2025屆福建省泉州市南安第一中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

2025屆福建省泉州市南安第一中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在正三棱錐S-ABC中，AB=4，D、E分別是SA、AB中點，且DE⊥CD，則三棱錐S-ABC外接球的體積為（）A.π B.πC.π D.π2．已知圓與拋物線的準線相切，則實數(shù)p的值為（）A.2 B.6C.3或8 D.2或63．方程表示的曲線是A.兩條直線 B.兩條射線C.兩條線段 D.一條直線和一條射線4．下列函數(shù)求導(dǎo)錯誤的是（）A.B.C.D.5．已知傾斜角為的直線與雙曲線，相交于，兩點，是弦的中點，則雙曲線的漸近線的斜率是（）A. B.C. D.6．如圖，在長方體中，，，則直線和夾角余弦值為（）A. B.C. D.7．設(shè)平面向量，，其中m，，記“”為事件A，則事件A發(fā)生的概率為（）A. B.C. D.8．若等比數(shù)列滿足，，則數(shù)列的公比為（）A. B.C. D.9．已知橢圓的中心為，一個焦點為，在上，若是正三角形，則的離心率為（）A. B.C. D.10．已知命題,命題,，則下列命題中為真命題的是A. B.C. D.11．若動點在方程所表示的曲線上，則以下結(jié)論正確的是（）①曲線關(guān)于原點成中心對稱圖形；②動點到坐標原點的距離的取值范圍為；③動點與點的最小距離為；④動點與點的連線斜率的取值范圍是.A.①② B.①②③C.③④ D.①②④12．若直線的一個方向向量為，直線的一個方向向量為，則直線與所成的角為（）A30° B.45°C.60° D.90°二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．?dāng)?shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線就是其中之一（如圖），給出下列三個結(jié)論：①曲線C恰好經(jīng)過6個整點（即橫、縱坐標均為整數(shù)的點）；②曲線C上任意一點到原點的距離都不超過；③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3；其中，所有正確結(jié)論的序號是________14．圓與圓的公共弦長為______15．與圓外切于原點，且被y軸截得的弦長為8的圓的標準方程為__________16．已知等差數(shù)列的通項公式為，那么它的前項和___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）分別求滿足下列條件的曲線方程（1）以橢圓的短軸頂點為焦點，且離心率為的橢圓方程；（2）過點，且漸近線方程為的雙曲線的標準方程18．（12分）已知橢圓C：經(jīng)過點，且離心率為（1）求橢圓C的方程；（2）是否存在⊙O：，使得⊙O的任意切線l與橢圓交于A，B兩點，都有．若存在，求出r的值，并求此時△AOB的面積S的取值范圍；若不存在，請說明理由19．（12分）已知圓C的圓心在直線上，且過點，（1）求圓C的方程；（2）過點作圓C的切線，求切線的方程20．（12分）在正方體中，、、分別是、、的中點（1）證明：平面平面；（2）證明：21．（12分）已知函數(shù)（其中a常數(shù)）（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，時，的最小值為4，求a的值22．（10分）已知圓：與直線：.（1）證明：直線過定點，并求出其坐標；（2）當(dāng)時，直線l與圓C交于A，B兩點，求弦的長度.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】取中點，連接，證明平面，得證，然后證明平面，得兩兩垂直，以為棱把三棱錐補成一個正方體，正方體的對角線是其外接球的直徑，而正方體的外接球也是正三棱錐的外接球，由此計算可得【詳解】取中點，連接，則，，，平面，所以平面，又平面，所以，D、E分別是SA、AB的中點，則，又，所以，，平面，所以平面，而平面，所以，，是正三棱錐，因此，因此可以為棱把三棱錐補成一個正方體，正方體的對角線是其外接球的直徑，而正方體的外接球也是正三棱錐的外接球，由，得，所以所求外接球直徑為，半徑為，球體積為故選：C2、D【解析】由拋物線準線與圓相切，結(jié)合拋物線方程，令求切線方程且拋物線準線方程為，即可求參數(shù)p.