2025年新高考數(shù)學(xué)題型專練：橢圓（含答案）

2025年新高考數(shù)學(xué)題型解密：橢圓

橢圓

考情概覽

命題解讀考向考查統(tǒng)計(jì)

橢圓的定義和弦長(zhǎng)2022?新高考I卷,16

1.高考對(duì)橢圓的考查，重點(diǎn)是

橢圓的離心率2023?新高考I卷,5

（1）橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程。

2022?新高考II卷,16

（2）橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率）。直線與橢圓的應(yīng)用

2023?新高考n卷,5

（3）直線和橢圓的位置關(guān)系及綜合應(yīng)用。

橢圓的軌跡方程2024.新高考n卷，5

2024年真題研析

命題分析

2024年高考新高考I卷橢圓的考查體現(xiàn)在大題中，后續(xù)專題會(huì)解讀。II卷考查了橢圓的軌跡方程求法，難度

較易。橢圓是圓雉曲線的重要內(nèi)容，高考主要考查橢圓定義的運(yùn)用、橢圓方程的求法以及橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，

尤其是對(duì)離心率的求解，更是高考的熱點(diǎn)問題，因方法多，試題靈活，在各種題型中均有體現(xiàn)。預(yù)計(jì)2025年高考

還是主要考查橢圓的定義和離心率。

試題精講

一、單選題

題目曰（2024新高考II卷⑸已知曲線C：/+才=16（。＞0）,從。上任意一點(diǎn)P向,軸作垂線段PP',P'為

垂足,則線段PP的中點(diǎn)河的軌跡方程為（）

222.22222

A?小去=13＞。）B.H+y=1（y＞0）C.太+*=1（沙＞0）D.去+*=1（沙＞0）

近年真題精選

一、單選題

題目工^（2023新IWJ考I卷⑸設(shè)橢圓Gt：芻"+/=1（。＞1）,G：弓H#=1的離心率分別為ei,e2.若e?=

a4

則Q=（）

A.空-B.V2C.V3D.V6

題目區(qū)（2023新高考II卷⑸已知橢圓0鳥+y2=l的左、右焦點(diǎn)分別為耳，E，直線y=①+m與。交于4

O

B兩點(diǎn)，若△EAB面積是△&4B面積的2倍，則館=（）.

???

2

A2D.-

33

二、填空題

22

.題目叵（2022新高考I卷口6）已知橢圓C:%+3=l（a>b>0）,。的上頂點(diǎn)為4兩個(gè)焦點(diǎn)為E，E，離心率

ab

為g.過用且垂直于4鳥的直線與。交于。，E兩點(diǎn)，|DE|=6,則△ADE的周長(zhǎng)是.

凝目目（2022新高考II卷?16）已知直線Z與橢圓（+（=1在第一象限交于4B兩點(diǎn)，Z與2軸，1/軸分別交

Oo

于Al,N兩點(diǎn)，且\MA\^\NB\,\MN\^273，則I的方程為.

必備知識(shí)速記

一、橢圓的定義

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)2a（2a>㈤用）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn),

兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距，記作2c,定義用集合語言表示為：｛P||PE|+|P￡|=2a（2a>㈤網(wǎng)=2c>0）｝

注意：當(dāng)2a=2c時(shí)，點(diǎn)的軌跡是線段；

當(dāng)2a<2c時(shí)，點(diǎn)的軌跡不存在.

二、橢圓的方程、圖形與性質(zhì)

焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在力軸上焦點(diǎn)在沙軸上

z

圖形4ko

Bi

y2，

標(biāo)準(zhǔn)方程00){+4=l(a>b>0)

ab

統(tǒng)一方程mrc2+ny2=l(m>0,n>0,mWn)

仁需，。為參數(shù)（―2兀］）仁篇卻為參數(shù)碼［。加）

參數(shù)方程

第一定義到兩定點(diǎn)E。、。。月的距離之和等于常數(shù)2a,即|ME|+|M^|=2a（2a>［EE|）

范圍—a&n<a且—b&y&b-b&n&b且—aWy&a

AI(_Q,0)、A2(a,0)Ai(0,—a)、A2(0,a)

頂點(diǎn)

Bi(0,—ft)>B2(0,6)Bi(—b,0)、B2(b,0)

軸長(zhǎng)長(zhǎng)軸長(zhǎng)=2a,短軸長(zhǎng)=2b長(zhǎng)軸長(zhǎng)=2a,短軸長(zhǎng)=2b???

