高考數(shù)學(xué)選填壓軸題型第18講解析幾何中的范圍問題專題練習(xí)(原卷版+解析)

第18講解析幾何中的范圍問題一．方法綜述圓錐曲線中最值與范圍問題的常見求法：（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值．在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時常從以下幾個方面考慮：①利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定取值范圍；②利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出取值范圍；③利用基本不等式求出取值范圍；④利用函數(shù)的值域的求法，確定取值范圍．二．解題策略類型一利用題設(shè)條件，結(jié)合幾何特征與性質(zhì)求范圍【例1】已知，分別是雙曲線的左?右焦點，點是雙曲線上在第一象限內(nèi)的一點，若，則雙曲線的離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．【來源】山東省濱州市2021屆高三二模（5月）數(shù)學(xué)試題【舉一反三】1．（2020·河南高考模擬（理））設(shè)雙曲線的兩條漸近線與直線分別交于A，B兩點，F(xiàn)為該雙曲線的右焦點若，則該雙曲線的離心率的取值范圍是A． B． C． D．2．（2020·湖北高考模擬（理））設(shè)橢圓與雙曲線在第一象限的交點為為其共同的左右的焦點，且，若橢圓和雙曲線的離心率分別為，則的取值范圍為A． B． C． D．3.（2020六安市第一中學(xué)模擬）點在橢圓上，的右焦點為，點在圓上，則的最小值為（）A． B． C． D．類型二通過建立目標(biāo)問題的表達(dá)式，結(jié)合參數(shù)或幾何性質(zhì)求范圍【例2】（2020·玉林高級中學(xué)高考模擬（理））已知橢圓的左、右頂點分別為，為橢圓的右焦點，圓上有一動點，不同于兩點，直線與橢圓交于點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【舉一反三】1.拋物線上一點到拋物線準(zhǔn)線的距離為，點關(guān)于軸的對稱點為，為坐標(biāo)原點，的內(nèi)切圓與切于點，點為內(nèi)切圓上任意一點，則的取值范圍為__________．2.（2020哈爾濱師大附中模擬）已知直線與橢圓：相交于，兩點，為坐標(biāo)原點.當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時，（）A． B． C． D．類型三利用根的判別式或韋達(dá)定理建立不等關(guān)系求范圍【例3】（2020·安徽馬鞍山二中高考模擬）已知中心在原點的橢圓C的左焦點恰好為圓F：的圓心，有兩頂點恰好是圓F與y軸的交點．若橢圓C上恰好存在兩點關(guān)于直線y=x+t對稱，則實數(shù)t的取值范圍為（）A． B． C． D．【舉一反三】1.（2020河南省天一大聯(lián)考）已知拋物線：，定點，，點是拋物線上不同于頂點的動點，則的取值范圍為（）A． B． C． D．2.（2020四川省內(nèi)江模擬）若直線x﹣my+m＝0與圓（x﹣1）2+y2＝1相交，且兩個交點位于坐標(biāo)平面上不同的象限，則m的取值范圍是（）A．（0，1） B．（0，2） C．（﹣1，0） D．（﹣2，0）類型四利用基本不等式求范圍【例4】（2020·遼寧高考模擬（理））已知拋物線的焦點為F，過點F分別作兩條直線，直線與拋物線C交于兩點，直線與拋物線C交于點，若與直線的斜率的乘積為，則的最小值為（）A．14 B．16 C．18 D．20【舉一反三】1.如圖，已知拋物線的焦點為，直線過且依次交拋物線及圓于點四點，則的最小值為（）A．B．C．D．2.（2020河南省安陽市一模）已知雙曲線的一個焦點恰為圓Ω：的圓心，且雙曲線C的漸近線方程為．點P在雙曲線C的右支上，，分別為雙曲線C的左、右焦點，則當(dāng)取得最小值時，＝（）A．2 B．4 C．6 D．83.（2020四川省涼山州市高三第二次診斷）已知拋物線:的焦點為，過點分別作兩條直線，，直線與拋物線交于、兩點，直線與拋物線交于、兩點，若與的斜率的平方和為，則的最小值為___．