2024-2025學年北京市海淀區(qū)育英學校高三（上）月考數(shù)學試卷（10月份）（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年北京市海淀區(qū)育英學校高三（上）月考數(shù)學試卷（10月份）一、單選題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知全集U=Z，集合A={x∈Z|?2<x<2}，B={?1,0,1,2}，則(?UA)∩B=A.{?1,2} B.{1} C.{0,1} D.{2}2.在復平面上，復數(shù)1+ai2?i所對應的點在第二象限，則實數(shù)a的值可以為(

)A.?12 B.1 C.2 3.sin(1050A.12 B.?12 C.4.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在其定義域上為增函數(shù)的是(

)A.y=sinx B.y=x|x| C.y=tanx D.y=x?5.已知平面向量a，b滿足a?(a+b)=3，且|a|=2，|A.π6 B.π3 C.2π36.已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分圖象如圖所示，則f(?π)的值是A.3

B.1

C.?1

D.?7.設a=20.3，b=sinπ12，A.c<b<a B.b<c<a C.a<b<c D.b<a<c8.在△ABC中，A=π4，則“sinB<22”是“A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件9.分貝(dB)、奈培(Np)均可用來量化聲音的響度，其定義式分別為1dB=10lgAA0，1Np=為待測值，A0為基準值.如果1dB=tNp(t∈R)，那么t≈(????)(參考數(shù)據(jù)：lge≈0.4343)A.8.686 B.4.343 C.0.8686 D.0.11510.已知點集A={(x,y)|x∈Z，y∈Z}，S={(a,b)∈A|1≤a≤5，1≤b≤5}.設非空點集T?A，若對S中任意一點P，在T中存在一點Q(Q與P不重合)，使得線段PQ上除了點P，Q外沒有A中的點，則T中的元素個數(shù)最小值是(

)A.1 B.2 C.3 D.4二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11.函數(shù)f(x)=3?xlg12.在平面直角坐標系xOy中，角?與角β均以Ox為始邊，它們的終邊關于原點對稱.若?∈[π6,π313.已知平面內(nèi)四個不同的點A，B，C，D滿足BA=2DB?2DC，則|14.已知函數(shù)f(x)=1x?a,x<a,x2?2x,x≥a,其中a∈R．

(Ⅰ)當a=0時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為______；

(Ⅱ)若函數(shù)f(x)的值域為A，存在實數(shù)15.已知函數(shù)f(x)=λsin(π2x+φ)?(λ>0,0<φ<π)的部分圖象如圖1所示，A，B分別為圖象的最高點和最低點，過A作x軸的垂線，交x軸于點A′，點C為該部分圖象與x軸的交點.將繪有該圖象的紙片沿x軸折成直二面角，如圖2所示，此時|AB|=10，則λ=

．

給出下列四個結(jié)論：

①φ=π3；

②圖2中，AB?AC=5；

③圖2中，過線段AB的中點且與AB垂直的平面與x軸交于點C；

④圖2中，S是△A′BC及其內(nèi)部的點構(gòu)成的集合.設集合T={Q∈S||AQ|≤2}，則T表示的區(qū)域的面積大于π三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題14分)

在△ABC中，b2+c2?a2=bc．

(Ⅰ)求∠A；

(Ⅱ)再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個作為已知，使△ABC存在且唯一確定，求△ABC的面積．

條件①：cosB=1114；

條件②：a+b=12；

條件③：c=12．17.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=x3?x，g(x)=2x?3．

(Ⅰ)求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程；

(Ⅱ)求函數(shù)f(x)在[0,2]上的最大值；

(Ⅲ)求證：存在唯一的18.(本小題14分)

已知函數(shù)f(x)=2sin(x+π6).

(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(Ⅱ)設g(x)=f(x)f(x?π6).當x∈[0,m]時，g(x)19.(本小題15分)

已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn=λan?nλ+1，(λ≠±1,n∈N?).

(Ⅰ)如果λ=0，求數(shù)列{an}的通項公式；

(Ⅱ)20.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=mxlnx?x2+1(m∈R)．

(Ⅰ)當m=1時，求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程；

(Ⅱ)若f(x)≤0在區(qū)間[1,+∞)上恒成立，求m的取值范圍；

(Ⅲ)試比較ln4與21.(本小題14分)

給定整數(shù)n(n≥2)，數(shù)列A2n+1：x1，x2，…，x2n+1每項均為整數(shù)，在A2n+1中去掉一項xk，并將剩下的數(shù)分成個數(shù)相同的兩組，其中一組數(shù)的和與另外一組數(shù)的和之差的最大值記為mk(k=1,2,…,2n+1).將m1，m2，…，m2n+1中的最小值稱為數(shù)列A2n+1的特征值．

