高中數(shù)學(xué)解析幾何專題之橢圓解析版

-圓錐曲線第1講橢圓【知識(shí)要點(diǎn)】1.橢圓的第一定義：平面到兩個(gè)定點(diǎn)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up7(F),1)、F的2距離之和等于定長(zhǎng)2a〔2a>F1F2〕的點(diǎn)的軌跡叫橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離叫做焦距。注1：在橢圓的定義中，必須強(qiáng)調(diào)：到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和〔記作2a〕大于這兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離F1F2〔記作2c〕，否則點(diǎn)的軌跡就不是一個(gè)橢圓。具體情形如下：〔i〕當(dāng)2a>2c時(shí)，點(diǎn)的軌跡是橢圓；〔ⅱ〕當(dāng)2a=2c時(shí)，點(diǎn)的軌跡是線段EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up7(F),1)F2；〔?！钞?dāng)2a<2c時(shí)，點(diǎn)的軌跡不存在。注2：假設(shè)用M表示動(dòng)點(diǎn)，則橢圓軌跡的幾何描述法為EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up9(MF),1)+MF2=2a〔2a>2c，.FF=2cMF+.注3：但凡有關(guān)橢圓上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離問題，通常可利用橢圓的第一定義求解，即隱含條MF+MF=2a件：12千萬不可忘記。2.橢圓的第二定義：平面到*一定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離之比等于常數(shù)e〔0<e<1〕的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。二、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程x2+y2=1（1）焦點(diǎn)在x軸、中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是a2b2〔a>b>0〕；（2）焦點(diǎn)在y軸、中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是〔a>b>0〕.注1：假設(shè)題目已給出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，那其焦點(diǎn)終究是在x軸還是在y軸，主要看長(zhǎng)半軸跟誰走。長(zhǎng)半軸跟x走，橢圓的焦點(diǎn)在x軸；長(zhǎng)半軸跟y走，橢圓的焦點(diǎn)在y軸。-（1）注2：求橢圓的方程通常采用待定系數(shù)法。假設(shè)題目已指明橢圓的焦點(diǎn)的位置，則可設(shè)其方程為或假設(shè)題目未指明橢圓的焦點(diǎn)終究是在x軸上還是y軸上，則中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓的方程可設(shè)為mx2+ny2=1三、橢圓的性質(zhì)以標(biāo)準(zhǔn)方程為例，其他形式的方程可用同樣的方法得到相關(guān)結(jié)論。（2）對(duì)稱性：關(guān)于x軸、y軸軸對(duì)稱，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)中心對(duì)稱；12（5）長(zhǎng)半軸a、短半軸b、半焦距c之間的關(guān)系為a2=b2+c2；（6）準(zhǔn)線方程：；b2（8）離心率且0<e<1.e越小，橢圓越圓；e越大，橢圓越扁；（9）焦半徑：假設(shè)P(x0,y0)為橢圓在第一象限一點(diǎn)，則由橢圓的第二定義，有（10）通徑長(zhǎng)：b2注1：橢圓的焦準(zhǔn)距指的是橢圓的焦點(diǎn)到其相應(yīng)準(zhǔn)線的距離。以橢圓的右焦點(diǎn)F2(c,0)和右準(zhǔn)線為例，可求得其焦準(zhǔn)距為一.-注2：橢圓的焦點(diǎn)弦指的是由過橢圓的*一焦點(diǎn)與該橢圓交于不同兩點(diǎn)的直線所構(gòu)成的弦。橢圓的通徑指的是過橢圓的*一焦點(diǎn)且垂直于其對(duì)稱軸的弦。通徑是橢圓的所有焦點(diǎn)弦中最短的弦。設(shè)橢圓的方程為過其焦點(diǎn)F2(c,0)且垂直于x軸的直線交該雙曲線于A、B兩點(diǎn)〔不妨令點(diǎn)A在x軸的上方〕，則a，a，于是該四、關(guān)于橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需要注意的幾個(gè)問題〔1〕關(guān)于橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，最根本的兩個(gè)問題是：其一，當(dāng)題目已指明曲線的位置特征，并給出了"特征值〞〔指a、b、c的值或它們之間的關(guān)系，由這個(gè)關(guān)系結(jié)合c2=a2一b2，我們可以確定出a、b、c的值〕時(shí)，我們便能迅速準(zhǔn)確地寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；其二，當(dāng)題目已給出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，我們便能準(zhǔn)確地判斷出曲線的位置特征，并能得到a、b、 c的值。（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中的參數(shù)a、b、c是橢圓所固有的，與坐標(biāo)系的建立無關(guān)；a、b、（3）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，實(shí)質(zhì)上是求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中的未知參數(shù)a、b。根據(jù)題目條件，我們列出以a、b為未知參數(shù)的兩個(gè)方程，聯(lián)立后便可確定出a、b的值。特別需要注意的是：假設(shè)題目中已經(jīng)指明橢圓的焦點(diǎn)在x軸或y軸上，則以a、b為未知參數(shù)的方程組只有一個(gè)解，即a、b只有一個(gè)值；假設(shè)題目未指明橢圓的焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上，則以a、b為未知參數(shù)的方程組應(yīng)有兩個(gè)解，即a、b應(yīng)有兩個(gè)值。