2023-2024學(xué)年廣東省六校高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1廣東省六校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題本試卷共6頁，19小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)、考場號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上，并用2B鉛筆將對(duì)應(yīng)的信息點(diǎn)涂黑，不按要求填涂的答卷無效.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.3，非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)東后，只需將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知函數(shù)，則函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)椋?，所以由?fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，得.故選：D.2.已知隨機(jī)變量.若，設(shè)事件“”，事件“”，則（）A B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)題意，，，所以，則，.故選：A3.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，將依原順序按照第n組有項(xiàng)的要求分組，則2024所在的組數(shù)為（）A.8 B.9 C.10 D.11【答案】B【解析】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，符合，所以，故由得，將依原順序按照第n組有項(xiàng)的要求分組，故第一組項(xiàng)，第二組項(xiàng)，第三組項(xiàng)，，第組有項(xiàng)，故前組共有，又，故2024所在的組數(shù)為.故選：B.4.現(xiàn)將四名語文教師，三名心理教師，兩名數(shù)學(xué)教師分配到三所不同學(xué)校，每個(gè)學(xué)校三人，要求每個(gè)學(xué)校既有心理教師又有語文教師，則不同的安排種數(shù)為（）A.216 B.432 C.864 D.1296【答案】B【解析】求不同的安排種數(shù)需要分成3步，把3名心理教師分配到三所學(xué)校，有種方法，再把4名語文教師按分成3組，并分配到三所學(xué)校，有種方法，最后把2名數(shù)學(xué)教師分配到只有1名語文教師的兩所學(xué)校，有種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得不同的安排種數(shù)為.故選：B5.過點(diǎn)作曲線的兩條切線，.設(shè)，的夾角為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】兩條切線，的傾斜角分別為，，根據(jù)題意，，若點(diǎn)是切點(diǎn)時(shí)，切線斜率為，若點(diǎn)切點(diǎn)（點(diǎn)不重合），則，由，解得（舍去），所以直線斜率為，則．故選：C．6.如圖所示，已知一質(zhì)點(diǎn)在外力的作用下，從原點(diǎn)O出發(fā)，每次向左移動(dòng)的概率為，向右移動(dòng)的概率為，若該質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位長度，設(shè)經(jīng)過5次移動(dòng)后，該質(zhì)點(diǎn)位于X的位置，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)該質(zhì)點(diǎn)向右移動(dòng)的次數(shù)為，則，，而，所以的可能取值為，所以.故選：D．7.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且（且），若，則（）A.49 B.50 C.51 D.52【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，，則，于是，即有，因此數(shù)列是常數(shù)列，，即，由，得，而，所以.故選：A8.已知不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得，即，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，而等價(jià)于，∴，即令，，則，所以在時(shí)，為增函數(shù)；在時(shí)，，為減函數(shù)，所以最大值為，∴．故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.有3臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，第1、2、3臺(tái)車床加工的零件數(shù)的比為5：6：9，加工出來的零件混放在一起，第1、2、3臺(tái)車床加工的次品率分別為6%，5%，4%.現(xiàn)從三臺(tái)車床加工的零件中任取一個(gè)，則（）A.該零件由第1臺(tái)車床加工的概率為0.25B.該零件為次品的概率為0.048C.若該零件為次品，則其由第2臺(tái)車床加工的概率為D.若該零件為次品，則其由第3臺(tái)車床加工的概率最大【答案】ABD【解析】設(shè)事件B為“任取一個(gè)零件為次品”，事件為“零件是第i臺(tái)車床加工”，則，且兩兩互斥．根據(jù)題意得，,由全概率公式，得，所以選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B正確，“如果取到的零件是次品，計(jì)算它是第臺(tái)車床加工的概率”，就是計(jì)算在件B發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的概率，所以．