天津市寶坻區(qū)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期第一次統(tǒng)練數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附答案）

天津市寶坻區(qū)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期第一次統(tǒng)練數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一．單項(xiàng)選擇題（共10題，每題4分）1.下列說法中正確的是（）A.向量的模都是正實(shí)數(shù)B.單位向量只有一個(gè)C.向量的大小與方向無關(guān)D.方向不同的向量不能比較大小，但同向的向量可以比較大小【正確答案】C【分析】根據(jù)向量的概念即可判斷.【詳解】對(duì)于A：根據(jù)向量的概念可知，零向量的模為零，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：?jiǎn)挝幌蛄康亩x，單位向量的模為1，方向?yàn)槿我夥较?，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：向量的模與方向沒有關(guān)系，故C正確；對(duì)于D：向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小，故D錯(cuò)誤.故選：C.2.在四邊形ABCD中，若，則四邊形ABCD是（）A.平行四邊形 B.菱形 C.矩形 D.正方形【正確答案】A【分析】根據(jù)平面向量加法的平行四邊形法則判斷即可.【詳解】由平面向量加法的平行四邊形法則可知，四邊形為平行四邊形.故選：A3.已知平面向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，則向量a－b＝()A.(－2，－1) B.(－2，1)C.(－1，0) D.(－1，2)【正確答案】D【詳解】解：因?yàn)槠矫嫦蛄?，則向量4.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)為（）A.3+4i B.3－4i C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則化簡(jiǎn)即可求解.詳解】，故選：D5.為平面向量，已知，則夾角的余弦值等于（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求，即可得夾角余弦值.【詳解】因?yàn)?，則，所以.故選：C.6.在中，已知是邊上的一點(diǎn)，若，，則A B. C. D.【正確答案】B【詳解】試題分析：由已知得，因此，答案選B.考點(diǎn)：向量的運(yùn)算與性質(zhì)7.下列向量組中，不能作為平面內(nèi)所有向量的基底的是（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】判斷兩個(gè)平面向量能否構(gòu)成平面的基底，只需判斷它們是否共線即可，不共線才能作為平面的基底.【詳解】能作為平面內(nèi)的基底，須使兩向量與不平行，若，則，故只需判斷選項(xiàng)中的兩向量的坐標(biāo)是否滿足即得.對(duì)于A選項(xiàng)，因，∴與不平行，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，，∴與不平行，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，，∴與不平行，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，，∴，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D.8.已知，，與的夾角為，則在上的投影向量為（）A. B. C.1 D.【正確答案】A【分析】由投影向量的定義，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】在上的投影向量為.故選：A9.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.已知A=45°，a=6，b=3，則B的大小為（）A.30° B.60°C.30°或150° D.60°或120°【正確答案】A【分析】先由正弦定理求出sinB=，可得B=30°或B=150°，再由a>b，得A>B，從而可求出B=30°.【詳解】由正弦定理得，即，解得sinB=，又B為三角形內(nèi)角，所以B=30°或B=150°，又因?yàn)閍>b，所以A>B，即B=30°.故選：A.10.在邊長(zhǎng)為正方形中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍是()A. B. C. D.【正確答案】C【詳解】將正方形放入如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)E(x,0)，0≤x≤1.又，C(1,1)，所以，所以，因?yàn)?≤x≤1，所以，即的取值范圍是.故選C.點(diǎn)睛：計(jì)算數(shù)量積的三種方法：定義、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積的幾何意義，要靈活選用，和圖形有關(guān)的不要忽略數(shù)量積幾何意義的應(yīng)用．二．填空題（共5題，每題4分）11.是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)______．【正確答案】【分析】借助復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則計(jì)算即可得.【詳解】.故答案為.12.已知向量，，若向量與垂直，則________.【正確答案】2【分析】利用向量垂直的坐標(biāo)表示直接求解即可．【詳解】因?yàn)橄蛄?，，向量與垂直，則，解得．故．13.已知向量的夾角為，，，則________．【正確答案】【分析】根據(jù)題意可得，根據(jù)模長(zhǎng)的平方關(guān)系結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算律求解即可.【詳解】因?yàn)橄蛄康膴A角為，，，則，可得，所以.故答案為.14.在中，若，，，則的最小角為________．【正確答案】【分析】根據(jù)邊長(zhǎng)分析可知最小內(nèi)角為角，利用余弦定理運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，，，則，可知，即最小內(nèi)角為角，且，又因?yàn)椋?故答案為.15.如圖，從山頂A望地面上C，D兩點(diǎn)，測(cè)得它們的俯角分別為和，已知，點(diǎn)C位于BD上，則山高AB等于________．【正確答案】【分析】根據(jù)題意可知，，結(jié)合長(zhǎng)度關(guān)系列式求解即可．【詳解】由題意可知，，，由直角三角形可知：，，因?yàn)?，即，所?故．三、解答題（共5題，每題12分）16.已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若z是純虛數(shù)，求值；（3）若在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，求的取值范圍.【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）先寫出復(fù)數(shù)再根據(jù)模長(zhǎng)公式求解；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)求參即可；（3）根據(jù)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限列不等式求解即可.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，.所以，.【小問2詳解】若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則，解得，所以.【小問3詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，則即，解得.所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是.17.已知向量，，，，若．（1）求的值；（2）求與的夾角θ；（3）求的值．【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得；（2）由夾角公式計(jì)算可得；（3）根據(jù)及向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得；【小問1詳解】因?yàn)椋?，則，即，所以.【小問2詳解】由（1）可知，則，因?yàn)椋?【小問3詳解】因?yàn)樗?18.已知向量，向量（1）若向量與向量平行，求實(shí)數(shù)的值；（2）若向量向量垂直，求實(shí)數(shù)的值；（3）求向量與向量夾角的余弦值．【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根據(jù)向量平行的結(jié)論求參數(shù).（2）根據(jù)向量的數(shù)量積為0求參數(shù).（3）根據(jù)數(shù)量積的定義求向量夾角的余弦.小問1詳解】由題意得，因?yàn)橄蛄颗c向量平行，所以，解得．【小問2詳解】由題意得，因?yàn)橄蛄肯蛄看怪?，所以，解得．【小?詳解】由題意得，，所以，，，所以向量與向量夾角的余弦值為．19.已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，滿足．（1）求角A；（2）若，，求邊c及的面積；【正確答案】（1）（2）3；【分析】（1）根據(jù)題意利用正弦定理邊化角即可得結(jié)果；（2）利用余弦定理可得，結(jié)合面積公式運(yùn)算求解.【小問1詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，且，則，可得，則，又因?yàn)椋裕拘?詳解】由余弦定理得，即，整理可得，解得或（舍去），所以的面積．20.在中，角所對(duì)的邊分別是．已知．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．【正確答案】（1）（2）（3）【分