=4個(gè)。事實(shí)上，所謂植樹(shù)問(wèn)題只是我們對(duì)這一種類型問(wèn)題的總稱，并不單指植樹(shù)問(wèn)題。例如，與之類似的還有爬樓〔梯〕問(wèn)題、隊(duì)列問(wèn)題、敲鐘問(wèn)題、鋸木頭問(wèn)題的等。所以，植樹(shù)問(wèn)題又稱上樓梯問(wèn)題。穩(wěn)固訓(xùn)練1某人要到一座高層樓的第8層辦事，不巧停電，電梯停開(kāi)。如果他從1層走到4層需要48秒，請(qǐng)問(wèn)以同樣的速度走到八層，還需要多少秒？2光華路小學(xué)三年級(jí)學(xué)生有125人參加運(yùn)動(dòng)會(huì)入場(chǎng)式，他們每5人一行，前后每行間隔為2米，主席臺(tái)長(zhǎng)42米，他們以每分鐘45米的速度通過(guò)主席臺(tái)需要多少分鐘?3以下圖是五個(gè)大小相同的鐵環(huán)連在一起的圖形，它的長(zhǎng)度是多少？十個(gè)這樣的鐵環(huán)連在一起有多長(zhǎng)？4一個(gè)木工把一根長(zhǎng)24米的木條鋸成了3米長(zhǎng)的小段，每鋸斷一次要用5分鐘，共需多少分鐘?

