2025年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考三輪沖刺訓(xùn)練：圓中相似三角形（含答案）

2025年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考三輪沖刺訓(xùn)練圓中相似三角形專題訓(xùn)練

1.如圖，是△ABC的外接圓，ZABC=90°,8。是O。的直徑，作直線BE,使NABE

=NC,并與ZM的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)￡.

(1)求證：BE是的切線；

(2)當(dāng)AB=16,BC=12時(shí)，求。E的長(zhǎng).

2.如圖，AB是。。的直徑，△ACD內(nèi)接于O。，CD=DB,AB,CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E,

且DE=AD.

(1)求證：△CAOs^CEA；

(2)求NAOC的度數(shù).

3.如圖，在△ABC中，點(diǎn)。在AC上，連接2。，以BZ)為直徑作O。，。。經(jīng)過點(diǎn)A,與

8C交于點(diǎn)E,且血=DE.

(1)若NC=40°,求/AEC的度數(shù);

(2)若AB=6,AO=3,求CE1的長(zhǎng).

4.如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的。。上，過點(diǎn)C作。。的切線/,過點(diǎn)A作4。，/,垂足為

D,連接AC、BC.

(1)求證：AABC^AACD；

(2)若AC=5,8=4,求O。的半徑.

5.如圖，ZVIBC內(nèi)接于OO,點(diǎn)。為曲的中點(diǎn)，連接A。、BD,8E平分NA8C交A。于

點(diǎn)、E,過點(diǎn)。作。e〃BC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸.

(1)求證：。尸是o。的切線.

(2)求證：BD=ED.

(3)若DE=5,CF=4,求AB的長(zhǎng).

6.如圖，在OO中，是OO的直徑，弦CO交AB于點(diǎn)E,AD^BD.

(1)求證：AACDs^ECB；

(2)若AC=3,BC=\,求CE的長(zhǎng).

7.如圖，在RtZkABC中，NC=90°,。為斜邊AB上一點(diǎn)，以BO為直徑作O。，交AC

于E,尸兩點(diǎn)，連接BE,BF,DF.

(1)求證：BC?DF=BF?CE；

(2)若/A=/CBF,tanZBFC=V5,AF=4V5,求CF的長(zhǎng)和。。的直徑.

8.如圖，BC是O。的直徑，A是O。上異于2、C的點(diǎn).。。外的點(diǎn)E在射線CB上，直

線EA與CD垂直，垂足為D,且DA-AC=DC-AB.設(shè)△ABE的面積為Si,AACD的面

積為52.

(1)判斷直線EA與O。的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(2)若BC=BE,S2=mSi,求常數(shù)機(jī)的值.

9.如圖，ZVIBC是。。的內(nèi)接三角形，48是。。的直徑，AC=V5,8C=2遙，點(diǎn)/在A8

上，連接CP并延長(zhǎng)，交O。于點(diǎn)。，連接2。，作垂足為E.

(1)求證：ADBEsLABC；

(2)若AP=2,求ED的長(zhǎng).

10.如圖，點(diǎn)、D,E在以AC為直徑的OO上，/AOC的平分線交。。于點(diǎn)3,連接A4,

EC,EA,過點(diǎn)E作EXLAC,垂足為X,交AD于點(diǎn)F.

(1)求證：AEr=AF*AD-,

(2)若sin/A8O=竽，48=5,求AO的長(zhǎng).

11.如圖，是。。的直徑，AM是O。的切線，AC.CD是O。的弦，且CD_LA3,垂足

為E,連接并延長(zhǎng)，交AM于點(diǎn)P.

(1)求證：NCAB=/APB；

(2)若。。的半徑r=5,AC=8,求線段尸￡＞的長(zhǎng)..

B

12.如圖，在RtzXABC中，ZACB=90°,回0?！晔捻旤c(diǎn)。，。在斜邊A3上，頂點(diǎn)E,F

分別在邊8C,AC上，以點(diǎn)。為圓心，長(zhǎng)為半徑的O。恰好經(jīng)過點(diǎn)。和點(diǎn)￡.

(1)求證：BC與。。相切；

(2)若sin/5AC=1,CE=6,求。方的長(zhǎng).

