2025年人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專項(xiàng)訓(xùn)練：解直角三角形的應(yīng)用

專題28.3解直角三角形的應(yīng)用

典例精析

【典例1】如圖（1）是一個(gè)創(chuàng)意臺(tái)燈，圖（2）是其抽象示意圖，已知支架力B,CD交于點(diǎn)E,支架4B與水

平底座MN的夾角NB2M=60°,AB=CD=30cm,BE-.AE=2:3,ED=24cm,燈罩抽象為DF=

DG=10cm,乙FDG=90°,

圖⑴圖⑵

(1)若支架4B1CD,

①求NCDG的度數(shù);

②求GF與水平底座之間的距離.（結(jié)果精確到0.1cm）

（2）若在（1）的條件下，將支架CD繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，使GF與水平底座之間的距離為24.1cm,求支架CD的旋轉(zhuǎn)

方向及角度.(參考數(shù)據(jù)：V2~1.41,V3?1.73,sin40.5°?0.65,sin37°~0.60)

【思路點(diǎn)撥】

（1）①過(guò)點(diǎn)。作DK1MN,交于點(diǎn)K,求出的角度，即可解答；

②過(guò)點(diǎn)E分別作MN,DK的垂線，垂尺為P,Q,則四邊形EPKQ為矩形，根據(jù)特殊直角三角形的相關(guān)性質(zhì)，

即可解答；

（2）旋轉(zhuǎn)后，GF與水平底座之間的距離增加了3.6cm,即點(diǎn)D在豎直方向上上升了3.6cm,再根據(jù)解直角三

角形，即可解答.

【解題過(guò)程】

（1）①如圖（1）,過(guò)點(diǎn)。作。K1MN,交MN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K,交GF于點(diǎn)H.

???GF||MN,

???DH1GF.

???DF=DG,乙FDG=90°,

???4G=乙GDH=45°.

???^BAM=60°,

???^EAK=120°.

vAB1CD,DK1MK,

??.Z.EDK=360°-90°-120°-90°=60°,

???Z.CDG=乙EDK-乙GDH=15°.

VAB=30cm,BE\AE=2:3,

AE=18cm.

如圖(1),過(guò)點(diǎn)E分別作MN,DK的垂線，垂足為P,Q,則四邊形EPKQ為矩形,

圖⑴

???乙DEQ=90°-60°=30°,EP=QK.

ED=24cm,

1

.?.DQ=-ED=12cm.

???ABAM=60°,

EP=QK=AExsin60°=18x亨=9V3(cm)

???DG=10cm,DH1GF,NG=45°,

DH=DGxsin45°=10Xy=5V2(cm).

HK=DQ+QK-DH=12+9百-5&?20.5(cm)

答：GF與水平底座之間的距離約為20.5cm.

(2)解：由(1)②可知當(dāng)時(shí)，CF與水平底座之間的距離約為20.5cm,

???若使GF與水平底座之間的距離為24.1cm,則需將支架CD繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn).

設(shè)需要將CD繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a,旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為。，如圖(2).

圖⑵

24.1—20.5=3.6（cm）,

???旋轉(zhuǎn)后，GF與水平底座之間的距離增加了3.6cm,即點(diǎn)。在豎直方向上上升了3.6cm（關(guān)鍵點(diǎn)）.

過(guò)點(diǎn)。作。K'1MN,垂足為過(guò)點(diǎn)E作EQ，1于點(diǎn)0.

結(jié)合（1）②可知O'Q'=DQ+3.6=12+3.6=15.6（cm）.

D'E-DE=24cm,

???sm^D'EQ'=^=—=0.65,

弋D'E24

???乙D'EQ'"40.5°,

a=AD'EQ'-乙DEQ=40.5°-30°=10.5°

???將支架CD繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)10.5。，GF與水平底座之間的距離為24.1cm.

學(xué)霸必刷

1.（2023上?上海閔行?九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，海中有一小島P,在以尸為圓心，半徑為16或海里的圓形

海域內(nèi)有暗礁.一輪船自西向東航行，它在A處測(cè)得小島尸位于北偏東60。方向上，且A,尸之間的距離為

（1）若輪船繼續(xù)向正東方向航行，輪船有無(wú)觸礁危險(xiǎn)？

（2）如果輪船繼續(xù)向正東方向航行有危險(xiǎn)，輪船自A處開(kāi)始改變航行方向，沿南偏東a度方向航行確保安

全通過(guò)這一海域，求a的取值范圍.

【思路點(diǎn)撥】

(1)過(guò)P作PB1于8,則PB的長(zhǎng)是A沿方向距離尸點(diǎn)的最短距離，求出最短距離，再比較比較即可;

(2)設(shè)輪船沿南偏東航向是射線4C,過(guò)點(diǎn)P作PD14C于。，利用特殊角的三角函數(shù)值確定答案.

【解題過(guò)程】

(1)解：過(guò)點(diǎn)P作PB1輪船航線于2,貝UPB的長(zhǎng)是A沿方向距離尸點(diǎn)的最短距離，

由題意得/P4B=90°-60°=30°,PA=32,

.?.在RtAP4B中，Z.PBA=90°,

：.sm/LPAB=-=

AP2

：.PB=16,

16<16VL

答：若輪船繼續(xù)向正東方向航行有觸礁危險(xiǎn).

(2)解：設(shè)輪船沿南偏東航向是射線力C,過(guò)點(diǎn)尸作PD14C于

當(dāng)PD=16/時(shí)，角a的度數(shù)最大，

:在RtAPHD中，AP=32,PD=16V2,

sinZ-PAD=-=—,

AP2

：.^PAD=45°,

：.Z.EAD=45°-30°=15°,

???沿南偏東最大角度為90。-15°=75。方向航行確保安全通過(guò)這一海域,

即0<a<75。時(shí)，輪船能安全通過(guò)這一區(qū)域.