穩(wěn)固訓(xùn)練1. 一個(gè)街心花園如以下圖所示，它由四個(gè)大小相等的等邊三角形組成。從每個(gè)小三角形的頂點(diǎn)開(kāi)始，到下一個(gè)頂點(diǎn)均勻栽有9棵花。問(wèn)大三角形邊上栽有多少棵花？整個(gè)花園中共栽多少棵花？2. 時(shí)鐘4點(diǎn)敲4下，用12秒敲完。那么6點(diǎn)鐘敲6下，幾秒鐘敲完？3. 鐵路旁每隔50米有一根電線桿，某旅客為了計(jì)算火車速度，測(cè)量出從經(jīng)過(guò)第1根電線桿起到經(jīng)過(guò)第37根電線桿止共用了2分?；疖嚨乃俣仁嵌嗌?？有趣的數(shù)陣圖把一些數(shù)字按照一定的要求，排成各種各樣的圖形，這類問(wèn)題叫數(shù)陣圖.數(shù)陣是一種由幻方演變而來(lái)的數(shù)字圖.數(shù)陣圖的種類繁多，這里只向大家介紹三種數(shù)陣圖，即封閉型數(shù)陣圖、輻射型數(shù)陣圖和復(fù)合型數(shù)陣圖.為了讓同學(xué)們學(xué)會(huì)解數(shù)陣圖的分析思考方法，我們舉例說(shuō)明.一、例題與方法指導(dǎo)例1. 在右圖的九個(gè)方格中填入不大于12且互不相同的九個(gè)自然數(shù)〔其中已填好一個(gè)數(shù)〕，使得任一行、任一列及兩條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都等于21。思路導(dǎo)航：由上一講例4知中間方格中的數(shù)為7。再設(shè)右下角的數(shù)為x，然后根據(jù)任一行、任一列及每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都等于21，如以下圖所示填上各數(shù)〔含x〕。因?yàn)榫艂€(gè)數(shù)都不大于12，由16－x≤12知4≤x，由x+2≤12知x≤10，即4≤x≤10?？紤]到5，7，9已填好，所以x只能取4，6，8或10。經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)x＝6或8時(shí)，九個(gè)數(shù)中均有兩個(gè)數(shù)相同，不合題意；當(dāng)x＝4或10時(shí)可得兩個(gè)解〔見(jiàn)以下圖〕。這兩個(gè)解實(shí)際上一樣，只是方向不同而已。例2. 將九個(gè)數(shù)填入以下圖的空格中，使得每行、每列、每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都相等，那么一定有證明： 思路導(dǎo)航：設(shè)中心數(shù)為d。由上講例4知每行、每列、每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都等于3d。由此計(jì)算出第一行中間的數(shù)為2d——b，右下角的數(shù)為2d-c〔見(jiàn)以下圖〕。根據(jù)第一行和第三列都可以求出上圖中★處的數(shù)由此得到3d-c-〔2d-b〕＝3d-a-〔2d-c〕，3d-c-2d＋b＝3d-a-2d＋c，d——c＋b＝d——a＋c，2c＝a＋b，a＋bc＝2。值得注意的是，這個(gè)結(jié)論對(duì)于a和b并沒(méi)有什么限制，可以是自然數(shù)，也可以是分?jǐn)?shù)、小數(shù)；可以相同，也可以不同。例3. 在下頁(yè)右上圖的空格中填入七個(gè)自然數(shù)，使得每一行、每一列及每一條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都等于90。思路導(dǎo)航：由上一講例4知，中心數(shù)為90÷3＝30；由本講例2知，右上角的數(shù)為〔23＋57〕÷2＝40〔見(jiàn)左以下圖〕。其它數(shù)依次可填〔見(jiàn)右以下圖〕。例4. 在右圖的每個(gè)空格中填入個(gè)自然數(shù)，使得每一行、每一列及每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都相等。思路導(dǎo)航：由例2知，右下角的數(shù)為〔8＋10〕÷2=9；由上一講例4知，中心數(shù)為〔5＋9〕÷2=7〔見(jiàn)左以下圖〕，且每行、每列、每條對(duì)角線上的三數(shù)之和都等于7×3=21。由此可得如圖的填法。二、穩(wěn)固訓(xùn)練1.將1~6分別填在圖中,使每條邊上的三個(gè)○內(nèi)的數(shù)的和相等.2.把1~8個(gè)數(shù)分別填入○中,使每條邊上三個(gè)數(shù)的和相等.3.把1~9個(gè)數(shù)分別填入○中,使每條邊上四個(gè)數(shù)的和相等.4.把1~10填入圖中,使五條邊上三個(gè)○內(nèi)的數(shù)的和相等.5.將1~8個(gè)數(shù)分別填入圖中,使每個(gè)圓圈上五個(gè)數(shù)和分別為20,21,22.有趣的數(shù)陣圖練習(xí)1. 把1~7填入以下圖中,使每條線段上三個(gè)○內(nèi)的數(shù)的和相等.2. 把1~16填入以下圖中,使每條邊上4個(gè)數(shù)的和相等,兩個(gè)八邊形上8個(gè)數(shù)的和也相等.3. 把4~9填入以下圖中,使每條線上三個(gè)數(shù)的和相等,都是18.4. 把1~8這8個(gè)數(shù)填入以下圖,使每邊上的加、減、乘、除成立.--÷×=+===5. 把0~9填入10個(gè)小三角形中,使每4個(gè)小三角形組成的大三角形的和相等.6. 把1~11填入圖中,使每條線上三個(gè)數(shù)的和相等.7. 把1~8,填入圖中,使每條線及正方形四個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)的和相等.8. 把1~9,填入以下圖中,使每條線段三個(gè)數(shù)和及四個(gè)頂點(diǎn)的和也相等.9. 