（4）有時(shí)為方便解題，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓的方程也可設(shè)為mx2+ny2=1，但此時(shí)m、五、點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系點(diǎn)P(x0,y0)與橢圓的位置關(guān)系有以下三種情形：-)在橢圓外； 〔ⅲ〕假設(shè)a2b2，則點(diǎn)P( 【例題選講】題型1：橢圓定義的應(yīng)用1.平面存在一動(dòng)點(diǎn)M到兩個(gè)定點(diǎn)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up7(F),1)、F的2距離之和為常數(shù)2a〔2a≥F1F2〕，則點(diǎn)M的軌跡是〔〕A.圓B.橢圓C.線段D.橢圓或線段解：由題意知，1212MF+MF=2a≥解：由題意知，1212F2時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是橢圓；〔ⅱ〕當(dāng)2a=F1F2時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是線段EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up6(F),1)F2.故點(diǎn)M的軌跡是橢圓或線段2.圓C：(x—1)2+y2=36，點(diǎn)A(—1,0)，M是圓C上任意一點(diǎn)，線段AM的中垂線l和直線CM相交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q的軌跡方程為__________.解：圓C：(x—1)2+y2=36的圓心坐標(biāo)為C(1,0)，半徑r=6連接QA，由l是直線AM的中垂線知，QM=QAAC=2，:QA+QC>AC→a=3，c=1，b2=a2—c2=9—1=8又該橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)故點(diǎn)Q的軌跡方程為98-3.點(diǎn)A(3,0)，點(diǎn)Q是圓x2+y2=4上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段AQ的垂直平分線交圓的半徑OQ于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)Q在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡方程為__________.解：圓O：x2+y2=4的圓心坐標(biāo)為O(0,0)，半徑r=2連接PA，由l是直線AQ的垂直平分線知，PQ=PAOA=3，:PO+PA>OA于是點(diǎn)P的軌跡是以O(shè)(0,0)，A(3,0)為左右焦點(diǎn)的橢圓，其中2a=2，2c=3又該橢圓的中心為OA的中點(diǎn)2OA(0,3)2故點(diǎn)P的軌跡方程為43注：此題點(diǎn)P的軌跡方程雖是橢圓，但該橢圓不關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，而是關(guān)于點(diǎn)2對(duì)3稱，其方程可由把橢圓4沿x軸向右平移了2個(gè)單位得到。4.方程表示的曲線是〔〕2x2+y2-2x-2y+2=x+y+4.方程表示的曲線是〔〕A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.線段2x2x2+y2-2x-2y+2=x+y+2解：由，有數(shù)222〔0<222〕．由橢圓的第二定義知，點(diǎn)P(x,y)的軌跡是橢圓，即表示的曲線是橢圓。2x2+y2-2x-2y+2=x+y+2表示的曲線是橢圓。-左焦點(diǎn)分別為在橢圓上。假設(shè)線段PF的1中點(diǎn)在yA.7倍B.5倍C.4倍D.3倍PFyOFF又線段的1中點(diǎn)在軸上，而是線段1的2中點(diǎn)PFyOFF〔法一〕在2中1，1212RtΔPFFlPFl2=PF2+l〔法一〕在2中1，1212又由橢圓的定義，有PF1+PF2=2a=2×23=43①聯(lián)立故，即1是2的故，即1是2的7倍。故，即EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up2147483633(PF),1)是PF2的7倍。6.設(shè)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up3(F),1)、F2為橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上的一點(diǎn)。P，EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up3(F),1)，F(xiàn)2是一個(gè)直1角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且，則PF2=__________.-解：在橢圓上FPF=90。PF2+PF2=上FPF=90。PF2+PF2=FF2=4c2=4×5=20又“EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up1(PF),1)2=PF又1>PF2:PF—PF聯(lián)立，PF2=6—4=2于是此時(shí)上PFF=90。PF2=PF聯(lián)立于是此時(shí)77122故2的值為2或題型2：求橢圓的方程7.假設(shè)方程表示橢圓，則k的取值圍是__________；-xx2y2——+——=1〔2〕假設(shè)方程5一kk一3表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則k的取值圍是 ；xx2y2——+——=1〔3〕假設(shè)方程5一kk一3表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則k的取值圍是 .解方程表示橢圓——+——=——+——=1（2）方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓故當(dāng)方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓?！?