貴州省遵義市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（含解析）

遵義市2022~2023學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測高二數(shù)學(xué)（滿分：150分，時間：120分鐘）注意事項：1．考試開始前，請用黑色簽字筆將答題卡上的姓名，班級，考號填寫清楚，并在相應(yīng)位置粘貼條形碼．2．客觀題答題時，請用2B鉛筆答題，若需改動，請用橡皮輕輕擦拭干凈后再選其它選項！主觀題答題時，請用黑色簽字筆在答題卡相成的位置答題；在規(guī)定區(qū)域以外的答題不給分，在試卷上作答無效．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系即可求.【詳解】化直線為，所以直線的斜率，令直線的傾斜角為，則，，.故選：C.2.拋物線的準(zhǔn)線方程為A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程知p＝2，可得拋物線準(zhǔn)線方程．【詳解】拋物線y2＝4x的焦點在x軸上，且2p=4,=1，∴拋物線的準(zhǔn)線方程是x＝﹣1．故選C．【點睛】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、拋物線的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，屬于基礎(chǔ)題．3.已知向量，若，則x的值為（）A.－2 B.－1 C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意可得，進而求出x的值.【詳解】因為，所以，即，解得，故選：D.4.已知正實數(shù)a、b滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.4【答案】A【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用，可得答案.【詳解】由，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故選：A.5.若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將、與2比較可得，將、用換底公式變換后構(gòu)造函數(shù)，研究其單調(diào)性比較即可.【詳解】∵，，∴，又∵，，，∴，即：，∴，∴.故選：B.6.已知兩條直線和，下列不正確的是（）A.“a＝1”是“”的充要條件B.當(dāng)時，兩條直線間的距離為C.當(dāng)斜率存在時，兩條直線不可能垂直D.直線橫截距為1【答案】D【解析】【分析】由直線平行關(guān)系可以判斷A正確；利用平行線間距離公式可以判斷B正確；利用垂直關(guān)系可以判斷C正確；令可以求出直線得橫截距.【詳解】當(dāng)時，，則，當(dāng)時，直線與重合，故舍去，所以A正確；當(dāng)時，，和間的距離為，所以B正確；若，則，則，又當(dāng)斜率存在時，，所以C正確；，令得，所以直線橫截距為-1，所以D錯誤.故選：D.7.已知函數(shù)的圖象如下圖所示，則的大致圖象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先由函數(shù)的圖象變換得到偶函數(shù)的圖象，再根據(jù)平移變換得到的圖象.【詳解】在軸左側(cè)作函數(shù)關(guān)于軸對稱的圖象，得到偶函數(shù)的圖象，向左平移一個單位得到的圖象.故選：A.8.投擲一枚均勻的骰子，記事件A：“朝上的點數(shù)大于3”，B：“朝上的點數(shù)為2或4”，則下列說法正確的是（）A.事件A與事件B互斥 B.事件A與事件B對立C.事件A與事件B相互獨立 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)互斥事件以及對立事件的概念結(jié)合事件A與事件B的基本事件可判斷A，B；根據(jù)獨立事件的概率公式可判斷C；求出事件的概率可判斷D.【詳解】對于A，B，事件A：“朝上的點數(shù)大于3”，B：“朝上的點數(shù)為2或4”，這兩個事件都包含有事件：“朝上的點數(shù)為4”，故事件A與事件B不互斥，也不對立，A，B錯誤；對于C，投擲一枚均勻骰子，共有基本事件6個，事件A：“朝上的點數(shù)大于3”包含的基本事件個數(shù)有3個，其概率為,B：“朝上的點數(shù)為2或4”，包含的基本事件個數(shù)有2個，其概率為,事件包含的基本事件個數(shù)有1個，其概率為,由于,故事件A與事件B相互獨立，C正確；對于D，事件包含的基本事件個數(shù)有朝上的點數(shù)為共4個，故，D錯誤，故選：C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每個小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)f（x）為偶函數(shù)B.函數(shù)f（x）的定義域為C.函數(shù)f（x）的最小值為2D.函數(shù)f（x）在（0，＋∞）單調(diào)遞減【答案】ABC【解析】【分析】對于A：根據(jù)偶函數(shù)的定義即可判斷；對于B：分母不為0即可判斷；對于C：根據(jù)基本不等式即可判斷；對于D：求導(dǎo)即可判斷.