把17,23,25,31,46,53,58,66,72,88,94,100十二個(gè)數(shù)填入以下圖,使任意三個(gè)相鄰的數(shù)相加的和除以7的余數(shù)相等.枚舉法一般地，根據(jù)問(wèn)題要求，一一枚舉問(wèn)題的解答，或者為了解決問(wèn)題的方便，把問(wèn)題分為不重復(fù)、不遺漏的有限種情況，一一枚舉各種情況，并加以解決，最終到達(dá)解決整個(gè)問(wèn)題的目的。這種分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的方法，稱之為枚舉法。枚舉法是一種常見(jiàn)的數(shù)學(xué)方法，當(dāng)然枚舉法也存在一些問(wèn)題，那就是容易遺漏掉一些情況，所以應(yīng)用枚舉法的時(shí)候選擇什么樣的標(biāo)準(zhǔn)尤其重要。例題與方法指導(dǎo)例1.一本書(shū)共100頁(yè)，在排頁(yè)碼時(shí)要用多少個(gè)數(shù)字是6的鉛字？思路導(dǎo)航：解：把個(gè)位是6和十位是6的數(shù)一個(gè)一個(gè)地列舉出來(lái)，數(shù)一數(shù)。個(gè)位是6的數(shù)字有：6、16、26、36、46、56、66、76、86、96，共10個(gè)。十位是6的數(shù)字有：60、61、62、63、64、65、66、67、68、69，共10個(gè)。 總共10+10=20〔個(gè)〕答：在排頁(yè)碼時(shí)要用20個(gè)數(shù)字是6的鉛字。例2.從A市到B市有3條路，從B市到C市有兩條路。從A市經(jīng)過(guò)B市到C市有幾種走法？〔適于三年級(jí)程度〕思路導(dǎo)航：解：作圖3-1，然后把每一種走法一一列舉出來(lái)。第一種走法：A①B④C第二種走法：A①B⑤C第三種走法：A②B④C第四種走法：A②B⑤C第五種走法：A③B④C第六種走法：A③B⑤C答：從A市經(jīng)過(guò)B市到C市共有6種走法。例3.印刷工人在排印一本書(shū)的頁(yè)碼時(shí)共用1890個(gè)數(shù)碼，這本書(shū)有多少頁(yè)？思路導(dǎo)航：〔1〕數(shù)碼一共有10個(gè)：0、1、2……8、9。0不能用于表示頁(yè)碼，所以頁(yè)碼是一位數(shù)的頁(yè)有9頁(yè)，用數(shù)碼9個(gè)。〔2〕頁(yè)碼是兩位數(shù)的從第10頁(yè)到第99頁(yè)。因?yàn)?9-9=90，所以，頁(yè)碼是兩位數(shù)的頁(yè)有90頁(yè)，用數(shù)碼：2×90=180〔個(gè)〕〔3〕還剩下的數(shù)碼：1890-9-180=1701〔個(gè)〕〔4〕因?yàn)轫?yè)碼是三位數(shù)的頁(yè)，每頁(yè)用3個(gè)數(shù)碼，100頁(yè)到999頁(yè)，999-99=900，而剩下的1701個(gè)數(shù)碼除以3時(shí)，商缺乏600，即商小于900。所以頁(yè)碼最高是3位數(shù)，不必考慮是4位數(shù)了。往下要看1701個(gè)數(shù)碼可以排多少頁(yè)。1701÷3=567〔頁(yè)〕〔5〕這本書(shū)的頁(yè)數(shù)：9+90+567=666〔頁(yè)〕穩(wěn)固訓(xùn)練如圖9-10，有8張卡片，上面分別寫(xiě)著自然數(shù)1至8。從中取出3張，要使這3張卡片上的數(shù)字之和為9。問(wèn)有多少種不同的取法？ 2.從1至8這8個(gè)自然數(shù)中，每次取出兩個(gè)不同的數(shù)相加，要使它們的和大于10，共有多少種不同的取法？ 3.現(xiàn)在1分、2分和5分的硬幣各4枚，用其中的一些硬幣支付2角3分錢(qián)，一共有多少種不同的支付方法？4.媽媽買(mǎi)來(lái)7個(gè)雞蛋，每天至少吃2個(gè)，吃完為止，有多少種不同的吃法？5.有3個(gè)工廠共訂300份《吉林日?qǐng)?bào)》，每個(gè)工廠最少訂99份，最多101份。問(wèn)一共有多少種不同的訂法？能力提升甲、乙、丙、丁4名同學(xué)排成一行。從左到右數(shù)，如果甲不排在第一個(gè)位置上，乙不排在第二個(gè)位置上，丙不排在第三個(gè)位置上，丁不排在第四個(gè)位置上，那么不同的排法共有多少種？abcd代表一個(gè)四位數(shù)，其中a，b，c，d均為1，2，3，4中的某個(gè)數(shù)字，但彼此不同，例如2134。請(qǐng)寫(xiě)出所有滿足關(guān)系a＜b，b＞c，c＜d的四位數(shù)abcd來(lái)。一個(gè)兩位數(shù)乘以5，所得的積的結(jié)果是一個(gè)三位數(shù)，且這個(gè)三位數(shù)的個(gè)位與百位數(shù)字的和恰好等于十位上的數(shù)字。問(wèn)一共有多少個(gè)這樣的數(shù)？3件運(yùn)動(dòng)衣上的號(hào)碼分別是1，2，3，甲、乙、丙3人各穿一件?，F(xiàn)在25個(gè)小球，首先發(fā)給甲1個(gè)球，乙2個(gè)球，丙3個(gè)球。規(guī)定3人從余下的球中各取球一次，其中穿1號(hào)衣的人取他手中球數(shù)的1倍，穿2號(hào)衣的人取他手中球數(shù)的3倍，穿3號(hào)衣的人取他手中球數(shù)的4倍，取走之后還剩下兩個(gè)球。那么，甲穿的運(yùn)動(dòng)衣的號(hào)碼是多少？甲、乙兩人打乒乓球，誰(shuí)先勝兩局誰(shuí)贏；如果沒(méi)有人連勝兩局，那么誰(shuí)先勝三局誰(shuí)贏，打到?jīng)Q出輸贏為止。那么一共有多少種可能的情況？邏輯推理曾經(jīng)愛(ài)因斯坦出過(guò)一道測(cè)試題,他說(shuō)世界上有98%的人答復(fù)不出!!讓我們一起來(lái)看看是什么題呢。在一條街上有5座顏色不同的房子，住著5個(gè)不同國(guó)家的人，他們抽著5種不同的煙，喝著5種不同的飲料，養(yǎng)著5種不同的寵物。有下面15個(gè)條件，求解。