對(duì)稱性關(guān)于立軸g軸對(duì)稱,關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱

焦點(diǎn)E(—c,o)、E(c,0)砥0,—c)、政0,c)

焦距㈤用=2c(c2=a2-62)

P-r與。（0<e<l）

離心率e=a=A1a2Va2V

準(zhǔn)線方程rc=±—

c

>1‘外>1‘外

點(diǎn)和橢圓端4

^o_,yo_=1u>點(diǎn)（須）,%）在橢圓,=1Q點(diǎn)（須）,加）在橢圓,上

a2b2,上

的關(guān)系<1、內(nèi)<1、內(nèi)

」（（0,%）為切點(diǎn)）管+爺=1（加加為切點(diǎn)）

彳%

切線方程

對(duì)于過橢圓上一點(diǎn)（小隊(duì)）的切線方程，只需將橢圓方程中換為加，婚換為明,可得

切點(diǎn)弦所在XXy提

hOz-=1（點(diǎn)（&,%）在橢圓外）孥+等=1（點(diǎn)（如%）在橢圓外）

的直線方程

2/)2

①cosJ="1,（B為短軸的端點(diǎn)）

=|『i『2sine=62tan-1-=Jc|加|,焦點(diǎn)在立軸上—.

②SbpREz~焦點(diǎn)在刷上（"

J

洛

焦點(diǎn)三角形oXA

面積

③｛憂W在長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí),(T1,2)min=62

W在短軸端點(diǎn)吐(”2)max=a2

焦點(diǎn)三角形中一般要用到的關(guān)系是

[W+口⑷^|=2Q(2Q>2c)

'SHPF、B=-畀PEWS忖inNEPE)

〔㈤研=

PEF+IPEF—2|PE||P￡|cos/EPE

左焦半徑：\MF[\=a+eg上焦半徑：\MF^=a-ey,

焦半徑又焦半徑：\MF[\=a-ex0下焦半徑：|出|=a+e%

焦半徑最大值a+c,最小值a—c

垂直于長(zhǎng)軸的弦叫通徑:通徑長(zhǎng)=24（最短的過焦點(diǎn)的弦）

通徑過焦點(diǎn)且

設(shè)直線與卜隋圓的兩個(gè)交點(diǎn)為4%陰），B（x2,y?,kAB=k,

則弦長(zhǎng)aB\=Jl+肥E—g|=A/1+昭J（g+N2）2—4/巡2

弦長(zhǎng)公式

-+y5?-4%統(tǒng)=Vi+/c2

（其中a是,消y后關(guān)于N的一元二次方程的"的系數(shù)，A是判別式）

【橢圓常用結(jié)論】???

1、過橢圓的焦點(diǎn)與橢圓的長(zhǎng)軸垂直的直線被橢圓所截得的線段稱為橢圓的通徑，其長(zhǎng)為空.

a

①橢圓上到中心距離最小的點(diǎn)是短軸的兩個(gè)端點(diǎn),到中心距離最大的點(diǎn)是長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn).

②橢圓上到焦點(diǎn)距離最大和最小的點(diǎn)是長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn).

距離的最大值為a+c,距離的最小值為a—c.

2、橢圓的切線

22

①橢圓寫+卷=1。（a>b>0）上一點(diǎn)P（0。，。。%）處的切線方程是等+等=1;

abab

②過橢圓4+￥=1。（a>b>0）外一點(diǎn)P（g。，。。％）,所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是筆+粵=1;

abab

22

③橢圓告+*=1。（a>6>0）與直線Ar+坳+C=0相切的條件是4a2+冼2=。2.

