云南省紅河哈尼族彝族自治州蒙自市2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期4月月考試題含解析

紅河州2023—2024學(xué)年春季學(xué)期四月月考高一數(shù)學(xué)試卷（考試時(shí)間120分鐘，滿分150分）注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的考號(hào)、姓名、考場(chǎng)、座位號(hào)、班級(jí)在答題卡上填寫清楚.2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)的題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).在試卷上作答無效.一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由并集概念以及區(qū)間的表示即可得解.【詳解】集合，，則.故選：D.2.函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，得到的圖象，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由三角函數(shù)圖象的平移與伸縮變換求解即可.【詳解】的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，再把橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，得到的圖象.故選：C.3.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)，最小正周期為且在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正弦、余弦、正切函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.【詳解】對(duì)于A：為最小正周期為的奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：為最小正周期為的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故B正確；對(duì)于C：令，則，，所以為偶函數(shù)，又的圖象是由的圖象將軸下方部分關(guān)于軸對(duì)稱上去，軸及軸上方部分不變，最小正周期為，且在上單調(diào)遞減且函數(shù)值為正，所以的最小正周期為，且在上單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：為最小正周期為的奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤.

故選：B4.已知函數(shù)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，，則的值為（）A.－2 B.－1 C.0 D.1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由條件可得在上單調(diào)遞增，且，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，且在上單調(diào)遞增，且，，即，由零點(diǎn)存在定理可得，的零點(diǎn)區(qū)間為，所以.故選：B5.在一個(gè)空房間中大聲講話會(huì)產(chǎn)生回音，這個(gè)現(xiàn)象叫做“混響”．用聲強(qiáng)來度量聲音的強(qiáng)弱，假設(shè)講話瞬間發(fā)出聲音的聲強(qiáng)為，則經(jīng)過秒后這段聲音的聲強(qiáng)變?yōu)?，其中是一個(gè)常數(shù)．把混響時(shí)間定義為聲音的聲強(qiáng)衰減到原來的所需的時(shí)間，則約為（參考數(shù)據(jù)：）（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知公式及對(duì)數(shù)運(yùn)算可得結(jié)果.【詳解】由題意，，即，等號(hào)兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)得，即，所以．故選：C．6.棣莫弗公式（其中i為虛數(shù)單位）是由法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667-1754）發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】由棣莫弗公式化簡(jiǎn)結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義即可得出答案.【詳解】，在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第二象限.故選：B.7.在中，若，且，那么一定是（）A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等邊三角形【答案】D【解析】【分析】由兩角和的正弦公式并結(jié)合正弦定理可得，即，又由化簡(jiǎn)可得，得，從而可求解.【詳解】，則，因?yàn)?，所以，則，又因?yàn)?，，則，則，即，即，又因?yàn)?，則，所以，即.即一定是等邊三角形，故D正確.故選：D.8.設(shè)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且為奇函數(shù).若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)所給函數(shù)性質(zhì)求出函數(shù)周期，利用周期化簡(jiǎn)即可得解.【詳解】由為奇函數(shù)，得，得的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以.又因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈呐己瘮?shù)，所以，，所以的周期為4，所以.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.圓柱的側(cè)面展開圖是長(zhǎng)4cm，寬2cm的矩形，則這個(gè)圓柱的體積可能是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】由已知中圓柱的側(cè)面展開圖是長(zhǎng)4cm，寬2cm的矩形，我們可以分圓柱的底面周長(zhǎng)為4cm，高為2cm的和圓柱的底面周長(zhǎng)為2cm，高為4cm，兩種情況分別由體積公式即可求解.【詳解】側(cè)面展開圖是長(zhǎng)4cm，寬2cm的矩形，若圓柱的底面周長(zhǎng)為4cm，則底面半徑，，此時(shí)圓柱的體積若圓柱的底面周長(zhǎng)為2cm，則底面半徑，，此時(shí)圓柱的體積故選：BD10.已知向量，，則（）A.若與垂直，則 B.若，則的值為-5C.若，則 D.若，則與夾角為60°【答案】ABC【解析】【分析】對(duì)于A，由向量垂直得數(shù)量積為0，列方程即可驗(yàn)算；對(duì)于B，先由向量平行列方程得參數(shù)，再由數(shù)量積驗(yàn)算即可；對(duì)于C，由向量線性運(yùn)算、模的坐標(biāo)運(yùn)算公式驗(yàn)算即可；對(duì)于D，由向量模的夾角的余弦坐標(biāo)公式驗(yàn)算即可.【詳解】對(duì)于A，若與垂直，則，解得，故A正確；對(duì)于B，若，則，解得，此時(shí)，故B正確；對(duì)于C，若，則，故C正確；對(duì)于D，若，則，注意到此時(shí)，與的夾角的余弦值為，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.11.