1、英國(guó)人住紅色房子。

2、瑞典人養(yǎng)狗。

3、丹麥人喝茶。

4、綠色房子在白色房子左面。

5、綠色房子主人喝咖啡。

6、抽PallMall香煙的人養(yǎng)鳥(niǎo)。

7、黃色房子主人抽Dunhill香煙。

8、住在中間房子的人喝牛奶。

9、挪威人住第一間房。

10、抽Blends香煙的人住在養(yǎng)貓的人隔壁。

11、養(yǎng)馬的人住抽Dunhill香煙的人隔壁。

12、抽BlueMaster的人喝啤酒。

13、德國(guó)人抽Prince香煙。

14、挪威人住藍(lán)色房子隔壁。

15、抽Blends香煙的人有一個(gè)喝水的鄰居。

問(wèn):哪個(gè)國(guó)家的人養(yǎng)魚(yú)?這道題為什么會(huì)難倒這么多人呢，首先，我們就來(lái)研究一下關(guān)于他的最根本的邏輯問(wèn)題吧。例題與方法指導(dǎo) 例1. 某地質(zhì)學(xué)院的學(xué)生對(duì)一種礦石進(jìn)行觀察和鑒別：甲判斷：不是鐵，也不是銅。乙判斷：不是鐵，而是錫。丙判斷：不是錫，而是鐵。經(jīng)化驗(yàn)證明：有一個(gè)人的判斷完全正確，有一個(gè)人說(shuō)對(duì)了一半，而另一個(gè)人完全說(shuō)錯(cuò)了。你知道三人中誰(shuí)是對(duì)的，誰(shuí)是錯(cuò)的，誰(shuí)是只對(duì)一半的嗎？思路導(dǎo)航：丙全說(shuō)對(duì)了，甲說(shuō)對(duì)了一半，乙全說(shuō)錯(cuò)了。先設(shè)甲全對(duì)，推出矛盾后，再設(shè)乙全對(duì)，又推出矛盾，那么說(shuō)明丙全對(duì)，甲說(shuō)對(duì)了一半，乙全說(shuō)錯(cuò)了。 例2. 數(shù)學(xué)競(jìng)賽后，小明、小華和小強(qiáng)各獲得一枚獎(jiǎng)牌，其中一人得金牌，一人得銀牌，一人得銅牌。老師猜想：“小明得金牌，小華不得金牌，小強(qiáng)不得銅牌。〞結(jié)果老師只猜對(duì)了一個(gè)，那么誰(shuí)得金牌，誰(shuí)得銀牌，誰(shuí)得銅牌？思路導(dǎo)航：小華得金牌，小強(qiáng)得銀牌，小明得銅牌?！?〕假設(shè)小明得金牌，小華一定“不得金牌〞，這與“老師只猜對(duì)了一個(gè)〞相矛盾，不合題意。〔2〕假設(shè)小華得金牌，那么“小明得金牌〞與“小華不得金牌〞這兩句都是錯(cuò)的，那么“小強(qiáng)不得銅牌〞應(yīng)是正確的，那么小強(qiáng)得銀牌，小明得銅牌。 例3. 一位法官在審理一起盜竊案中，對(duì)涉及到的四名嫌疑犯甲、乙、丙、丁進(jìn)行了審問(wèn)。四人分別供述如下：甲說(shuō)：“罪犯在乙、丙、丁三人之中。〞乙說(shuō)：“我沒(méi)有做案，是丙偷的。〞丙說(shuō)：“在甲和丁中間有一人是罪犯。〞丁說(shuō)：“乙說(shuō)的是事實(shí)。〞經(jīng)過(guò)充分的調(diào)查，證實(shí)這四人中有兩人說(shuō)了真話，另外兩人說(shuō)的是假話。同學(xué)們，請(qǐng)你做一名公正的法官，對(duì)此案進(jìn)行裁決，確認(rèn)誰(shuí)是罪犯？思路導(dǎo)航：乙和丁是盜竊犯。如果甲說(shuō)的是假話，那么剩下三人中有一人說(shuō)的也是假話，另外兩人說(shuō)的是真話。可是乙和丁兩人的觀點(diǎn)一致，所以在剩下的三人中只能是丙說(shuō)了假話，乙和丁說(shuō)的都是真話。即“丙是盜竊犯〞。這樣一來(lái)，甲說(shuō)的也是對(duì)的，不是假話。這樣，前后就產(chǎn)生了矛盾。所以甲說(shuō)的不可能是假話，只能是真話。同理，剩下的三人中只能是丙說(shuō)真話。乙和丁說(shuō)的是假話，即丙不是罪犯，乙是罪犯。又由甲所述為真話，即甲不是罪犯。再由丙所述為真話，即丁是罪犯。穩(wěn)固訓(xùn)練1. 小王、小張、小李三人在一起，其中一位是工人，一位是戰(zhàn)士，一位是大學(xué)生?，F(xiàn)在知道：小李比戰(zhàn)士年齡大，小王和大學(xué)生不同歲，大學(xué)生比小張年齡小。那么三人各是什么職業(yè)? 2. 甲、乙、丙分別是來(lái)自中國(guó)、日本和英國(guó)的小朋友。甲不會(huì)英文，乙不懂日語(yǔ)卻與英國(guó)小朋友熱烈交談。問(wèn)：甲、乙、丙分別是哪國(guó)的小朋友？ 3. 徐、王、陳、趙四位師傅分別是工廠的木工、車工、電工和鉗工，他們都是象棋迷。