ab

名校模擬探源

一、單選題

22

;題目工（2024.湖北荊州.三模）已知橢圓。：工+率=1的一個(gè)焦點(diǎn)為（0,2）,則看的值為（）

Orv

A.4B.8C.10D.12

222

;題目Q（2024.山東煙臺(tái).三模）若橢圓亍+,=1與橢圓/+%=l（b>1）的離心率相同，則實(shí)數(shù)b的值為

（）

Ag_4_「D—

A，33。2口4

藏目叵〕（2024.江西九江.三模）已知橢圓+^=l（a>b>0）的左右焦點(diǎn)分別為用段過河且傾斜角為

ab

?的直線交。于第一象限內(nèi)一點(diǎn)4若線段人用的中點(diǎn)在9軸上,用的面積為2遍,則。的方程為

6

（）

A.至+v—IB'T+y-1c-V+T-1D.g+瓦—1

[題目@（2024?河南三模）已知橢圓。:考■+%=l（a>b>0）的右焦點(diǎn)為F,短軸長(zhǎng)為2/，點(diǎn)”在橢圓上，

a1b2*6

若|印〔的最大值是最小值的3倍，則橢圓的焦距為（）

A.3B.4C.1D.2

題目回（2024?浙江紹興?三模）已知直線y=fcr（kWO）與橢圓。：4+g=l（a>b>0）交于A,B兩點(diǎn)，以線

ab

段AB為直徑的圓過橢圓的左焦點(diǎn)用，若出川=2|理8],則橢圓。的離心率是（）

;題目回（2024.江西鷹潭.三模）已知橢圓。考+*=l（a>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳其，傾斜角為45°且過

ab

原點(diǎn)的直線/交橢圓于陷N兩點(diǎn).若|2W|=|用勾，設(shè)橢圓的離心率為e,則e?=（）???

A.V2-1B.2-V2C.V3-1D.3-V3

題目⑦（2024.天津河西.三模）已知心月是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且=

年，若橢圓的離心率為生,雙曲線的離心率為e2,則e；+e；的最小值為（）

A.3+V3B.5+^C.2+^D,4

22

建目回（2024.四川.三模）已知橢圓。:號(hào)+奉=1（6>0）。的左、右焦點(diǎn)分別為4后，點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)，若

△PEE的內(nèi)心為朋■，連接并延長(zhǎng)交力軸于點(diǎn)Q,且「朋1=心|。河|,則橢圓的短軸長(zhǎng)為（）

A.2B.2V2C.2V3D.

O

［題目回（2024?廣東汕頭?三模）已知橢圓。：?！?招=1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為E，用，P是。上任意一點(diǎn)，則下列

不正確的是（）

A.C的離心率為;B.\PF{\的最小值為2

C.IPRHPEI的最大值為16D.可能存在點(diǎn)P,使得/EPE=65°

SS?（2024.河北衡水.模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓中+/39。）的左、右焦點(diǎn)分別為月及過月向圓

/+才引切線交橢圓于點(diǎn)P,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若QP|=|O￡|,則橢圓的離心率為（）

;題目叵（2024.浙江.三模）已知橢圓「考+號(hào)=l（a>&>0）的左、右焦點(diǎn)分別為&&過用的直線I與橢圓

ab

r相交于兩點(diǎn)，與夕軸相交于點(diǎn)C.連接用。，月4若。為坐標(biāo)原點(diǎn)，耳。，耳4s=2S.，則

橢圓r的離心率為（）

AVw迤Vw迤

A。55cG,10U，10

二、多選題

>tM（2024.河南開封.三模）橢圓。:號(hào)乙+g=l（m>0）的焦點(diǎn)為用，耳,上頂點(diǎn)為4直線人用與。的

m+1m

另一個(gè)交點(diǎn)為B,若/年4月=春，則（）

O

A.C的焦距為2B.C的短軸長(zhǎng)為2遍C.C的離心率為乎D.448月的周長(zhǎng)為8

:題目□□（2024?全國(guó).模擬預(yù)測(cè)）已知長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)和焦距分別為2a、2b和2c的橢圓Q,點(diǎn)A是橢圓Q與其長(zhǎng)

軸的一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)B是橢圓Q與其短軸的一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)后和月為其焦點(diǎn)，48,點(diǎn)P在橢圓Q上,若

/月。用=春，則（）

O

A.Q,b,c成等差數(shù)列B.a,b,c成等比數(shù)列

C.橢圓。的離心率e=，^+lD.△ABE的面積不小于APE月的面積

???