13.如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于圓0,A5是直徑，點(diǎn)。是助的中點(diǎn)，延長(zhǎng)A0交的延

長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

(1)求證：CE=CD；

(2)若A5=3,BC=V3,求AO的長(zhǎng).

AOB

14.在Rt^ABC中，ZACB=90°,以AC為直徑的。。交AB于點(diǎn)。，點(diǎn)E是邊BC的中

點(diǎn)，連結(jié)。E.

(1)求證：是。。的切線；

(2)若4D=4,BD=9,求O。的半徑.

15.如圖，在△ABC中，ZACB=90°,。是AB邊上一點(diǎn)，以為直徑的O。與AC相

切于點(diǎn)E,連接。E并延長(zhǎng)交3c的延長(zhǎng)線于點(diǎn)?

(1)求證：BF=BD；

(2)若CF=1,tan/EDB=2,求O。的直徑.

BCF

參考答案

1.【解答】(1)證明：???瓦)是。。的直徑，

：.ZBAD=90°,

：.ZD+ZABD=90°,

VA&=AB,

；?ND=NC,

：.ZC+ZABD=90°,

NABE=NC,

ZABE+ZABD^90°,

即/匹1）=90°,

是O。的直徑，

.二BE是O。的切線；

（2）解：在△ABC中，NABC=90°,AB=16,BC=12,

由勾股定理得，AC=7AB2+BC2=V162+122=20,

VZABC=90°,

為O。的直徑，

是O。的直徑，

，B￡）=AC=20,ZBAD=90°,

由勾股定理得，AD=y/BD2-AB2=V202-162=12,

由（1）知NEBD=90°,

：.ZEBD^ZBAD^90°,

又為公共角，

:.ABDAsAEBD,

.BDAD

??=,

DEBD

.2012

??—f

DE20

2.【解答】（1）證明：,：CD=BD,

：.ZCAD=ZDAB.

'：DE=AD,

：./DAB=/E,

：.ZCAD=ZE,

又,.?NC=NC

：.ACAD^ACEA,

（2）連接5。，如圖：

,：AB為直徑，

AZADB=90°,

設(shè)NC4O=NZM5=a,

NCAE=2a,

由（1）知：ACAD^ACEA,

???/ADC=NCAE=2CL,

???四邊形ABDC是圓的內(nèi)接四邊形,

：.ZCAB+ZCDB=1SO°,

即2a+2a+90°=180°,

解得：a=22.5°

ZADC=ZCAE=2X22.5°=45°

3?【解答】解：（1）???瓦）為直徑，

ZBAZ）=90°,

VZC=40°,

ZABC=90°-40°=50°,

"：AD=DE,

1

ZABD=ZDBC=^ZABC=25°,

ZADB=90°-25°=65°,

ZAEB=ZADB=65°,

ZAEC=115°.

(2)連接。區(qū)

9：AD=DE

：.DE=AD=3,

YBD為直徑，

：.AB=BE,

:?BE=AB=6,

YBD為直徑，

：.ZBED=90°,

AZCEZ)=180°-90°=90°,

；?NCED=NCAB,

vzc=zc,

???△CEDsACAB,

.CECDDE

，9AC~BC~AB1

x=4

J=5'

???CE=4.

4.【解答】（1）證明：連接OG

???/是。0的切線，

???OCLI,

VAZ）±Z,

OC//AD,

：.ZCAD=ZACO=ZCAB.