2.（2023?河南周口?校考三模）鄭州博物館（新館）位于鄭州奧體中心附近，周邊有鄭州大劇院，鄭州植

物園等，其主展館以鄭州出土的商代青銅方鼎為造型基礎(chǔ)，整體建筑風(fēng)格取鼎器粗獷與精美相統(tǒng)一的神韻,

讓人嘆為觀止.某校數(shù)學(xué)小組的同學(xué)們使用卷尺和自制的測(cè)角儀測(cè)量鄭州博物館（新館）的高度4B,如圖,

他們?cè)贑處測(cè)得頂端A的仰角為38。，沿CB方向前進(jìn)17m到達(dá)。處，又測(cè)得頂端A的仰角為45。.已知測(cè)

角儀的高度為1.5m,測(cè)量點(diǎn)C,。與鄭州博物館（新館）的底部8在同一水平線上，求鄭州博物館（新館）

的高度2B.（結(jié)果精確到1m.參考數(shù)據(jù):sin38°~0.62,cos38°?0.79,tan38°?0.78）

【思路點(diǎn)撥】

先延長(zhǎng)EF,交4B于點(diǎn)G,再設(shè)4G的長(zhǎng)為x,最后表示出FG,EG,最后用正切定義列出方程即可求出AG的長(zhǎng),

再求和即可得到的長(zhǎng).

【解題過(guò)程】

如圖，延長(zhǎng)EF,交4B于點(diǎn)G

設(shè)4G=x

"：/-AFG=45。,乙4GF=90°

GF—AG—x

：.GE=GF+EFx+17

?.ZEG=38°,^AGF=90°

AG

.,.tan38°=—?0.78

EG

0.78

x+17

'.x?60（此時(shí)分母不為0）

■:乙BGF=9Y/GBD=90°,zBDF=90°

，四邊形GBDF是矩形

：.BG=DF=1.5

：.AB=AG+BG=60+1.5=61.5

故鄭州博物館（新館）的高度4B為61.5m.

3.（2023上?重慶沙坪壩?九年級(jí)重慶南開(kāi)中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，某工廠準(zhǔn)備開(kāi)發(fā)一塊四邊形ABC。的空

地，點(diǎn)C在點(diǎn)。的南偏東45。方向上，點(diǎn)A在點(diǎn)。的北偏東60。方向上，點(diǎn)8在點(diǎn)A的正東方向，點(diǎn)C在

點(diǎn)8的正南方向.已知48=2千米，CD=5/千米.（參考數(shù)據(jù)：1.414,百~1.732）

（1）如果要在空地四周建立防護(hù)欄，需要多少千米的防護(hù)欄？（精確到0.1千米）

（2）該工廠計(jì)劃用380萬(wàn)元改造該地塊，如果每平方千米的改造費(fèi)用為20萬(wàn)元，通過(guò)計(jì)算，判斷改造費(fèi)

用是否充足？

【思路點(diǎn)撥】

（1）過(guò)點(diǎn)。作BC的垂線段，交BC于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)4作DF的垂線段，交DF于點(diǎn)E,根據(jù)題意可得NFDC=

45。,4405=90。-60。=30。，解直角三角形求出4。,BC的值，即可解答；

（2）根據(jù)（1）求得數(shù)據(jù)，求出四邊形4BCD的面積，即可解答.

【解題過(guò)程】

（1）解：如圖，過(guò)點(diǎn)。作BC的垂線段，交BC于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)4作DF的垂線段，交DF于點(diǎn)E,

據(jù)題意可得NFDC=45°,/-ADE=90°-60°=30°,

???sinZ-FDC=sin45°=—=—，

DC2

:.FC=DF=￥DC=5千米,

Z.AEF=Z.EFB=乙B=90°,

???四邊形/EFB為矩形，

.?.EF=AB=2千米，

??.DE=DF-EF=3千米，

???cosZ.ADE=cos30°=—=—,

AD2

???AD-=2A/3,

BF=AE=-AD=V3,

2

二四邊形ABCD的周長(zhǎng)=AB+BF+FC+CD+DA=7+5y/2+19.3千米，

答：需要193千米的防護(hù)欄；

(2)解：四邊形4BCD的面積=S矩形的8+SAADE+SADFC=2百+言+18.562平方千米，

???18.562x20=371.24<380,

???判斷改造費(fèi)用充足.

4.(2023?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí))2022年6月5日，“神舟十四號(hào)”載人航天飛船搭載“明星”機(jī)械臂成功發(fā)

射.如圖是處于工作狀態(tài)的某型號(hào)手臂機(jī)器人示意圖，。4是垂直于工作臺(tái)的移動(dòng)基座，AB.BC為機(jī)械臂,

OA=Im,AB=5m,BC=2m,AABC=143°.機(jī)械臂端點(diǎn)C到工作臺(tái)的距離CD=6%.

(1)求4、C兩點(diǎn)之間的距離；

(2)求OD長(zhǎng).

【思路點(diǎn)撥】

(1)延長(zhǎng)AB,過(guò)點(diǎn)C作在RtABCE中，求出8E、CE的長(zhǎng)，再在Rt△4CE中求出AC.

(2)過(guò)點(diǎn)A,作/FlCO于點(diǎn)R則四邊形/F。。為矩形，求出CT,在中，求出/F.