【詳解】圓的標準方程為：，故當(dāng)時，有或，所以或，得或6故選：D3、D【解析】由，得2x+3y?1=0或.即2x+3y?1=0(x?3)為一條射線，或x=4為一條直線.∴方程表示的曲線是一條直線和一條射線.故選D.點睛：在直角坐標系中，如果某曲線C（看作點的集合或適合某種條件的點的軌跡）上的點與一個二元方程f(x,y)=0的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系：（1）曲線上點的坐標都是這個方程的解；（2）以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點那么，這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線在求解方程時要注意變量范圍.4、C【解析】每一個選項根據(jù)求導(dǎo)公式及法則來運算即可判斷.【詳解】對于A，，正確；對于B，，正確；對于C，，不正確；對于D，，正確.故選：C5、A【解析】依據(jù)點差法即可求得的關(guān)系，進而即可得到雙曲線的漸近線的斜率.【詳解】設(shè)，則由，可得則，即，則則雙曲線的漸近線的斜率為故選：A6、D【解析】如圖建立空間直角坐標系，分別求出的坐標，由空間向量夾角公式即可求解.【詳解】如圖：以為原點，分別以，，所在的直線為，，軸建立空間直角坐標系，則，，，，所以，，所以，所以直線和夾角的余弦值為，故選：D.7、D【解析】由向量的數(shù)量積公式結(jié)合古典概型概率公式得出事件A發(fā)生的概率.【詳解】由題意可知，即，因為所有的基本事件共有種，其中滿足的為，，只有1種，所以事件A發(fā)生的概率為.故選：D8、D【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，然后由已知條件列方程組求解即可【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，，所以，所以，解得，故選：D9、D【解析】根據(jù)是正三角形可得的坐標，代入方程后可求離心率.【詳解】不失一般性，可設(shè)橢圓的方程為：，為半焦距，為右焦點，因為且，故，故，，整理得到，故，故選：D.10、D【解析】命題是假命題，命題是真命題，根據(jù)復(fù)合命題的真值表可判斷真假.【詳解】因為，故命題是假命題，又命題是真命題，故為假，為假，為假，為真命題，故選D.【點睛】復(fù)合命題的真假判斷有如下規(guī)律：（1）或：一真比真，全假才假；（2）且：全真才真，一假比假；（3）：真假相反.11、A【解析】將原方程等價變形為，將方程中的換為，換為，方程不變，可判斷①；利用兩點間的距離公式，結(jié)合二次函數(shù)知識可判斷②和③；取特殊點可判斷④.【詳解】因為等價于，即，對于①，將方程中的換為，換為，方程不變，所以曲線關(guān)于原點成中心對稱圖形，故①正確；對于②，設(shè)，則動點到坐標原點的距離，因為，所以，故②正確；對于③，設(shè)，動點與點的距離為，因為函數(shù)在上遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，從而取得最小值，故③不正確；對于④，當(dāng)時，因為，所以，故④不正確.綜上所述：結(jié)論正確的是：①②.故選：A12、C【解析】直接由公式，計算兩直線的方向向量的夾角，進而得出直線與所成角的大小【詳解】因為，，所以，所以，所以直線與所成角的大小為故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①②【解析】先根據(jù)圖像的對稱性找出整點，再判斷是否還有其他的整點在曲線上；找出曲線上離原點距離最大的點的區(qū)域，再由基本不等式得到最大值不超過；在心形區(qū)域內(nèi)找到一個內(nèi)接多邊形，該多邊形的面積等于3，從而判斷出“心形”區(qū)域的面積大于3.【詳解】①:由于曲線，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；由于圖形的對稱性可知，沒有其他的整點在曲線上，故曲線恰好經(jīng)過6個整點：,,,,,,所以①正確；②:由圖知，到原點距離的最大值是在時，由基本不等式，當(dāng)時，，所以即，所以②正確；③:由①知長方形CDFE的面積為2，三角形BCE的面積為1，所以曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積大于3，故③錯誤；故答案為：①②.