2024屆江蘇省南京市、鹽城市數(shù)學(xué)高二下期末統(tǒng)考試題含解析

2024屆江蘇省南京市、鹽城市數(shù)學(xué)高二下期末統(tǒng)考試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．元朝著名數(shù)學(xué)家朱世杰在《四元玉鑒》中有一首詩(shī):“我有一壺酒，攜著游春走，遇店添一倍，逢友飲一斗，店友經(jīng)三處，沒(méi)了壺中酒，借問(wèn)此壺中，當(dāng)原多少酒?”用程序框圖表達(dá)如圖所示，即最終輸出的，則一開(kāi)始輸入的x的值為()A． B． C． D．2．在中，為邊上一點(diǎn)，且，向量與向量共線，若，，，則（）A．3 B． C．2 D．3．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．4．設(shè)F為雙曲線C：（a>0，b>0）的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點(diǎn)．若|PQ|=|OF|，則C的離心率為A． B．C．2 D．5．的展開(kāi)式中有理項(xiàng)系數(shù)之和為（）A． B． C． D．6．的值為（）A．0 B．2 C．－1 D．17．已知是虛數(shù)單位，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．如果根據(jù)是否愛(ài)吃零食與性別的列聯(lián)表得到，所以判斷是否愛(ài)吃零食與性別有關(guān)，那么這種判斷犯錯(cuò)的可能性不超過(guò)（）注：0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828A．2.5% B．0.5% C．1% D．0.1%9．若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．10．等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則（）A．12 B．10C．9 D．11．展開(kāi)式中的所有項(xiàng)系數(shù)和是（）A．0 B．1 C．256 D．51212．隨機(jī)拋擲一枚骰子，則所得骰子點(diǎn)數(shù)的期望為（）A．0.6 B．1 C．3.5 D．2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若向量與平行．則__．14．一個(gè)長(zhǎng)方體共一項(xiàng)點(diǎn)的三個(gè)面的面積分別是，這個(gè)長(zhǎng)方體對(duì)角線的長(zhǎng)是____________.15．若對(duì)一切恒成立，則a的取值范圍為_(kāi)_______.16．同宿舍的6個(gè)同學(xué)站成一排照相，其中甲只能站兩端，乙和丙必須相鄰，一共有_____種不同排法（用數(shù)字作答）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓M的方程是，直線與橢圓M交于A、B兩點(diǎn)，且橢圓M上存在點(diǎn)滿足，求的值.18．（12分）已知函數(shù)當(dāng)時(shí)，討論的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象恒在圖象上方，求正整數(shù)的最大值.19．（12分）如圖，在多面體中，四邊形為等腰梯形，，已知，，，四邊形為直角梯形，，.（1）證明：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.20．（12分）設(shè)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)，且.（1）若橢圓的離心率為，求橢圓的方程；（2）設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，直線與軸相交于點(diǎn)，若以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，證明：點(diǎn)在直線上.21．（12分）已知函數(shù)．（1）若不等式無(wú)解,求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為,求實(shí)數(shù)的值．22．（10分）已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

由已知中的程序語(yǔ)句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算輸入時(shí)變量x的值，模擬程序的運(yùn)行過(guò)程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得到答案.【題目詳解】本題由于已知輸出時(shí)x的值，因此可以逆向求解：輸出,此時(shí)；上一步：,此時(shí)；上一步：,此時(shí)；上一步：,此時(shí)；故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)，考查了學(xué)生邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解題分析】取BC的中點(diǎn)E，則與向量共線，所以A、D、E三點(diǎn)共線，即中邊上的中線與高線重合，則.因?yàn)?，所以G為的重心，則所以本題選擇B選項(xiàng).3、A【解題分析】

令，由可知在上單調(diào)遞增，從而可得在上恒成立；通過(guò)分離變量可得，令，利用導(dǎo)數(shù)可求得，從而可得，解不等式求得結(jié)果.【題目詳解】由且得：令，可知在上單調(diào)遞增在上恒成立，即：令，則時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增，解得：本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解參數(shù)范圍的問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠?qū)⒁阎P(guān)系式變形為符合單調(diào)性的形式，從而通過(guò)構(gòu)造函數(shù)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)大于等于零恒成立的問(wèn)題；解決恒成立問(wèn)題常用的方法為分離變量，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為參數(shù)與函數(shù)最值之間的大小關(guān)系比較的問(wèn)題，屬于?？碱}型.4、A【解題分析】