【解題過(guò)程】

(1)如圖，延長(zhǎng)A3,過(guò)點(diǎn)。作CE148,

VZ.ABC=143°,

:.乙EBC=37°,

在Rt△BCE中，

BE=BC-cos37°=1.6m,

CE=BC?sin37°=1.2m,

'?AE—AB+BE=5+1,6=6.6m,

在RtZkZCE中，

AC=JAE2+CE2=3V5?6.7m

.'.A,C兩點(diǎn)之間的距離為6.7m.

(2)過(guò)點(diǎn)A,作2F1CD于點(diǎn)孔

則四邊形力FD。為矩形，

?\AF=DO,DF=OA=lm,

CF=6—1=5m

在Rt中,

AF=yjAC2-CF2=2A/5?4.5m,

/.OD—4.5m

5.(2023?江西九江?統(tǒng)考三模)如圖1是某品牌的紙張打孔機(jī)的實(shí)物圖，圖2是從中抽象出的該打孔機(jī)處

于打孔前狀態(tài)的側(cè)面示意圖，其中打孔機(jī)把柄。力=5cm,BE是底座，。力與BE所成的夾角為36.8。，。點(diǎn)是

把柄轉(zhuǎn)軸所在的位咒，且。點(diǎn)到底座BE的距離OC=2cm.。。與一根套管相連，。。可繞。點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，此時(shí)，

ODWBE,套管內(nèi)含打孔針MN,打孔針的頂端M觸及到。力，但與。力不相連，MN始終與8E垂直，且。M=1cm,

MN-2cm.

(1)打孔針MN的針尖N離底座BE的距離是多少厘米？

(2)壓下把柄。4直到4點(diǎn)與B點(diǎn)重合，如圖3,此時(shí)，M.。兩點(diǎn)重合，把柄。力將壓下打孔針MN并將它

鍥入放在底座BE上的紙張與底座之內(nèi)，從而完成紙張打孔，問(wèn)：打孔針MN鍥入底座BE有多少厘米？

242

(參考數(shù)據(jù)：sin36.8°?cos36.8°-tan36.8°--)

554

【思路點(diǎn)撥】

(1)如答圖1,連接CN,先說(shuō)明四邊形COMN是平行四邊形可得CN=OM=1cm,再解直角三角形可得NP-

0.6cm即可解答；

(2)如答圖1,由題意可得四邊形CODP是平行四邊形可得。D=CP=0.8cm.如圖3中，設(shè)與BE的交

點(diǎn)為Q,貝IOM=OD=0.8cm,BM=OB-OM=4.2cm.又MN||0C可得△BMQ-ABOC即BM:OB=

MQ-.OC,進(jìn)而求得MQ=1.68cm,最后根據(jù)線段的和差即可解答.

【解題過(guò)程】

由題意可知，0C工BE,MN1BE,

：.OC\\MN

'：0C=MN=2cm,

J四邊形COMN是平行四邊形.

ACN=OM=lcm.

又???。4與BE所成的夾角為36.8°,

:.乙NCP=36.8°.

在Rt△NCP中，NP=CN-sinzJVCP=1xsin36.8°?0.6cm.CP=CN-cos乙NCP=1xcos36.8°?0.8cm.

???打孔針MN的針尖N離底座BE的距離是0.6厘米.

（2）解：如答圖1,

\9OD\\BE,OCWMN,

???四邊形CODP是平行四邊形.

OD=CP=0.8cm

如圖3中，設(shè)MN與BE的交點(diǎn)為Q,則。M=。。=0.8cm,BM=OB-OM=4.2cm.

「MNIIOC,

A△BMQ?ABOC

=MQ:OC,

.,.4,2:5=MQ-.2,解得MQ=1.68cm.

：.QN=MN-MQ=2-1.68=0.32cm.

J打孔針MN鍥入底座BE有0.32厘米.

6.（2023?河南周口??？既＃┤鐖D1是一個(gè)傾斜角為a的斜坡的截面示意圖.已知斜坡頂端/到地面的距離

AB為2m,tana=/為了對(duì)這個(gè)斜坡上的綠植進(jìn)行噴灌，在斜坡底端C處安裝了一個(gè)噴頭D,噴頭。到地面的

距離DC為0.5m,水珠在距噴頭。水平距離4m處達(dá)到最高，噴出的水珠可以看作拋物線的一部分.建立如圖

2所示的平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)拋物線的表達(dá)式為、=。/+版+以其中噴出水珠的豎直高度為y（單位：

m）（水珠的豎直高度是指水珠到水平地面的距離），水珠與的水平距離為久（單位：m）.

（1）求拋物線的表達(dá)式.

(2)斜坡正中間有一棵高1m的樹(shù)苗，通過(guò)計(jì)算判斷從噴頭D噴出的水珠能否越過(guò)這棵樹(shù)苗.

