高中數(shù)學必修1-5知識點歸納及公式大全

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必修1數(shù)學知識點

第一章、集合與函數(shù)概念

?1.1.K集合

1、把研究的對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合。集合三要素:

確定性、互異性、無序性。2、只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的，就稱這兩個

集合相等。

*3、常見集合:正整數(shù)集合:或，整數(shù)集合：，有理數(shù)集合：，實數(shù)集合:.

ZRNNQ,

4、集合的表示方法:列舉法、描述法.

集合間的基本關(guān)系

1、一般地，對于兩個集合A、B,如果集合A中任意一個元素都是集合B中的

元素，則稱集合A是集合B的

A,B子集。記作.

A,Bx,Bx,A2、如果集合，但存在元素，且，則稱集合A是集合B的真子集.記

作:AB.

,3、把不含任何元素的集合叫做空集.記作:?并規(guī)定:空集合是任何集合的子

集.

n4、如果集合A中含有n個元素，則集合A有個子集.2

?1.1.3、集合間的基本運算

A:B1、一般地，由所有屬于集合A或集合B的元素組成的集合，稱為集合A

與B的并集.記作:.

A:B2、一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為A

與B的交集.記作:.3、全集、補集，CAxxUxU,且U

?1.2.K函數(shù)的概念

1、設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系，使對于集合A中

的任意一個數(shù)，在集合B中都xf

有惟一確定的數(shù)和它對應(yīng)，那么就稱為集合A到集合B的一個函數(shù)，記

作：.,,,,fxy,fx,x,Af:A,B

2、一個函數(shù)的構(gòu)成要素為:定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域.如果兩個函數(shù)的定義域

相同，并且對應(yīng)關(guān)系完全一致，

則稱這兩個函數(shù)相等.

?1.2.2、函數(shù)的表示法

1、函數(shù)的三種表示方法:解析法、圖象法、列表法.

?1.3.K單調(diào)性與最大(小)值

1、注意函數(shù)單調(diào)性證明的一般格式：

解：設(shè)，，且，則：，，，，=?x,x,a,bx,xfx,fxl21212

?1.3.2、奇偶性

1、一般地，如果對于函數(shù)，，的定義域內(nèi)任意一個x,都有，，，，，那么

就稱函數(shù)，，為偶函數(shù).fxf,x,fxfx

y偶函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱.

,,X,,,,,,2、一般地，如果對于函數(shù)fx的定義域內(nèi)任意一個，都有

f,x,,fx,那么就稱函數(shù)fx為奇函數(shù).

奇函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱.

第二章、基本初等函數(shù)(?)

指數(shù)與指數(shù)塞的運算

nx,axann,1,n,Nl>一般地，如果，那么叫做的次方根。其中.，

nna,an2、當為奇數(shù)時，；

-1-

nna,a當為偶數(shù)時，.n

3、我們規(guī)定：

nmnm?a,a

*;,,a,0,m,n,N,m,1

In,?,,;a,n,Ona

4、運算性質(zhì)：

rsr,s,aa,aa,0,r,s,Q

srrs?;,,,,a,aa,0,r,s,Q

rrr?.,,,,ab,aba,0,b,0,r,Q?2.1.2>指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

?2.2.1、對數(shù)與對數(shù)運算

xl>;a,N,logN,xa

logNaa,a2>.

3、logl,0,loga,1.aa

4、當時：a,0,a,1,M,0,N,0

,,logMN,logM,logN?;aaa

M,,?;log,logM,logN,,aaaN,,

n?.logM,nlogMaa

logbclogb,5>換底公式：alogac

,,,a,0,a,1,c,0,c,1,b,0

llogb,6、alogab

-2-

,,,a,0,a,1,b,0,b,1

?2?.2.2、對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

?3.1.1、方程的根與函數(shù)的零點

1、方程有實根，，fx,0

函數(shù)的圖象與軸有交點，，xy,fx,

函數(shù)有零點.，，y,fx,

2、性質(zhì)：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那

么，，，，，，，，，y,fxa,bfa,fb,0

函數(shù)，，在區(qū)間，，內(nèi)有零點，即存在，，，使得，，，這個c也就是方

程，，的根.y,fxa,be,a,bfc,Ofx,0

?3.1.2、用二分法求方程的近似解

、掌握二分法.1

?3.2.1、幾類不同增長的函數(shù)模型

?3.2.2、函數(shù)模型的應(yīng)用舉例

1、解決問題的常規(guī)方法:先畫散點圖，再用適當?shù)暮瘮?shù)擬合，最后檢驗.

必修2數(shù)學知識點1、空間幾何體的結(jié)構(gòu)

?常見的多面體有:棱柱、棱錐、棱臺；常見的旋轉(zhuǎn)體有：圓柱、圓錐、圓臺、

球。？棱柱:有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的

公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面

體叫做棱柱。

-3-

?棱臺：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分，這樣

的多面體叫做棱臺。

2、空間幾何體的三視圖和直觀圖

把光由一點向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影線交于一點;把

在一束平行光線照射下的投影叫平行投影，

平行投影的投影線是平行的。

3、空間幾何體的表面積與體積

?圓柱側(cè)面積;S,2,,r,l側(cè)面

?圓錐側(cè)面積：S,,,r,1側(cè)面

?圓臺側(cè)面積：S,,,r,1,,,R,1側(cè)面

?體積公式：

IV,S,hV,S,h;;錐體柱體3

1,,V,S,S,S,Sh下下臺體上上3

?球的表面積和體積：

423S4RVR,,,,,,球球3

第二章:點、直線、平面之間的位置關(guān)系

1、公理1:如果一條直線上兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。

2、公理2:過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。

3、公理3:如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該

點的公共直線。4、公理4:平行于同一條直線的兩條直線平行.