類型五構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)，確定函數(shù)值范圍或最值【例5】（2020·江西高考模擬（理））已知，，為圓上的動點，，過點作與垂直的直線交直線于點，則的橫坐標(biāo)范圍是()A． B． C． D．【舉一反三】1.（2020上海市交大附中模擬）過直線上任意點向圓作兩條切線，切點分別為，線段AB的中點為，則點到直線的距離的取值范圍為______．2.已知橢圓的右焦點為，左頂點為，上頂點為，若點在直線上，且軸，為坐標(biāo)原點，且，若離心率，則的取值范圍為3.（2020山東師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬）已知雙曲線C：右支上非頂點的一點A關(guān)于原點O的對稱點為B，F(xiàn)為其右焦點，若，設(shè)，且，則雙曲線C離心率的取值范圍是______．類型六利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式求范圍【例6】（云南省保山市2019年高三統(tǒng)一檢測）已知坐標(biāo)原點為O，過點作直線n不同時為零的垂線，垂足為M，則的取值范圍是______．【舉一反三】1.已知橢圓的上、下頂點、右頂點、右焦點分別為B2、B1、A、F，延長B1F與AB2交于點P，若∠B1PA為鈍角，則此橢圓的離心率e的取值范圍為_____．2．（2020·湖北高考模擬（理））已知是雙曲線：上的一點，半焦距為，若（其中為坐標(biāo)原點），則的取值范圍是三．強(qiáng)化訓(xùn)練1．（2020·福建高考模擬（文））已知是雙曲線上一點，是左焦點，是右支上一點，與的內(nèi)切圓切于點，則的最小值為()A． B． C． D．2．已知橢圓的左、右焦點分別為，左、右頂點分別為，直線過A點且與x軸垂直，P為直線上的任意一點，若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【來源】數(shù)學(xué)-學(xué)科網(wǎng)2021年高三5月大聯(lián)考（廣東卷）3．（2020·黑龍江高考模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，點為橢圓：的下頂點，，在橢圓上，若四邊形為平行四邊形，為直線的傾斜角，若，則橢圓的離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．4．已知橢圓的焦點分別為、，，若橢圓上存在點，使得，則橢圓短軸長的取值范圍是（）A． B． C． D．【來源】江西省九江市2021屆高三三模數(shù)學(xué)（文）試題5.（2020河北省石家莊市第二中學(xué)）已知實數(shù)滿足，，則的最大值為（）A． B．2 C． D．46．設(shè)雙曲線的離心率為，A，B是雙曲線C上關(guān)于原點對稱的兩個點，M是雙曲線C上異于A，B的動點，直線斜率分別，若，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【來源】內(nèi)蒙古赤峰市2021屆高三二模數(shù)學(xué)（文）試題7已知是橢圓的左焦點，直線與該橢圓相交于兩點，是坐標(biāo)原點，是線段的中點，線段的中垂線與軸的交點在線段上．該橢圓離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．【來源】四川省達(dá)州市2021屆高三二模數(shù)學(xué)（文）試題8．已知拋物線，過其焦點的直線與其交于兩點，若，則直線的傾斜角的最大值為（）A． B． C． D．【來源】河南省商丘市新鄉(xiāng)市部分學(xué)校2021屆高三5月聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試題9．（2020·河北衡水中學(xué)高考模擬（理））已知過拋物線的焦點的直線與拋物線交于兩點，且，拋物線的準(zhǔn)線與軸交于，于點，且四邊形的面積為，過的直線交拋物線于兩點，且，點為線段的垂直平分線與軸的交點，則點的橫坐標(biāo)的取值范圍為（）A． B． C． D．10．