(3)若有一個(gè)身高為的小朋友經(jīng)過(guò)此斜坡，想要不被淋濕衣服，他到噴頭。的水平距離s(m)應(yīng)在什么范

圍內(nèi)？

【思路點(diǎn)撥】

(1)根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系得到=6m,再由二次函數(shù)對(duì)稱軸公式得到b=-4處然后再利用待定系數(shù)法即

可解得；

(2)通過(guò)比較樹(shù)苗的最高點(diǎn)與相應(yīng)位置的拋物線函數(shù)值大小關(guān)系即可判斷結(jié)果；

(3)利用s表示出對(duì)應(yīng)函數(shù)值和小朋友高度值，根據(jù)題意列出不等式求解即可；

【解題過(guò)程】

(1)解：由題意可知，4(0,2)

CB=-^――T—6m,

tana-

3

則點(diǎn)O坐標(biāo)為O(6,0,

——=6—4=2,

2a

???b=-4a,

將點(diǎn)/坐標(biāo)代入y=ax2+b%+c得c=2,則y=ax2—4ax+2

將點(diǎn)。坐標(biāo)代入y=a/—4a%+2得鼻=36a—24a+2

解得a=—J,貝肪=

o2

.??拋物線的表達(dá)式為y=—；/+；乂+2；

82

(2)解：如圖過(guò)中點(diǎn)F作垂線交4C于點(diǎn)E,貝!JEF=[48=lm,BF=^BC=3m,

將久=3代入y=--X2+工x+2得，y=一工x9+?+2=V

82828

-=2->1+1,

88

???從噴頭。噴出的水珠能越過(guò)這棵樹(shù)苗;

(3)解：如圖過(guò)BC上一點(diǎn)“作BC垂線交4c于點(diǎn)G,

設(shè)C/7=s,貝!JBH=6—s,HG=—s,由題意可得——(6—s)2+—(6一s)+2>—s+—

化簡(jiǎn)得3s2-16s+20<0,

因式分解得(3s-10)(s-2)<0,解得2<s<y,

"""2<s<一.

3

7.(2022?海南?統(tǒng)考中考真題)無(wú)人機(jī)在實(shí)際生活中應(yīng)用廣泛.如圖8所示，小明利用無(wú)人機(jī)測(cè)量大樓的

高度，無(wú)人機(jī)在空中P處，測(cè)得樓CD樓頂。處的俯角為45。，測(cè)得樓4B樓頂A處的俯角為60。.已知樓4B和

樓CD之間的距離BC為100米，樓2B的高度為10米，從樓48的A處測(cè)得樓CD的。處的仰角為30。(點(diǎn)4

B、C、D、尸在同一平面內(nèi)).

彳

M2N

60°V^<45o

。

呂

呂

呂

呂

呂

呂

呂

O呂

呂

-

口

BC

(1)填空：^APD=度，^ADC=___________度;

(2)求樓CD的高度(結(jié)果保留根號(hào))；

(3)求此時(shí)無(wú)人機(jī)距離地面BC的高度.

【思路點(diǎn)撥】

(1)根據(jù)平角的定義求N4PD,過(guò)點(diǎn)A作/1E1DC于點(diǎn)E,再利用三角形內(nèi)角和求乙4DC；

(2)在RtAAED中，NZME=30。求出。E的長(zhǎng)度再根據(jù)CD=DE+EC計(jì)算即可；

(3)作PG18C于點(diǎn)G,交4E于點(diǎn)R證明△APF三△D4E即可.

【解題過(guò)程】

(1)過(guò)點(diǎn)A作4E1DC于點(diǎn)E,

由題意得：^.MPA=6Q。,乙NPD=45°,^DAE=30°,

：.^APD=180°-^MPA-乙NPD=75°

/.ADC=90°-/.DAE=60°

（2）由題意得：AE=BC=100米，EC=48=10.

在RMAED中，ADAE=30°,

：.DE=AE-tan300=100xy=等百（米），

：.CD=DE+EC=^-43+10（米）

...樓CD的高度為（詈百+10）米.

（3）作PG1BC于點(diǎn)G,交力E于點(diǎn)F,

貝U/PF力=Z.AED=90°,FG=AB=10（米）

?:MN||AE,

：./.PAF=^MPA=60°.

V/-ADE=60°,

：.Z.PAF=/LADE.

V/-DAE=30°,

：.Z.PAD=30°.

V/LAPD=75°,

：.Z-ADP=75°.

：.Z.ADP=乙4Po.

：.AP=AD.

：.^APF=LDAE(AAS).

：.PF=AE=100.

：.PG=PF+FG=100+10=110(米)

?,?無(wú)人機(jī)距離地面BC的高度為no米.

8.(2023?江西上饒?二模)火災(zāi)是最常見(jiàn)、最多發(fā)的威脅公眾安全和社會(huì)發(fā)展的主要災(zāi)害之一，消防車是

消防救援的主要裝備.圖1是某種消防車云梯，圖2是其側(cè)面示意圖，點(diǎn)。，B,。在同一直線上，。?？衫@

著點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，為云梯的液壓桿，點(diǎn)。，A,C在同一水平線上，其中8?？缮炜s，套管。B的長(zhǎng)度不變，在某

(1)求8。的長(zhǎng).

(2)消防人員在云梯末端點(diǎn)O高空作業(yè)時(shí)，將80伸長(zhǎng)到最大長(zhǎng)度6m,云梯。。繞著點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的

角度，消防人員發(fā)現(xiàn)鉛直高度升高了3m,求云梯00旋轉(zhuǎn)了多少度.(參考數(shù)據(jù)：sin37。、：，tan37°?p

54

44

sin53。、，tan53°?sin64°?0.90,cos64°?0.44)

【思路點(diǎn)撥】

(1)構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可解答；

(2)求出旋轉(zhuǎn)前點(diǎn)D的高度。尸，進(jìn)而求出旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)。'的高度D'G,再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出乙D'OG

的大小即可解答.

【解題過(guò)程】

(1)解：如圖，過(guò)點(diǎn)8作BE10C于點(diǎn)E,

D

在RtANBE中，/.BAC=53°,AB=3m,

412

：.BE=AB?sin^BAE=3xsin53°?3x-=—,

55

在RtZkBOE中，乙BOE=37。,BE=三

RF

9：sinz.BOE=—

OB

12

：.OB=呼=手=4.

smz.BOE-

5

答：OB=4m.

