安徽省合肥市2023～2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次單元檢測(cè)試題含答案

（考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分）一、單選題（本大題共8小題，共40分．在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.若分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn),為雙曲線上一點(diǎn),且,則的長(zhǎng)為A. B.或 C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù),推出點(diǎn)在雙曲線的左支上,再根據(jù)雙曲線的定義列等式可解得.【詳解】因?yàn)?所以必在雙曲線左支上,所以根據(jù)雙曲線的定義可得:,又,所以,解得:,故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的定義,注意先判斷出點(diǎn)在雙曲線的左支上.屬基礎(chǔ)題.2.拋物線的準(zhǔn)線方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，再根據(jù)拋物線性質(zhì)求解即可.【詳解】由得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以其準(zhǔn)線方程為.故選：C3.過(guò)兩直線與的交點(diǎn)，并且與第一條直線垂直的直線方程是（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通過(guò)解方程組，結(jié)合互相垂直的直線斜率之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】由可得兩直線交點(diǎn)，由第一條直線的斜率為，得到所求直線的斜率為，所求直線的方程為：，即．故選：C4.直三棱柱中，，，則直線與所成角大小為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三棱錐的特征補(bǔ)全為正方體，則，為直線與所成角，連接，則為等邊三角形即可得解.【詳解】根據(jù)直三棱柱的各邊長(zhǎng)相等且，補(bǔ)全可得如圖所示的正方體，易知，為直線與所成角，連接，則為等邊三角形，所以，所以直線與所成角的大小為.故選：B5.在數(shù)列中，，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件推導(dǎo)出數(shù)列的周期，再借助周期性計(jì)算得解.【詳解】在數(shù)列中，，，則，，于是得數(shù)列是周期數(shù)列，周期為3，，所以.故選：A6.2021年6月17日9時(shí)22分，搭載神舟十二號(hào)載人飛船的長(zhǎng)征二號(hào)F遙十二運(yùn)載火箭，在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點(diǎn)火發(fā)射．此后，神舟十二號(hào)載人飛船與火箭成功分離，進(jìn)入預(yù)定軌道，并快速完成與“天和”核心艙的對(duì)接，聶海勝、劉伯明、湯洪波3名宇航員成為核心艙首批“入住人員”，并在軌駐留3個(gè)月，開(kāi)展艙外維修維護(hù)，設(shè)備更換，科學(xué)應(yīng)用載荷等一系列操作．已知神舟十二號(hào)飛船的運(yùn)行軌道是以地心為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)地球半徑為R，其近地點(diǎn)與地面的距離大約是，遠(yuǎn)地點(diǎn)與地面的距離大約是，則該運(yùn)行軌道（橢圓）的離心率大約是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】以運(yùn)行軌道長(zhǎng)軸所在直線為x軸，地心F為右焦點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程為，根據(jù)題意列出方程組，解方程組即可.【詳解】以運(yùn)行軌道長(zhǎng)軸所在直線為x軸，地心F為右焦點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程為，其中，根據(jù)題意有，，所以，，所以橢圓離心率．故選：A．7.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P在C上，直線PF交y軸于點(diǎn)Q，若，則點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】求出焦點(diǎn)的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，由可得，求出，結(jié)合拋物線的定義，即可得解．詳解】解：由拋物線，可知，準(zhǔn)線的方程為，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，因?yàn)椋?，所以，所以點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為．故選：C．8.已知是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓上存在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，兩點(diǎn)滿足，則橢圓離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，，.由已知可得.進(jìn)而根據(jù)橢圓的方程消去，得到.然后根據(jù)橢圓的范圍，即可求出，進(jìn)而求出答案.【詳解】設(shè)，，.則，，由已知可得，，即，整理可得.因?yàn)椋?，所以，又由題意可得，所以.又，所以，所以，即，所以.故選：C.二、多選題（本大題共4小題，共20分．每小題有多項(xiàng)符合題目要求，多選、錯(cuò)選不得分，漏選得2分）9.（多選題）下列命題中不正確的是（）A.若與共線，與共線，則與共線B.向量，，共面，即它們所在的直線共面C.若兩個(gè)非零空間向量，，滿足，則∥D.若∥，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使=λ【答案】ABD【解析】【分析】舉反例判斷AD，根據(jù)共面向量的定義判斷B，根據(jù)向量共線定理判斷C【詳解】對(duì)于A，若，則與共線，與共線，但與不一定共線，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，共面向量的定義是平行于同一平面的向量，表示這些向量的有向線段所在的直線不一定共面，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，因?yàn)?