5、定理:空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補。

6、線線位置關(guān)系:平行、相交、異面。

7、線面位置關(guān)系:直線在平面內(nèi)、直線和平面平行、直線和平面相交。8、面

面位置關(guān)系:平行、相交。

9、線面平行：

?判定:平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平

行。？性質(zhì)：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線

與該直線平行。10、面面平行：

?判定:一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。

-4-

?性質(zhì)：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。

11、線面垂直：

?定義:如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的任意一條直線，那么就說這條直線和

這個平面垂直。

?判定:一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂

直。？性質(zhì)：垂直于同一個平面的兩條直線平行。

12、面面垂直:

?定義:兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互

相垂直。？判定:一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面垂直。？性

質(zhì)：兩個平面互相垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面。第三

章:直線與方程

y,y211>傾斜角與斜率：k,tan,,x,x21

2、直線方程：

?點斜式：，，y,y,kx,xOO

?斜截式：y,kx,b

y,yx,xll?兩點式:,y,yx,x2121

?一般式：Ax,By,C,0

3、對于直線：

有：1:y,kx,b,1:y,kx,blll222

,kk,12,1//1?;,12,bbl2,

?和相交,，kk;111212

,kk,12,?和重合;11,12b,bl2,

?.1,l,kk,,11212

4、對于直線：

l:Ax,By,C,0,llU有：l:Ax,By,C,02222

AB,AB,12211//1,?;,12BCBC,1221,

11,AB,AB?和相交；121221

-5-

,ABAB,1221?和重合;,11,12BC,BC1221,

?.1,1,AA,BB,0121212

5、兩點間距離公式：

22,,,,PP,x,x,y,y122121

6、點到直線距離公式：

Ax,By,COOd,22A,B

第四章：圓與方程

1、圓的方程：

222?標準方程：，，，，x,a,y,b,r

22?一般方程:.x,y,Dx,Ey,F,02,兩圓位置關(guān)系：d,0012

d,R,r?夕卜離：;

d,R,r?夕卜切:;

R,r,d,R,r?相交：；

d,R,r?內(nèi)切：；

d,R,r?內(nèi)含:.

3、空間中兩點間距離公式：

222,,,,,,PP,x,x,y,y,z,z12212121

必修3數(shù)學知識點

第一章:算法

1、算法三種語言：

自然語言、流程圖、程序語言；2、算法的三種基本結(jié)構(gòu)：

順序結(jié)構(gòu)、選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)3、流程圖中的圖框：

起止框、輸入輸出框、處理框、判斷框、流程線等規(guī)范表示方法；

4、循環(huán)結(jié)構(gòu)中常見的兩種結(jié)構(gòu)：

當型循環(huán)結(jié)構(gòu)、直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)5、基本算法語句：

?賦值語句：（有時也用“？”）？輸入輸出語句：“INPUT”“PRINT"？條

件語句：

If?Then

Else?

EndIf

-6-

?循環(huán)語句：“Do"語句

Do

，，

Until?

End

“While”語句

While?

，，

WEnd

?算法案例:輾轉(zhuǎn)相除法一同余思想

第二章:統(tǒng)計

1、抽樣方法：

?簡單隨機抽樣（總體個數(shù)較少）

?系統(tǒng)抽樣（總體個數(shù)較多）

?分層抽樣（總體中差異明顯）

n注意:在N個個體的總體中抽取出n個個體組成樣本，每個個體被抽到的機會

（概率）均為。N

2、總體分布的估計：

?一表二圖：

?頻率分布表一一數(shù)據(jù)詳實

?頻率分布直方圖一一分布直觀

?頻率分布折線圖一一便于觀察總體分布趨勢注:總體分布的密度曲線與橫軸

圍成的面積為1。？莖葉圖：

?莖葉圖適用于數(shù)據(jù)較少的情況，從中便于看出數(shù)據(jù)的分布，以及中位數(shù)、眾

位數(shù)等。

?個位數(shù)為葉，十位數(shù)為莖，右側(cè)數(shù)據(jù)按照從小到大書寫，相同的藥重復(fù)寫。

3、總體特征數(shù)的估計：

xxxx,,,?,123n?平均數(shù)：；x,n

取值為x,x,?,x的頻率分別為p,p,?,p,則其平均數(shù)為xp,xp,?,xp;

12nl2nll22nn

注意:頻率分布表計算平均數(shù)要取組中值。？方差與標準差:一組樣本數(shù)據(jù)

x,x,?,x12n

2n12方差：；s,(x,x)i,n,il

2nls,(x,x)標準差:i,n,il

注:方差與標準差越小，說明樣本數(shù)據(jù)越穩(wěn)定。平均數(shù)反映數(shù)據(jù)總體水平;方

差與標準差反映數(shù)據(jù)的穩(wěn)定水平。

?線性回歸方程

?變量之間的兩類關(guān)系：函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系；？制作散點圖，判斷線性相關(guān)關(guān)

系

,y,bx,a?線性回歸方程：(最小二乘法)