(2)解：如圖，過(guò)點(diǎn)。作。FLOC于點(diǎn)尸，旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為過(guò)點(diǎn)。作1。。于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)。

作1DG于點(diǎn)H,

乙DOF=37°,

3

：.DF=OD-sin37°?10x|=6m,

：.D'G=D'H+HG=3+6=9m,

在RtAD'OG中，。。'=10m,Q'G=9m,

：./-D'OGx64°,

:.乙D'OD=64°-37°=27°,即云梯0D大約旋轉(zhuǎn)了27。.

9.(2023?海南?？?統(tǒng)考一模)如圖，小明為了測(cè)量小河對(duì)岸大樹(shù)BC的高度，他在點(diǎn)A處(點(diǎn)G、A、C

在同一水平線上)測(cè)得大樹(shù)頂端B的仰角為45。，沿著坡度》=1:8的斜坡4E走6米到達(dá)斜坡上點(diǎn)D處，

此時(shí)測(cè)得大樹(shù)頂端B的仰角為31。，點(diǎn)A、B、C、。在同一平面內(nèi).

(1)填空：^EAG=_°,AADB=_°；

(2)求斜坡上點(diǎn)Z)至IMG的距離；

(3)求大樹(shù)BC的高度(結(jié)果精確到0.1米.參考數(shù)據(jù)：sin31°?0.52,cos31°?0.86,tan31°?0.60,V3?

1.73,V2-1.41)

【思路點(diǎn)撥】

(1)由坡度i=1:百可求由平行線的性質(zhì)和已知條件可求乙4D8；

(2)過(guò)。向4G作垂線，利用銳角三角函數(shù)進(jìn)行求解；

(3)設(shè)BC=x,求出2F=3g,利用兩個(gè)直角三角形的銳角三角函數(shù)進(jìn)行求解.

【解題過(guò)程】

(1)解：如圖所示，作DF14G、DH1BC

.-i=l:V3

tanZ-EAG=――=1:V3

??.AEAG=30°

???DHWCG

???乙ADB=AADH+乙BDH=30°+31°=61°

故答案為：30,61；

(2)在中，^.DAF=30°,AD=6,

DF=AD?sin30°=3,

答：點(diǎn)。到AG的距離為3米.

故答案為：3米；

(3)由圖可知，四邊形DFCH是矩形，

CH=DF=3

設(shè)BC=x,貝！=BC-CH=x-3,

在RtAACB中，v/.BAC=45°,

???AC=BC-tan45°=x；

在Rt△AFD中，AF^AD-cos30°=3g

DHFCAC+AFx+3百;

在RfBHD中，tanNBDH=tan3'=器

品淮，

解得x=竺翳x15.3

答：大樹(shù)BC的高度約為15.3米.

故答案為：15.3米.

10.(2023上?遼寧沈陽(yáng)?九年級(jí)東北育才雙語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí))如圖，一般輪船在A處測(cè)得燈塔/位于

A的北偏東30。方向上，輪船沿著正北方向航行10海里到達(dá)8處，測(cè)得燈塔M位于B的北偏東60。方向上,

測(cè)得港口C位于2的北偏東45。方向上：已知港口C在燈塔M的正北方向上.

(1)填空：4AMB=度，4BCM=度；

(2)求燈塔〃到輪船航線4B的距離(結(jié)果保留根號(hào))；

(3)求港口C與燈塔M的距離(&=1.414,1.732,結(jié)果精確到1海里).

【思路點(diǎn)撥】

(1)作CD148交2B于。，作ME交于E,由三角形外角的定義與性質(zhì)可得乙4MB=30。，再由平

行線的性質(zhì)可得=45°,即可得解；

(2)作CD148交48于。，作“￡114B交4B于E,由(1)可得：5=Z.BMA=30°,從而得至IBM=AB=10

海里，再由EM=?sin/EBM進(jìn)行計(jì)算即可；

(3)作CD14B交力B于D,作ME1AB交力B于E,證明四邊形CDEM是矩形，得到CD=EM=5次海里，

DE=CM,由BE=BM-coszEBM計(jì)算出BE的長(zhǎng)度，證明△CDB是等腰直角三角形，得到CD=BO=5k

海里，即可得到答案.

【解題過(guò)程】

(1)解：如圖，作CD14B交4B于。，作ME1AB交48于E,

???乙DBM=乙4+Z.AMB=30°+^AMB=60°,

???^AMB=30°,

■.AB,CM都是正北方向,

AB||CM,

■：4DBC=45°,

.-.乙BCM=45°,

故答案為：30,45；

(2)解：由(1)可得：Z/1=Z.BMA=30°,

BM=AB=10海里，

在RtABEM中，Z.EBM=60°,BM=10海里，

EM=BM?sinzFBM=10xsin60°=10xy=5次海里；

???燈塔M到輪船航線48的距離為5代海里；

(3)解：?；CD1AB,MELAB,AB.CM都是正北方向，

???四邊形CDEM是矩形，

CD=EM=5百海里，DE=CM,

在RtABEM中，Z.EBM=60°,BM=10海里，

BE—BM-cosZ-EBM=10xcos60°=10x[=5海里，

?.?在Rt△中，乙DBC=45°,

是等腰直角三角形，

CD=BD=5百海里，

：.CM=DE=BD-BE=SW-5x4海里，

二港口C與燈塔M的距離約為4海里.

11.(2023上?重慶九龍坡?九年級(jí)重慶市育才中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))如圖，四邊形4BCD是某公園的休閑步

道.經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)3在A的正西方向,48=2008米，點(diǎn)D在A的正北方向，點(diǎn)C在2的西北方向=30072

米，點(diǎn)C在。的南偏西60。方向上.