（2020·山東省實驗中學(xué)西校區(qū)高考模擬（理））已知雙曲線的左、右焦點分別為，點是雙曲線上的任意一點，過點作雙曲線的兩條漸近線的平行線，分別與兩條漸近線交于兩點，若四邊形（為坐標(biāo)原點）的面積為，且，則點的橫坐標(biāo)的取值范圍為（）A． B．C． D．11．已知橢圓：的離心率為，是橢圓的右焦點，點，直線的斜率為，為坐標(biāo)原點．設(shè)過點的直線與橢圓交于，兩點，則面積的最大值為（）A． B．2 C． D．1【來源】河南省濟(jì)源平頂山許昌2021屆高三三模數(shù)學(xué)（理）試題12．已知橢圓：的左、右焦點分別為，，若橢圓上存在一點，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．【來源】河南省開封市2021屆高三三模文科數(shù)學(xué)試題13．（2020·廣東高考模擬（理））設(shè)橢圓的左焦點為，直線與橢圓交于兩點，則周長的取值范圍是14．（2020北京市大興區(qū)高三一模）已知點，，點在雙曲線的右支上，則的取值范圍是_________．15．設(shè)直線與雙曲線的右支交于兩點，是坐標(biāo)原點，是等腰直角三角形，若這樣的直線恰有兩條，則雙曲線離心率的取值范圍是___________.【來源】浙江省2021屆高三下學(xué)期水球高考命題研究組方向性測試Ⅲ數(shù)學(xué)試題16.（2020北京市順義區(qū)高三期末）過拋物線的焦點F的直線交拋物線于A，B兩點交拋物線的準(zhǔn)線于點C，滿足：若，則______；若，則的取值范圍為______．17．（2020·河南高考模擬）已知拋物線的焦點為，過點且斜率為1的直線與拋物線交于點，以線段為直徑的圓上存在點，使得以為直徑的圓過點，則實數(shù)的取值范圍為18．已知是拋物線的焦點，，為拋物線上任意一點，當(dāng)取最小值時，__________．【來源】安徽省蕪湖市2021屆高三下學(xué)期5月教育教學(xué)質(zhì)量監(jiān)控理科數(shù)學(xué)試題19．已知拋物線，斜率小于0的直線交拋物線于、兩點，點是線段的中點，過點作與軸垂直的直線，交拋物線于點，若點滿足，則直線的斜率的最大值為________．【來源】江西省重點中學(xué)盟校2021屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題20．已知點F為雙曲線的右焦點，過F作一條漸近線的垂線，垂足為A，若（點O為坐標(biāo)原點）的面積為2，雙曲線的離心率，則a的取值范圍為__________．【來源】天一大聯(lián)考2021屆高三階段性測試（六）理科數(shù)學(xué)試題第18講解析幾何中的范圍問題第18講解析幾何中的范圍問題一．方法綜述圓錐曲線中最值與范圍問題的常見求法：（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值．在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時常從以下幾個方面考慮：①利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定取值范圍；②利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出取值范圍；③利用基本不等式求出取值范圍；④利用函數(shù)的值域的求法，確定取值范圍．二．解題策略類型一利用題設(shè)條件，結(jié)合幾何特征與性質(zhì)求范圍【例1】已知，分別是雙曲線的左?右焦點，點是雙曲線上在第一象限內(nèi)的一點，若，則雙曲線的離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．【來源】山東省濱州市2021屆高三二模（5月）數(shù)學(xué)試題【答案】A【解析】在中，，由正弦定理得，，又點是雙曲線上在第一象限內(nèi)的一點，所以，所以，，在中，由，得，即，所以，又，所以.故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：求解離心率取值范圍的關(guān)鍵是挖掘題中的隱含條件，構(gòu)造不等式，本題是利用點是雙曲線上在第一象限內(nèi)的一點，結(jié)合三角形兩邊之和大于第三邊，構(gòu)造不等式.【舉一反三】1．