同理可得，，所以若該零件為次品，則其由第3臺(tái)車床加工的概率最大，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確．故選：ABD．10.已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，前項(xiàng)和為，若，則下列說法正確的是（）A. B.使得成立的最大正整數(shù)C. D.中最小項(xiàng)為【答案】ACD【解析】A選項(xiàng)，，即，故，故，故，故，A正確；B選項(xiàng)，，，故使得成立的最大正整數(shù)，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，由于，故，則，故，C正確；D選項(xiàng)，由于，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由，得，，故，同理可得，……，故，故中最小項(xiàng)為，D正確.故選：ACD11.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域都為，對(duì)于任意的，都有成立，則下列說法正確的是（）．A.B.若，則C.為偶函數(shù)D.若，則【答案】BD【解析】令，則，解得或，故A錯(cuò)誤；令，，所以，令，，則，解得，故B正確；當(dāng)時(shí)，令，則有，所以，，當(dāng)，令，則有，所以，所以，所以為奇函數(shù)，綜上，為奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；令，則，所以，故D正確．故選：BD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在的二項(xiàng)展開式中，只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中的系數(shù)為__________.（用數(shù)字作答）【答案】【解析】由于的展開式只有第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中共有項(xiàng)，故，解得，所以，的展開式通項(xiàng)為，令，解得，因此所求即為.故答案為：.13.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【解析】函數(shù)，求導(dǎo)得，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，得，，而函數(shù)在上的最小值為，因此，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：14.在不大于的正整數(shù)中，所有既不能被2整除也不能被3整除的數(shù)的個(gè)數(shù)記為.表示不超過x的最大整數(shù)，令，則__________.【答案】500【解析】因?yàn)樵诓淮笥诘乃姓麛?shù)中，能被2整除的數(shù)有個(gè)，能被3整除的數(shù)有個(gè)，能被6整除的數(shù)有個(gè)，所以，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，則，所以，所以，故答案為：500四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.紅鈴蟲是棉花的主要害蟲之一，能對(duì)農(nóng)作物造成嚴(yán)重傷害.每只紅鈴蟲的平均產(chǎn)卵數(shù)y（個(gè)）和平均溫度x（℃）有關(guān)，現(xiàn)收集了7組數(shù)據(jù)，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）哪一個(gè)更適合作為平均產(chǎn)卵數(shù)y（個(gè)）關(guān)于平均溫度（℃）的回歸方程類型?（給出判斷即可，不必說明理由）并由判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的回歸方程；附：回歸方程中，.參考數(shù)據(jù)52152347.333.62781.33.6（2）現(xiàn)在有10根棉花纖維，其中有6根為長纖維，4根為短纖維，從中隨機(jī)抽取3根棉花纖維，設(shè)抽到的長纖維棉花的根數(shù)為X，求X的分布列.解：（1）根據(jù)散點(diǎn)圖的形狀，判斷更適宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)y關(guān)于平均溫度x的回歸方程類型，將兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)，得，依題意，，，因此，則，于是z關(guān)于x線性回歸方程為，所以y關(guān)于x的回歸方程為.（2）依題意，X的可能值為，，，所以X的分布列為：012316.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的極值；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1），令，得，，和的關(guān)系，如下表所示，0單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以函數(shù)的極小值為，無極大值；（2）不等式恒成立，即恒成立，即，，恒成立，所以，，設(shè)，，，其中，設(shè)，，所以在單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，所以存在，使，即，即，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，由，可得，所以，所以.17.英國物理學(xué)家牛頓在《流數(shù)法與無窮級(jí)數(shù)》一書中，給出了高次代數(shù)方程的一種數(shù)值解法—牛頓法.如圖，具體做法如下：先在x軸找初始點(diǎn)，然后作在點(diǎn)處的切線，切線與x軸交于點(diǎn)，再作在點(diǎn)處的切線，切線與x軸交于點(diǎn)，再作在點(diǎn)處的切線，以此類推，直到求得滿足精度的近似解為止.