〔題目〔14］（2024?河南?三模）已知橢圓。:］+g=l（a>b>0）經(jīng)過點(diǎn)F（V2,1）,且離心率為孝.記。在P

處的切線為Z,平行于OP的直線，與。交于兩點(diǎn)，則（）

A.。的方程（+￡"=1

B.直線OP與Z的斜率之積為—1

C.直線OP"與坐標(biāo)軸圍成的三角形是等腰三角形

D.直線24,與坐標(biāo)軸圍成的三角形是等腰三角形

22

題目叵（2024?全國(guó)?二模）已知圓。：/+#=3經(jīng)過橢圓與+4=1（。>6>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)E，E，且p

ab

為圓。與橢圓。在第一象限內(nèi)的公共點(diǎn)，且△PEE的面積為1,則下列結(jié)論正確的是（）

A.橢圓。的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2B.橢圓。的短軸長(zhǎng)為2

C.橢圓。的離心率為］D.點(diǎn)P的坐標(biāo)為（手，子）

「題目叵（2024.江西南昌三模）將橢圓。1左+￡=1伍>6>0）上所有的點(diǎn)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)以0~〈。）角,得

到橢圓。2的方程：/+才—我=6,則下列說法中正確的是（）

A.a=2聰B.橢圓Q的離心率為空

O

C.（2,2）是橢圓G的一個(gè)焦點(diǎn)D.。=年

凝目笆（2024.江西宜春三模）設(shè)橢圓。：與+￥=1的左、右焦點(diǎn)分別為&&坐標(biāo)原點(diǎn)為O.若橢圓。上

o4

存在一點(diǎn)P,使得10Pl=/,則下列說法正確的有（）

A.cos/理=gB.PFl-PF2=5

5

C.△/鏟鳥的面積為2D.△理P月的內(nèi)切圓半徑為2—1

三、填空題

直目回（2024?上海?三模）已知橢圓C的焦點(diǎn)E、鳥都在立軸上，P為橢圓。上一點(diǎn)，Z\PE月的周長(zhǎng)為6,且

\PF{\，國(guó)月，|尸即成等差數(shù)列，則橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

「版目叵（2024?四川攀枝花?三模）已知橢圓C:4+￥=l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為E、&點(diǎn)陷N在。

上，且麗=3加，百法，麗，則橢圓。的離心率為.

22

題目工亞（2024?山西?三模）已知橢圓C:%+必=l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為E,用，若。上存在一點(diǎn)P，

ab

使線段P號(hào)的中垂線過點(diǎn)E,則。的離心率的最小值是.

1>t㈤（2024?陜西咸陽?三模）已知橢圓+￥=1的左、右焦點(diǎn)分別為回、E，河為橢圓。上任意一點(diǎn)，

54

P為曲線E:/+d—6c—知+12=0上任意一點(diǎn),則\MP\+\MF^的最小值為.

2

22_）（2024?湖南長(zhǎng)沙?三模）已知橢圓號(hào)+/=1,P為橢圓上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作與直線Z1：y=3c和

9

???

6?/=-3a;平行的直線,分別交附。交于河，N兩點(diǎn)，則\MN\的最大值為.

22

題目H(2024?重慶?三模)已知橢圓與+9=l(a>b>0)的左右焦點(diǎn)為E,E，若橢圓上存在不在。軸上的

ab

兩點(diǎn)A,B滿足百N+演=崩，且sin/用AB=2sin/月4B,則橢圓離心率e的取值范圍為.

???

橢同

考情概覽

命題解讀考向考查統(tǒng)計(jì)

橢圓的定義和弦長(zhǎng)2022?新高考I卷,16

1.高考對(duì)橢圓的考查，重點(diǎn)是

橢圓的離心率2023?新高考I卷,5

（1）橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程。

2022?新高考II卷,16

（2）橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率）。直線與橢圓的應(yīng)用

2023?新高考n卷,5

（3）直線和橢圓的位置關(guān)系及綜合應(yīng)用。

橢圓的軌跡方程2024.新高考n卷，5

2024年真題研析

命題分析

2024年高考新高考I卷橢圓的考查體現(xiàn)在大題中，后續(xù)專題會(huì)解讀。II卷考查了橢圓的軌跡方程求法，難度

較易。橢圓是圓雉曲線的重要內(nèi)容，高考主要考查橢圓定義的運(yùn)用、橢圓方程的求法以及橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，

尤其是對(duì)離心率的求解，更是高考的熱點(diǎn)問題，因方法多，試題靈活，在各種題型中均有體現(xiàn)。預(yù)計(jì)2025年高考

還是主要考查橢圓的定義和離心率。

試題精講

一、單i&M

題目曰（2024新高考II卷⑸已知曲線C：/+才=16（。＞0）,從。上任意一點(diǎn)P向,軸作垂線段PP',P'為

垂足,則線段PP的中點(diǎn)河的軌跡方程為（）

222.22222

A?小去=13＞。）B.H+y=1（y＞0）C.太+*=1（沙＞0）D.去+*=1（沙＞0）

【答案】A

【分析】設(shè)點(diǎn)由題意，根據(jù)中點(diǎn)的坐標(biāo)表示可得PQ,2y）,代入圓的方程即可求解.