VZD=ZACB=90°,

AABC^AACD；

(2)解：VAC=5,C￡)=4,ZAZ)C=90°,

：.AD=y/AC2-CD2=3,

△AB—△A。。，

.ABAC

??—,

ACAD

.AB5

??=—，

53

、,25

?,?半徑r為:DC

6

5.【解答】(1)證明：如圖，連接0。,

??,點(diǎn)。為我的中點(diǎn)，。為圓心，

：.0D±BC,

9：DF//BC,

：.0D±DF,

??,0。為。。的半徑，

???。/是。。的切線；

(2)證明：丁點(diǎn)。為玩的中點(diǎn)，

：.BD=CD,

:?NDBC=NBAD,

,.?35平分NA3C,

???ZABE=NCBE,

9：ZDEB是AABE的外角，

???ZDEB=/BAE+NABE,

*.*/DBE=/CBE+DBC,

：.NDEB=/DBE,

：.BD=ED；

(3)解：如圖，連接CD,

???四邊形ABDC是圓內(nèi)接四邊形，

ZABD+ZACZ)=180°,

VZr>CF+ZACD=180°,

???/ABD=NDCF,

■:DF//BC,

：.NACB=NF,

???ZACB=ZADB,

：.NADB=/F,

：.LABDsADCF,

.BDAB

?.=,

CFCD

???點(diǎn)。為我的中點(diǎn)，

：.BD=CD,

:?BD=CD,

由(2)知

：.CD=BD=DE=5,

VCF=4,

.5AB

*,4-5

??.T

6.【解答】(1)證明：：冠=BD,

：.NACD=NBCE,

ZADC^ZEBC,

：.AACD^AECB；

(2)解：過8點(diǎn)作于H點(diǎn)，如圖,

是OO的直徑，

ZACB=ZADB^90°，

在RtAACB中，AB=y/BC2+AC2=Vl2+32=V10,

VZACD^ZBCD=45°,

ZABD^ZBAD^45°,

.'.△ABD為等腰直角三角形，

：.BD=與AB=孝XV10=V5,

在RtABCH中，

VZBCH=45°,

：.CH=BH=專BC=余

在RtABDH中，DH=<BD2-BH2=J(V5)2—(苧尸=苧,

/.CD=CH+DH=孝+竽=2魚，

AACDsAECB,

：.CA：CE=CD：CB,即3：CE=2立:1,

解得CE=挈，

即CE的長(zhǎng)為二二

4

7.【解答】(1)證明：:班)是。。的直徑,

：.ZBFD=90°,

VZC=90°,

:?/BFD=/C,

'：BF=BF,

：.ZBEC=NBDF,

???△BCEsdBDF,

BCCE

9BF-DFf

?BC?DF=BF?CE；

(2)解：連接。E,過E作即_L3O于H,如圖:

?NC=90°,tanZBFC=V5,

BC

?—=，r5,

CF

.BC=V5CF,

*NA=NCBF,

.90°-ZA=90°-ZCBF,BPZABC=ZBFC,

.tanXABC=tanZBFC=遮,

ACj-

.—=v5,

BC

.AC=V5BC=V5x(V5CF)=5CF,

'AC-CF=AF=4V5,

：.5CF-CF=4V5,

/.CF=底

：.BC=V5CF=5,AC=5CF=5V5,

：.AB=<BC2+AC2=J52+（5圾2=5布

由（1）知△BCEs^BDF,

：.ZCBE=ZDBF,

：.ZCBE-/FBE=ZDBF-ZFBE,即ZCBF=ZEBA,

'：/A=/CBF,

：.AAEBA,

：.AE^BE,

：.BH=AH=^AB=竽，

?：NBEH=90°-ZEBA=90°-NCBF=/BFC,

tanZBEH—tanZBFC=V5,

sVe

BH

即藻=

EH

：.EH=

??,5O是。。的直徑，

；?/BED=90°,

???ZEDH=90°-NDEH=NBEH,

：.tmZEDH^tmZBEH=V5,

V30

EH嘀=

DH

：.DH=^-,

：.BD=DH+BH=萼+萼=3V6,

，O。的直徑為3展.

答：CF的長(zhǎng)為近，。。的直徑為3點(diǎn).

8.【解答】解：（DAE與OO相切，理由如下:

如圖，連接。4,

\'DA'AC^DC-AB,

.DAAB

??—,

DCCA

???5C是OO的直徑，

：.ZBAC=9Q°=ZADC,

：.AABC^ADAC,

：.ZACB=ZACD,

,.,O4=。。，

???ZOAC=ZACB=ZACD,

：.OA//CDf

：.ZOAE=ZCDE=90°,

：.OA±DE,

又???O4為半徑，

???AE與。。相切；

(2)如圖，\90A//CD,

：.AAOE^ADCE,

.AOOE

,?CD-EC

設(shè)BO=OC=OA=a,則3C=2〃，

,:BC=BE=2a,

??S^ABE=S/\ABCfE0=3a,EC=4a,

CL3ci

,?CD4a

?4

??CD=-^a,

AABC^ADAC,

BCAC

9AC~CD'

82

-4

?Ad=BC?CD=3

S△4CQAC0

(—)2=

s^ABCBC

2

.52=粉,

?m=o.