（2020·河南高考模擬（理））設(shè)雙曲線的兩條漸近線與直線分別交于A，B兩點，F(xiàn)為該雙曲線的右焦點若，則該雙曲線的離心率的取值范圍是A． B． C． D．【答案】B【解析】試題分析：由雙曲線方程可知其漸近線方程為，將代入上式可得即．因為，由圖形的對稱性可知，即．因為，所以，即．因為，所以．故B正確．2．（2020·湖北高考模擬（理））設(shè)橢圓與雙曲線在第一象限的交點為為其共同的左右的焦點，且，若橢圓和雙曲線的離心率分別為，則的取值范圍為A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意有m2﹣4＝a2+4，即m2＝a2+8，∴，，解得.故選D．3.（2020六安市第一中學(xué)模擬）點在橢圓上，的右焦點為，點在圓上，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)橢圓的左焦點為，則故要求的最小值，即求的最小值，圓的半徑為2所以的最小值等于，的最小值為，故選D.類型二通過建立目標(biāo)問題的表達(dá)式，結(jié)合參數(shù)或幾何性質(zhì)求范圍【例2】（2020·玉林高級中學(xué)高考模擬（理））已知橢圓的左、右頂點分別為，為橢圓的右焦點，圓上有一動點，不同于兩點，直線與橢圓交于點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意得，．設(shè)點的坐標(biāo)為，則．∴，又且，∴或，故的取值范圍為．選D．【舉一反三】1.拋物線上一點到拋物線準(zhǔn)線的距離為，點關(guān)于軸的對稱點為，為坐標(biāo)原點，的內(nèi)切圓與切于點，點為內(nèi)切圓上任意一點，則的取值范圍為__________．【答案】【解析】因為點在拋物線上，所以，點A到準(zhǔn)線的距離為，解得或．當(dāng)時，，故舍去，所以拋物線方程為∴，所以是正三角形，邊長為，其內(nèi)切圓方程為，如圖所示，∴．設(shè)點（為參數(shù)），則，∴．2.（2020哈爾濱師大附中模擬）已知直線與橢圓：相交于，兩點，為坐標(biāo)原點.當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時，（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得.設(shè)，，則，，.又到直線的距離，則的面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，的面積取得最大值.此時，.故選A.類型三利用根的判別式或韋達(dá)定理建立不等關(guān)系求范圍【例3】（2020·安徽馬鞍山二中高考模擬）已知中心在原點的橢圓C的左焦點恰好為圓F：的圓心，有兩頂點恰好是圓F與y軸的交點．若橢圓C上恰好存在兩點關(guān)于直線y=x+t對稱，則實數(shù)t的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】的圓心為，可得橢圓的，圓與軸的交點為，可得橢圓的，可得，即有橢圓方程為，設(shè)橢圓上關(guān)于直線對稱的兩點連線的方程為，設(shè)兩點的坐標(biāo)為，，，由，得，△，，，設(shè)．的中點，，則，，中點在上，，即，得．故選．【點睛】本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點坐標(biāo)公式，考查化簡整理的運(yùn)算能力．【舉一反三】1.（2020河南省天一大聯(lián)考）已知拋物線：，定點，，點是拋物線上不同于頂點的動點，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】作出拋物線，如圖所示.由圖可知，當(dāng)直線與拋物線相切時，最大.設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得.令，得，此時，所以.2.（2020四川省內(nèi)江模擬）若直線x﹣my+m＝0與圓（x﹣1）2+y2＝1相交，且兩個交點位于坐標(biāo)平面上不同的象限，則m的取值范圍是（）A．（0，1） B．（0，2） C．（﹣1，0） D．（﹣2，0）【答案】D【解析】圓與直線聯(lián)立，整理得圖像有兩個交點方程有兩個不同的實數(shù)根，即得.