〔1〕車工只和電工下棋；〔2〕王、陳兩位師傅經(jīng)常與木工下棋；〔3〕徐師傅與電工下棋互有勝負(fù)；〔4〕陳師傅比鉗工下得好。問(wèn)：徐、王、陳、趙四位師傅各從事什么工種？抽屜原理如果將5個(gè)蘋(píng)果放到3個(gè)抽屜中去，那么不管怎么放，至少有一個(gè)抽屜中放的蘋(píng)果不少于2個(gè)。道理很簡(jiǎn)單，如果每個(gè)抽屜中放的蘋(píng)果都少于2個(gè)，即放1個(gè)或不放，那么3個(gè)抽屜中放的蘋(píng)果的總數(shù)將少于或等于3，這與有5個(gè)蘋(píng)果的條件相矛盾，因此至少有一個(gè)抽屜中放的蘋(píng)果不少于2個(gè)。同樣，有5只鴿子飛進(jìn)4個(gè)鴿籠里，那么一定有一個(gè)鴿籠至少飛進(jìn)了2只鴿子。以上兩個(gè)簡(jiǎn)單的例子所表達(dá)的數(shù)學(xué)原理就是“抽屜原理〞，也叫“鴿籠原理〞。抽屜原理1：將多于n件的物品任意放到n個(gè)抽屜中，那么至少有一個(gè)抽屜中的物品不少于2件。說(shuō)明這個(gè)原理是不難的。假定這n個(gè)抽屜中，每一個(gè)抽屜內(nèi)的物品都不到2件，那么每一個(gè)抽屜中的物品或者是一件，或者沒(méi)有。這樣，n個(gè)抽屜中所放物品的總數(shù)就不會(huì)超過(guò)n件，這與有多于n件物品的假設(shè)相矛盾，所以前面假定“這n個(gè)抽屜中，每一個(gè)抽屜內(nèi)的物品都不到2件〞不能成立，從而抽屜原理1成立。從最不利原那么也可以說(shuō)明抽屜原理1。為了使抽屜中的物品不少于2件，最不利的情況就是n個(gè)抽屜中每個(gè)都放入1件物品，共放入n件物品，此時(shí)再放入1件物品，無(wú)論放入哪個(gè)抽屜，都至少有1個(gè)抽屜不少于2件物品。這就說(shuō)明了抽屜原理1。例題與方法指導(dǎo)例1. 某幼兒園有367名1996年出生的小朋友，是否有生日相同的小朋友？思路導(dǎo)航：1996年是閏年，這年應(yīng)有366天。把366天看作366個(gè)抽屜，將367名小朋友看作367個(gè)物品。這樣，把367個(gè)物品放進(jìn)366個(gè)抽屜里，至少有一個(gè)抽屜里不止放一個(gè)物品。因此至少有2名小朋友的生日相同。例2. 在任意的四個(gè)自然數(shù)中，是否其中必有兩個(gè)數(shù)，它們的差能被3整除？思路導(dǎo)航：因?yàn)槿魏握麛?shù)除以3，其余數(shù)只可能是0，1，2三種情形。我們將余數(shù)的這三種情形看成是三個(gè)“抽屜〞。一個(gè)整數(shù)除以3的余數(shù)屬于哪種情形，就將此整數(shù)放在那個(gè)“抽屜〞里。將四個(gè)自然數(shù)放入三個(gè)抽屜，至少有一個(gè)抽屜里放了不止一個(gè)數(shù)，也就是說(shuō)至少有兩個(gè)數(shù)除以3的余數(shù)相同。這兩個(gè)數(shù)的差必能被3整除。例3. 在任意的五個(gè)自然數(shù)中，是否其中必有三個(gè)數(shù)的和是3的倍數(shù)？思路導(dǎo)航：根據(jù)例2的討論，任何整數(shù)除以3的余數(shù)只能是0，1，2。現(xiàn)在，對(duì)于任意的五個(gè)自然數(shù)，根據(jù)抽屜原理，至少有一個(gè)抽屜里有兩個(gè)或兩個(gè)以上的數(shù)，于是可分下面兩種情形來(lái)加以討論。第一種情形。有三個(gè)數(shù)在同一個(gè)抽屜里，即這三個(gè)數(shù)除以3后具有相同的余數(shù)。因?yàn)檫@三個(gè)數(shù)的余數(shù)之和是其中一個(gè)余數(shù)的3倍，故能被3整除，所以這三個(gè)數(shù)之和能被3整除。第二種情形。至多有兩個(gè)數(shù)在同一個(gè)抽屜里，那么每個(gè)抽屜里都有數(shù)，在每個(gè)抽屜里各取一個(gè)數(shù)，這三個(gè)數(shù)被3除的余數(shù)分別為0，1，2。因此這三個(gè)數(shù)之和能被3整除。綜上所述，在任意的五個(gè)自然數(shù)中，其中必有三個(gè)數(shù)的和是3的倍數(shù)。穩(wěn)固訓(xùn)練1. 有蘋(píng)果和桔子假設(shè)干個(gè)，任意分成5堆，能否找到這樣兩堆，使蘋(píng)果的總數(shù)與桔子的總數(shù)都是偶數(shù)？2. 用紅、藍(lán)兩種顏色將一個(gè)2×5方格圖中的小方格隨意涂色〔見(jiàn)右圖〕，每個(gè)小方格涂一種顏色。是否存在兩列，它們的小方格中涂的顏色完全相同？3. 