-7-

n,xynxy,,ii,i,1,b,,n22,xnx,,i,i,1,aybx,,,,

注意:線性回歸直線經(jīng)過定點。（x,y）

第三章:概率

1、隨機事件及其概率：

?事件:試驗的每一種可能的結(jié)果，用大寫英文字母表示；？必然事件、不可能

事件、隨機事件的特點；

m?隨機事件A的概率:;P(A),,O,P(A),In

2、古典概型：

?基本事件:一次試驗中可能出現(xiàn)的每一個基本結(jié)果；？古典概型的特點：

?所有的基本事件只有有限個；

?每個基本事件都是等可能發(fā)生。

?古典概型概率計算公式:一次試驗的等可能基本事件共有n個，事件A包含了

其中的m個基本事件，則事件

mA發(fā)生的概率。P(A),n

3、幾何概型：

?幾何概型的特點：

?所有的基本事件是無限個；

?每個基本事件都是等可能發(fā)生。

d的測度?幾何概型概率計算公式:;P(A),D的測度

其中測度根據(jù)題目確定，一般為線段、角度、面積、體積等。4、互斥事件：

?不能同時發(fā)生的兩個事件稱為互斥事件；

?如果事件A,A,?,A任意兩個都是互斥事件，則稱事件A,A,?,A彼此互斥。

12nl2n?如果事件A,B互斥，那么事件A+B發(fā)生的概率，等于事件A,B發(fā)生的概

率的和,

即:P(A,B),P(A),P(B)

A,A,?,A?如果事件彼此互斥,則有：12n

P(A,A,?,A),P(A),P(A),?,P(A)12nl2n

?對立事件:兩個互斥事件中必有一個要發(fā)生，則稱這兩個事件為對立事件。

A?事件的對立事件記作A

P(A),P(A),1,P(A),1,P(A)

?對立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是對立事件。

必修4數(shù)學知識點第一章、三角函數(shù)

?1.1.K任意角

1、正角、負角、零角、象限角的概念.

,2、與角終邊相同的角的集合：

-8-

?2k,,k,Z

?1.1.2,弧度制

1、把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角.

12、.,,r

,nR3、弧長公式:.1...R180

2nRl,4、扇形面積公式:.S,,1R3602

?L2.1、任意角的三角函數(shù)

1、設(shè)是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點，那么：，，，Px,y

y,y,x,sin,,cos,,tan,.x

22r,x,y2、設(shè)點為角終邊上任意一點，那么：(設(shè))，，Ax,y,0000

xyyOOOsin,,cos,,,,.tan,,rrxO

sin,tan,3>,,在四個象限的符號和三角函數(shù)線的畫法.cos,

4、誘導(dǎo)公式一：

,,,sin,2k,sin,,,

,,,太2（其中：）cos,2k,cos,,,

,,tan,,2k,,tan,.

5、特殊角0??30??45??60??

90??180??270?的三角函數(shù)值.

,,,,643

sin,

cos,

tan,

?1.2.2、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

22sin,,cos,,11>平方關(guān)系：.

,sin,tan,2、商數(shù)關(guān)系：.cos,

?1.3、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

1、誘導(dǎo)公式二：

,,,sin,,,sin,,,

,,,COS9，，，，cos,

,,tan,,,,tan,.

2、誘導(dǎo)公式三：

-9-

,,sin,,,sin,,,

,,COS,,COS,ff

,,tan,,,,tan,?

3、誘導(dǎo)公式四：

,,,sin,,sin,,,

cos,，，cos,

,,tan,,,,,tan,.

4、誘導(dǎo)公式五：

,,,,,sin,,cos,,,2,,

,,,cos,11sin,?,,2,,

5、誘導(dǎo)公式六：

>>>>>sin,，cos,,,2,,

，，，cosr，，，sin，?，，2，，

?1.4.1、正弦、余弦函數(shù)的圖象、記住正弦、余弦函數(shù)圖象：1

2、能夠?qū)φ請D象講出正弦、余弦函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)：定義域、值域、最大最小

值、對稱軸、對稱中心、奇偶性、

單調(diào)性、周期性.

3、會用五點法作圖.

?1.4.2、正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)1、周期函數(shù)定義:對于函數(shù)，如果存在一個

非零常數(shù)T,使得當取定義域內(nèi)的每一個值時，都有，，xfx

,那么函數(shù)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期.，，，，，，

?1.4.3、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)1、記住正切函數(shù)的圖象:

2、能夠?qū)φ請D象講出正切函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)：定義域、值域、對稱中心、奇偶

性、單調(diào)性、周期性.

?1.5、函數(shù)的圖象，，y,Asin,x,,

1、能夠講出函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象之間的平移伸縮變換關(guān)系.，，

y,Asin,x,,,by,sinx

2、對于函數(shù)：

,2,1有:振幅A,周期，初相，相位，頻率.T,,x,,,,

y,Asin,x,,,bA,0,,,0T2,,?L6、三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用

1、要求熟悉課本例題.

第二章、平面向量

?2.1.1、向量的物理背景與概念

1、了解四種常見向量:力、位移、速度、加速度.2、既有大小又有方向的

量叫做向量.

?2.1.2、向量的幾何表示

1、帶有方向的線段叫做有向線段，有向線段包含三個要素:起點、方向、長

度.

AB2、向量的大小，也就是向量的長度（或稱模），記作;長度為零的向量叫做

零向量;長度等于1ABAB

個單位的向量叫做單位向量.

、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,或共線向量,.規(guī)定:零向量與任

意向量平行.3

?2.1.3、相等向量與共線向量

1、長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.？2.2.1、向量加法運算及其幾

何意義

1、三角形法則和平行四邊形法則.

a,ba,b2、?.

?2.2.2、向量減法運算及其幾何意義

1、與長度相等方向相反的向量叫做的相反向量.aa

?2.2.3、向量數(shù)乘運算及其幾何意義

,1、規(guī)定:實數(shù),a與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘.記

作：，它的長度和方向規(guī)定如下：

，a,,a?,

,,O,,O,a,a?當aa時，的方向與的方向相同；當時，的方向與的方向相反.