【詳解】設(shè)點(diǎn)則P（c,%）,PQ,o）,

因?yàn)橛谩鰹镻P的中點(diǎn)，所以為=2沙,即P（x,2y）,

又P在圓/+d=16（“＞0）上，

所以產(chǎn)+4才=16（U＞0）,即叁+4=1（?＞0）,

164

即點(diǎn)M的軌跡方程為烝+3=1（沙＞0）.

164

故選：A???

近年真題精選

一、單

_______22

題目3(2023新高考I卷⑸設(shè)橢圓G：%+方=l(a>l),Q：勺+才=1的離心率分別為若62=血生,

a4

則Q=()

A.B.V2C.V3D.V6

【答案】力

【分析】根據(jù)給定的橢圓方程，結(jié)合離心率的意義列式計(jì)算作答.

【詳解】由62=通生,得苣=3/,因此。=3Xg二，而a>l,所以a=2￡.

4a3

故選：a

題目印(2023新高考n卷⑸已知橢圓。：《+才=1的左、右焦點(diǎn)分別為E，E，直線v=c+m與。交于4

O

B兩點(diǎn)，若△EAB面積是△瑪4B面積的2倍，則m=().

A.B.浮C.—容D.—春

oooo

【答案】。

【分析】首先聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用A〉。,求出“范圍，再根據(jù)三角形面積比得到關(guān)于m的方程，解

出即可.

(y—x+m

【詳解】將直線。=力+館與橢圓聯(lián)立《]2_消去g可得4/+6771/+3/一3=0,

+P=]

因?yàn)橹本€與橢圓相交于AB點(diǎn)，則A=36——4x4(3加-3)>0,解得一2〈恒<2,

設(shè)E到AB的距離由■至UAB距離心,易知^(-V2,0),^(V2,0)，

|—V2+m|.|V2+m|

則小=，d>2—

V2V2

|—V2H-ml

S.ABV2|一2+加=2,解得m=—乎或—32(舍去),

S△用力B|V2+m|o

V2

故選：c.

二、填空題

「題目E(2022新高考I#.16)已知橢圓+￥=l(a>6>0),C的上頂點(diǎn)為4兩個(gè)焦點(diǎn)為外用,離心率

ab

為｝過用且垂直于入耳的直線與。交于。，E兩點(diǎn)，|。國(guó)=6,則的周長(zhǎng)是.

【答案】13

【分析】利用離心率得到橢圓的方程為=1,即3/+4y2-12c2=0，根據(jù)離心率得到直線AF的斜

4c23c22

率,進(jìn)而利用直線的垂直關(guān)系得到直線DE的斜率，寫出直線DE的方程@=

4T/2-12C2=0,整理化簡(jiǎn)得到：13娟—6聲沖—9c2=0,利用弦長(zhǎng)公式求得c=與，得a=2c=孕，根據(jù)對(duì)稱

性將△ADE的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為AF.DE的周長(zhǎng)，利用橢圓的定義得到周長(zhǎng)為4a=13.

【詳解】???橢圓的離心率為e=9=4,.?.a=2c,.?.b2=a2—。2=3。2,.?.橢圓的方程為三+￡=1,即3/

a24c23c2

+4才—12c2=0,不妨設(shè)左焦點(diǎn)為右焦點(diǎn)為段如圖所示，VAF2=a,OF?=c,a=2c,：.乙4￡。=看，

△A1怩為正三角形，???過E且垂直于AF2的直線與。交于D,E兩點(diǎn)、，DE為線段AF2的垂直平分線，二直線

DE的斜率為尋,斜率倒數(shù)為述，直線DE的方程：必=通"-c,代入橢圓方程3/+4靖—12c?=0,整理化

簡(jiǎn)得到：13/-6j^c9-9c2=0,

判別式A=（6V3c）2+4X13X9C2=62X16XC2,

A=—統(tǒng)|=2x*=2x6x4x^=6,

J-OJLo

/.c—孕，得a=2c=單，

o4

VDE為線段AF2的垂直平分線,根據(jù)對(duì)稱性,AD=DF”AE=E%：.^ADE的周長(zhǎng)等于△瑪DE的周長(zhǎng)，利

用橢圓的定義得到△月Z2E周長(zhǎng)為月+舊月|+|/近|=|。制+舊囿+|。園+|班|=|。用|+|。月+|即|+|霞|

—2a+2a—4a—13.