圓都在軸的正半軸和原點，若要交點在兩個象限，則交點縱坐標(biāo)的符號相反，即一個交點在第一象限，一個交點在第四象限.，解得，故選D項.【指點迷津】圓都在軸的正半軸和原點，若要兩個交點在不同象限，則在第一、四象限，即兩交點的縱坐標(biāo)符號相反，通過聯(lián)立得到，令其小于0，是否關(guān)注“判別式”大于零是易錯點.類型四利用基本不等式求范圍【例4】（2020·遼寧高考模擬（理））已知拋物線的焦點為F，過點F分別作兩條直線，直線與拋物線C交于兩點，直線與拋物線C交于點，若與直線的斜率的乘積為，則的最小值為（）A．14 B．16 C．18 D．20【答案】B【解析】【分析】設(shè)出直線的斜率，得到的斜率，寫出直線的方程，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，根據(jù)弦長公式求得的值，進(jìn)而求得最小值.【詳解】拋物線的焦點坐標(biāo)為，依題意可知斜率存在且不為零，設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，所以，有，有，，故，同理可求得.故，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故最小值為，故選B.【點睛】本小題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查直線和拋物線相交所得弦長公式，考查利用基本不等式求最小值.【舉一反三】1.如圖，已知拋物線的焦點為，直線過且依次交拋物線及圓于點四點，則的最小值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意得，即為圓的圓心，準(zhǔn)線方程為．由拋物線的定義得，又，所以．同理．①當(dāng)直線與x軸垂直時，則有，∴．②當(dāng)直線與x軸不垂直時，設(shè)直線方程為，由消去y整理得，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．綜上可得．選C．【指點迷津】（1）與拋物線有關(guān)的最值問題，一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)．利用定義可將拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，可以使運(yùn)算化繁為簡．“看到準(zhǔn)線想焦點，看到焦點想準(zhǔn)線”，這是解決拋物線焦點弦有關(guān)問題的重要途徑．（2）圓錐曲線中的最值問題，可利用基本不等式求解，但要注意不等式成立的條件．2.（2020河南省安陽市一模）已知雙曲線的一個焦點恰為圓Ω：的圓心，且雙曲線C的漸近線方程為．點P在雙曲線C的右支上，，分別為雙曲線C的左、右焦點，則當(dāng)取得最小值時，＝（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解析】由圓Ω：的圓心（2，0），可得焦點，，雙曲線C的漸近線方程為，可得，且，解得，，設(shè)，可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，可得．故選：B．3.（2020四川省涼山州市高三第二次診斷）已知拋物線:的焦點為，過點分別作兩條直線，，直線與拋物線交于、兩點，直線與拋物線交于、兩點，若與的斜率的平方和為，則的最小值為___．【答案】8【解析】設(shè)，設(shè)直線為,聯(lián)立直線和拋物線得到，兩根之和為：,同理聯(lián)立直線和拋物線得到由拋物線的弦長公式得到代入兩根之和得到，已知，類型五構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)，確定函數(shù)值范圍或最值【例5】（2020·江西高考模擬（理））已知，，為圓上的動點，，過點作與垂直的直線交直線于點，則的橫坐標(biāo)范圍是()A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】設(shè)P（），則Q（2，），當(dāng)≠0時，求出兩直線方程，解交點的橫坐標(biāo)為，利用|x0|范圍，得|x|范圍，當(dāng)＝0時，求得|x|＝1即可求解.