,b,,ab2、平面向量共線定理：向量與共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)，

使.，，aa,0

?2.3.1、平面向量基本定理

al、平面向量基本定理:如果是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一

平面內(nèi)任一向量，有且只e,el2

,,，有一對實數(shù),使.a,,e,,el2n22

?2.3.2、平面向量的正交分解及坐標表示

-11-

1、.，，a,xi,yj,x,y

?2.3.3、平面向量的坐標運算1、設(shè)，則：，，，，a,x,y,b,x,yll22

?,,,a,b,x,x,y,yl212

?,,,a,b,x,x,y,yl212

?，，，,a,,x,,yll

?.a//b,xy,xyl2212>設(shè)，貝lj:,,,,Ax,y,Bx,yll22

,,,AB,x,x,y,y2121

?2.3.4、平面向量共線的坐標表示1、設(shè)，則，，，，，，

Ax,y,Bx,y,Cx,yll2233

x,xy,yl212?線段AB中點坐標為，，，，22

x,x,xy,y,yl23123??ABC的重心坐標為.，，，33?2.4.1、平面向量數(shù)量積

的物理背景及其含義

a,b,abcos,1>.

acos.2,在方向上的投影為:.ab

22a,a3>.

2a,a4>.

a,b,a,b,05、.

?2.4.2、平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角1、設(shè)，貝U：,,,,

a,x,y,b,x,yll22

?a,b,xx,yyl212

22a,x,y?11

?a,b,xx,yy,01212

,,,,Ax,y,Bx,y2、設(shè)，貝lj:1122

-12-

22.,,,,AB,x,x,y,y2121?2.5.K平面幾何中的向量方法？2.5.2、向量

在物理中的應(yīng)用舉例

第三章、三角恒等變換

?3.1.1、兩角差的余弦公式

1、，，cos,,,,cos,cos,,sin,sin,2>記住15?的三角函數(shù)值:

,cos,tan,sin,

,6,26,22,31244

?3.1.2,兩角和與差的正弦、余弦、正切公式1、,,

cos,,,,cos,cos,,sin,sin,2、,,sin,,,,sin,cos,,cos,sin,3、

sin,,,,sin,cos,,cos,sin,

tan,,tan,,,4、tan,,,,.1,tan,tan,

tan,,tan,,,、tan,,,,.51,tan,tan,

?3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式

sin2,,2sin,cos,1、,

1變形：.sin,cos,,sin2,2

22cos2,,cos,,sin,2、

2,2cos,,1

2,1,2sin,,

lcos22,,變形1:,cos,,2

lcos22,,變形2:.sin,,2

,2tan,tan2,3>.21,tan,

?3.2、簡單的三角恒等變換

1、注意正切化弦、平方降次.

必修5數(shù)學知識點

第一章:解三角形

1、正弦定理：

-13-

abc.,,,2RsinAsinBsinC

2、余弦定理：

222a,b,c,2bccosA,

222b,a,c,2accosB,

222c,a,b,2abcosC.

222b,c,acosA,,2bc

222a,c,bcosB,,2ac

222a,b,ccos.C,2ab

3、三角形面積公式：

111S,absinC,bcsinA,acsinB,ABC222第二章:數(shù)列

1、數(shù)列中與之間的關(guān)系：aSnn

S,當n,1時，，1a,,nSS,當nl時.，，nn,1,

2、等差數(shù)列：

?定義:如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù),

那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列。

?通項公式:a,a,(n,1)dnl

?求和公式：

,,a,anl,,nn,InS,na,d,nl223、等比數(shù)列

?定義:如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù),

那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列。

n,1?通項公式：a,aqnl

na,aqal,q,,llnS,,?求和公式：nl,ql,q第三章：不等式

當a,b,0時，a,b,2ab1、

,,當且僅當a,b時取等號

22當a,b,R時，a,b,2ab2、

，，當且僅當a,b時取等號

-14-

222a,ba,b,,3、變形：,ab,ab,,,22,,

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數(shù)學必修「5常用公式及結(jié)論必修1:一、集合1、含義與表示：（1）集合中元

素的特征:確定性，互異性，無序性（2）集合的分類;有限集，無限集（3）集合的表

示法:列舉法，描述法，圖示法

AB,xA,xB,2、集合間的關(guān)系:子集:對任意，都有，則稱A是B的子集。記作

真子集:若A是B的子集，且在B中至少存在一個元素不屬于A,則A是B的真

子集，

AB,記作AB集合相等:若:，則ABBA,,,,,

3.元素與集合的關(guān)系:屬于不屬于：空集：，，，

AB:4、集合的運算:并集：由屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合叫并

集，記為

AB:交集：由集合A和集合B中的公共元素組成的集合叫交集，記為

補集:在全集U中，由所有不屬于集合A的元素組成的集合叫補集，

記為CAU

nnn5（集合的子集個數(shù)共有2個;真子集有2-1個;非空子集有2-1個；

{,,,}aaa?12n

*N6.常用數(shù)集：自然數(shù)集:N正整數(shù)集：整數(shù)集:Z有理數(shù)集:Q實數(shù)集:R二、

函數(shù)的奇偶性

1、定義：奇函數(shù)<=>f(-X)=-f(X),偶函數(shù)<=〉f(-X)=f

(X)(注意定義域)2、性質(zhì)：(1)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點成中心對稱圖形；

(2)偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸成軸對稱圖形；

(3)如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，那么這個函數(shù)是奇函數(shù)；

(4)如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，那么這個函數(shù)是偶函數(shù)(

二、函數(shù)的單調(diào)性

1、定義:對于定義域為D的函數(shù)f(x),若任意的x,x?D,且x<x1212

?f(x)<f(x)<=>f(x)-f(x)<0<=>f(x)是增函數(shù)12

12

?f(x)>f(x)<=>f(x)-f(x)>0<=>f(x)是減函數(shù)12

12

2、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減

2a,0三、二次函數(shù)y=ax+bx+c()的性質(zhì)

22,,4acbb4ac,b,b,,x,,,,1、頂點坐標公式：，對稱軸：，最大(小)