（1）求步道4。的長(zhǎng)度；（精確到個(gè)位數(shù)）；

（2）小亮以90米/分的速度沿278TC-。的方向步行,小明騎自行車以300米/分的速度沿。TCTBT

4的方向行駛.兩人能否在4分鐘內(nèi)相遇？請(qǐng)說(shuō)明理由.（參考數(shù)據(jù)：V2?1.414,V3?1.732）

【思路點(diǎn)撥】

（1）過(guò)點(diǎn)B作BE148交CO于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作EF14。于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)C作CG1BE于點(diǎn)G,證明四邊形4BEF

為矩形，得出4BEF=90°,EF=AB=200百米，4F=BE,證明△BCG為等腰直角三角形，得出CG=BG=

^-BC=yx300V2=300（米），根據(jù)三角函數(shù)得出GE=CGxtan/ECG=300xtan30°=100次七173

（米），求出4F=BE=BG+GE=300+173=473（米），解直角三角形得出DF=EF=3逋=200

tanzEDFtan60°

（米），即可求出結(jié)果；

（2）根據(jù)直角三角形性質(zhì)求出CE=2EG=2X173=346（米），DE=2DF=400米，求出CD=CE+DE=

346+400=746（米），根據(jù)4B=200V3?346（米），BC=300&?423（米），得出4B+BC+CD=

346+423+746=1515（米），根據(jù)1515+（90+300）”3.9（分鐘），即可得出結(jié)論.

【解題過(guò)程】

（1）解：過(guò)點(diǎn)B作BE14B交CD于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作EFL4D于點(diǎn)孔過(guò)點(diǎn)C作CG1BE于點(diǎn)G,如圖所示:

北

+東

根據(jù)作圖和已知條件可知，=4AFE=乙ABE=90°,

.??四邊形4BEF為矩形，

：./-BEF=90°,EF=AB=200百米，AF=BE,

：N8GC=90。，ZCBG=45。，

.?.△BCG為等腰直角三角形，

：.CG=BG=ySC=yX300V2=300（米），

■:乙CGE=乙BEF=90°,

：.BG\\EF,

."ECG=Z.DEF=90°-Z.EDF=30°,

：.GE=CGxtanzFCG=300xtan30°=100V3?173（米），

：.AF=BE=BG+GE=300+173=473（米）,

,：/.DFE=90°,Z.EDF=60°,

：.AD=AF+FD^473+200=673（米），

即步道an的長(zhǎng)度為673米.

（2）解：兩人能在4分鐘內(nèi)相遇；理由如下：

:在RtACEG中NECG=30。,GE2173米，

ACE=2EG=2x173=346（米），

?.?在RtADEF中NDEF=30。，DF=200米，

：.DE=2DF=400米,

CD=CE+DE=346+400=746（米），

'：AB=200V3?346（米），BC=300V2?423（米）,

：.AB+BC+CD=346+423+746=1515（米），

：1515+（90+300）-3.9（分鐘），

有；3.9<4,

兩人能在4分鐘內(nèi)相遇.

12.（2021下.江西景德鎮(zhèn).九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖1是一個(gè)水龍頭的示意圖，類似于字母“F”的形狀，將其

抽象成如圖2所示的截面圖形，線段BE是一根固定的軸，線段48,CD均垂直于線段BE,出水口在點(diǎn)。處,

4B為自來(lái)水開(kāi)關(guān)，AB1BC即為無(wú)水狀態(tài)，將繞點(diǎn)B逆時(shí)針向上轉(zhuǎn)動(dòng)即是開(kāi)水.若已知BC=10cm,AB=

20cm,CD=30cm.（參考數(shù)據(jù)，精確到0.1,sin34。=0.56,cos34°=0.83,V2~1.414,遍=1.732,

25.0792=629)

B--------------A

圖①圖②

(i)求出水龍頭不開(kāi)時(shí)，點(diǎn)a與出水口的距離；

(2)當(dāng)B力向上旋轉(zhuǎn)34。時(shí)，即是最大出水量，求出最大出水量時(shí)，點(diǎn)4與出水口的距離.

【思路點(diǎn)撥】

(1)連接過(guò)點(diǎn)A作A凡LCD于尸，AB±BC,DC±BC,則四邊形ABC尸是矩形，在RfAAFZ)中，AD2

=AF2+DF2,勾股定理即可求解.

(2)連接A'D,過(guò)點(diǎn)A'作A'F'1CD于F',交AB于點(diǎn)G,則AF'1AB,由4G=4B?sin34。，

BG=4B-cos34。，進(jìn)而由4。=4G+GF，，根據(jù)CD=30cm,求得DF，=CD-CF，，由勾股定理得出

A'D2=A'F'2+DF'2,即可求解.