——=——+——=1（3）方程5kk3表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓——+——=——+——=1解：由題意知，2c=2:c=1于是a2一b2=c2=1〔*〕〔ⅰ〕當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，a2=4，b2=m〔ⅱ〕當(dāng)橢圓4m的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，a2=m，b2=4故m的值為3或59.橢圓以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且長(zhǎng)軸是短軸的3倍，并-〔ⅰ〕當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)其方程為聯(lián)立①、②得，a2=9，b2=1于是此時(shí)該橢圓的方程為y軸上時(shí)，設(shè)其方程為聯(lián)立①、③得，b2=9，a2=81于是此時(shí)該橢圓的方程為故所求橢圓的方程為則橢圓的方程為__________.解：設(shè)所求橢圓的方程為mx2+ny2=1〔m>0，n>0，且m≠n〕1=1=913{m{,解得：故所求橢圓的方程為，即.11.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up8(F),1)、F2在x軸上，離心率-2為2.假設(shè)過F的1直線l交C于A、B兩點(diǎn)，且ΔABF2的周長(zhǎng)為16，則C的方程為__________.x2y2+x2y2解：由橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，可設(shè)其方程為a2b2AB=BF+AF:EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up1(BF),1)+EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up1(AF),1)+EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up1(BF),2)+EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up1(AF),2)=(EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up1(BF),1)+EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up1(BF),2))+(EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up1(AF),1)+EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up1(AF),2))=16→2a+2a=16即，4a=16于是a=4又于是b2=a2—c2=16—8=8故橢圓方程為題型3：橢圓的性質(zhì)12.橢圓上的點(diǎn)到其一個(gè)焦點(diǎn)的距離的最小值為5，最大值為15，則橢圓的方程為解：不妨設(shè)所求橢圓的方程為a2b2〔a>b>0〕2+2=a2cos22+b2θ=0，即點(diǎn)+=1+=1PF取得最小值，且PFmin；EQ\*jc3\*hps34\o\al(\s\up13(1),的)-因而由題意，有l(wèi)a+c=15lc=5:b2=a2-c2=100-25=75因而由題意，有——+=——+=1故所求橢圓的方程為故所求橢圓的方程為注：由此題可見，橢圓的右〔左〕頂點(diǎn)到右〔左〕焦點(diǎn)的距離最小，到左〔右〕焦點(diǎn)的距離最大。以后在遇到相關(guān)問題時(shí)，這個(gè)結(jié)論可以直接用。13.橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)F與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)B1、B的2連線互相垂直，且這個(gè)焦點(diǎn)與較近的長(zhǎng)軸的端點(diǎn)A的距離為10-5，則這個(gè)橢圓的方程為解：由該橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，可設(shè)其方程為“BF丄BF又12于是有OB2=OF，即b=c又a2=b2+c2代入，得于是a=10，b故所求橢圓的方程為題型4：與橢圓的焦點(diǎn)有關(guān)的三角形問題14.設(shè)P是橢圓上的一點(diǎn)，是該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，且上F1PF2=30。，S則ΔF1PF2=__________.-解：在橢圓215.EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up3(F),1)、F2分別為橢圓左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在該橢圓上.假設(shè)點(diǎn)P、EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up3(F),1)、F2是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則1的2面積為____________.x2+y2=1解：在橢圓169中，a2=16,b2=9,c2=a2—b2=16—9=7EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up13(1),2)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up2(PF),1)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up2(F),1)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up13(1),2)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up13(9),4)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up13(9),4)于是此時(shí)總有并且此種情形下，并且此種情形下，即點(diǎn)在橢圓上，滿足題意。EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up7(PF),1)以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)00-則→EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up0(PF),1)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up0(PF),1)于是此時(shí)于是此時(shí)這說明，此種情形下，點(diǎn)P(x0,y0)在橢圓EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up25(x2),16)+EQ\*jc3\*hps34\o\al(\s\up24(y),9)2=1外，不滿足題意。9故ΔEQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up3(PF),1)F的2面積為47EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up6(F),1)（1）求該橢圓離心率的取值圍；（2）求證：1的2面積只與該橢圓的短軸長(zhǎng)有關(guān).解〔1〕：由該橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，可設(shè)其方程為b2=a2—c21又0<e<11故該橢圓離心率的取值圍是2-44故1的2面積只與該橢圓的短軸長(zhǎng)有關(guān)題型5：橢圓中的最值問題x2y2EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up6(F),1)EQ\*jc3\*hps34\o\al(\s\up15(1),的左焦點(diǎn)，點(diǎn))1的最小值為__________.x2y21的最小值為__________.x2y2+=1解：在橢圓95中，a2=9，b2=5，c2=a2—b2=9—5=4于是該橢圓的左右焦點(diǎn)分別為1故18.假設(shè)則最大值、最小值分別為__________.x2解：在橢圓4+y2=1〔y≥0〕中，a2=4，b2=1，c2=a2—b2=4—1=3表示橢圓上的點(diǎn)P(x,y)與定點(diǎn)之間的連線的斜率y—3——=kx—4,則直線的0方程為,即,即x2〔x2+y2=+y2=14{聯(lián)立,得聯(lián)立則又—4(1+4k2)2—4為橢圓的右頂點(diǎn)-故，kmin=1—33，即EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up20(33),4的最大值為2)，最小值為1—33．19.在直線l：x+y—4=0上任取一點(diǎn)M，過點(diǎn)M且以橢圓焦點(diǎn)為焦點(diǎn)作橢圓，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為_________時(shí)_，所作的橢圓的長(zhǎng)軸最短，此時(shí)該橢圓的方程為x2y2+x2y2解：在橢圓1612中，a2解：在橢圓1612中，a2=16，b2=12，c2=a2—b2=16—12=4要使過點(diǎn)M且以橢圓焦點(diǎn)為焦點(diǎn)所作的橢圓的長(zhǎng)軸最短必須使12最小MF+MF必須使12最小設(shè)F20EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up60(0),0)0EQ\*jc3\*hps43\o\al(\s\up65(—),4)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up31(x),x)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up21(0),0)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up31(y),y)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up21(0),0)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up31(2),6)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up31(0),0)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up31(〔x),ly)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up21(0),0)=42于是直線方程為顯然，使EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up10(MF),1)+MF2取得最小值的點(diǎn)M即為直線F1F2與直線的l交點(diǎn)聯(lián)立EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up10(x),x)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up10(y),y)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up10(2),4)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up10(0),0)+MF+MF:2a=210→a=10，b2=a2—c2=10—4=6故所求橢圓的方程為故所求橢圓的方程為-x2y2+x2y220.假設(shè)點(diǎn)O和點(diǎn)F20.假設(shè)點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓43的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，則OP.FP的最大值為__________，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為__________.解：在橢圓43中，a2=4,b2=3,c2=a2—b2=4—3=1x21=x2+x+y2=x2+x+3(1—)=x2+x其對(duì)稱軸為4故OP.FP的最大值為6，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,0).21.設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率.點(diǎn)P(0,EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up26(3),2))到這個(gè)橢圓上一點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為7，則該橢圓的方程為__________，該橢圓上到點(diǎn)P的距離為7的點(diǎn)的坐標(biāo)是__________.