值：,,2a4a2a4a,,

2.二次函數(shù)的解析式的三種形式

22⑴一般式;(2)頂點式；fxaxbxcaO(0),,,,fxaxhkaO()(0),,,,

fxaxxxxaO00(0),,,,(3)兩根式.12

四、指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

-15-

1、嘉的運算法則：

mnm+nmnmnnnnmnm,n(l)a?a=a,(2),(3)(a)=a(4)(ab)=

a?ba,a,a

nnnn,llaa,,mnOn,mma,(5)(6)a=1(a?O)(7)(8)(9)a,a,a,,,nnmnabba,,

2、根式的性質(zhì)

nn(l).()aa,

aa,0,,nnnn(2)當為奇數(shù)時,;當為偶數(shù)時，.aa,nnaa,,||,,,aa,0,

x4>指數(shù)函數(shù)y=a(a>0且a?l)的性質(zhì)：

(1)定義域:R；值域：(0,+?)(2)圖象過定點(0,1)

YY

a>10<a<lllX0X0

b5.指數(shù)式與對數(shù)式的互化：(0,1,0)aaN,,,.logNbaN,,,a

五、對數(shù)與對數(shù)函數(shù)

1對數(shù)的運算法則：

bblogaN(l)a=N<=>b=logN(2)log1=0(3)loga=1(4)loga二

b(5)a二Naaaa

M(6)log(MN)=logM+logN(7)log()=logM--logNaaaaaaN

logNbb(8)logN=blogN(9)換底公式：logN二aaalogab

nnloglogbb,(10)推論(，且,，且,,)?mn,0,a,0a,Im,In,IN,0maam

1(11)logN=(12)常用對數(shù):1gN=logN(13)自然對數(shù):InA=logA(其

中e=2.71828,,)alOelogaN

2、對數(shù)函數(shù)y二logx(a>0且a?l)的性質(zhì)：a

(1)定義域：(0,+?);值域:R(2)圖象過定點(1,0)

Ya>lY0<a<l

XX011

0

a六、塞函數(shù)y=x的圖象：(1)根據(jù)a的取值畫出函數(shù)在第一象限的簡圖.

0<a<la<0a>l

-16-

112,12例如：y=xy,,xy,x,xx

b七.圖象平移:若將函數(shù)的圖象右移、上移個單位，ay,f(x)

得到函數(shù)的圖象；規(guī)律:左加右減，上加下減y,f(x,a),b

八.平均增長率的問題

x如果原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N,平均增長率為，則對于時間的總產(chǎn)值，有.

pyxyNp,,(1)九、函數(shù)的零點：1.定義:對于，把使的X叫的零點。即

yfx,()fx()O,yfx,()

的圖象與X軸相交時交點的橫坐標。yfx,()

2.函數(shù)零點存在性定理:如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條

ab,yfx,(),,

曲線，并有，那么在區(qū)間內(nèi)有零點，即存在，

ab,cab,,fafb()()0,,yfx,(),,,,

使得，這個C就是零點。fc()0,

3.二分法求函數(shù)零點的步驟：(給定精確度)，

ab,x,(1)確定區(qū)間,驗證；(2)求的中點ab,ab,fafb()()0,,,,,,12

(3)計算?若,則就是零點;？若，則零點fxQfxOO,xfafxO()0,,1111

xax,,?若，則零點xxb,,;fxfb()()0,,,,,,01011

b(4)判斷是否達到精確度，若ab,,,,則零點為或或ab,內(nèi)任一值。

否，a,,

則重復(fù)(2)到(4)

y,y21必修2:一、直線與圓1、斜率的計算公式:k=tana=(a?90?,

x?x)12x,x212、直線的方程(1)斜截式y(tǒng)=kx+b,k存在；(2)點斜式y(tǒng)-

y=k(x-x),k存在；00

y,yx,xxyll,,1,(3)兩點式();4)截距式()

xxyy,,,ab,,0,01212aby,yx,x2121

(5)一般式AxBycAB,,,0(,0不同時為)

3、兩條直線的位置關(guān)系：

l:y=kx+b:Ax+By+C=011111111

ll:y=kx+b:Ax+By+C=02222222

ABC111,，重合k=k且b=b1212ABC222

ABC111,，平行k=k且b?b1212ABC222

垂直kk=-1AA+BB=0121212

22,,,,x,x,y,y4、兩點間距離公式:設(shè)P(x,y)、P(x,y),則

|PP|=111222121212

Ax,By,COOd,5、點P(x,y)到直線l:Ax+By+C=0的距離：00

22A,B7、圓的方程

圓的方程圓心半徑

222(0,0)x+y=rr標準方程222(a,b)(x-a)+(y-b)=

rr

-17-

DEI,,2222,,,一般方程D,E,4Fx+y+Dx+Ey+F=0,,222,,

8.點與圓的位置關(guān)系

22222daxby,,,,()()dr,，點與圓的位置關(guān)系有三種若,則點在

PPxy(,)(x,a),(y,b),rOOOO

dr,,dr,,圓外；點在圓上;點在圓內(nèi).PP

9.直線與圓的位置關(guān)系(圓心到直線的距離為d)