【詳解】設(shè)P（），則Q（2，2），當(dāng)≠0時，kAP，kPM，直線PM：y﹣（x﹣），①直線QB：y﹣0（x），②聯(lián)立①②消去y得x，∴，由||＜1得x2＞1，得|x|＞1，當(dāng)＝0時，易求得|x|＝1，故選：A．【指點迷津】解析幾何中的最值是高考的熱點，在圓錐曲線的綜合問題中經(jīng)常出現(xiàn)，求解此類問題的一般思路為在深刻認(rèn)識運(yùn)動變化的過程之中，抓住函數(shù)關(guān)系，將目標(biāo)量表示為一個(或者多個)變量的函數(shù)，然后借助于函數(shù)最值的探求來使問題得以解決．【舉一反三】1.（2020上海市交大附中模擬）過直線上任意點向圓作兩條切線，切點分別為，線段AB的中點為，則點到直線的距離的取值范圍為______．【答案】【解析】∵點為直線上的任意一點，∴可設(shè)，則過的圓的方程為，化簡可得，與已知圓的方程相減可得的方程為，由直線的方程為，聯(lián)立兩直線方程可解得，，故線段的中點，∴點到直線的距離，∵，∴，∴，∴，∴，即故答案為：2.已知橢圓的右焦點為，左頂點為，上頂點為，若點在直線上，且軸，為坐標(biāo)原點，且，若離心率，則的取值范圍為【答案】【解析】由題意得，直線的方程為，所以，直線的方程為，所以，故．由可得，整理得，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即．故選A．3.（2020山東師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬）已知雙曲線C：右支上非頂點的一點A關(guān)于原點O的對稱點為B，F(xiàn)為其右焦點，若，設(shè)，且，則雙曲線C離心率的取值范圍是______．【答案】【解析】解：設(shè)雙曲線的左焦點為，連接，，，可得四邊形為矩形，設(shè)，，即有，且，，，，由，可得，則，可得，即有，則，即有．故答案為：．類型六利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式求范圍【例6】（云南省保山市2019年高三統(tǒng)一檢測）已知坐標(biāo)原點為O，過點作直線n不同時為零的垂線，垂足為M，則的取值范圍是______．【答案】【解析】根據(jù)題意，直線，即，則有，解可得，則直線恒過點．設(shè)，又由與直線垂直，且為垂足，則點的軌跡是以為直徑的圓，其方程為，所以；即的取值范圍是；故答案為：．【指點迷津】1.本題根據(jù)題意，將直線變形為，分析可得該直線恒過點，設(shè)，進(jìn)而分析可得點的軌跡是以為直徑的圓，其方程為，據(jù)此分析可得答案．2.此類問題為“隱形圓問題”，常規(guī)的處理辦法是找出動點所在的軌跡（通常為圓），常見的“隱形圓”有：（1）如果為定點，且動點滿足，則動點的軌跡為圓；（2）如果中，為定長，為定值，則動點的軌跡為一段圓弧．特別地，當(dāng)，則的軌跡為圓（除去）；（3）如果為定點，且動點滿足(為正常數(shù))，則動點的軌跡為圓；【舉一反三】1.已知橢圓的上、下頂點、右頂點、右焦點分別為B2、B1、A、F，延長B1F與AB2交于點P，若∠B1PA為鈍角，則此橢圓的離心率e的取值范圍為_____．【答案】【解析】由題意得橢圓的長半軸、短半軸、半焦距分別為a、b、c，（c=）可得∠B1PA等于向量與的夾角，∵A（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b），F(xiàn)2（c，0）∴=（a，﹣b），=（﹣c，﹣b），∵∠B1PA為鈍角，∴與的夾角大于，由此可得?＜0，即﹣ac+b2＜0，將b2=a2﹣c2代入上式得：a2﹣ac﹣c2＜0，不等式兩邊都除以a2，可得1﹣e﹣e2＜0，即e2+e﹣1＞0，解之得e＜或e＞，結(jié)合橢圓的離心率e∈（0，1），可得＜e＜1，即橢圓離心率的取值范圍為（，1）．故答案為（，1）．2．（2020·湖北高考模擬（理））已知是雙曲線：上的一點，半焦距為，若（其中為坐標(biāo)原點），則的取值范圍是【答案】【解析】【分析】用兩點間的距離公式表示，根據(jù)點M在雙曲線上化簡變形，即可得到所求范圍.【詳解】因為，所以，所以，又，消去得，，所以.三．強(qiáng)化訓(xùn)練1．（2020·福建高考模擬（文））已知是雙曲線上一點，是左焦點，是右支上一點，與的內(nèi)切圓切于點，則的最小值為()A． B． C． D．