遼寧省朝陽市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期3月考試 數(shù)學(xué) 含解析

遼寧省朝陽市20232024學(xué)年高一下學(xué)期3月考試數(shù)學(xué)Word版含解析一、選擇題（每題5分，共50分）1.若函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$在$x=1$處取得極值，則$a,b,c$之間的關(guān)系是（）A.$a+b+c=0$B.$2a+b=0$C.$ab+c=0$D.$a2b+c=0$2.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$中，$a_1=3$，公差$d=2$，則數(shù)列的前10項(xiàng)和$S_{10}$等于（）A.100B.110C.120D.1303.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)$A(1,2)$關(guān)于直線$y=x$的對(duì)稱點(diǎn)$B$的坐標(biāo)是（）A.$(2,1)$B.$(2,1)$C.$(1,2)$D.$(1,2)$4.已知$\sin\alpha=\frac{1}{2}$且$\alpha$在第二象限，則$\cos\alpha$的值為（）A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$C.$\frac{1}{2}$D.$\frac{1}{2}$5.函數(shù)$y=\log_2(x1)$的定義域是（）A.$x>1$B.$x\geq1$C.$x<1$D.$x\leq1$6.已知圓的方程為$(x2)^2+(y+3)^2=25$，則圓的半徑為（）A.5B.4C.3D.27.在等比數(shù)列$\{b_n\}$中，若$b_1=2$，公比$q=3$，則數(shù)列的前5項(xiàng)和$S_5$等于（）A.121B.122C.123D.1248.已知函數(shù)$f(x)=x^33x$，則函數(shù)的極值點(diǎn)是（）A.$x=1$B.$x=1$C.$x=0$D.$x=\pm1$9.若直線$y=mx+2$與圓$x^2+y^2=4$相切，則$m$的值為（）A.$\pm\sqrt{2}$B.$\pm1$C.$\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$D.$\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$10.已知函數(shù)$y=\frac{1}{x1}$的反函數(shù)是（）A.$y=\frac{1}{x}+1$B.$y=\frac{1}{x}1$C.$y=x+1$D.$y=x1$二、填空題（每題5分，共20分）11.函數(shù)$f(x)=x^22x+3$的最小值是______。12.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$中，$a_1=5$，公差$d=3$，則數(shù)列的第10項(xiàng)$a_{10}$是______。13.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)$P(2,3)$關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)$Q$的坐標(biāo)是______。14.已知$\cos\beta=\frac{1}{2}$且$\beta$在第三象限，則$\sin\beta$的值是______。三、解答題（每題10分，共30分）15.已知函數(shù)$f(x)=x^33x^2+4x5$，求函數(shù)的極值。16.解不等式$\frac{x}{x2}>1$。17.已知圓的方程為$(x1)^2+(y+2)^2=9$，求圓心坐標(biāo)和半徑。四、應(yīng)用題（共20分）18.某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每天生產(chǎn)的數(shù)量$x$與成本$C$之間的關(guān)系為$C=1000+20x$元，而銷售價(jià)格$P$與銷售數(shù)量$x$之間的關(guān)系為$P=50x$元。求該工廠每天生產(chǎn)多少產(chǎn)品時(shí)，利潤最大？五、證明題（共20分）19.已知函數(shù)$f(x)=x^33x^2+4x5$，證明：當(dāng)$x>1$時(shí)，$f(x)$單調(diào)遞增。解析：1.選擇題解析：題目1：根據(jù)極值條件，函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)在極值點(diǎn)處為0，即$f'(1)=0$，解得$2a+b=0$。題目2：等差數(shù)列的前$n$項(xiàng)和公式為$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$，代入$n=10$，$a_1=3$，$d=2$可得$S_{10}=110$。題目3：點(diǎn)$A(1,2)$關(guān)于直線$y=x$的對(duì)稱點(diǎn)$B$滿足$B$的坐標(biāo)$(y,x)$與$A$的坐標(biāo)$(x,y)$相同，故$B(2,1)$。題目4：由$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$，得$\cos\alpha=\sqrt{1\sin^2\alpha}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。題目5：對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域要求$x1>0$，即$x>1$。題目6：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程$(xh)^2+(yk)^2=r^2$中，$r$為半徑，故$r=5$。題目7：等比數(shù)列的前$n$項(xiàng)和公式為$S_n=\frac{b_1(1q^n)}{1q}$，代入$n=5$，$b_1=2$，$q=3$可得$S_5=121$。題目8：求導(dǎo)得$f'(x)=3x^26x$，令$f'(x)=0$解得$x=0$或$x=2$，代入原函數(shù)判斷極值。題目9：直線與圓相切，滿足$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}=r$，代入直線和圓的方程解得$m=\pm\sqrt{2}$。題目10：反函數(shù)的定義為$y=\frac{1}{x1}$，解得$x=\frac{1}{y}+1$，化簡得$y=x1$。2.填空題解析：題目11：求導(dǎo)得$f'(x)=2x2$，令$f'(x)=0$解得$x=1$，代入原函數(shù)得最小值$f(1)=2$。題目12：由等差數(shù)列通項(xiàng)公式$a_n=a_1+(n1)d$，代入$n=10$，$a_1=5$，$d=3$可得$a_{10}=32$。題目13：點(diǎn)$P(2,3)$關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)$Q$滿足$Q$的坐標(biāo)$(y,x)$與$P$的坐標(biāo)$(x,y)$相反，故$Q(2,3)$。題目14：由$\cos^2\beta+\sin^2\beta=1$，得$\sin\beta=\sqrt{1\cos^2\beta}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。3.解答題解析：題目15：求導(dǎo)得$f'(x)=3x^26x$，令$f'(x)=0$解得$x=0$或$x=2$，代入原函數(shù)判斷極值。題目16：化簡不等式得$\frac{x}{x2}1>0$，解得$x>2$或$x<1$。題目17：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，圓心坐標(biāo)為$(h,k)$，半徑為$r$，代入方程解得圓心$(1,2)$，半徑$r=3$。4.應(yīng)用題解析：題目18：利潤$L=PxC=(50x)x(1000+20x)$，化簡得$L=x^2+30x1000$，求導(dǎo)得$L'(x)=2x+30$，令$L'(x)=0$解得$x=15$，代入原函數(shù)得最大