已知，在橫坐標(biāo)為的點(diǎn)處作的切線，切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，繼續(xù)牛頓法的操作得到數(shù)列.（1）求數(shù)列的通頂公式；（2）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)任意的，滿足，求整數(shù)的最小值.（參考數(shù)據(jù)：，，，）解：（1）函數(shù)，求導(dǎo)得，則圖象在點(diǎn)處的切線方程為：，令，得，而，因此是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，所以.（2）令，，于是，兩式相減得：，整理得，由，得，化簡得，令，則，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，所以，從而整數(shù)；18.某商城玩具柜臺(tái)五一期間促銷，購買甲、乙系列的盲盒，并且集齊所有的產(chǎn)品就可以贈(zèng)送節(jié)日送禮，現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)系列盲盒，每個(gè)甲系列盲盒可以開出玩偶，，中的一個(gè)，每個(gè)乙系列盲盒可以開出玩偶，中的一個(gè).（1）記事件：一次性購買個(gè)甲系列盲盒后集齊玩偶，，玩偶；事件：一次性購買個(gè)乙系列盲盒后集齊，玩偶；求概率及；（2）某禮品店限量出售甲、乙兩個(gè)系列的盲盒，每個(gè)消費(fèi)者每天只有一次購買機(jī)會(huì)，且購買時(shí)，只能選擇其中一個(gè)系列的一個(gè)盲盒.通過統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)：第一次購買盲盒的消費(fèi)者購買甲系列的概率為，購買乙系列的概率為；而前一次購買甲系列的消費(fèi)者下一次購買甲系列的概率為，購買乙系列的概率為，前一次購買乙系列的消費(fèi)者下一次購買甲系列的概率為，購買乙系列的概率為；如此往復(fù)，記某人第次購買甲系列的概率為.①求的通項(xiàng)公式；②若每天購買盲盒的人數(shù)約為，且這人都已購買過很多次這兩個(gè)系列的盲盒，試估計(jì)該禮品店每天應(yīng)準(zhǔn)備甲、乙兩個(gè)系列的盲盒各多少個(gè).解：（1）若一次性購買個(gè)甲系列盲盒，得到玩偶的情況總數(shù)為，集齊，，玩偶，則有兩種情況：

①其中一個(gè)玩偶個(gè)，其他兩個(gè)玩偶各個(gè)，則有種結(jié)果；②若其中兩個(gè)玩偶各個(gè)，另外兩個(gè)玩偶1個(gè)，則共有種結(jié)果，故；若一次性購買個(gè)乙系列盲盒，全部為與全部為的概率相等，均為，故；（2）①由題可知：，當(dāng)時(shí)，，則，，即是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.所以，即；②因?yàn)槊刻熨徺I盲盒的人都已購買過很多次，所以對(duì)于每一個(gè)人來說，某一天來購買盲盒時(shí)，可看作，所以，其購買甲系列的概率近似于，假設(shè)用表示一天中購買甲系列盲盒的人數(shù)，則，所以，即購買甲系列的人數(shù)的期望為，所以禮品店應(yīng)準(zhǔn)備甲系列盲盒個(gè)，乙系列盲盒個(gè).19.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍：（ⅱ）若滿足，求實(shí)數(shù)的最大值.解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，遞增區(qū)間是，無遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是.（2）（ⅰ）由，得，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，而當(dāng)時(shí)，恒成立，且，由有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程有兩個(gè)不等的正根，亦即直線與的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，因此，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.（ⅱ）由，得，且，不妨設(shè)，將代入，得，即，令，求導(dǎo)得，令，求導(dǎo)得，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，有，即，函數(shù)在上單調(diào)遞減，由，得，則，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，即，于是，有，則，又，令，，由（?。┲?，在上遞增，而，因此在上遞增，則，即，解得，所以a的最大值是.廣東省六校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題本試卷共6頁，19小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)、考場號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上，并用2B鉛筆將對(duì)應(yīng)的信息點(diǎn)涂黑，不按要求填涂的答卷無效.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.3，非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)東后，只需將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知函數(shù)，則函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)椋?，所以由?fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，得.故選：D.2.已知隨機(jī)變量.