【答案】B【解析】與的內(nèi)切圓切于點，∴,由雙曲線定義=,當(dāng)且僅當(dāng)A,B,共線時取等，故選：B2．已知橢圓的左、右焦點分別為，左、右頂點分別為，直線過A點且與x軸垂直，P為直線上的任意一點，若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【來源】數(shù)學(xué)-學(xué)科網(wǎng)2021年高三5月大聯(lián)考（廣東卷）【答案】A【解析】由題意可知，，直線的方程為，設(shè)直線，的傾斜角分別為，由橢圓的對稱性，不妨設(shè)點P為第二象限的點，即，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.，，且滿足，則，，∴，則的最大值為，故的最大值是.當(dāng)P為第二或第四象限的點時，的取值范圍是；當(dāng)P為x軸負(fù)半軸上的點時，.綜上可知，的取值范圍為，故選：A.3．（2020·黑龍江高考模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，點為橢圓：的下頂點，，在橢圓上，若四邊形為平行四邊形，為直線的傾斜角，若，則橢圓的離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為是平行四邊形，因此且，故，代入橢圓方程可得，所以．因，所以即，所以即，解得，故選A．4．已知橢圓的焦點分別為、，，若橢圓上存在點，使得，則橢圓短軸長的取值范圍是（）A． B． C． D．【來源】江西省九江市2021屆高三三模數(shù)學(xué)（文）試題【答案】D【解析】不妨設(shè)橢圓的焦點在軸上，則，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，以為直徑的圓的方程為，聯(lián)立，可得，所以，，，可得，因此，橢圓短軸長的取值范圍是.故選：D.5.（2020河北省石家莊市第二中學(xué)）已知實數(shù)滿足，，則的最大值為（）A． B．2 C． D．4【答案】D【解析】設(shè)點在圓上，且，原問題等價于求解點A和點C到直線距離之和的倍的最大值，如圖所示，易知取得最大值時點A,C均位于直線下方，作直線于點，直線于點，取的中點，作直線于點，由梯形中位線的性質(zhì)可知，當(dāng)直線時，直線方程為，兩平行線之間的距離：，由圓的性質(zhì)，綜上可得：的最大值.本題選擇D選項.6．設(shè)雙曲線的離心率為，A，B是雙曲線C上關(guān)于原點對稱的兩個點，M是雙曲線C上異于A，B的動點，直線斜率分別，若，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【來源】內(nèi)蒙古赤峰市2021屆高三二模數(shù)學(xué)（文）試題【答案】D【解析】設(shè)，則，那么，兩式相減得：，整理得：，即，又因為雙曲線的離心率為，所以，所以，故，其中，所以故選：D.7已知是橢圓的左焦點，直線與該橢圓相交于兩點，是坐標(biāo)原點，是線段的中點，線段的中垂線與軸的交點在線段上．該橢圓離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．【來源】四川省達(dá)州市2021屆高三二模數(shù)學(xué)（文）試題【答案】A【解析】設(shè)的中點為，中垂線與軸交于點，設(shè)，，由得：，，，，，，直線方程為：，令，解得：，即，在線段上，，整理可得：，即，又橢圓離心率，，即橢圓離心率的取值范圍為.故選：A.8．已知拋物線，過其焦點的直線與其交于兩點，若，則直線的傾斜角的最大值為（）A． B． C． D．【來源】河南省商丘市新鄉(xiāng)市部分學(xué)校2021屆高三5月聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試題【答案】D【解析】由已知得焦點，當(dāng)直線的斜率不存在時，.滿足要求.當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)其方程為)，與拋物線方程聯(lián)立，得，設(shè)，，由拋物線定義知，，，所以解得或，所以直線傾斜角的范圍是或，所以直線的傾斜角的最大值為，故選：D.9．