準(zhǔn)確畫(huà)圖，由圖形對(duì)稱性得出P點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓的方程得到c與a關(guān)系，可求雙曲線的離心率．【題目詳解】設(shè)與軸交于點(diǎn)，由對(duì)稱性可知軸，又，為以為直徑的圓的半徑，為圓心．，又點(diǎn)在圓上，，即．，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題為圓錐曲線離心率的求解，難度適中，審題時(shí)注意半徑還是直徑，優(yōu)先考慮幾何法，避免代數(shù)法從頭至尾，運(yùn)算繁瑣，準(zhǔn)確率大大降低，雙曲線離心率問(wèn)題是圓錐曲線中的重點(diǎn)問(wèn)題，需強(qiáng)化練習(xí)，才能在解決此類問(wèn)題時(shí)事半功倍，信手拈來(lái)．5、B【解題分析】分析：在二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)為整數(shù)，求出r的值，再利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，即可求得展開(kāi)式中有理項(xiàng)系數(shù)之和．詳解：（1+）6的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)r+1=?，令為整數(shù)，可得r=0，2，4，6，故展開(kāi)式中有理項(xiàng)系數(shù)之和為+++=25=32，故選：B．點(diǎn)睛：求二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略(1)求展開(kāi)式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫(xiě)出第r＋1項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出r值即可.(2)已知展開(kāi)式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫(xiě)出第r＋1項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出r值，最后求出其參數(shù)6、D【解題分析】分析：求二項(xiàng)展開(kāi)式系數(shù)和一般方法為賦值法，即分別令x=1與x=-1得，最后相乘得結(jié)果.詳解：令，則，令，則，因此，選D.點(diǎn)睛：“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對(duì)形如的式子求其展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法，只需令即可；對(duì)形如的式子求其展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令即可.7、A【解題分析】

分子分母同時(shí)乘以，化簡(jiǎn)整理，得出，再判斷象限．【題目詳解】，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（），所以位于第一象限．故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解題分析】

根據(jù)得到，得到答案.【題目詳解】，故，故判斷“是否愛(ài)吃零食與性別有關(guān)”出錯(cuò)的可能性不超過(guò)2.5%.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)問(wèn)題，意在考查學(xué)生的理解能力和應(yīng)用能力.9、A【解題分析】

令分離常數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性和極值，結(jié)合與有三個(gè)交點(diǎn)，求得的取值范圍.【題目詳解】方程可化為，令，有，令可知函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為、，則，，當(dāng)時(shí)，，則若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選A.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.10、C【解題分析】

先利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)計(jì)算出的值，再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及等比中項(xiàng)的性質(zhì)得出結(jié)果．【題目詳解】由等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得，等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，則，由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)得，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查等比中項(xiàng)和對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，解題時(shí)充分利用這些運(yùn)算性質(zhì)，可簡(jiǎn)化計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題．11、B【解題分析】

令，可求出展開(kāi)式中的所有項(xiàng)系數(shù)和.【題目詳解】令，則，即展開(kāi)式中的所有項(xiàng)系數(shù)和是1，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了展開(kāi)式的系數(shù)和的求法，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解題分析】

寫(xiě)出分布列，然后利用期望公式求解即可．【題目詳解】拋擲骰子所得點(diǎn)數(shù)的分布列為123456所以．故選：．【題目點(diǎn)撥】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由題意利用兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算法則，求得的值．【題目詳解】由題意，向量與平行，所以，解得．故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．14、【解題分析】

由長(zhǎng)方體對(duì)角線與棱長(zhǎng)的關(guān)系計(jì)算．【題目詳解】設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，則，解得，∴對(duì)角線長(zhǎng)．故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題考查求長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)，設(shè)長(zhǎng)方體棱長(zhǎng)分別為，則對(duì)角線長(zhǎng)．15、【解題分析】

由題意可得恒成立，設(shè)，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性、極值和最值，即有a小于最小值．【題目詳解】對(duì)一切恒成立，可得恒成立，設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)，，遞增；時(shí)，，遞減，可得處取得極小值，且為最小值4，可得．故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題考查不等式恒成立問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．16、【解題分析】

設(shè)甲乙丙之外的三人為A、B、C，將乙和丙看作一個(gè)整體，與A、B、C三人全排列，然后排甲，甲只能在兩端，有2種站法，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可求出答案.【題目詳解】設(shè)甲乙丙之外的三人為A、B、C，將乙和丙看作一個(gè)整體，與A、B、C三人全排列，有種，甲只能在兩端，甲有2種站法，則共有種排法.【題目點(diǎn)撥】本題考查了排列組合，考查了相鄰問(wèn)題“捆綁法”的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、【解題分析】