【點睛】找準圖形的關(guān)鍵信息，比如對稱性，整點，內(nèi)接多邊形是解決本題的關(guān)鍵.14、【解析】兩圓方程相減可得公共弦所在直線方程，即該直線截其中一圓求弦長即可【詳解】圓與圓兩式相減得，公共弦所在直線方程為：圓，圓心為到公共弦的距離為：公共弦長故答案為：15、；【解析】設(shè)所求圓的圓心為，根據(jù)兩圓外切于原點可知兩圓心與原點共線，再根據(jù)弦長列出方程組求出即可.【詳解】設(shè)所求圓的圓心為，因為圓的圓心為，與原點連線的斜率為，又所求圓與已知圓外切于原點，，①所以所求圓的半徑滿足，又被y軸截得的弦長為8，②由①②解得，所以圓的方程為.故答案為：16、【解析】由題意知等差數(shù)列的通項公式，即可求出首項，再利用等差數(shù)列求和公式即可得到答案.【詳解】已知等差數(shù)列的通項公式為，..故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）由題意得出的值后寫橢圓方程（2）待定系數(shù)法設(shè)方程，由題意列方程求解【小問1詳解】的短軸頂點為(0，－3)，(0，3)，∴所求橢圓的焦點在y軸上，且c＝3又，∴a＝6．∴∴所求橢圓方程為【小問2詳解】根據(jù)雙曲線漸近線方程為，可設(shè)雙曲線的方程，把代入得m＝1．所以雙曲線的方程為18、（1）（2）存在，，【解析】（1）利用離心率和橢圓所過點列出方程組，求出，求出橢圓方程；（2）假設(shè)存在，分切線斜率存在和不存在分類討論，根據(jù)向量數(shù)量積為0求出r的值，表達出△AOB的面積，利用基本不等式求出的取值范圍，進而求出△AOB面積的取值范圍.【小問1詳解】因為橢圓C：的離心率，且過點所以解得所以橢圓C的方程為【小問2詳解】假設(shè)存在⊙O：滿足題意，①切線方程l的斜率存在時，設(shè)切線方程l：y＝kx＋m與橢圓方程聯(lián)立，消去y得，(*)設(shè)，，由題意知，(*)有兩解所以，即由根與系數(shù)的關(guān)系可得，所以因為，所以，即化簡得，且，O到直線l的距離所以，又，此時，所以滿足題意所以存在圓的方程為⊙O：△AOB的面積，又因為當(dāng)k≠0時當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號又因為，所以，所以當(dāng)k＝0時，②斜率不存在時，直線與橢圓交于兩點或兩點易知存在圓的方程為⊙O：且綜上，所以【點睛】求解圓錐曲線相關(guān)的三角形或四邊形面積取值范圍問題，需要先設(shè)出變量，表達出面積，利用基本不等式或者配方，導(dǎo)函數(shù)等求出最值，求出取值范圍，特別注意直線斜率存在和不存在的情況，需要分類討論.19、（1）（2）或【解析】(1)由圓心在直線上，設(shè)，由點在圓上，列方程求，由此求出圓心坐標及半徑，確定圓的方程；(2)當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)其方程為，由切線的性質(zhì)列方程求，再檢驗直線是否為切線，由此確定答案.小問1詳解】因為圓C的圓心在直線上，設(shè)圓心的坐標為，圓C過點，，所以，即，解得，則圓心，半徑，所以圓的方程為；【小問2詳解】當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即，因為直線和圓相切，得，解得，所以直線方程為，當(dāng)切線的斜率不存在時，易知直線也是圓的切線，綜上，所求的切線方程為或20、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）連接，分別證明出平面，平面，利用面面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）證明出平面，利用線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論成立.【小問1詳解】證明：連接，在正方體中，，，所以，四邊形為平行四邊形，所以，在中，、分別為、的中點，所以，，所以，，因為平面，平面，所以，平面因為且，、分別為、的中點，則且，所以，四邊形為平行四邊形，則，，平面，平面，平面又，所以，平面平面【小問2詳解】證明：在正方體中，平面，平面，,因為四邊形為正方形，則，因為，則平面由知（1）平面平面，所以，平面，平面，因此，