在長(zhǎng)度是10厘米的線段上任意取11個(gè)點(diǎn)，是否至少有兩個(gè)點(diǎn)，它們之間的距離不大于1厘米？拓展提升 1. 有5個(gè)小朋友，每人都從裝有許多黑白圍棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.請(qǐng)你證明，這5個(gè)人中至少有兩個(gè)小朋友摸出的棋子的顏色的配組是一樣的。一副撲克牌〔去掉兩張王牌〕，每人隨意摸兩張牌，至少有多少人才能保證他們當(dāng)中一定有兩人所摸兩張牌的花色情況是相同的？從2、4、6、…、30這15個(gè)偶數(shù)中，任取9個(gè)數(shù)，證明其中一定有兩個(gè)數(shù)之和是34。倒推法的妙用師說(shuō)：“這里有10張紙牌，依次寫(xiě)著1-10，我閉上眼睛，你任意抽一張出來(lái)。〞“好，已抽好了。〞乙答復(fù)道?！班牛涯愕哪菑埣埮粕系臄?shù)乘上6再加9，然后除以3再加上2。算好后告訴我得數(shù)是幾。〔可任意找學(xué)生抽卡片〕乙又說(shuō)：“得數(shù)是23。〞那她抽的那一張是幾呢？這個(gè)數(shù)是9，我們?cè)趺粗?？同學(xué)們，你們都知道其中的奧秘嗎？讓這節(jié)課來(lái)告訴大家吧，利用倒推法，倒推法是根據(jù)加法與減法、乘法與除法互相逆運(yùn)算的關(guān)系，從最后的得數(shù)出發(fā)。因?yàn)?3是加上2后得到的，就要減去2，得21；21除以3后得到的，就要乘上3，得63；63是加上9后得到的，就就要減去9得54；54是乘上6后得到的，就要除以6，得9。所以乙抽到的那一張一定是9。一些游戲，只要你知道其中的奧秘后，你就不會(huì)大驚小怪了。例題與方法指導(dǎo)例1.喜迎奧運(yùn)，猜年齡:劉翔的年齡除以4再減去2,乘25正好是100.你知道劉翔今幾歲嗎？思路導(dǎo)航：①100÷25+2×4②100÷(25+2×4)③(100÷25+2)×4到底是哪個(gè)呢？倒推法的方法：從結(jié)果出發(fā)，從后向前運(yùn)算，并且每個(gè)運(yùn)算變成它的逆運(yùn)算。正確答案③例2.籃子里有一些梨.小剛?cè)∽呖倲?shù)的一半多一個(gè).小明取走余下的一半多1個(gè).小軍取走了小明取走后剩下一半多一個(gè).這時(shí)籃子里還剩梨1個(gè).問(wèn)：籃子里原有梨多少個(gè)？思路導(dǎo)航：依題意，畫(huà)圖進(jìn)行分析.解：列綜合算式：｛［〔1＋1〕×2＋1］×2＋1｝×2＝22〔個(gè)〕答：籃子里原有梨22個(gè).例3.菜站原有冬貯大白菜假設(shè)干千克.第一天賣出原有大白菜的一半.第二天運(yùn)進(jìn)200千克.第三天賣出現(xiàn)有白菜的一半又30千克，結(jié)果剩余白菜的3倍是1800千克.求原有冬貯大白菜多少千克？思路導(dǎo)航：解題時(shí)用倒推法進(jìn)行分析.根據(jù)題目的條件畫(huà)線段圖〔見(jiàn)以下圖〕，使數(shù)量關(guān)系清晰的展現(xiàn)出來(lái).解：①剩余的白菜是多少千克？1800÷3＝600〔千克〕②第二天運(yùn)進(jìn)200千克后的一半是多少千克？600＋30＝630〔千克〕③第二天運(yùn)進(jìn)200千克后有白菜多少千克？630×2＝1260〔千克〕④原來(lái)的一半是多少千克？1260—200＝1060〔千克〕⑤原有貯存多少千克？1060×2＝2120〔千克〕答：菜站原來(lái)貯存大白菜2120千克.綜合算式：［〔1800÷3＋30〕×2—200］×2＝2120〔千克〕答：菜站原有冬貯大白菜2120千克.通過(guò)以上例題說(shuō)明，用倒推法解題時(shí)要注意：①?gòu)慕Y(jié)果出發(fā)，逐步向前一步一步推理.②在向前推理的過(guò)程中，每一步運(yùn)算都是原來(lái)運(yùn)算的逆運(yùn)算.③列式時(shí)注意運(yùn)算順序，正確使用括號(hào)穩(wěn)固訓(xùn)練一次數(shù)學(xué)考試后，李軍問(wèn)于昆數(shù)學(xué)考試得多少分.于昆說(shuō)：“用我得的分?jǐn)?shù)減去8加上10，再除以7，最后乘以4，得56.〞小朋友，你知道于昆得多少分嗎？馬小虎做一道整數(shù)減法題時(shí)，把減數(shù)個(gè)位上的1看成7，把減數(shù)十位上的7看成1，結(jié)果得出差是111.問(wèn)正確答案應(yīng)是幾？樹(shù)林中的三棵樹(shù)上共落著48只鳥(niǎo).如果從第一棵樹(shù)上飛走8只落到第二棵樹(shù)上；從第二棵樹(shù)上飛走6只落到第三棵樹(shù)上，這時(shí)三棵樹(shù)上鳥(niǎo)的只數(shù)相等.