，所以，所以與共線，所以∥，所以C正確，對(duì)于D，若，，則不存在，使=λ，所以D錯(cuò)誤，故選：ABD10.已知曲線（且），則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則C為圓B.若，則C為橢圓C.若，則C為雙曲線D.若C為焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則【答案】AC【解析】【分析】由表示雙曲線，圓以及橢圓的條件逐一判斷每一個(gè)選項(xiàng)即可求解.【詳解】對(duì)于AB，若，曲線即，表示原點(diǎn)在圓心半徑為1的圓，故A正確B錯(cuò)誤；對(duì)于CD，若，則表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，故C正確D錯(cuò)誤.故選：AC.11.已知雙曲線過(guò)點(diǎn)且漸近線為，點(diǎn)在雙曲線的一條漸近線上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為雙曲線的右焦點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.雙曲線的離心率為2 B.雙曲線的方程是C.的最小值為2 D.直線與有兩個(gè)公共點(diǎn)【答案】AB【解析】【分析】設(shè)雙曲線的方程為，由雙曲線過(guò)點(diǎn)求出，判斷B；再由離心率公式判斷A；聯(lián)立直線和雙曲線方程判斷D.【詳解】設(shè)雙曲線的方程為，由雙曲線過(guò)點(diǎn)可得，即雙曲線的方程是，故B正確；可化為，則，，故A正確；由題意可得，當(dāng)直線與漸近線垂直時(shí)，取最小值，且最小值，故C錯(cuò)誤；由，解得，即直線與只有一個(gè)交點(diǎn)，故D錯(cuò)誤；故選：AB12.過(guò)拋物線：的焦點(diǎn)的直線與相交于，兩點(diǎn).若長(zhǎng)最小值為6，則下列結(jié)論正確的是（）A.拋物線方程為B.的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離最小值為3C.直線的斜率為時(shí)，為的一個(gè)四等分點(diǎn)D.【答案】ABC【解析】【分析】由題意可知，當(dāng)斜率不存在時(shí)，即過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且垂直軸，即為通徑時(shí)，取得最小值，可求得p的值，即可判斷A;當(dāng)PQ為拋物線通經(jīng)時(shí)，的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離最小，判斷B;由A的分析求得，可判斷C;由A的分析求得，判斷D.【詳解】當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，即過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且垂直軸，，,，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，，，聯(lián)立直線與拋物線的方程得，可得①，由韋達(dá)定理，可得，由拋物線的定義，可得，綜合以上兩種情況可得，當(dāng)斜率不存在時(shí)，即過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且垂直軸，取得最小值，的最小值為6，，即，拋物線的方程為，故選項(xiàng)正確，當(dāng)PQ垂直軸時(shí)，的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離最小，最小值為，故選項(xiàng)正確，當(dāng)直線的斜率為時(shí)，將，代入①中，可得，解得兩根為，不妨取，，由拋物線得的定義可得，，，則,，即為的一個(gè)四等分點(diǎn)，故C選項(xiàng)正確．由①可知：，由于，故D錯(cuò)誤，故選：三、填空題（本大題共4小題，共20分）13.橢圓（）的兩個(gè)焦點(diǎn)為、，且，弦過(guò)點(diǎn)，則△的周長(zhǎng)是_______．【答案】20【解析】【分析】由題意可得，利用，求出a，再運(yùn)用橢圓定義得△的周長(zhǎng)為即可.【詳解】如圖所示，由，得，即，橢圓（），∴，得，弦過(guò)點(diǎn)，根據(jù)橢圓定義得△的周長(zhǎng)為.故答案為：20.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：在橢圓中，弦過(guò)橢圓的一焦點(diǎn)與橢圓相交于A，B，與另一焦點(diǎn)形成的三角形的周長(zhǎng)為.14.設(shè)圓與兩圓，中一個(gè)內(nèi)切，另一個(gè)外切，則圓的圓心軌跡的方程為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意利用兩圓相切的性質(zhì)，分類討論求出圓的圓心軌跡的方程.【詳解】設(shè)、的圓心分別為，圓的半徑為.當(dāng)圓與圓內(nèi)切，與圓外切時(shí)，這時(shí)有，圓的圓心軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線的左支；當(dāng)圓與圓外切，與圓內(nèi)切時(shí)，這時(shí)有，圓的圓心軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，因此圓的圓心軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線，，所以方程為：.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了利用雙曲線的定義求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了圓與圓相切的性質(zhì)，考查了分類討論思想，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.15.對(duì)標(biāo)準(zhǔn)形式的拋物線，給出下列條件：①焦點(diǎn)在y軸上；②焦點(diǎn)在x軸上；③拋物線上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6；④由原點(diǎn)向過(guò)焦點(diǎn)的某直線作垂線，垂足坐標(biāo)為(2，1).其中滿足拋物線方程為y2=10x的是____________.(要求填寫(xiě)適合條件的序號(hào))【答案】②④【解析】【分析】根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)和定義判斷可得答案.