若，設(shè)事件“”，事件“”，則（）A B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)題意，，，所以，則，.故選：A3.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，將依原順序按照第n組有項(xiàng)的要求分組，則2024所在的組數(shù)為（）A.8 B.9 C.10 D.11【答案】B【解析】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，符合，所以，故由得，將依原順序按照第n組有項(xiàng)的要求分組，故第一組項(xiàng)，第二組項(xiàng)，第三組項(xiàng)，，第組有項(xiàng)，故前組共有，又，故2024所在的組數(shù)為.故選：B.4.現(xiàn)將四名語文教師，三名心理教師，兩名數(shù)學(xué)教師分配到三所不同學(xué)校，每個(gè)學(xué)校三人，要求每個(gè)學(xué)校既有心理教師又有語文教師，則不同的安排種數(shù)為（）A.216 B.432 C.864 D.1296【答案】B【解析】求不同的安排種數(shù)需要分成3步，把3名心理教師分配到三所學(xué)校，有種方法，再把4名語文教師按分成3組，并分配到三所學(xué)校，有種方法，最后把2名數(shù)學(xué)教師分配到只有1名語文教師的兩所學(xué)校，有種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得不同的安排種數(shù)為.故選：B5.過點(diǎn)作曲線的兩條切線，.設(shè)，的夾角為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】兩條切線，的傾斜角分別為，，根據(jù)題意，，若點(diǎn)是切點(diǎn)時(shí)，切線斜率為，若點(diǎn)切點(diǎn)（點(diǎn)不重合），則，由，解得（舍去），所以直線斜率為，則．故選：C．6.如圖所示，已知一質(zhì)點(diǎn)在外力的作用下，從原點(diǎn)O出發(fā)，每次向左移動(dòng)的概率為，向右移動(dòng)的概率為，若該質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位長度，設(shè)經(jīng)過5次移動(dòng)后，該質(zhì)點(diǎn)位于X的位置，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)該質(zhì)點(diǎn)向右移動(dòng)的次數(shù)為，則，，而，所以的可能取值為，所以.故選：D．7.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且（且），若，則（）A.49 B.50 C.51 D.52【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，，則，于是，即有，因此數(shù)列是常數(shù)列，，即，由，得，而，所以.故選：A8.已知不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得，即，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，而等價(jià)于，∴，即令，，則，所以在時(shí)，為增函數(shù)；在時(shí)，，為減函數(shù)，所以最大值為，∴．故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.有3臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，第1、2、3臺(tái)車床加工的零件數(shù)的比為5：6：9，加工出來的零件混放在一起，第1、2、3臺(tái)車床加工的次品率分別為6%，5%，4%.現(xiàn)從三臺(tái)車床加工的零件中任取一個(gè)，則（）A.該零件由第1臺(tái)車床加工的概率為0.25B.該零件為次品的概率為0.048C.若該零件為次品，則其由第2臺(tái)車床加工的概率為D.若該零件為次品，則其由第3臺(tái)車床加工的概率最大【答案】ABD【解析】設(shè)事件B為“任取一個(gè)零件為次品”，事件為“零件是第i臺(tái)車床加工”，則，且兩兩互斥．根據(jù)題意得，,由全概率公式，得，所以選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B正確，“如果取到的零件是次品，計(jì)算它是第臺(tái)車床加工的概率”，就是計(jì)算在件B發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的概率，所以．同理可得，，所以若該零件為次品，則其由第3臺(tái)車床加工的概率最大，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確．故選：ABD．10.已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，前項(xiàng)和為，若，則下列說法正確的是（）A. B.使得成立的最大正整數(shù)C. D.中最小項(xiàng)為【答案】ACD【解析】A選項(xiàng)，，即，故，故，故，故，A正確；B選項(xiàng)，，，故使得成立的最大正整數(shù)，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，由于，故，則，故，C正確；D選項(xiàng)，由于，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由，得，，故，同理可得，……，故，故中最小項(xiàng)為，D正確.故選：ACD11.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域都為，對(duì)于任意的，都有成立，則下列說法正確的是（）．A.B.若，則C.為偶函數(shù)D.若，則【答案】BD【解析】令，則，解得或，故A錯(cuò)誤；令，，所以，令，，則，解得，故B正確；當(dāng)時(shí)，令，則有，所以，，當(dāng)，令，則有，所以，所以，所以為奇函數(shù)，綜上，為奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；令，則，所以，故D正確．