問(wèn)：原來(lái)每棵樹(shù)上各落多少只鳥(niǎo)？拓展提升一次數(shù)學(xué)考試后，李軍問(wèn)于昆數(shù)學(xué)考試得多少分.于昆說(shuō)：“用我得的分?jǐn)?shù)減去8加上10，再除以7，最后乘以4，得56.〞小朋友，你知道于昆得多少分嗎？馬小虎做一道整數(shù)減法題時(shí)，把減數(shù)個(gè)位上的1看成7，把減數(shù)十位上的7看成1，結(jié)果得出差是111.問(wèn)正確答案應(yīng)是幾？樹(shù)林中的三棵樹(shù)上共落著48只鳥(niǎo).如果從第一棵樹(shù)上飛走8只落到第二棵樹(shù)上；從第二棵樹(shù)上飛走6只落到第三棵樹(shù)上，這時(shí)三棵樹(shù)上鳥(niǎo)的只數(shù)相等.問(wèn)：原來(lái)每棵樹(shù)上各落多少只鳥(niǎo)？籃子里有一些梨.小剛?cè)∽呖倲?shù)的一半多一個(gè).小明取走余下的一半多1個(gè).小軍取走了小明取走后剩下一半多一個(gè).這時(shí)籃子里還剩梨1個(gè).問(wèn)：籃子里原有梨多少個(gè)？甲乙兩個(gè)油桶各裝了15千克油.售貨員賣了14千克.后來(lái)，售貨員從剩下較多油的甲桶倒一局部給乙桶使乙桶油增加一倍；然后從乙桶倒一局部給甲桶，使甲桶油也增加一倍，這時(shí)甲桶油恰好是乙桶油的3倍.問(wèn)：售貨員從兩個(gè)桶里各賣了多少千克油？火柴棍游戲① 擺圖形游戲例1. 用8根火柴棍可以擺成一個(gè)正方形?，F(xiàn)添兩根，即用10根火柴能擺出與這個(gè)正方形同樣大小的圖形嗎？思路導(dǎo)航：8根火柴擺一個(gè)正方形，每邊必是兩根火柴。它可以分成四個(gè)小正方形(如右圖)。因此，只要用10根火柴擺出有四個(gè)同樣大小的小正方形的圖形即可。下面的四個(gè)圖形都符合題意。例2. 用8根火柴棍擺出八個(gè)大小一樣的三角形和兩個(gè)一樣大小的正方形。②移動(dòng)火柴，變換圖形游戲例1. 右圖是用10根火柴棍擺成的一座房子。請(qǐng)移動(dòng)2根火柴，使房子改變方向。思路導(dǎo)航：如左以下圖所示，除虛線表示的2根火柴外，其余火柴是左、右對(duì)稱的，所以改變房子的方向與這些火柴無(wú)關(guān)，應(yīng)移動(dòng)虛線表示的2根火柴(見(jiàn)右以下圖)。例2. 在左以下圖中移動(dòng)4根火柴棍，使圖形成為只有三個(gè)正方形的圖形。思路導(dǎo)航：因?yàn)橹荒芤苿?dòng)4根火柴，所以圖中較長(zhǎng)的邊(3根或4根火柴的邊)都不能動(dòng)。把圖中最里面的4根火柴移補(bǔ)到右上圖的相關(guān)位置上即可。 例3. 在左以下圖中移動(dòng)4根火柴棍，使它變成3個(gè)三角形，并且這3個(gè)三角形的面積之和與原來(lái)的六邊形面積相同。③ 去掉火柴，變換圖形游戲例1. 在左以下圖中去掉盡量少的火柴棍，使得圖中不存在任何正方形。思路導(dǎo)航：拿掉的火柴應(yīng)能盡量多的“破壞〞正方形。如右上圖，拿掉虛線處的4根火柴即可。拿法不唯一。例2. 在左以下圖中，去掉4根火柴棍，使它變成兩個(gè)完全相同的圖形組合。巧求面積習(xí)題例1. 把一張長(zhǎng)14厘米，寬6厘米的長(zhǎng)方形紙，剪成邊長(zhǎng)是2厘米的小正方形，能剪多少個(gè)？思路導(dǎo)航：方法一：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是14厘米，剪成的正方形邊長(zhǎng)是2厘米，那么一行可剪14÷2=7個(gè)，如圖，長(zhǎng)方形的寬是6厘米，那么可剪6÷2=3行，這樣共剪7×3=21個(gè)。方法二：長(zhǎng)方形的面積是14×6=84平方厘米，剪成的小正方形的面積是2×2=4平方厘米，長(zhǎng)方形；面積是正方形面積的84÷4=21倍。所以可以剪21個(gè)。想一想：如果長(zhǎng)方形長(zhǎng)15厘米，寬8厘米，剪成邊長(zhǎng)為2厘米的小正方形，能剪多少個(gè)？應(yīng)怎樣求？能用第二種方法么？為什么？例2. 求下面圖形的面積〔單位：厘米〕345思路導(dǎo)航：這個(gè)圖形較復(fù)雜，沒(méi)有現(xiàn)成的公式可以求出面積。我們可以把這個(gè)圖形進(jìn)行分割或填補(bǔ)，把它轉(zhuǎn)化成幾個(gè)我們已經(jīng)學(xué)過(guò)的圖形如以下圖，用一條線段把原來(lái)的圖形分成一個(gè)正方形和一個(gè)長(zhǎng)方形，先分別求出正方形和長(zhǎng)方形的面積，再把兩局部面積相加，就可以求出原圖形的面積了。