222直線與圓的位置關(guān)系有三種：Ax,By,C,O(x,a),(y,b),r

；；.d,r,相離,,,Od,r,相切,，，Od,r,相交,,,010.兩圓位置關(guān)系的判定方法

設(shè)兩圓圓心分別為0,0,半徑分別為r,r,00,dl21212

；d,r,r,外離,4條公切線12

；d,r,r,外切,3條公切線12

；r,r,d,r,r,相交,2條公切線1212

；d,r,r,內(nèi)切，1條公切線12

.0,d,r,r,內(nèi)含，無公切線12

11.圓的切線方程

22⑴已知圓(xyDxEyF,,,,,0

?若已知切點在圓上，則切線只有一條，其方程是(,)xy00

DxxEyy()(),,00.xxyyF,,,,,00022

DxxEyy()(),,00當圓外時，表示過兩個切點的切點弦方程

((,)xyxxyyF,,,,,0000022

?過圓外一點的切線方程可設(shè)為，再利用相切條件求k,這時必有兩條切線，注

意不yykxx,,,()00

要漏掉平行于y軸的切線(

?斜率為k的切線方程可設(shè)為，再利用相切條件求b,必有兩條切線(ykxb,,

222(2)已知圓(xyr,,

2?過圓上的Pxy(,)點的切線方程為；xxyyr,,00000

2k?斜率為的圓的切線方程為ykxrk,,,1

二、立體幾何（一）、線線平行判定定理:1、平行于同一條直線的兩條直線互

相平行。2、垂直于同一平面的兩直線平行。3、如果一條直線和一個平面平行，

經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那

么這條直線和交線平行。

4、如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。（二）、

線面平行判定定理

1、若平面外的一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平

行。2、若兩個平面平行，則其中一個平面內(nèi)的任何一條直線都與另一個平面平

行。（三）、面面平行判定定理：

如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面，那么這兩個平面平

行。（四）、線線垂直判定定理：

若一直線垂直于一平面，則這條直線垂直于這個平面內(nèi)的所有直線。（五）、

線面垂直判定定理

1、如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于

這個平面。2、如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線

垂直于另一個平面。（六）、面面垂直判定定理

-18-

如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。

（七）（證明直線與直線的平行的思考途徑

（1）轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無交點；（2）轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行；

（3）轉(zhuǎn)化為線面平行；（4）轉(zhuǎn)化為線面垂直；（5）轉(zhuǎn)化為面面平行.（八）（證明直線

與平面的平行的思考途徑

（1）轉(zhuǎn)化為直線與平面無公共點；（2）轉(zhuǎn)化為線線平行；（3）轉(zhuǎn)化為面面平行.

（九）（證明平面與平面平行的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為判定二平面無公共點;

（2）轉(zhuǎn)化為線面平行；⑶轉(zhuǎn)化為線面垂直.

（十）（證明直線與直線的垂直的思考途徑

（1）轉(zhuǎn)化為相交垂直；⑵轉(zhuǎn)化為線面垂直；（3）利用三垂線定理或逆定理；（十

一）（證明直線與平面垂直的思考途徑

（1）轉(zhuǎn)化為該直線與面內(nèi)任一直線垂直；（2）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線

垂直；

（3）轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；（4）轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個平行

平面；（十二）（證明平面與平面的垂直的思考途徑P（1）轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二

面角；（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直.

三、空間幾何體

（一）、正三棱錐的性質(zhì)

1、底面是正三角形，若設(shè)底面正三角形的邊長為a,則有AC0D

B

圖形外接圓半徑內(nèi)切圓半徑面積

A3332正三角形OA,aOD,aS,aO463

BD

2、正三棱錐的輔助線作法一般是：

作P0?底面ABC于0,則0為?ABC的中心，P0為棱錐的高，

取AB的中點D,連結(jié)PD、CD,則PD為三棱錐的斜高，CD為?ABC的AB邊上的

高，且點0在CD上。？?POD和?POC都是直角三角形，且?POD=?POC=90?

（二）、正四棱錐的性質(zhì)

1、底面是正方形，若設(shè)底面正方形的邊長為a,則有

P圖形外接圓半徑內(nèi)切圓半徑面積

a22A0正方形OA=CS=aaOB=B202EBDA2、正四棱錐的輔助線

作法一般是：

作P0?底面ABCD于0,則0為正方形ABCD的中心，P0為棱錐的高，取AB的中

點E,連結(jié)PE、0E、0A,

則PE為四棱錐的斜高，點0在AC上。？?POE和?POA都是直角三角形，且?POE

=?POA=90?（三）、長方體

長方體的一條對角線長的平方等于這個長方體的長、寬、高的平方和。

3特殊地，若正方體的棱長為a,則這個正方體的一條對角線長為a。

（四）、正方體與球

-19-

1、設(shè)正方體的棱長為a,它的外接球半徑為R,它的內(nèi)切球半徑為R,則

a,2R3a,2R,1221

DCHA10B1

DC

AB（五）幾何體的表面積體積計算公式

21、圓柱：表面積:2n+2nRh體積：nR?hR

2、圓錐：表面積：nR?+nRL體積：nR?h/3（L為母線長）

223、圓臺:表面積:體積:V,nh（R?,Rr,r?）/3,,,rRrRL,,（）

4234、球:S=4nRV=nR（其中R為球的半徑）球面球3

5、正方體：a,邊長，S,6a?,V,a?

6、長方體a,長，b，寬，c，高S,2（ab+ac+bc）V,abc

7、棱柱:全面積=側(cè)面積+2X底面積V,Sh

8、棱錐:全面積=側(cè)面積+底面積V,Sh/3

19、棱臺：全面積=側(cè)面積+上底面積+下底面積Vssssh,,,,（）11223

四、三視圖1.投影:把光由一點向外散射形成的投影稱為中心投影。

把在一束平行光線照射下形成的投影，稱為平行投影。平行投影按照投射方向

是否正對著投影面，可以分為斜投影和正投影兩種。

2、光線從幾何體的前面向后面正投影，得到投影圖,這種投影圖叫做幾何體的

正視圖（也叫主視圖）；光線從幾何體的上面向下面正投影，得到投影圖，這種投影圖

叫做幾何體的俯視圖；光線從幾何體的左面向右面正投影，得到投影圖,這種投影圖

叫做幾何體的側(cè)視圖（或左視圖）

3、“長對正,高平齊,寬相等”是三視圖之間的投影規(guī)律,是畫圖和讀圖的重要

依據(jù).畫幾何體的三視圖時，能看見的輪廓線和棱用實線表示，不能看見的輪廓線

和棱用虛線表示。

必修3:第一章算法初步

1、算法概念:在數(shù)學上，現(xiàn)代意義上的“算法”通常是指可以用計算機來解決

的某一類問題是程序或步驟，這些程序或步驟必須是明確和有效的，而且能夠在有

限步之內(nèi)完成.