(Ⅰ)已知數(shù)列A5：1，2，3，3，3，寫出m1，m2，m3的值及A5的特征值；

(Ⅱ)若x1≤x2≤…≤x2n+1，當[i?(n+1)][j?(n+1)]≥0，其中參考答案1.D

2.D

3.B

4.B

5.C

6.A

7.B

8.A

9.A

10.B

11.{x|?1<x≤3且x≠0}

12.?113.3

14.[1,+∞)

(2,+∞)

15.3

②③16.(Ⅰ)解：因為b2+c2?a2=bc，

所以由余弦定理得：cosA=b2+c2?a22bc=12，

又因為A∈(0,π)，所以A=π3；

(Ⅱ)解：由(1)知A=π3，

若選①②：cosB=1114且a+b=12，由cosB=1114，可得sinB=1?cos2=5314，

由正弦定理：asinA=bsinB，可得a32=12?a5314，解得a=7，則b=12?a=5，

又由余弦定理a2=b2+c2?2bccosA，可得49=25+c2?5c，

所以c2?5c?24=0，解得c=8或c=?3(舍去17.解：(Ⅰ)由f(x)=x3?x，得f′(x)=3x2?1，

所以f′(1)=2，又f(1)=0，

所以曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為：y?0=2(x?1)，

即：2x?y?2=0；

(Ⅱ)令x[0,(f?0+f(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增因為f(0)=0，f(2)=6，

所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值為6；

(Ⅲ)證明：設?(x)=f(x)?g(x)=x3?3x+3，

則?′(x)=3x2?3=3(x?1)(x+1)，

令?′x(?∞,?1)?1(?1,1)1(1,+∞)?+0?0+?(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增則?(x)的增區(qū)間為(?∞,?1)，(1,+∞)，減區(qū)間為(?1,1)，

又?(1)=1>0，?(?1)>?(1)>0，所以函數(shù)?(x)在(?1,+∞)沒有零點，

又?(?3)=?15<0，

所以函數(shù)?(x)在(?∞,?1)上有唯一零點x0，

綜上，在(?∞,+∞)上存在唯一的x0，使得18.解：(Ⅰ)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間滿足的條件為：π2+2kπ≤x+π6≤32π+2kπ，k∈Z，

解得：π3+2kπ≤x≤4π3+2kπ，k∈Z，

所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為{x|π3+2kπ≤x≤4π3+2kπ,k∈Z}；

(Ⅱ)由題意可得：g(x)=2sin(x+π6)?2sinx

=23sin2x+2sinxcosx

=319.解：(Ⅰ)λ=0時，Sn=?n，

當n=1時，a1=S1=?1，

當n≥2時，an=Sn?Sn?1=?1，

所以an=?1.

…(3分)

(Ⅱ)證明：當λ=2時，Sn=2an?n3，

Sn+1=2an+1?n+13，

相減得an+1=2an+13．

所以an+1+13=2(an+13).

又因為a1=13，a1+13=23，

所以數(shù)列{an+13}為等比數(shù)列，

所以an+13=2n3，Sn=2an20.解：(Ⅰ)當m=1時，f(x)=xlnx?x2+1，函數(shù)定義域為(0,+∞)，

可得f′(x)=lnx+1?2x，

此時f′(1)=?1，

又f(1)=0，

所以曲線f(x)在點(1,f(1))處切線的方程為y=?(x?1)，

即x+y?1=0；

(Ⅱ)若f(x)≤0在區(qū)間[1,+∞)上恒成立，

此時mlnx?x+1x≤0在區(qū)間[1,+∞)上恒成立，

不妨設g(x)=mlnx?x+1x，函數(shù)定義域為[1,+∞)，

可得g′(x)=mx?1?1x2=?x2+mx?1x2，

當m≤0時，mx≤0，

所以g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，

此時g(x)≤g(1)=0，符合題意；

當m>0時，

不妨設?(x)=?x2+mx?1，

易知在方程?x2+mx?1=0中，Δ=m2?4，

若Δ≤0，即0<m≤2時，?(x)≤0，

所以g′(x)≤0，g(x)單調(diào)遞減，

則g(x)≤g(1)=0，符合題意，

若Δ>0，即m>2時，

函數(shù)?(x)是開口向下的二次函數(shù)，對稱軸x=m2>1，

又?(1)=m?2>0，

此時方程?x2+mx?1=0的大于1的根為x0=m?m2?42，

當1<x<x0時，?(x)>0，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；

當x>x0時，21.解：(Ⅰ)由題意，可知：

m1=(3+3)?(2+3)=1，m2=(3+3)?(1+3)=2，

m3=(3+3)?(1+2)=3；

∵m4=m5=m3=3，

∴A5的特征值為1．

(Ⅱ)由題意，[i?(n+1)][j?(n+1)]≥0，故可分下列兩種情況討論：

①當i，j∈{1,2,…,n+1}且i≠j時，