9.【解答】(1)證明：TAB為直徑，

ZACB=90°,

VBE±CD,

：.ZBED=9Q°,

VFC所對(duì)的圓周角為N5OE和NBAC,

:?NBDE=NBAC,

.?.△DBEs^ABC；

(2)解：如圖，過點(diǎn)。作CG_LA5,垂足為G,

VZACB=90°,AC=V5,BC=2瓜

：.AB=y/AC2+BC2=5,

,?CGLAB,

：.AG=ACcosA=V5x^=l,

VAF=2,

：.FG=AG=1,

???CG是A尸的垂直平分線，

E

D

：.AC=FC,

：.NCAF=NCFA=ZBFD=NBDF,

；?BD=BF=AB-A尸=5-2=3,

?:△DBEs—BC,

.BDDE

??—,

ABAC

t3DE

A5=國(guó)

???EzrDn=—3后g—.

10.【解答】(1)證明：:EHLAC于點(diǎn)H,AC是OO的直徑,

ZAHE=ZAEC=90°,

ZHAE=ZEAC,

：.AHAE^AEAC,

.AHAE

AE~AC

：.AE1=AH^AC,

'：ZHAF=ZDAC,ZAHF=ZADC=90°,

JAAHF^AADC,

.AHAF

AD~AC

：.AH*AC=AF*AD,

：.AE1=AF^D.

(2)解：連接5C,

,/ZADC的平分線交OO于點(diǎn)B,

：.ZADB=ZCDB,

：.AB=BC,

：.AB=BC=5,

VZABC=90°,

：.AC=7AB2+BC2=V52+52=5V2,

?.,ZACD=ZABD,

AD2A/5

—=sinXACD=sinXABD=—p—,

AC5

：.AD=等AC=等x5V2=2V10,

：.AD的長(zhǎng)是2，IU.

11.【解答】(1)證明：??,AM是。。的切線

：.ZBAM=90°,

'：ZCEA=90°,

J.AM//CD,

：.ZCDB=ZAPB,

?:NCAB=NCDB,

；?NCAB=NAPB.

(2)解：如圖，連接AZ),

9：AB是直徑，

：.ZCDB+ZADC=9Q°,

VZCAB+ZC=90°,NCDB=NCAB,

：.ZADC=ZCf

.*.A￡)=AC=8,

VAB=10,

BD=6,

'：ZBAD+ZDAP=90°,ZFAD+ZAPD=90°,

NAPB=NDAB,

'：ZBDA=ZBAP

：.AADB^APAB,

.ABBD

'PB~AB,

2

,DO—AB_100_50

?rD—~BD=~6~=T,

50乙32

\DP=

故答案為：—.

12.【解答】(1)證明：連接OE

??,四邊形0。砂是平行四邊形，

：.EF//OD,EF=OD,

04=00,

：.EF//0A,EF=0A,

???四邊形AOEF是平行四邊形，

J.OE//AC,

：.ZOEB=ZACB,

VZACB=90°,

：.ZOEB=90°,

：?OE1BC,

??,os是。。的半徑，

???5C與OO相切；

(2)解：過點(diǎn)尸作尸于點(diǎn)H,

???四邊形AOEF是平行四邊形，

：.EF//OA,

:.NCFE=NCAB,

3

sinZC77E=sinCAB=5，

在Rt^CE尸中，ZACB=90°,

rp

?：CE=6,sinZCFE=

5

???四邊形AOE尸是平行四邊形，且。4=0E,

A、B

O

EL40EF是菱形，

，AF=AO=EF=10,

在中，NA班'=90°,

FH

VAF=10,sin/CAB=浣，

3

：.FH=AF-sin乙CAB=10x|=6,

'：AH2=AF2-FH2,

：.AH=yjAF2-FH2=8,

OH^AO-AH=10-8=2,

在Rtz\O切中，NFHO=90°,

?/OF1=OH1+FH1,

：.OF=70H2+FH2=722+62=2V10,

OF=2V10.

13.【解答】(1)證明：連接AC,

,：AB為直徑，

ZACB=ZACE=90°,

又