2、構(gòu)成程序框的圖形符號及其作用

程序框名稱功能

起止框表示一個算法的起始和結(jié)束，是任何流程圖不

-20-

可少的。

表示一個算法輸入和輸出的信息，可用在算法

輸入、輸出框

中任何需要輸入、輸出的位置。

賦值、計算，算法中處理數(shù)據(jù)需要的算式、公

處理框式等分別寫在不同的用以處理數(shù)據(jù)的處理框

內(nèi)。

判斷某一條件是否成立，成立時在出口處標明

判斷框

“是”或“Y”；不成立時標明“否”或“N”。3、算法的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：

順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)。（結(jié)構(gòu)圖請看教材）

4、（1）、輾轉(zhuǎn)相除法:用較大的數(shù)除以較小的數(shù)所得的余數(shù)和較小的數(shù)構(gòu)成新

的一對數(shù)，繼續(xù)做上面的除法，直到大數(shù)被小數(shù)除盡，這個較小的數(shù)就是最大公約

數(shù)。

（2）、更相減損術(shù)。以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把較小的數(shù)與所得的差比

較，并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個數(shù)（等數(shù)）就

是所求的最大公約數(shù)。

（3）進位制？以卜為基數(shù)的k進制換算為十進制：

nn,110aaaaakakakak...,,,,?nnknn,,110（）110

?十進制換算為k進制：除以k取余，倒序排列

總體和樣本:在統(tǒng)計學中，把研究對象的全體叫做總體（第二章統(tǒng)計1（

把每個研究對象叫做個體（把總體中個體的總數(shù)叫做總體容量（

*1工2/X…

為了研究總體的有關(guān)性質(zhì)，一般從總體中隨機抽取一部分：，，，研究，我

們稱它為樣本（其中個體的個數(shù)稱為樣本容量（

2、簡單隨機抽樣，也叫純隨機抽樣。就是從總體中不加任何分組、劃類、排

隊等，完全隨機地抽取調(diào)查單位。特點是:每個樣本單位被抽中的可能性相同。（總

體個數(shù)較少）

3、簡單隨機抽樣常用的方法：⑴抽簽法;？隨機數(shù)表法;？計算機模擬法;

4、系統(tǒng)抽樣（等距抽樣）：把總體的單位進行排序，再計算出抽樣距離，然后按

照這一固定的抽樣距離抽取樣本。第一個樣本采用簡單隨機抽樣的辦法抽取。（總

體個數(shù)較多）

K（抽樣距離）=N（總體規(guī)模）/n（樣本規(guī)模）

5、分層抽樣:先將總體中的所有單位按照某種特征或標志（性別、年齡等）劃分

成若干類型或?qū)哟?，然后再在各個類型或?qū)哟沃胁捎煤唵坞S機抽樣或系統(tǒng)抽樣的辦

法抽取一個子樣本，最后，將這些子樣本合起來構(gòu)成總體的樣本。先以分層變量將

總體劃分為若干層，再按照各層在總體中的比例從各層中抽取。（總體中差異明顯）

6、總體分布的估計:？一表二圖:?頻率分布表一一數(shù)據(jù)詳實

?頻率分布直方圖一一分布直觀？頻率分布折線圖一一便于觀察總體分布趨勢

注:總體分布的密度曲線與橫軸圍成的面積為lo

?莖葉圖:？莖葉圖適用于數(shù)據(jù)較少的情況，從中便于看出數(shù)據(jù)的分布，以及中

位數(shù)、眾位數(shù)等。？個位數(shù)為葉，十位數(shù)為莖，右側(cè)數(shù)據(jù)按照從小到大書寫，相同

的數(shù)重復(fù)寫。

7、用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征（s為標準差）

-21-

222xxx,,?,（）（）Oxxxxxx,,,,,,?12nnl2（1）>平均值：x（2）、,s,nn

，，，

8、兩個變量的線性相關(guān)（1）、概念：（1）回歸直線方程：yabx,,

n

，，xynxy,,,iii,lb,（2）回歸系數(shù)：，aybx,,n22,,xnxi,il

（3）（應(yīng)用直線回歸時注意：回歸分析前，最好先作出散點圖；第三章概率

一、概念1、事件:試驗的每一種可能的結(jié)果，用大寫英文字母表示；

(1)必然事件:在條件S下，一定會發(fā)生的事件，叫相對于條件S的必然事件；

(2)不可能事件:在條件S下，一定不會發(fā)生的事件，叫相對于條件S的不可能事件;

(3)隨機事件:在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫相對于條件S的隨機事

件；2、古典概型:？基本事件:一次試驗中可能出現(xiàn)的每一個基本結(jié)果；

?古典概型的特點:基本事件可列舉；每個基本事件都是等可能發(fā)生

?概率計算公式:一次試驗的等可能基本事件共有n個，事件A包含了其中的m

個基本事

mpAO,件，則事件A發(fā)生的概率n

3、幾何概型:?特點:？所有的基本事件是無限個;？每個基本事件都是等可能發(fā)

生。

構(gòu)成事件A的區(qū)域長度(面積或體積)