【詳解】解：拋物線y2=10x的焦點(diǎn)在x軸上，②滿足，①不滿足；設(shè)M(1，y0)是y2=10x上一點(diǎn)，則|MF|=1+=1+≠6，所以③不滿足；由于拋物線y2=10x的焦點(diǎn)為，設(shè)過(guò)該焦點(diǎn)的直線方程為y=k，若由原點(diǎn)向該直線作垂線，垂足為(2，1)時(shí)，則k=-2，所以④滿足.故答案為：②④.16.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)于任意兩點(diǎn)，定義它們之間的“曼哈頓距離”為，以對(duì)于平面上任意一點(diǎn)P，若，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】由題意得點(diǎn)的軌跡方程，發(fā)現(xiàn)它的軌跡是正方形，只需求出一條邊的距離即可.【詳解】由題意設(shè)，則，用分別用依次代入該方程，發(fā)現(xiàn)該方程不變，所以曲線的圖象關(guān)于坐標(biāo)軸以及坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，不妨設(shè)，此時(shí)即，它與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，它們的距離為，所以由對(duì)稱性得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為.故答案為：.四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17.已知，．（1）求兩圓公共弦所在的直線方程；（2）求兩圓的公共弦長(zhǎng)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接兩圓方程相減即可求解；（2）先求圓心到直線的距離，再結(jié)合圓的弦長(zhǎng)公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】由題意兩圓，方程相減得，，整理得，即兩圓公共弦所在的直線方程為.【小問(wèn)2詳解】由（1）得兩圓公共弦所在的直線方程為，圓的圓心、半徑分別為，圓心到直線的距離為，所以兩圓的公共弦長(zhǎng)為.18.已知M為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線，D為垂足，點(diǎn)P滿足，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程（當(dāng)點(diǎn)M經(jīng)過(guò)橢圓與x軸的交點(diǎn)時(shí)，規(guī)定點(diǎn)P與點(diǎn)M重合．）【答案】【解析】【分析】由題意設(shè)，則，，結(jié)合，得，代入即可得解.【詳解】由題意設(shè)，則，，所以，又因?yàn)?，所以，解得，由?guī)定可知，所以，即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程為.19.如圖，在四棱錐中，平面，，且，，，，，為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)為，連接，，進(jìn)而證明四邊形為平行四邊形即可證明結(jié)論；（2）取中點(diǎn)為，以為空間直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求解即可；【小問(wèn)1詳解】證明：取中點(diǎn)為，連接，，如圖所示，因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以且，又因?yàn)榍遥?，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．【小?wèn)2詳解】解：取中點(diǎn)為，以為空間直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，，設(shè)平面的法向量為，因?yàn)椋?，所以，令，解得，即，設(shè)平面的法向量為，因?yàn)椋?，所以，令，解得，即，記平面與平面夾角為，，則，，所以二面角的正弦值為．20.已知雙曲線的焦點(diǎn)為，且該雙曲線過(guò)點(diǎn)．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若雙曲線上的點(diǎn)滿足，求的面積．【答案】（1）（2）4【解析】【分析】（1）設(shè)雙曲線的方程為，運(yùn)用雙曲線的定義，以及兩點(diǎn)的距離公式可得，結(jié)合，，的關(guān)系，可得，，即可得到所求雙曲線的方程；（2）由雙曲線的定義和直角三角形的勾股定理、面積公式，化簡(jiǎn)可得所求值．【詳解】（1）設(shè)雙曲線的方程為，由，，且該雙曲線過(guò)點(diǎn)，可得，，又，，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由，得，．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查三角形的面積的求法，注意運(yùn)用勾股定理和定義法解題，考查運(yùn)算能力．21.已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為（1）求的值.（2）過(guò)焦點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，且,證明:為定值.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】分析】（1）根據(jù)拋物線第一定義即可求解，再將點(diǎn)橫坐標(biāo)代入即可求解；（2）設(shè)直線的方程，先求出點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立直線和拋物線方程求得關(guān)于的一元二次方程，結(jié)合韋達(dá)定理表示出根與系數(shù)的關(guān)系，再根據(jù)代換出的表達(dá)式，結(jié)合韋達(dá)定理即可求解【詳解】（1）由拋物線第一定義得，再將點(diǎn)橫坐標(biāo)代入拋物線方程解得（2）依題意直線斜率存在且不為零，設(shè)直線的方程，則代入拋物線得【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，用解析法求證直線過(guò)焦點(diǎn)的定值問(wèn)題，運(yùn)算能力，屬于中檔題22.已知圓F1：（x+1）2+y2=16，F(xiàn)2（1，0），P是圓F1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)2P的中垂線l交F1P于點(diǎn)Q.（1）求點(diǎn)Q的軌跡E的方程；（2）若斜率為k（k≠0）的直線l1與點(diǎn)Q的軌跡E交于不同的兩點(diǎn)A，B，且線段AB的垂直平分線過(guò)定點(diǎn)（，0），求k的取值