【解題過(guò)程】

(1)連接AO,過(guò)點(diǎn)A作于凡

由題意知：ABLBC,DCLBC,則四邊形ABC尸是矩形,

CF=AB=20cm9AF=BC=10cm,

,:CD=30cm,

???DF=CD-CF=30-20=10(cm),

在放△AT7。中，NA尸￡)=90°,AF=10cm,￡)F=10cm,

IAD2=AF2+DF2=102+102=200,

：.AD=10V2?10xl.414?14.1(cm)；

即出水龍頭不開(kāi)時(shí)，點(diǎn)A與出水口的距離約為14.1cm；

(2)連接A'D,過(guò)點(diǎn)A作A'F'1CD于F',交AB于點(diǎn)G,則AF'1AB

在Rt^A'BG中，N4GB=90。，

/.GBA'=34。,AB=AB=20cm,

1?,sinZ-A'BG=竿，

A'B

AA'G=A'B-sin34°?20x0.56=11,2(cm),

cosZ-A'BG—號(hào),

A'B

：.BG=A'B-cos34°*20X0.83=16.6(cm),

???AB1BC,DC1BC.A'F'1CD,

.??四邊形BCBG是矩形，

GF'=BC=10cm,CF'=BG=16.6cm,

A'F'=A'G+GF'=11.2+10=21.2(cm),

CD=30cm,

DF'=CD-CF'=30-16.6=13.4(cm),

在RtAA'F'D中，Z-A'F'D=90°,

A'F'=21.2cm,DF'=13.4cm,

222

???A'D=A'F'+DF'=21,22+13.42=629,

???A'Dx25.079x25.1(cm),

即出最大出水量時(shí)，點(diǎn)4與出水口的距離約為25.1cm.

13.(2023下?浙江金華?九年級(jí)浙江省義烏市稠江中學(xué)?？茧A段練習(xí))如圖是某風(fēng)車示意圖，其相同的四個(gè)

葉片均勻分布，水平地面上的點(diǎn)〃在旋轉(zhuǎn)中心0的正下方.某一時(shí)刻，太陽(yáng)光線恰好垂直照射葉片04OB,

此時(shí)各葉片影子在點(diǎn)M右側(cè)成線段CD,測(cè)得MC=8.5zn,CD=13小，設(shè)光線與地面夾角為a,測(cè)得tana=

2

-

3

(1)求點(diǎn)O,M之間的距離.

(2)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求葉片外端離地面的最大高度.

【思路點(diǎn)撥】

(1)過(guò)點(diǎn)。作的平行線，交CD于根據(jù)平行線分線段成比例得出點(diǎn)〃是CD的中點(diǎn)，得出MH=15m,

再由正切函數(shù)求解即可；

(2)過(guò)點(diǎn)。作水平線。/交BD于點(diǎn)J,過(guò)點(diǎn)8作B/1。/,垂足為/,延長(zhǎng)M0,使得。K=OB,利用相似三

角形的判定和性質(zhì)得出稱=措=：確定四邊形。是平行四邊形，然后利用勾股定理求解即可.

IJBI3

【解題過(guò)程】

(1)如圖，過(guò)點(diǎn)。作AC、BD的平行線，交CD于H,

由題意可知，點(diǎn)。是48的中點(diǎn),

,：0H||AC||BD,

,OAHCy

??—=],

OBHD

...點(diǎn)H是CD的中點(diǎn)，

VCD=13m,

:.CH=HD—CD=6.5m,

2

：.MH=MC+CH=8.5+6.5=15m,

又,:由題意可知：乙OHM=乙BDC=a

tanZ-OHM=tana=—=

MH3

,OM_2

**15-3，

解得OM=10m,

???點(diǎn)0、M之間的距離等于10m；

(2)過(guò)點(diǎn)。作水平線。/交3。于點(diǎn)J,過(guò)點(diǎn)5作8/1。/,垂足為/,延長(zhǎng)M。，使得。K=OB,

?：BI1OJ,

:?乙BIO=乙BIJ=90°,

???由題意可知：^OBJ=/.OBI+Z.JBI=90°,

又???乙8。/+/。8/=90。，

:?乙BOI=乙JBI,

：.△BIO八JIB,

.BI_01_2

**IJ一B/一3'

24

：.BI=|//,0/=”

u：0]||CD,OH||D],

???四邊形OH。/是平行四邊形，

：.OJ=HD=6.5m,

4

VO/=0/+//=；〃+〃=6.5m,

/.//=4.5m,BI=3m,01=2m,

???在RtzXOB/中，由勾股定理得：。82=。/2+8/2,

OB=VO/2*4+S/2=422+32=V13m,

：.OB=OK=V13m,

MK=MO+OK=(10+V13)m,

葉片外端離地面的最大高度等于(10+V13)m.

14.(2023?江西南昌?南昌市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？家荒?三折傘是我們生活中常用的一種傘，它的骨架是一個(gè)“移

動(dòng)副”和多個(gè)“轉(zhuǎn)動(dòng)副”組成的連桿機(jī)構(gòu)，如圖1是三折傘一條骨架的結(jié)構(gòu)圖，當(dāng)“移動(dòng)副”(標(biāo)號(hào)1)沿著傘

柄移動(dòng)時(shí)，折傘的每條骨架都可以繞“轉(zhuǎn)動(dòng)副”(標(biāo)號(hào)2—9)轉(zhuǎn)動(dòng)；圖2是三折傘一條骨架的示意圖，其中

四邊形CDEF和四邊形DGMN都是平行四邊形，AC=BC13cm,DE=2cm,DN=1cm.

圖1

(1)若關(guān)閉折傘后，點(diǎn)4、E、H三點(diǎn)重合，點(diǎn)B與點(diǎn)M重合，求8N的長(zhǎng)度；

(2)在(1)的條件下，折傘完全撐開(kāi)時(shí)，Z.BAC=75°,則點(diǎn)H到傘柄4B距離為多少.