試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度(面積或體積)？幾何概型概率計算公式：。

4、若A?B=@,即不可能同時發(fā)生的兩個事件，那么稱事件A與事件B互斥；5、

若A?B為不可能事件，A?B為必然事件，即不能同時發(fā)生且必有一個發(fā)生的兩個事

件，那么稱事件A與

事件B互為對立事件；

二、概率的基本性質(zhì)：1)必然事件概率為1,不可能事件概率為0,因此

O?P(A)?1;2)當事件A與B互斥時，滿足加法公式:P(A?B)=P(A)+P(B);

3)若事件A與B為對立事件，則A?B為必然事件，所以P(A?B)=P(A)+

P(B)=1,于

是有P(A)=1—P(B);

4)互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系，互斥事件是指事件A與事件B在一次試

驗中不會同時發(fā)生，具體包括三種不同的情形：(1)事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生;(2)

事件A不發(fā)生且事件B發(fā)生；⑶事件A與事件B同時不發(fā)生，而對立事件是指事件

A與事件B有且僅有一個發(fā)生，其包括兩種情形；(1)事件A發(fā)生B不發(fā)生；(2)事件

B發(fā)生事件A不發(fā)生，對立事件是互斥事件的特殊情形。必修4一、三角函數(shù)與

三角恒等變換

1、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

函數(shù)正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)

-22-

圖象

，定義域{x|x?+kn,k?Z}RR2值域[-1,1][-1,1]R周期性2112nn

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

增區(qū)間[-n+2kn,2kn]增區(qū)間，，增區(qū)間[-+2kn,+2kn]減區(qū)間

[2kn,n+2kn],,22+kn,+kn)(-單調(diào)性(k?Z),,322減區(qū)間[+2kn,+2kn]

(k?Z)22

,x=+kn(k?Z)對稱軸x=kn(k?Z)無2

,，對稱中心(kn,0)(k?Z)(+kn,0)(k?Z)(k,0)(k?Z)22

,sin22,tan,2、同角三角函數(shù)公式sina+cosa=1tanacota=1cos,

3、二倍角的三角函數(shù)公式

,2tan2222,tan2,sin2CL=2sinacosacos2a=2cosci-1=1-2sina二

cosa-sina21,tan,

Icos21cos2,,,,22cossin4>降幕公式,,,,222225、升幕公式l?sin2a=

(sina?cosa)1+cos2a=2cosa1-cos2a=2sina6、兩角和差的三角函

數(shù)公式

sin(a?B)=sinacosB土cosasinBcos(a?B)二cosacosB干

sinasinB

,,tan,tan,,tan,,,,1,tan,tan,

7、兩角和差正切公式的變形：

tana?tanB=tan(a?B)(1干tanatanB)

,,,,tan45:,tantan45:,tan,,1,tanl,tan==tan(+a)=tan(-a)

1,tan,1,tan45:tan,1,tan,1,tan45:tan,448>兩角和差正弦公式的變形(合一變

形)

b22tan,,(其中)，，asin,,bcos,,a,bsin,,,a

11,,cos,,,cos,cos,,sin,,9>半角公式：2222

,,,,1,cossinl,costan,,,,21,cos,1,cos,sin,

10、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式“奇變偶不變，符號看象限。”

sin(兀,a)=sina,cos(兀,a)=,cosa,tan(兀,a)二,tana；

-23-

sin(兀+a)=,sinacos(兀+a)=,cosatan(兀+a)=tanasin

(2兀,a)=,sinacos(2兀,a)=cosatan(2n,a)=,tanasin(,a)

二,sinacos(,a)=cosatan(,a)二,tana

,,,sin(,a)=cosacos(,a)=sinatan(,a)=cota222

,,,sin(+a)=cosacos(+a)=,sinatan(+a)=,cota222

n.三角函數(shù)的周期公式

2,函數(shù)，x?R及函數(shù)，x?R(A,3,為常數(shù)，且A?0,3,0)的周期;，T,yx,,

sin(),,yx,,cos(),,,

,，函數(shù),(A,川，為常數(shù)，且A?0,3,0)的周期.xkkZ,,,,T,,yx,,tan(),,,2,

二、平面向量(一)、向量的有關(guān)概念

2a,a,al、向量的模計算公式：(1)向量法：||二；a

22x,y(2)坐標法：設(shè)二(x,y),則||=aa

2、單位向量的計算公式：

,,xy,,,(1)與向量=(x,y)同向的單位向量是；a2222,,xyxy,,,,

,,xy,,,,,(2)與向量=(x,y)反向的單位向量是；a2222,,xyxy,,,,3、平行

向量

規(guī)定:零向量與任一向量平行。設(shè)=(x,y),=(x,y),X為實數(shù)abll22

向量法：？(？)<=〉=入abbOab

xxl2,坐標法：a?b(b?O)爛〉xy-xy=0<=>(y?0,y?0)122112yyl2

4、垂直向量

ab規(guī)定:零向量與任一向量垂直。設(shè)=(x,y),=(x,y)1122

ababab向量法:？<=>？=0坐標法:？<=>xx+yy=012125.平面兩點間的

距離公式,,,,,,,,,,,,22,,,,()Oxxyy||ABABAB,,d(,)xy(,)xy=(A,B).

2121AB,1122(二)、向量的加法

(1)向量法:三角形法則(首尾相接首尾連)，平行四邊形法則(起點相同連對角)

abab(2)坐標法:設(shè)=(x,y),=(x,y),則+=(x+x,y+y)11221212(三)、向

量的減法

(1)向量法:三角形法則(首首相接尾尾連，差向量的方向指向被減向量)

-24-

(2)坐標法:設(shè)=(x,y),=(x,y),則-=(x-x,y-y)ababll221212(3)、重

要結(jié)論：I+ababab