故答案為：13.

（2022新高考II卷?16）已知直線，與橢圓號(hào)+彳=1在第一象限交于A,5兩點(diǎn)，Z與c軸，y軸分別交

于M,N兩點(diǎn)，且|M4|=|NB|,|7W|=2通,則I的方程為.

【答案】x+V2y—2V2=0

【分析】令A(yù)B的中點(diǎn)為E,設(shè)T1（力1,%）,B（X2,y。，利用點(diǎn)差法得到kOE?kAB=―,設(shè)直線AB:y=kx-\-m,k

V0,館＞0,求出M、N的坐標(biāo)，再根據(jù)\MN\求出k、772,即可得解；

【詳解】［方法一］:弦中點(diǎn)問題:點(diǎn)差法???

令A(yù)B的中點(diǎn)為瓦設(shè)4?,%）,統(tǒng)），利用點(diǎn)差法得到kOE-L=一十，

設(shè)直線4B:g=for+館，％VO,?n>0,求出M、N的坐標(biāo)，

再根據(jù)\MN\求出k、m,即可得解；

解:令A(yù)B的中點(diǎn)為E,因?yàn)?MAi=|NB|,所以\ME\=\NE\,

2222

設(shè)/（力1,儀）,石（62'紡）,則+寸=L~Q~+=1'

所以W—逋*顯_遺=0即（◎一電）（力1+/2）（功+。2）（%一例）=0

歷以6-63-3-?63—

所以，的+仍,__曾__一_L,即k°E-k=―，設(shè)直線AB'.y=kx-\-m,k<0,m>0,

"IAB

（的一力2）（刈+/2）22

令力=0得g=nz,令g=0得力=-深,即河（一菅,0）,N（0,m）,

m

即kX---=―，解得k=—小或k=—■（舍去），

m222

2k

又\MN\=2V3,即\MN\=y/rr^-\-（V2m）2=2A/3,解得7n=2或？n=—2（舍去）,

所以直線AB:y——~^~x+2,即力+V2y-2A/2=0；

故答案為：x+V2y—2^2=0

［方法二］:直線與圓錐曲線相交的常規(guī)方法

解：由題意知，點(diǎn)E既為線段的中點(diǎn)又是線段MN的中點(diǎn),

設(shè)/（力1,伏），_B（62,紡），設(shè)直線AB:y=kx-\-m,k<0,m>0,

y=kx-\-m

聯(lián)立直線48與橢圓方程得《小y2消掉g得(1+2*)/+4771k/+27712—6=0

IT+T=1

222771

其中△=(4mfc)—4(1+2fc)(2m—6)>0,a;i+x2=-4k2

1~rN/C

mm2mk_m

：.4B中點(diǎn)后的橫坐標(biāo)XE=一葺蚩，

\*fc<0,m>0,fc=—;|2=V3,解得m=2

所以直線ABiy+2,即力+V2y—2A/2=0

必備知識(shí)速記

一、橢圓的定義

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)2a（2a>㈤現(xiàn)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn),

兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距，記作2c,定義用集合語言表示為：｛P|爐園+上月=2a（2a>㈤耳|=2c>0）｝

注意：當(dāng)2a=2c時(shí)，點(diǎn)的軌跡是線段；

當(dāng)2a<2c時(shí)，點(diǎn)的軌跡不存在.