【詳解】對于A：的定義域為，關(guān)于原點對稱，而，所以為偶函數(shù).故A正確；對于B：，的定義域為.故B正確；對于C：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故的最小值為2.故C正確；對于D：，當(dāng)時，令即，解得，令即，解得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.故D錯誤.故選：ABC.10.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)f（x）的最小正周期為B.將函數(shù)f（x）的圖象向右平移個單位后的圖象關(guān)于y軸對稱C.函數(shù)f（x）的一個對稱中心為D.函數(shù)f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】AD【解析】分析】運用輔助角公式化簡、圖象平移變換，再研究其周期性、奇偶性、對稱性及單調(diào)性即可.【詳解】，對于A項，，故A項正確；對于B項，的圖象向右平移個單位后為，所以，所以圖象不關(guān)于y軸對稱.故B項錯誤；對于C項，因為，，所以的對稱中心為，，當(dāng)時，，所以不是的對稱中心.故C項錯誤；對于D項，因為，則，，令，則，，因為在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減.故D項正確.故選：AD.11.已知直線l：，點P為⊙M：上一點，則（）A.直線l與⊙M相離B.點P到直線l距離的最小值為C.與⊙M關(guān)于直線l對稱的圓的方程為D.平行于l且與⊙M相切的兩條直線方程為和【答案】AC【解析】【分析】利用圓心到直線l的距離與半徑的關(guān)系可以判斷A正確；點P到直線l距離的最小值為，判斷B錯誤；求出圓心關(guān)于直線l對稱點，進而求出圓的方程，判斷C正確；利用圓心到直線的距離，求出其切線方程，判斷D錯誤.【詳解】⊙M：，圓心，半徑，圓心到直線l：的距離為：，所以直線l與⊙M相離，故A正確；點P到直線l距離的最小值為，故B錯誤；設(shè)圓心關(guān)于直線l對稱點為，則，解得，則與⊙M關(guān)于直線l對稱的圓的方程為，故C正確；設(shè)平行于l且與⊙M相切的直線方程為，則，解得或，平行于l且與⊙M相切的兩條直線方程為和，故D錯誤.故選：AC.12.雙曲線C：的左、右焦點分別為，過點的直線與雙曲線右支交于A、B兩點，和內(nèi)切圓半經(jīng)分別為和，則（）A.雙曲線C的漸近線方程為B.面積最小值為15C.和的內(nèi)切圓圓心的連線與x軸垂直D.為定值【答案】BCD【解析】【分析】A：根據(jù)定義和雙曲線性質(zhì)得漸近線方程為；B：，聯(lián)立方程，找到面積的表達式，函數(shù)解析式找到最小值，在垂直時取到；CD:畫圖，設(shè)圓切、、分別于點、、，推導(dǎo)出點、、的橫坐標(biāo)為，證得軸，，可得出，得證；【詳解】選項:雙曲線的漸近線方程為化簡成一般式為，錯誤；選項：設(shè)則；設(shè)過點的直線為l顯然與軸不垂直，設(shè)：，，，聯(lián)立，故，，由于A，均在雙曲線右支，故，解得，帶入得：，代入韋達定理得，令，則，易知隨的增大而減小，則當(dāng)時，，綜上：的面積的最小值為15，正確；選項:（如圖所示）過的直線與雙曲線的右支交于、兩點，由切線長定理可得，，，所以，則，所以點的橫坐標(biāo)為.故點的橫坐標(biāo)也為，同理可知點的橫坐標(biāo)為，故軸，正確；選項：由C可知圓和圓均與軸相切于，圓和圓兩圓外切.在中，，，，，所以，，所以，，則，所以，即，正確；故答案為：BCD【點睛】方法點睛：雙曲線中的面積最值問題的處理方法：設(shè)出直線方程，設(shè)出交點坐標(biāo)，，直線方程代入雙曲線方程后應(yīng)用韋達定理得，可根據(jù)交點情況得出參數(shù)范圍，利用點的坐標(biāo)求出面積，代入韋達定理的結(jié)果后面積可化為所設(shè)參數(shù)的函數(shù)，從而再利用函數(shù)知識、不等式知識求得最值．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若復(fù)數(shù)，則|z|＝___．【答案】【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模長的計算公式，可得答案.【詳解】由題意，復(fù)數(shù)的實部為，虛部為，則.故答案為：.14.若，則tan2＝___．【答案】.【解析】【分析】方法1：運用特殊角的三角函數(shù)值計算即可.方法2：運用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系與商式關(guān)系及二倍角公式計算即可.【詳解】方法1：∵，，∴，∴.方法2：∵，∴，∴，∴.故答案為：.15.已知三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，若PA＝2，AB＝1，，則三棱錐P－ABC外接球的表面積為___．【答案】【解析】【分析】由題意結(jié)合球心的性質(zhì)確定三棱錐的外接球的球心的位置，求得球的半徑，即可求外接球的表面積【詳解】由題意，在三棱錐中，平面，平面，所以，,又，，平面，所以平面，平面，所以，設(shè)的中點為，因為，所以，因為，所以，所以為三棱錐外接球的球心，因為，，所以，因為，，，所以，設(shè)三棱錐外接球的為，所以，所以三棱錐的外接球的表面積為．