故選：BD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在的二項(xiàng)展開式中，只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中的系數(shù)為__________.（用數(shù)字作答）【答案】【解析】由于的展開式只有第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中共有項(xiàng)，故，解得，所以，的展開式通項(xiàng)為，令，解得，因此所求即為.故答案為：.13.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【解析】函數(shù)，求導(dǎo)得，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，得，，而函數(shù)在上的最小值為，因此，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：14.在不大于的正整數(shù)中，所有既不能被2整除也不能被3整除的數(shù)的個(gè)數(shù)記為.表示不超過x的最大整數(shù)，令，則__________.【答案】500【解析】因?yàn)樵诓淮笥诘乃姓麛?shù)中，能被2整除的數(shù)有個(gè)，能被3整除的數(shù)有個(gè)，能被6整除的數(shù)有個(gè)，所以，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，則，所以，所以，故答案為：500四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.紅鈴蟲是棉花的主要害蟲之一，能對(duì)農(nóng)作物造成嚴(yán)重傷害.每只紅鈴蟲的平均產(chǎn)卵數(shù)y（個(gè)）和平均溫度x（℃）有關(guān)，現(xiàn)收集了7組數(shù)據(jù)，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）哪一個(gè)更適合作為平均產(chǎn)卵數(shù)y（個(gè)）關(guān)于平均溫度（℃）的回歸方程類型?（給出判斷即可，不必說明理由）并由判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的回歸方程；附：回歸方程中，.參考數(shù)據(jù)52152347.333.62781.33.6（2）現(xiàn)在有10根棉花纖維，其中有6根為長纖維，4根為短纖維，從中隨機(jī)抽取3根棉花纖維，設(shè)抽到的長纖維棉花的根數(shù)為X，求X的分布列.解：（1）根據(jù)散點(diǎn)圖的形狀，判斷更適宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)y關(guān)于平均溫度x的回歸方程類型，將兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)，得，依題意，，，因此，則，于是z關(guān)于x線性回歸方程為，所以y關(guān)于x的回歸方程為.（2）依題意，X的可能值為，，，所以X的分布列為：012316.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的極值；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1），令，得，，和的關(guān)系，如下表所示，0單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以函數(shù)的極小值為，無極大值；（2）不等式恒成立，即恒成立，即，，恒成立，所以，，設(shè)，，，其中，設(shè)，，所以在單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以存在，使，即，即，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，由，可得，所以，所以.17.英國物理學(xué)家牛頓在《流數(shù)法與無窮級(jí)數(shù)》一書中，給出了高次代數(shù)方程的一種數(shù)值解法—牛頓法.如圖，具體做法如下：先在x軸找初始點(diǎn)，然后作在點(diǎn)處的切線，切線與x軸交于點(diǎn)，再作在點(diǎn)處的切線，切線與x軸交于點(diǎn)，再作在點(diǎn)處的切線，以此類推，直到求得滿足精度的近似解為止.已知，在橫坐標(biāo)為的點(diǎn)處作的切線，切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，繼續(xù)牛頓法的操作得到數(shù)列.（1）求數(shù)列的通頂公式；（2）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)任意的，滿足，求整數(shù)的最小值.（參考數(shù)據(jù)：，，，）解：（1）函數(shù)，求導(dǎo)得，則圖象在點(diǎn)處的切線方程為：，令，得，而，因此是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，所以.（2）令，，于是，兩式相減得：，整理得，由，得，化簡得，令，則，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，所以，從而整數(shù)；18.某商城玩具柜臺(tái)五一期間促銷，購買甲、乙系列的盲盒，并且集齊所有的產(chǎn)品就可以贈(zèng)送節(jié)日送禮，現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)系列盲盒，每個(gè)甲系列盲盒可以開出玩偶，，中的一個(gè)，每個(gè)乙系列盲盒可以開出玩偶，中的一個(gè).（1）記事件：一次性購買個(gè)甲系列盲盒后集齊玩偶，，玩偶；事件：一次性購買個(gè)乙系列盲盒后集