二、橢圓的方程、圖形與性質(zhì)

焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在立軸上焦點(diǎn)在沙軸上

zK

圖形

4HlO

22

T277/

標(biāo)準(zhǔn)方程與+、=1(。>90)4+與T=l(a>90)

abab

統(tǒng)一方程mx2,+ny2=l(m>0,n>0,mWn)

產(chǎn)r。巴9為參數(shù)(9e[0,2])1=7。?超為參數(shù)(。€[0,2兀])

參數(shù)方程7r

[y=bsmU[y=bsm(J

5

第一定義到兩定點(diǎn)E。、。。E的距離之和等于常數(shù)2a,即同+|M^|=2a（2a>[EE|）

范圍1,且一b<gWb-b&c&b且—aWy&a

Ai(—(z,0)A2(a,0)Ai(0,—a)、A2(0,a)

頂點(diǎn)

Bi(O,-6)>B2(0,6)B《—b,0)、B2(b,0)

軸長(zhǎng)長(zhǎng)軸長(zhǎng)=2a,短軸長(zhǎng)=2b長(zhǎng)軸長(zhǎng)=2a,短軸長(zhǎng)=2b

對(duì)稱性關(guān)于立軸、y軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱

焦點(diǎn)E(—c,o)、月(c,0)E(o,—c)、鳥(0,c)

焦距㈤囪=2c^=a2-b2)

離心率e=—=.=(0<e<l)

avaMava

,a2

準(zhǔn)線方程x=±——

c

點(diǎn)和橢圓>1‘外>1‘外

=1=點(diǎn)（小%）在橢圓，上=1Q點(diǎn)（須）,加）在橢圓,上

的關(guān)系a2〃

<1、內(nèi)<1、內(nèi)

xxyy

oo-=1（（&,隊(duì)）為切點(diǎn)）誓+學(xué)—。）為切點(diǎn)）

丁石

切線方程

21

對(duì)于過橢1回上一點(diǎn)（%%）的切線方程，只需將橢圓方程中x換為xox,y換為yoy可得

切點(diǎn)弦所在xxyy

oo-=1（點(diǎn)（期）,班）在橢圓外）答+等=1（點(diǎn)心加在橢圓外）

的直線方程丁守

2h2

①cos3=1,Gmax—（B為短軸的端點(diǎn)）

“2

=62tan-1-=Jc|伏）|,焦點(diǎn)在工軸上—.

②S&PFa—焦點(diǎn)在u軸上（"

度4(%加

國(guó)

焦點(diǎn)三角形oXA

面積

2

③（當(dāng)P點(diǎn)在長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí),（rir2）miii.=b

口當(dāng)P點(diǎn)在短軸端點(diǎn)時(shí),（『1/2）max=a2

焦點(diǎn)三角，畛中一般要用到的關(guān)系是

[IMFJI+I八我|=2Q（2Q>2C）

■S&P瓦烏=：會(huì)爐園上￡忖inNEPE）

〔㈤研=L22

PFl\+\PFi\-2\PF1\\PLJcos/EPE

左焦半徑\MF1\=a+ex0上焦半徑：|Mf]|=a-ey0

焦半徑又焦半徑\MF^=a—eg下焦半徑：M號(hào)|=a+e%

焦半徑最:大值a+c,最小值a—c

亞直于長(zhǎng)軸的弦叫通徑:通徑長(zhǎng)=2工（最短的過焦點(diǎn)的弦）

通徑過焦點(diǎn)且=

a

弦長(zhǎng)公式設(shè)直線與才隋圓的兩個(gè)交點(diǎn)為4/1,幼），B（劣2,改），kAB=k,

6

則弦長(zhǎng)\AB\=J1+肥山—/2=/1+k2jQ]+g）2—4力巡2

=Jl+匕J（劭+例）2—=Vl+A;2

（其中Q是消y后關(guān)于力的一元二次方程的力2的系數(shù),A是判別式）

【橢圓常用結(jié)論】

1、過橢圓的焦點(diǎn)與橢圓的長(zhǎng)軸垂直的直線被橢圓所截得的線段稱為橢圓的通徑，其長(zhǎng)為空.

a

①橢圓上到中心距離最小的點(diǎn)是短軸的兩個(gè)端點(diǎn),到中心距離最大的點(diǎn)是長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn).

②橢圓上到焦點(diǎn)距離最大和最小的點(diǎn)是長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn).

距離的最大值為a+c,距離的最小值為a-c.

2、橢圓的切線

22

①橢圓與+號(hào)=1。（a>b>0）上一點(diǎn)P（0。，。。%）處的切線方程是否+警=1;

abab

②過橢圓4+￡=1。（a>6>0）外一點(diǎn)PQ。。，。。%