解：由該橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，可設(shè)其方程為-:a2→于是橢圓方程可化為M(x,y)是該橢圓上任意一點(diǎn)其對(duì)稱軸為其對(duì)稱軸為2+3b+4b2+EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(9),4)1這顯然與2矛盾，因此此種情況不存在。這顯然與1>b〔ⅱ〕當(dāng)2時(shí)，這顯然與b>0矛盾，因此此種情況不存在。此時(shí)max=g-于是[PM滿足題意。由b=1可知，所求橢圓的方程為將y=—EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up14(1),2)代入方程，得：于是橢圓上到點(diǎn)P的距離等于7的點(diǎn)有兩個(gè)，分別是2，2故該橢圓的方程為，并且該橢圓上到點(diǎn)P的距離為7的點(diǎn)的坐標(biāo)是1或2.題型6：橢圓的離心率計(jì)算問題22.假設(shè)一個(gè)橢圓長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度、短軸的長(zhǎng)度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率為解：由2a，2b，2c成等差數(shù)列，有2.2b=2a+2c→又→5c2+2ac—3a2=0b2=a2—c25c2+2ac—3a2=03〔*〕式兩邊同時(shí)除以a2，得5e2+2e—3=0解得：5或e=—1〔舍去〕故該橢圓的離心率23.EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up8(F),1)、F2是橢圓在x軸上的兩個(gè)焦點(diǎn)，過EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up8(F),1)且與橢圓長(zhǎng)軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，假設(shè)2是正三角形，則這個(gè)橢圓的離心率是__________.解：〔法一〕設(shè)正三角形ΔABF的2邊長(zhǎng)為t-則EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up4(AF),1)=EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up15(1),2)t，AF2=t，2a=AF+AF=t+t=t2c=FF=t→a=t34故該橢圓的離心率EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up2147483631(AF),1)故該橢圓的離心率24.過橢圓的左焦點(diǎn)作x軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，F(xiàn)2為橢圓解：〔法一〕在12中，“PF+PF=2a又12FF1故該橢圓的離心率為333〔法二〕在12中，而b2=a2—c2a:3(a2—c2)=2ac→3a2—2ac—3c2=0→3—2e—3e2=0，即3e2+2e—3=0-解得故該橢圓的離心率為33325.F是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，B是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段BF的延長(zhǎng)線交C于點(diǎn)D，且BF=2FD，則C的離心率為__________.解：〔法一〕不妨設(shè)橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，則其方程可設(shè)為又點(diǎn)在橢圓上又0<e<133故橢圓C的離心率為3〔法二〕不妨設(shè)橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上BF=OB2+OF2=b2+c2=a2=a=ax0則由有→,即x03=c2-DF=e又由橢圓的第二定義，有c0“BF=2FDI又又0<e<13故橢圓C的離心率為3x2+y2=1y=b26.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，F(xiàn)是橢圓a2b2〔a>b>0〕的右焦點(diǎn)，直線2與橢圓交于B、C兩點(diǎn)，且上BFC=90。，則該橢圓的離心率是__________.解：在中，令y=EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up17(b),2)，則于是→→3a2—b2—4c2=0又“b2=a2—c又“又0<e<1故該橢圓的離心率-27.O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓〔a>b>0〕的左焦點(diǎn)，A、B分別為C的左、右頂點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且PF丄x軸，過點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)E．假設(shè)直線BM經(jīng)過OE的中點(diǎn)G，則C的離心率為__________.解：由，有GOMF→解：由，有由，有由，有故C的離心率由xM=—c，得yM=k(—c+a)=k(a—c)，所以MF=k(a—c)由xE=0，得yE=k(0+a)=ka，所以EO=ka由GOMF，有→→→故離心率題型7：與橢圓有關(guān)的綜合問題28.橢圓有一直線經(jīng)過點(diǎn)P與橢圓交于EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up3(P),1)、EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up3(P),2)兩點(diǎn)，弦EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up3(P),1)P2被點(diǎn)P平分，則直線EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up8(P),1)P的2方程為__________.解：設(shè)111，222解：設(shè)111，222則，-EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up4(P),1):x1+x2=2，y1+y2=2顯然x1≠x22EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up17(2),3)又直線12又直線12過其中點(diǎn)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up2147483644(P),1)29.