（2020·河北衡水中學(xué)高考模擬（理））已知過拋物線的焦點的直線與拋物線交于兩點，且，拋物線的準(zhǔn)線與軸交于，于點，且四邊形的面積為，過的直線交拋物線于兩點，且，點為線段的垂直平分線與軸的交點，則點的橫坐標(biāo)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】過B作BB1⊥l于B1，設(shè)直線AB與l交點為D，由拋物線的性質(zhì)可知AA1=AF，BB1=BF，CF=p，設(shè)BD=m，BF=n，則===，即=，∴m=2n．又=，∴==，∴n=，∴DF=m+n=2p，∴∠ADA1=30°，又AA1=3n=2p，CF=p，∴A1D=2p，CD=p，∴A1C=p，∴直角梯形AA1CF的面積為（2p+p）?p=6，解得p=2，∴y2=4x，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），∵=λ，∴y1=λy2，設(shè)直線l：x=my﹣1代入到y(tǒng)2=4x中得y2﹣4my+4=0，∴y1+y2=4m，y1y2=4，∴x1+x2=m（y1+y2）﹣2=4m2﹣2，由①②可得4m2==λ++2，由1＜λ≤2可得y=λ++2遞增，即有4m2∈（4，]，即m2∈（1，]，又MN中點（2m2﹣1，2m），∴直線MN的垂直平分線的方程為y﹣2m=﹣m（x﹣2m2+1），令y=0，可得x0=2m2+1∈（3，]，故選：A．10．（2020·山東省實驗中學(xué)西校區(qū)高考模擬（理））已知雙曲線的左、右焦點分別為，點是雙曲線上的任意一點，過點作雙曲線的兩條漸近線的平行線，分別與兩條漸近線交于兩點，若四邊形（為坐標(biāo)原點）的面積為，且，則點的橫坐標(biāo)的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題易知四邊形PAOB為平行四邊形,且不妨設(shè)雙曲線C的漸近線,設(shè)點P(m,n),則直線PB的方程為y-n=b(x-m),且點P到OB的距離為,由,解得,又,又,,雙曲線C的方程為,即,又,解得或,所以點P的橫坐標(biāo)m的取值范圍為,故選A.11．已知橢圓：的離心率為，是橢圓的右焦點，點，直線的斜率為，為坐標(biāo)原點．設(shè)過點的直線與橢圓交于，兩點，則面積的最大值為（）A． B．2 C． D．1【來源】河南省濟(jì)源平頂山許昌2021屆高三三模數(shù)學(xué)（理）試題【答案】D【解析】設(shè)，由條件知，得又，所以，，故的方程．依題意當(dāng)軸不合題意，故設(shè)直線，設(shè)，，，將代入，得，當(dāng)△，即時，從而又點到直線的距離，所以的面積，設(shè)，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，等號成立，且滿足△，故的面積的最大為1．故選：．12．已知橢圓：的左、右焦點分別為，，若橢圓上存在一點，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．【來源】河南省開封市2021屆高三三模文科數(shù)學(xué)試題【答案】C【解析】在中，由正弦定理可得,又由，即，即,設(shè)點，可得，則，解得，由橢圓的幾何性質(zhì)可得，即，整理得，解得或，又由，所以橢圓的離心率的取值范圍是.故選：C.13．（2020·廣東高考模擬（理））設(shè)橢圓的左焦點為，直線與橢圓交于兩點，則周長的取值范圍是【答案】【解析】根據(jù)橢圓對稱性得周長等于,(為右焦點),由得，即周長的取值范圍是.14．（2020北京市大興區(qū)高三一模）已知點，，點在雙曲線的右支上，則的取值范圍是_________．【答案】【解析】設(shè)點P(x,y),（x＞1），所以，因為，當(dāng)y＞0時，y=,所以，由于函數(shù)在[1，+∞）上都是增函數(shù)，所以函數(shù)在[1，+∞）上是增函數(shù)，所以當(dāng)y＞0時函數(shù)f(x)的最小值=f(1)=1.即f(x)≥1.當(dāng)y≤0時，y=,所以，由于函數(shù)在[1，+∞）上都是增函數(shù)，所以函數(shù)在[1，+∞）上是減函數(shù)，所以當(dāng)y≤0時函數(shù)k(x)＞0.綜上所述，的取值范圍是.15．設(shè)直線