故答案為：.16.已知函數(shù)，若方程有四個不相等的實數(shù)根、、、，且，則的取值范圍是___．【答案】.【解析】【分析】畫出的圖象可得m的范圍，，，，代入所求式子轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在上的值域即可.【詳解】的圖象如圖所示，∵方程有四個不相等的實根，∴，又∵，，∴，，，∴，又∵上單調(diào)遞減，∴，∴，∴的取值范圍為.故答案為：.四．解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.2022年卡塔爾世界杯正賽在北京時間11月21日－12月18日進行，賽場內(nèi)外，豐富的中國元素成為世界杯重要的組成部分，某企業(yè)為了解廣大球迷世界杯知識的知曉情況．在球迷中開展了網(wǎng)上測試，從大批參與者中隨機抽取100名球迷，他們測試得分（滿分100分）數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示：（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求a的值；（2）若從得分在[75，90]內(nèi)的球迷中用分層抽樣的方法抽取6人作世界杯知識分享，并在這6人中選取2人擔(dān)任分享交流活動的主持人，求選取的2人中至少有1名球迷得分在內(nèi)的概率．【答案】（1）0.04.（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)所有頻率之和為1列式解方程即可.（2）根據(jù)分層抽樣的抽樣比相同抽取人數(shù)，用列舉法解決古典概型.【小問1詳解】，解得：.【小問2詳解】由分層抽樣可知，從得分在內(nèi)的球迷中抽取人，分別記為、、，從得分在內(nèi)的球迷中抽取人，分別記為、，從得分在內(nèi)的球迷中抽取人，記為.所以從這6人中選取2人的基本事件有、、、、、、、、、、、、、、，共有15個，兩人中至少有1名球迷得分在內(nèi)的基本事件有、、、、、、、、，共有9個.所以兩人中至少有1名球迷得分在內(nèi)的概率為.18.已知的圓心在直線上，且過點．（1）求的方程；（2）若：，求與公共弦的長度．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出的垂直平分線的方程，聯(lián)立方程求得圓心坐標(biāo)，繼而求得半徑，即可得答案；（2）求出兩圓的公共線的方程，求得到該直線的距離，根據(jù)圓的弦長的求法可得答案.【小問1詳解】由題意知的圓心在直線上，且過點，則的垂直平分線方程為，即，聯(lián)立，解得，即圓心為，則半徑為，故的方程為【小問2詳解】因為，而，故和相交，將和相減可得，點到直線的距離為，故與公共弦的長度為.19.如圖，正四棱柱中，M為中點，且．（1）證明：平面；（2）求DM與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析.（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明結(jié)論；（2）作,證明平面,找到DM與平面所成角，求出相關(guān)線段的長，解直角三角形即可求得答案.【小問1詳解】證明：如圖，連接,因為,所以四邊形為平行四邊形，故,又平面，平面,故平面.【小問2詳解】作,垂足為P，因為平面,M為中點，平面,平面,故,平面,故平面,連接,則為DM與平面所成角，在中，,而,故在中,,即DM與平面所成角的正弦值為.20.在①；②這兩個條件中選擇一個，補充在下面問題中并解答．問題：在△ABC中，A，B，C所對邊分別為a，b，c，___________．（1）求C；（2）若a＝1，b＝2，D在線段AB上，且滿足，求線段CD的長．注：如果選擇多個條件分別作答，則按第一個解答計分．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）選擇條件①，先用正弦定理將角轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，再利用余弦定理即可；選擇條件②，先用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，再由兩角和的正弦公式結(jié)合誘導(dǎo)公式即可求解；（2）先利用余弦定理求出，從而可得到，再由題意求出，再根據(jù)勾股定理即可求得．【小問1詳解】選擇條件①，依題意由正弦定理得，即，又由余弦定理得，且，得，選擇條件②，依題意由正弦定理得,即，又，則，所以，得，【小問2詳解】結(jié)合（1）由余弦定理得，即，則，所以，又，即，則，則在Rt△CBD中，，得．21.如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD平行四邊形，PA⊥平面ABCD，點H為線段PB上一點（不含端點），平面AHC⊥平面PAB．（1）證明：；（2）若，四棱錐P－ABCD的體積為，求二面角P－BC－A的余弦值．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）利用面面垂直性質(zhì)定理與線面垂直性質(zhì)定理，結(jié)合公理2，可得線面垂直，可得答案；（2）根據(jù)