已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A.在區(qū)間單調(diào)遞增B.函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線C.函數(shù)在有5個(gè)零點(diǎn)D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)條件得，再利用的圖象與性質(zhì)，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷，即可求出結(jié)果.【詳解】，其圖象如圖，對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，，，易知在區(qū)間單調(diào)遞減，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)榈膶?duì)稱軸為，而的對(duì)稱軸也是，所以選項(xiàng)B正確，對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，有無數(shù)多個(gè)零點(diǎn)，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)椋峙己瘮?shù)在遞減，所以，故選項(xiàng)D正確，故選：BD.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.若一個(gè)球的表面積與其體積在數(shù)值上相等，則此球的半徑為________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)體積公式和面積公式列式計(jì)算.【詳解】設(shè)此球的半徑為，則，解得.故答案為：.13.已知非零向量滿足，則___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量減法的三角形法則得三角形為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的幾何特征進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】如圖當(dāng)時(shí)，為等邊三角形，則為線段的長(zhǎng)度，所以.故答案為：.14.在中，，，其面積為，則_______．【答案】【解析】【分析】利用三角形的面積公式求得，利用余弦定理求得，結(jié)合正弦定理求得正確答案.【詳解】依題意，，由余弦定理得，，由正弦定理得.故答案為：四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.已知不等式，的解集是．（1）求常數(shù)的值；（2）若關(guān)于的不等式的解集為，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依題意可得和為關(guān)于的方程的兩根且，利用韋達(dá)定理得到方程，求出的值；（2）依題意可得關(guān)于的不等式的解集為，則，即可求出的取值范圍.【小問1詳解】因?yàn)榈慕饧?，所以和為關(guān)于的方程的兩根且，所以，解得.【小問2詳解】由（1）可得關(guān)于的不等式的解集為，所以，解得，即的取值范圍為.16.已知，.（1）若，且、、三點(diǎn)共線，求的值.（2）當(dāng)實(shí)數(shù)為何值時(shí)，與垂直？【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由、、C三點(diǎn)共線，可得與共線，列出方程即可得到的值；（2）根據(jù)題意，由平面向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，代入公式，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】由題意可得，，且、、三點(diǎn)共線，則可得，即，解得；【小問2詳解】由題意可得，，因?yàn)榕c垂直，則可得,解得.17.在中，已知．（1）求的大??；（2）請(qǐng)從條件①：，條件②：，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)作為條件，求和的值．注：如果選擇兩個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分【答案】（1）或（2）選條件①，，，選條件②，，【解析】【分析】（1）先用正弦定理求出角A；（2）選條件①：先判斷出，分別求出，利用兩角和的余弦公式即可求出，再用余弦定理求出a；選條件②：先判斷出，分別求出，利用兩角和的余弦公式即可求出，再用正弦定理求出a．【小問1詳解】中，因?yàn)?，所以，由正弦定理得：，所以，且，所以?【小問2詳解】選條件①：，則，所以（舍去）.此時(shí)，，，，所以.即，由余弦定理得：，即，解得：（舍去）．選條件②：.因?yàn)?，所以，所以（舍去?此時(shí)，，，，所以，即.所以，由正弦定理得：，即，即.18.如圖，已知是邊長(zhǎng)為的正方形的中心，質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向，同時(shí)質(zhì)點(diǎn)也從點(diǎn)出發(fā)沿方向在該正方形上運(yùn)動(dòng)，直至它們首次相遇為止．已知質(zhì)點(diǎn)的速度為，質(zhì)點(diǎn)的速度為．（1）請(qǐng)將表示為時(shí)間（單位：）的函數(shù)______；（2）求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件，建立平面直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)坐標(biāo)，分，與，利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，即可求出的表達(dá)式，（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及分段函數(shù)分段處理，結(jié)合一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【小問1詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，解得，所以，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，綜上，【小問2詳解】當(dāng)時(shí)由（1）知單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為．當(dāng)時(shí)，由知，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為；當(dāng)時(shí)，由知，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為0．綜上的最小值為．19.“費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出.該問題是：“在一個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.”意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，使得的點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn).試用以上知識(shí)解決下