正方形面積：3×3=9平方厘米長(zhǎng)方形面積：〔3+4〕×2=14平方厘米組合圖形的面積：9+14=23平方厘米。想一想：這題還有別的方法嗎？〔補(bǔ)成一個(gè)大長(zhǎng)方形〕小結(jié)：有時(shí)，可采用“割〞或“補(bǔ)〞的方法，把不規(guī)那么圖形轉(zhuǎn)化成我們學(xué)過(guò)的圖形。例3. 用一根長(zhǎng)20厘米的鐵絲圍成一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)和寬都是整厘米數(shù)，可以圍成多少個(gè)不同的長(zhǎng)方形？面積分別是多少平方米？例4. 一個(gè)長(zhǎng)方形假設(shè)長(zhǎng)增加3厘米，面積就增加15平方厘米；假設(shè)寬減少2厘米，面積就減少20平方厘米。求原來(lái)長(zhǎng)方形的面積。例5. 兩張邊長(zhǎng)是6厘米的正方形紙，一局部疊在一起放在桌上〔如圖〕，重疊局部是個(gè)邊長(zhǎng)為3厘米的正方形。桌子被蓋住的面積是多少？方程式解應(yīng)用題例題與方法指導(dǎo)例1買(mǎi)來(lái)一批蘋(píng)果,分給幼兒園大班的小朋友,如果每人分3個(gè),那么還剩32個(gè).如果每人分8個(gè),還有5個(gè)小朋友分不到蘋(píng)果.這批蘋(píng)果的個(gè)數(shù)是多少個(gè)?蘋(píng)果數(shù)不變(抓不變量)、間接設(shè)未知數(shù)例2一條鯊魚(yú)，頭長(zhǎng)3米，身長(zhǎng)等于頭長(zhǎng)加尾長(zhǎng)，尾長(zhǎng)等于頭長(zhǎng)再加上半個(gè)身長(zhǎng)，這條魚(yú)全長(zhǎng)多少米？間接設(shè)未知數(shù)設(shè)鯊魚(yú)身長(zhǎng)x米。身長(zhǎng)=頭長(zhǎng)+尾長(zhǎng)，尾長(zhǎng)=x÷2＋3身長(zhǎng)＝3＋x÷2＋3，例3雞、兔共60只，雞腳比兔腳多60只。問(wèn)：雞、兔各多少只?解答：假設(shè)60只都是雞，沒(méi)有兔，那么就有雞腳120只，而兔的腳數(shù)為零。這樣雞腳比兔腳多120只，而實(shí)際上只多60只，這說(shuō)明假設(shè)的雞腳比兔腳多的數(shù)比實(shí)際上多120-60=60(只)?，F(xiàn)在以兔換雞，每換一只，雞腳減少2只，兔腳增加4只，即雞腳比兔腳多的腳數(shù)中就會(huì)減少4+2=6(只)，而60÷6=10，因此有兔子10只，雞60-10=50(只)。二、穩(wěn)固訓(xùn)練1.有一些糖，每人分5塊多10塊；如果現(xiàn)有的人數(shù)增加到原人數(shù)的1.5倍，那么每人4塊就少2塊.問(wèn)這些糖共有多少塊?解，等量關(guān)系為兩種分法的糖總數(shù)不變?cè)O(shè)開(kāi)始共有x人，5x+10=4×1.5x-2，解得x=12，所以這些糖共有12×5+10=70塊．2.甲、乙、丙、丁四人今年分別是16、12、11、9歲。問(wèn)：多少年前，甲、乙的年齡和是丙、丁年齡和的2倍？解答：這是一道年齡問(wèn)題，也可以用方程來(lái)解決。等量關(guān)系為：多少年前，甲、乙的年齡和是丙、丁年齡和的2倍。關(guān)鍵：在相同的時(shí)間內(nèi)，每個(gè)人增加或減少的年齡是相同的。設(shè)x年前，甲乙的年齡和是丙、丁年齡和的2倍.16+12-2x=2×(11+9-2x),解得x=6.所以，6年前，甲、乙的年齡和是丙、丁年齡和的2倍.移多補(bǔ)少平均數(shù) 在日常生活中，我們經(jīng)常遇到這樣的情況：有幾個(gè)杯子，里面的水有多有少。要想使杯中的水一樣多，就得把水多的杯子里的水倒一些到水少的杯子里。反復(fù)幾次，直到幾個(gè)杯子里的水一樣多。這就是我們經(jīng)常駐遇到的“移多補(bǔ)少〞……也就是求平均數(shù)問(wèn)題。一、例題與方法指導(dǎo)例1.小剛有5個(gè)抽屜，分別有圖書(shū)33本，42本，20本，53本和32本，平均每個(gè)抽屜里有圖書(shū)多少本？思路導(dǎo)航：分析：如果要求平均每個(gè)抽屜里的圖書(shū)，就是把5個(gè)抽屜的總數(shù)除以5。〔33+42+20+53+32〕÷5=36〔本〕或取較為中間的一個(gè)數(shù)，如35作為基數(shù)，再把每個(gè)抽屜中的書(shū)本與35的差算出來(lái)。將這些差相加減，多出的為加