設(shè)出點(diǎn)A,B的坐標(biāo)，聯(lián)立準(zhǔn)線方程與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理和平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則可得關(guān)于實(shí)數(shù)m的方程，解方程即可確定m的值.【題目詳解】設(shè)，聯(lián)立，得，，解得，，，在橢圓上，，解得.【題目點(diǎn)撥】解決直線與橢圓的綜合問(wèn)題時(shí)，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題．18、（1）當(dāng)時(shí)，在存在唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在沒(méi)有零點(diǎn)（2）【解題分析】

（1）首先求，令，然后求，討論當(dāng)時(shí)，，判斷函數(shù)的單調(diào)性和端點(diǎn)值，判斷函數(shù)是否有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，同樣是判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，可判斷函數(shù)是否存在零點(diǎn)；（2）由，參變分離求解出在上恒成立，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值，設(shè)，，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最小值.【題目詳解】解：（1）.令，，則,①當(dāng)時(shí)，當(dāng)，，單調(diào)遞減，又，所以對(duì)時(shí)，，此時(shí)在不存在零點(diǎn).②當(dāng)時(shí)，當(dāng)，，單調(diào)遞減.又因?yàn)?，取，則，即.根據(jù)零點(diǎn)存在定理，此時(shí)在存在唯一零點(diǎn).綜上，當(dāng)時(shí)，在存在唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在沒(méi)有零點(diǎn).（2）由已知得在上恒成立.設(shè)，，則因?yàn)闀r(shí)，所以，設(shè)，，所以在上單調(diào)遞增，又，，由零點(diǎn)存在定理，使得，即,，且當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增.所以，又在上單調(diào)遞減，而，所以，因此，正整數(shù)的最大值為.【題目點(diǎn)撥】本題第一問(wèn)考查了判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題，這類問(wèn)題需判斷函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在性定理判斷，已知函數(shù)是單調(diào)函數(shù)的前提下，需滿足，才可以說(shuō)明區(qū)間內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，但難點(diǎn)是有時(shí)候或不易求得，本題中，證明的過(guò)程中，用到了，以及只有時(shí)，才有，這種賦端點(diǎn)值是比較難的.19、（1）見(jiàn)解析（2）【解題分析】分析：（1）通過(guò)取AD中點(diǎn)M，連接CM，利用，得到直角；再利用可得；而,DE平面ADEF，所以可得面面垂直．（2）以AD中點(diǎn)O建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo)，求得平面CAE與直線BE向量，根據(jù)直線與法向量的夾角即可求得直線與平面夾角的正弦值．詳解：（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，，，由四邊形為平行四邊形，可知，在中，有，∴.又，，∴平面，∵平面，∴.又，，∴平面.∵平面，∴平面平面.（2）解：由（1）知平面平面，如圖，取的中點(diǎn)為，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，.設(shè)平面的法向量，則，即，不妨令，得.故直線與平面所成角的正弦值.點(diǎn)睛：本題考查了空間幾何體面面垂直的綜合應(yīng)用，利用法向量法求線面夾角的正弦值，關(guān)鍵注意計(jì)算要準(zhǔn)確，屬于中檔題．20、（1）；（2）見(jiàn)解析【解題分析】

（1）設(shè)，由，得，且，得，，，∴橢圓的方程為；（2）由題意，得，∴橢圓的方程，則，，，設(shè)，由題意知，則直線的斜率，直線的方程為，當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)，直線的斜率為，∵以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，∴，化簡(jiǎn)得，又∵為橢圓上一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，∴，，，由①②，解得，，∴，即點(diǎn)在直線上．21、(1);(2).【解題分析】分析：⑴化簡(jiǎn)不等式得，利用不等式性質(zhì)轉(zhuǎn)化為時(shí)滿足題意，求出實(shí)數(shù)的取值范圍⑵由代入化簡(jiǎn)不等式得不等式組，結(jié)合單調(diào)性求出最小值詳解：（Ⅰ）∵，∵，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴要使不等式無(wú)解，只需，解得或，則實(shí)數(shù)的取值范圍為：.（Ⅱ）因?yàn)?，所以，∴在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以，解得適合.點(diǎn)睛：本題考查了含有絕對(duì)值不等式的解答，運(yùn)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，求出最值，當(dāng)參數(shù)確定范圍時(shí)，代入進(jìn)行化簡(jiǎn)得到函數(shù)的表達(dá)式，根據(jù)單調(diào)性求出結(jié)果．22、（1）見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析【解題分析】

（1）計(jì)算導(dǎo)數(shù)，采用分類討論的方法，，與，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判定原函數(shù)的單調(diào)性，可得結(jié)果.（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，可得，然后構(gòu)造新函數(shù)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性，