【思路點(diǎn)撥】

(1)由平行四邊形的性質(zhì)可得CD=EF,CF=DE,有關(guān)閉折傘后，點(diǎn)A、E、H三點(diǎn)重合，得到4F=EF,

則CD=AC-DE=11cm,BN=BC+CD-DN=23cm；

(2)先求出乙4cB=30°得至UNAFE=^.ACD=150°,即可得到NE4F=^AEF=15°,求出MN=BN

23cm,EG=HG=25cm,過(guò)產(chǎn)作FR1AE于R,過(guò)G作GT14”于T,在力E上取一點(diǎn)。使得2Q=F

則NFQR=30。，解直角三角形得到RF=(QF,QR=~QF,設(shè)力Q=QF=2xcm,貝MR=(2x+

V3x)cm,RF=xcm,利用勾股定理得至U1M=/+(2式+國(guó)久),

解得x=即可得到4E=空空&返cm,同理可得EH=至恒竺四cm,貝必"=4E+EH=

V6+V222

(18V6+llV2)cm.

【解題過(guò)程】

(1)解：,??四邊形CD”是平行四邊形,

:?CD=EF,CF=DE,

???關(guān)閉折傘后，點(diǎn)A、E、//三點(diǎn)重合,

：.AF=EF,

：.AC=AF+CF=CD+DE,

ACD=AC-DE=11cm,

：.BN=BC+CD—DN=23cm；

(2)解：由題意得，當(dāng)傘完全撐開(kāi)時(shí)，E、”三點(diǎn)共線,

VA.BAC=75°,AC=BC=13cm,

AZ-ABC=Z-BAC=75°,

AZ.ACB=180°-乙ABC-ABAC=30°

工乙ACD=150°

9：EF||CD,

：.A.AFE=^ACD=150°,

'：AF=EF,

?"EAF=Z-AEF=15°,

??,關(guān)閉折傘后，點(diǎn)A、E、"三點(diǎn)重合，點(diǎn)3與點(diǎn)〃重合，

：.MN=BN=23cm,EG=HG=25cm,

過(guò)F作FR1ZE于R,過(guò)G作GT1于T,在ZE上取一點(diǎn)。使得ZQ=FQ,

：.^QAF=AQFA=15°,

:?么FQR=Z.QAF+"FA=30°,

：.RF=QF?sin^FQR=|QF,QR=QF,cos乙FQR

設(shè)ZQ=QF=2xcm,貝UZR=（2x+V3x）cm,RF=xcm,

在RtZk/FR中，由勾股定理得NF?=AR2+RF2,

/.II2=x2+（2x+V3%）2,

解得刀=白（負(fù)值舍去），

V6+V2

AR=2x+V3x=116+1"cm,

同理可得EH=型等也cm,

：.AH=AE+EH=（18V6+llV2）cm.

15.（22.23九年級(jí)下?江西南昌?階段練習(xí)）圖1是屏幕投影儀投屏情景圖，圖2是其側(cè)面示意圖，投影光

線4E、投影儀在同一直線上，且與三角支架中的2-尸-C在同一平面上,點(diǎn)E位于屏幕BG的正中心，

FC=50cm,AF=12cm,AF垂直于水平地面HC,支架點(diǎn)F與水平地面”C的距離為30cm,若投影儀的尾

端D與支架點(diǎn)F所在直線恰好平行于水平地面HC,測(cè)得DF=15cm,CH=240cm.

c

圖1圖2

(1)求三角支架中的FC與地面的夾角.

(2)求投影點(diǎn)E與水平地面的距離.

(3)若投影儀后移1m,要正常投影，(投影光線射向點(diǎn)E)則投影儀的仰角須減小了多度？

(參考數(shù)據(jù)：sin37°~0.60,cos37°?0.80,tan37°~0.75,tan39°-0.8,tan28°?0.53)

【思路點(diǎn)撥】

(1)如圖1,過(guò)F作FM1CH于"，則FM=30,4FMC=90°,sin/DCH=嗎=丑=0.6,即NDCH=37。,

CF50

然后作答即可；

(2)如圖2,延長(zhǎng)DF交BH于N,貝！UDNH=90。，四邊形HMFN是矩形，則NF=HM,NH=FM=30,

由題意知，CM=CD?COSNDCH=40,貝!=HM=CH-CM=200,DNDF+NF=215,證明△

ADFFEDN,則竺=竺，即烏=至，解得EN=172,根據(jù)EH=EN+NH,計(jì)算求解即可；

ENDNEN215

(3)由題意知，tan乙4。/=竺=竺=0,8,則4DF=39°,當(dāng)投影儀后移1m,如圖3,則=AF=12,

DF15

FF'=100cm,證明△AD'F'sAED'N,則字=空，即——D'F，,解得=%，tan^A'D'F'=

D'NEN200+100+D'F'1722

熏=關(guān)，033,即N4?F，=28。，根據(jù)—計(jì)算求解投影儀的仰角減小的度數(shù)即可.

DF——

2

【解題過(guò)程】

(1)解：如圖1,過(guò)尸作FM1CH于貝i]FM=30,AFMC=90°,

/.sinZ.DCH=—=—=0.6,

CF50

:.乙DCH=37°,

???三角支架中的FC與地面的夾角為37。.

(2)解：如圖2,延長(zhǎng)OF交于N,貝=90°,四邊形"MFN是矩形，則NF=HM,NH=FM=30,

：.NF=HM=CH-CM=200,DN=DF+NF=215,

VZ-ADF=乙EDN,AAFD=乙END=90°,

A△ADF?△EON,

即工=蘭，解得EN=172,

ENDNEN215

；?EH=EN+NH=202,

???投影點(diǎn)E與水平地面的距離為202cm.

(3)解：由題意知，tan乙4DF=絲===0.8,

DF15

：./.ADF=39°,

當(dāng)投影儀后移1m,如圖3,則AF'=4F=12,FF'=100cm,

圖3

"：^A'D'F'=乙ED'N,/.A'F'D'=乙END'=90°,

：.J\A'D'F's^ED'N,

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