橢圓E：a2b2〔a>b>0的〕右焦點(diǎn)為F(3,0)，過點(diǎn)F的直線l交橢圓E于A、B兩點(diǎn)，假設(shè)AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為C(1,一1)，則E的方程為__________.b2=c2=9①設(shè)11，22設(shè)11，22則， ③-代入→顯然x1≠x22于是由④有又由①、⑥得，a2=18，b2=9故橢圓方程為30.如圖，設(shè)P是圓x2+y2=25上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是點(diǎn)P在x軸上的投影，M為PD上yyP（1）當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡C的方程；4O（2）求過點(diǎn)(3,0)且斜率為5的直線被C所截線段的長(zhǎng)度.O解：〔1〕設(shè)，PP解：〔1〕設(shè)，PP則由題設(shè)條件知，則由題設(shè)條件知，而點(diǎn)P在圓x2+y2=25上x2y2+x2y2故點(diǎn)M的軌跡C的方程為2516EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up19(4),5的直線的方程為)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up19(4),5)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up19(4),5)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up19(2),5)故點(diǎn)M的軌跡C的方程為2516-設(shè)直線與C的交點(diǎn)為A(x1,y1)，B(x2,y2)則直線被C所截線段的長(zhǎng)度為由韋達(dá)定理，有聯(lián)立得x2—3x—8=0由韋達(dá)定理，有441故過點(diǎn)(3,0)且斜率為5的直線被C所截線段的長(zhǎng)度為531.橢圓x2+2y2=1，過原點(diǎn)的兩條直線l1和l2分別與該橢圓交于點(diǎn)A、B和C、D．記得到的平行四邊形ACBD的面積為S．22)．用A、C的坐標(biāo)表示點(diǎn)C到直線l的1距離，并證明1y2—x2y1；—1〔2〕設(shè)l1與l的2斜率之積為2，求面積S的值．解：〔1〕在橢圓，即中x2+2y2=1x解：〔1〕在橢圓，即中〔i〕當(dāng)直線l1和l的2斜率均存在時(shí)，直線l的1方程為-2)到直線l1：y1x—x1y=0的距離又四邊形ACBD為平行四邊形〔ⅱ〕當(dāng)直線l的1斜率不存在〔此時(shí)l即1為y軸〕，直線l的2斜率存在時(shí)，點(diǎn)C(x2,y2)到直線l的1距離d=x2〔?！钞?dāng)直線l的2斜率不存在〔此時(shí)l2即為y軸〕，直線l的1斜率存在時(shí)，22=0112=點(diǎn)點(diǎn)C(x2,y2)到直線l的1距離故點(diǎn)C到直線l的1距離，平行四邊形ACBD的面積S=2x1y2—x2y1.—1（2）由直線l1與l的2斜率之積為2可知，直線l1、l的2斜率均存在，且均不為零不妨設(shè)直線l的1斜率為k 1 則直線l的1方程為y=kx，并且直線l的2斜率為2k1y=—x于是直線ly=—x聯(lián)立解得聯(lián)立又由〔1〕知1221又由〔1〕知1221-故x2+y2=11-c直線的距離為2．〔1〕求橢圓E的離心率；5〔2〕如圖，AB是圓M：2的一條直徑，假設(shè)橢圓E經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，求橢圓E的方程．xx解：〔1〕設(shè)則yBA故橢圓E的離心率圓由〔1〕知，a2=4b2于是橢圓方程可化為，即x2+4y2—4b2=0設(shè)直線AB的斜率為k則直線AB的方程為y—1=k[x—(—2)]=kx+2k，即y=kx+2k+1設(shè)11，22設(shè)11，22-02+4y2-4b2=0{2+2+82+2+8k)x+16k2+16k+4-4b2=0得聯(lián)立2+8k{x1+x2=-4k2+1由韋達(dá)定理有1x2=由韋達(dá)定理有又xx2y2故橢圓E的方程為12333.點(diǎn)P是橢圓C上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P到直線l1：x=-2的距離為d1，到點(diǎn)F(-1,0)的距離為d2，且.直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B〔A、B都在x軸上方〕，且.（1）求橢圓C的方程；（2）當(dāng)點(diǎn)A為橢圓C與y軸正半軸的交點(diǎn)時(shí)，求直線的l方程；（3）對(duì)于動(dòng)直線l，是否存在一個(gè)定點(diǎn)，無論上OFA如何變化，直線l總經(jīng)過此定點(diǎn)？假設(shè)存在，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由.于是由有→化簡(jiǎn)整理，得x2+y2=1故橢圓C的方程為2方程化為x2+2y2-2=0-2+2y2-2=0{:上OFB=135。而A、B都在x軸上方:kBF=-1于是直線BF的方程為y-0=-1.[x-(-1)]=-(x+1)=-x-1，即y=-x-12EQ\*jc3\*hps43\o\al(\s\up15(+),y)2+4x=0解得：故直線的l方程為。，且A、B都在x軸上方:kAF+kBF=0，并且直線的l斜率存在設(shè)直線的l方程為y=kx+b2+2y2-2=0{由韋達(dá)定理，有由韋達(dá)定理，有于是直線的l方程y=kx+b可化為y=kx+b=kx+2k=k(x+2)-這說明，直線l總經(jīng)過定點(diǎn)(—2,0)故對(duì)于動(dòng)直線l，總存在一個(gè)定點(diǎn)(—2,0)，無論上OFA如何變化，直線l總經(jīng)過此定點(diǎn).EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up6(F),1)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up1(PF),2)〔1〕求該橢圓的離心率e；〔2〕設(shè)直線PF2與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，M是直線PF2上的點(diǎn)，滿足AM.BM=—2，求點(diǎn)